平成２５年２月１０日

[流れ星]

　　　　　第２８６回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：1月20日〜2月１0日＞

［内積の最小値］

過去の立教大学の入試問題です。

NO１「uchinyan」 01/20 13時56分受信

「uchinyan」 01/20 15時51分受信 更新2/10

(解法1)

円の中心を O(0,0)，P(r,0)，Q(r * cosα, r * sinα)，R(r * cosβ, - r * sinβ)，

r > 0，0 <= α <= π，0 <= β <= π，と座標を入れます。

∠QPO = (π-α)/2，∠RPO = (π-β)/2，∠QPR = ∠QPO + ∠RPO = π - (α+β)/2，

ベクトルPQ・ベクトルPR = |PQ||PR|cos(∠QPR) = |PQ||PR|cos(π - (α+β)/2)

= - |PQ||PR|cos((α+β)/2)

より，最小値を考えるので，0 < (α+β)/2 < π/2，0 < α+β < π，のときを考えれば十分です。この条件の下で，

ベクトルPQ・ベクトルPR

= (r * cosα - r, r * sinα)・(r * cosβ - r, - r * sinβ)

= (r^2 * (cosα - 1)(cosβ - 1) - r^2 * sinαsinβ)

= r^2 * (cosαcosβ - cosα - cosβ + 1 - sinαsinβ)

= r^2 * (cos(α+β) - (cosα + cosβ) + 1)

= r^2 * ((2(cos((α+β)/2))^2 - 1) - 2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) + 1)

= r^2 * 2((cos((α+β)/2))^2 - cos((α+β)/2)cos((α-β)/2))

= r^2 * 2cos((α+β)/2)(cos((α+β)/2) - cos((α-β)/2))

0 < (α+β)/2 < π/2，cos((α+β)/2) > 0 より，

>= r^2 * 2cosα(cosα - 1)，等号は，α = β

= r^2 * 2((cosα)^2 - cosα)

= r^2 * 2((cosα - 1/2)^2 - 1/4)

>= r^2 * 2(0^2 - 1/4) = - r^2/2，等号は，cosα = 1/2，α = π/3

つまり，α = β = π/3，P，Q，R は正六角形の隣り合う三つの頂点，のときに，

ベクトルPQ・ベクトルPR は，最小値 - r^2/2，を取ります。

(解法1の若干の別解)

最小値の評価の部分は，次のようにした方が分かりやすいかも知れません。

ベクトルPQ・ベクトルPR

= (r * cosα - r, r * sinα)・(r * cosβ - r, - r * sinβ)

= …

= r^2 * 2((cos((α+β)/2))^2 - cos((α+β)/2)cos((α-β)/2))

= r^2 * 2((cos((α+β)/2) - cos((α-β)/2)/2)^2 - (cos((α-β)/2))^2/4)

ここで，

(cos((α+β)/2) - cos((α-β)/2)/2)^2 >= 0，- (cos((α-β)/2))^2/4 >= - 1/4

より，

cos((α+β)/2) - cos((α-β)/2)/2 = 0，(cos((α-β)/2))^2 = 1

となるときに最小ですが，このとき，今の角度の条件の下では，

(cos((α-β)/2))^2 = 1，cos((α-β)/2) = 1，α =β，

cos((α+β)/2) - cos((α-β)/2)/2 = 0，cosα - 1/2 = 0，cosα = 1/2，α = π/3

つまり，α = β = π/3，P，Q，R は正六角形の隣り合う三つの頂点，のときに，

ベクトルPQ・ベクトルPR は，最小値 r^2 * 2(0 - 1/4) = - r^2/2，を取ります。

(解法2)

円の中心を O とします。ベクトルPQ・ベクトルPR = |PQ||PR|cos(∠QPR) より，

最小値を考えるので，cos(∠QPR) < 0，π/2 < ∠QPR < π，のときを考えれば十分です。

この条件の下で，相加相乗平均により (|PQ|^2 + |PR|^2)/2 >= |PQ||PR| を考慮すると，

ベクトルPQ・ベクトルPR = |PQ||PR|cos(∠QPR) >= (|PQ|^2 + |PR|^2)/2 * cos(∠QPR)

ここで，等号は |PQ| = |PR| です。

そこで，π/2 < ∠QPR < π，|PQ| = |PR| の条件の下で最小値が存在すれば，それが全体の最小値になります。

|PQ| = |PR| は，円の対称性より ∠QPO = ∠RPO を意味するので，|PO| = |QO| = |RO| に注意して，

∠POQ = ∠POR = π - ∠QPR がいえます。そこで，余弦定理によって，

|PQ|^2 = |PR|^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos(π - ∠QPR) = 2r^2 * (1 +cos(∠QPR))

これより，

ベクトルPQ・ベクトルPR >= (|PQ|^2 + |PR|^2)/2 * cos(∠QPR) = 2r^2 * (1 + cos(∠QPR)) * cos(∠QPR)

= 2r^2 * ((cos(∠QPR))^2 + cos(∠QPR))

= 2r^2 * ((cos(∠QPR) + 1/2)^2 - 1/4) >= - r^2/2

ただし，等号は，cos(∠QPR) = - 1/2 < 0，∠QPR = 2π/3，で成立します。

そこで，結局，|PQ| = |PR|，∠QPR = 2π/3，つまり，P，Q，R は正六角形の隣り合う三つの頂点，のときに，

ベクトルPQ・ベクトルPR は，最小値 - r^2/2，を取ります。

(感想)

比較的よく見るタイプの問題ですが，２変数の最小値問題になるので，評価には少し工夫が必要です。結果がきれいなので，初等幾何だけでもできるのかも知れませんね。

NO2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」　　01/21 0時58分受信 更新2/10

この問題は簡単そうでしたのに…結構考えました…^^;
円周上の３点、P, Q, R...内積
PQ*PR=|PQ|*|PR|*cos2θ で考える…

逆に…最大値になる時を考える…
同じ角度のときなら…二等辺三角形のとき…
x^2=2r^2-2r^2*cos2θ＝2r^2*(1-cos2θ)
PQ*PR=|PQ|*|PR|*cos2θ
=x^2*cos2θ=2r^2*(1-cos2θ)*cos2θ
(1-t)*t=-t^2+t=-(t-1/2)^2+1/4
cos2θ=1/2 のとき…2θ=π/3
Max=r^2/2
図形的に…このときの3点の位置は正三角形なので…
最小の△は…円とその正三角形との隙間にできる二等辺三角形のはず…
つまり…r^2*cos(2π/3)=-r^2/2

Maxの求め方と同様に考えると…
2r^2*(1+cos2θ)*cos2θ
(1+t)t=t^2+t=(t+1/2)^2-1/4
だから…t=-1/2 のときで…
cos2θ=-1/2…2θ=2π/3
のときで Min=-r^2/2 　　合致する♪

NO3「浜田明巳」　01/21 17時38分受信 更新2/10

ＰとＱ，またはＰとＲが一致するとき，内積は０となる．
　以下，ＰとＱ，ＰとＲが一致しないとする．
　Ｐを固定し，Ｒの偏角βを０＜β≦πとしても一般性は失われない．
　Ｐ(ｒ，０)，Ｑ(ｒcosα，ｒsinα)，Ｒ(ｒcosβ，ｒsinβ)（０＜α＜２π，０＜β≦π）とする．
　　∴ベクトルＰＱ・ベクトルＰＲ／ｒ^２＝(cosα−１，sinα)・(cosβ−１，sinβ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(cosα−１)(cosβ−１)＋sinαsinβ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(cosαcosβ＋sinαsinβ)−cosα−cosβ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝cos(α−β)−cosα−cosβ＋１
　これをαの関数とみなし，ｆ(α)とすると，
　　ｆ'(α)＝−sin(α−β)＋sinα
　　　　　＝sinα−sin(α−β)
　　　　　＝２cos(α−β／２)sin(β／２)
　０＜β／２≦π／２であるから，sin(β／２)＞０
　−π／２＜α−β／２＜２πであるから，
　　ｆ'(α)＝０　⇔　α−β／２＝π／２，３π／２
　　　　　　　　⇔　α＝β／２＋π／２，β／２＋３π／２
　ｆ'(α)＞０のとき，
　　−π／２＜α−β／２＜π／２，３π／２＜α−β／２＜２π
　　∴０＜α＜β／２＋π／２，β／２＋３π／２＜α＜２π
　ｆ'(α)＜０のとき，
　　π／２＜α−β／２＜３π／２
　　∴β／２＋π／２＜α＜β／２＋３π／２
　増減を考える．
　０＜α＜β／２＋π／２で，ｆ'(α)＞０
　β／２＋π／２＜α＜β／２＋３π／２で，ｆ'(α)＜０
　β／２＋３π／２＜α＜２πで，ｆ'(α)＞０
　故にα＝β／２＋３π／２のとき，最小となる可能性がある．
　このとき，
　　ｆ(β／２＋３π／２)＝cos(−β／２＋３π／２)−cos(β／２＋３π／２)−cosβ＋１
　　　　　　　　　　　　＝cos(−β／２−π／２)−cos(β／２−π／２)−cosβ＋１
　　　　　　　　　　　　＝−sin(β／２)−sin(β／２)−cosβ＋１
　　　　　　　　　　　　＝−２sin(β／２)−cosβ＋１
　ｔ＝β／２，０＜ｔ≦π／２，与式＝ｇ(ｔ)とすると，
　　ｇ(ｔ)＝−２sinｔ−cos(２ｔ)＋１
　　　　　＝−２sinｔ−(１−２sin^２ｔ)＋１
　　　　　＝２sin^２ｔ−２sinｔ
　　　　　＝２(sinｔ−１／２)^２−１／２
　０＜sinｔ≦１であるから，sinｔ＝１／２のとき，最小値−１／２をとる．
　これはｆ(０)＝０を下回るので，これが最終的なｆ(α)の最小値となる．
　このとき，０＜ｔ≦π／２から，
　　ｔ＝β／２＝π／６
　　∴β＝π／３
　　∴α＝β／２＋３π／２＝π／６＋３π／２＝５π／３
　故に∠ＰＯＱ＝π／３，∠ＰＯＲ＝π／３，Ｑ，Ｒは一致しないとき，内積は最小値−ｒ^２／２をとる．

「浜田明巳」　01/24 10時16分受信 更新2/10

（別解）（数�U的解法）
　θ＝∠ＱＰＲとする．
　Ｒから直線ＰＱに垂線ＲＲ'をおろす．
　０≦θ≦π／２のとき，
　　ベクトルＰＱ・ベクトルＰＲ＝ＰＱ・ＰＲ・cosθ＝ＰＱ・ＰＲ'
　π／２＜θ≦πのとき，
　　ベクトルＰＱ・ベクトルＰＲ＝−ＰＱ・ＰＲ'

　内積の最小値を求めるのであるから，π／２＜θ≦πとしてよい．
　半径１の円で考えて，求めた最小値をｒ^２倍する．
　Ｐ(１，０)，Ｑ(ａ，ｂ)（−１≦ａ＜１，−１≦ｂ＜０）とする．
　図から，ＰＱに平行な直径の第１象限内の端がＲとなれば，内積が最小となる．

　ＯＲの方程式は，ｙ＝−ｂ／(１−ａ)・ｘ
　円の方程式ｘ^２＋ｙ^２＝１に代入すると，
　　ｘ^２＋{−ｂ／(１−ａ)・ｘ}^２＝１
　　∴{(１−ａ)^２＋ｂ^２}ｘ^２＝(１−ａ)^２
　　∴ＰＱ^２ｘ^２＝(１−ａ)^２
　グラフから，ｘ＞０，１−ａ＞０となり，ｘ＝(１−ａ)／ＰＱ
　　∴Ｒ((１−ａ)／ＰＱ，−ｂ／ＰＱ)
　簡単に表現するために，Ｘ＝(１−ａ)／ＰＱ，Ｙ＝−ｂ／ＰＱとする．
　ＲＲ'の方程式は，ｙ＝(１−ａ)／ｂ・(ｘ−Ｘ)＋Ｙ
　ＰＱの方程式ｙ＝−ｂ／(１−ａ)・(ｘ−１)と連立すると，
　　−ｂ／(１−ａ)・(ｘ−１)＝(１−ａ)／ｂ・(ｘ−Ｘ)＋Ｙ
　　∴−ｂ^２(ｘ−１)＝(１−ａ)^２(ｘ−Ｘ)＋(１−ａ)ｂＹ
　　∴{(１−ａ)^２＋ｂ^２}ｘ＝ｂ^２＋(１−ａ)^２Ｘ−(１−ａ)ｂＹ
　　∴ＰＱ^２ｘ＝ｂ^２＋(１−ａ)^３／ＰＱ＋(１−ａ)ｂ^２／ＰＱ
　　　　　　＝ｂ^２＋(１−ａ)／ＰＱ・{(１−ａ)^２＋ｂ^２}
　　　　　　＝ｂ^２＋(１−ａ)ＰＱ
　　∴ｘ＝{ｂ^２＋(１−ａ)ＰＱ}／ＰＱ^２
　　∴ｙ＝−ｂ／(１−ａ)・[{ｂ^２＋(１−ａ)ＰＱ}／ＰＱ^２−１]
　　　　＝−ｂ／{(１−ａ)ＰＱ^２}・{ｂ^２＋(１−ａ)ＰＱ−ＰＱ^２}
　　　　＝−ｂ／{(１−ａ)ＰＱ^２}・[ｂ^２＋(１−ａ)ＰＱ−{(１−ａ)^２＋ｂ^２}]
　　　　＝−ｂ／{(１−ａ)ＰＱ^２}・{(１−ａ)ＰＱ−(１−ａ)^２}
　　　　＝ｂ／ＰＱ^２・{(１−ａ)−ＰＱ}
　　∴Ｒ'({ｂ^２＋(１−ａ)ＰＱ}／ＰＱ^２，ｂ{(１−ａ)−ＰＱ}／ＰＱ^２)
　　∴ＰＲ'^２＝[{ｂ^２＋(１−ａ)ＰＱ}／ＰＱ^２−１]^２＋[ｂ{(１−ａ)−ＰＱ}／ＰＱ^２]^２
　　　　　　＝[(１−ａ){ＰＱ−(１−ａ)}／ＰＱ^２]^２＋[ｂ{(１−ａ)−ＰＱ}／ＰＱ^２]^２
　　　　　　＝{(１−ａ)^２＋ｂ^２}{ＰＱ−(１−ａ)}^２／ＰＱ^４
　　　　　　＝{ＰＱ−(１−ａ)^}２／ＰＱ^２
　　∴(ＰＱ・ＰＲ')^２＝ＰＱ^２−２・ＰＱ・(１−ａ)＋(１−ａ)^２
　　　　　　　　　　＝ｂ^２＋２(１−ａ)^２−２・ＰＱ・(１−ａ)………(1)
　ここで，ａ＝cosα，ｂ＝sinα（π≦α＜２π）とすると，
　　ｂ^２＝sin^２α＝４sin^２(α／２)cos^２(α／２)＝４sin^２(α／２){１−sin^２(α／２)}
　　１−ａ＝２・(１−cosα)／２＝２sin^２(α／２)
　　ＰＱ^２＝ｂ^２＋(１−ａ)^２＝ｂ^２＋１−２ａ＋ａ^２＝２(１−ａ)（∵ａ^２＋ｂ^２＝１）
　　　　＝４sin^２(α／２)
　π／２≦α／２＜πから，sin(α／２)＞０
　　∴ＰＱ＝２sin(α／２)
　(1)から，
　　(ＰＱ・ＰＲ')^２＝４sin^２(α／２){１−sin^２(α／２)}＋２・{２sin^２(α／２)}^２−２・２sin(α／２)・２sin^２(α／２)
　ｔ＝sin(α／２)（０＜ｔ≦１）とすると，
　　(ＰＱ・ＰＲ')^２／４＝ｔ^２(１−ｔ^２)＋２ｔ^４−２ｔ^３＝ｔ^４−２ｔ^３＋ｔ^２＝ｔ^２(ｔ−１)^２
　ｔ(ｔ−１)≦０から，
　　ベクトルＰＱ・ベクトルＰＲ＝−ＰＱ・ＰＲ'＝２ｔ(ｔ−１)＝２(ｔ−１／２)^２−１／２
　０＜ｔ≦１から，ｔ＝１／２のとき，最小値−１／２をとる．
　このとき，ｔ＝sin(α／２)＝１／２
　　∴α／２＝５π／６
　　∴α＝５π／３
　　∴Ｑ(１／２，−√３／２)
　また，ＰＱ＝２sin(α／２)＝１から，
　　Ｒ(１／２，√３／２)
　まとめると，∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ＝π／３，Ｑ，Ｐ，Ｒの順に並ぶとき，最小値−ｒ^２／２をとる．
（三角関数を使うのなら，最初から使った方がよいですよね．なんて解答だ）

「浜田明巳」　02/07 16時16分受信 更新2/10

（別解その２）
　Ｐ(１，０)，Ｑ(ａ，(１−ａ^２)^１／２)（−１≦ａ＜１），Ｒ(cosθ，sinθ)としてよい．
　このとき，
　　ベクトルＰＱ・ベクトルＰＲ＝(ａ−１)(cosθ−１)＋(１−ａ^２)^１／２・sinθ
　　　＝(１−ａ^２)^１／２・sinθ−(１−ａ)cosθ＋(１−ａ)
　　∴ベクトルＰＱ・ベクトルＰＲ／(１−ａ)^１／２
　　　　＝(１＋ａ)^１／２・sinθ−(１−ａ)^１／２・cosθ＋(１−ａ)^１／２
　この式をｆ(θ)とすると，
　　ｆ(θ)＝{(１＋ａ)＋(１−ａ)}^１／２・[sinθ・{(１＋ａ)／２}^１／２−cosθ・{(１−ａ)／２}^１／２]＋(１−ａ)^１／２
　　　　＝√２・(sinθcosα−cosθsinα)＋(１−ａ)^１／２
　ただし，cosα＝{(１＋ａ)／２}^１／２，sinα＝{(１−ａ)／２}^１／２
　このとき，
　　ｆ(θ)＝√２・sin(θ−α)＋(１−ａ)^１／２
　もし，θ−α＝３π／２となる場合があるのならば，ｆ(θ)は，最小値−√２＋(１−ａ)^１／２をとる．
　このとき，θ＝α＋３π／２
　　∴cosθ＝cos(α＋３π／２)＝cosαcos(３π／２)−sinαsin(３π／２)＝sinα＝{(１−ａ)／２}^１／２，
　　　sinθ＝sin(α＋３π／２)＝sinαcos(３π／２)＋cosαsin(３π／２)＝−cosα＝−{(１＋ａ)／２}^１／２
　また，
　　ベクトルＰＱ・ベクトルＰＲ＝ｆ(θ)(１−ａ)^１／２＝{−√２＋(１−ａ)^１／２}(１−ａ)^１／２
　Ｘ＝(１−ａ)^１／２とすると，
　　ベクトルＰＱ・ベクトルＰＲ＝Ｘ(Ｘ−√２)＝(Ｘ−１／√２)^２−１／２
　−１≦ａ＜１から，０＜Ｘ≦√２
　故にＸ＝１／√２のとき，最小値−１／２をとる．
　このとき，ａ＝１／２であり，
　　Ｑ(１／２，√３／２)，Ｒ(１／２，−√３／２)
　この場合は存在するので，これが最小値となる．
　故に最終的な最小値は，−ｒ^２／２である．

NO4「★」　　　　01/21 19時28分受信 更新2/10

★と申します　　下記のアドレスを入力ください

「解答」

＜水の流れ：グラフソフトMathematica の利用かな＞

NO5「にいばりZ12」01/29 23時12分受信

「にいばりZ12」01/31 0時16分受信 更新2/10

にいばりZ12です

前回の問題は好きなタイプでぜひ回答したかったのですが仕事が忙しく時間切れでした。

ベクトルと行列（これが無ければ始まらないのは分かってはいるのですが）はもっとも不得意とする分野で自信はありませんが何とか考えてみました。

［内積の最小値］

ベクトルPQとベクトルPRの内積はPQとPRのなす角をθとして

ベクトルが円の直径となす角が等しくαとすると、θ=2α

よってこのときの内積は

次に�@をγだけ回転するとベクトルが円の直径となす角は

θ=(α+γ)+(α-γ)=2α　　　（ただしα+γ<π/2、α-γ>0　)

よってこのときの内積は

�@と�Aを比較し、「ベクトルPQとベクトルPRは直径となす各々の角が等しい場合に

絶対値の積が最大になる」・・・・・・・�B

�Bより求める最小値は�@の場合においてｃｏｓ2αが負の値をとるときの最小値である。

�@右辺を変形整理すると

4r²（2ｃｏｓ⁴α-ｃｏｓ²α)

2ｃｏｓ⁴α-ｃｏｓ²αをｃｏｓα＝ｔの関数と見て極値を求める

ｆ(ｔ)=2ｔ⁴-ｔ²　　

ｆ'(ｔ)=8ｔ³-2ｔ=0　と置くと　

    t(4t²-1)=0 よりt=0,t=1/2,t=-1/2で極値を取る事が解る。

　この内、ｆ(ｔ)はt=0で最大値、t=±1/2で最小値をとる。

（-1/2はQとRが入れ替わった場合なので内積は1/2と同じ）

したがって、求めるベクトルの内積は

θ＝2α=2/3π=120度のとき最小値を取り

4r²ｃｏｓ²αｃｏｓ2α=4r²(1/2)²×(-1/2)=　　-r²/2・・・・・解答

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、

メールで送ってください。待っています。