平成２５年３月２４日
[流れ星]
第２８８回数学的な応募解答
＜解答募集期間：３月３日〜３月24日＞
［ヘロンの三角形（２）］
高校で三角形の面積を求めるのに、ヘロンの公式を教えています。そこで、３辺の長さとその面積がともに整数となる三角形をヘロンの三角形と言います。ここで、特に、３辺の長さの和と面積が一致するヘロン三角形を探しています。例えば、３辺が６，８、１０のとき直角三角形ですが、３辺の周の和は２４、面積も２４です。誰かコンピュータでも構いませんから教えてください。生徒に伝えるとなると、３辺の長さが二桁の自然数としておきます。
追加の問題
直角を挟む２辺が連続する自然数となる直角三角形の３辺を知りたいです。簡単な例は３，４，５です。
ＮＯ１「uchinyan」 03/03 14時42分受信
「uchinyan」 03/04 11時37分受信
更新3/24
３辺の和と面積が等しいヘロンの三角形
三角形を △ABC とし，BC = a，CA = b，AB = c
とします。
さらに，△ABC の内接円を考え，BC，CA，AB との接点を D，E，F とし，
BF = BD = x，CD = CE = y，AE = AF = z とします。
すると，
a = x + y，b = y + z，c = z + x，a + b + c = 2(x + y + z)，
x + y + z = (a + b
+ c)/2 = s，x = s - b，y = s - c，z
= s - a，
△ABC = S = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) = √(xyz(x + y + z))
になります。なお，三角不等式より x，y，z は常に正です。
ここで，x，y，z を整数，実際には正の整数なので自然数，とすると，a，b，c は自然数になります。
逆に，a，b，c を自然数とすると，x，y，z は必ずしも自然数にはなりませんが，
その場合は s が
奇数/2 の形をしており，x，y，z もすべて 奇数/2 の形で，S も自然数になりません。
ここでは，a，b，c だけでなく S も自然数となるヘロンの三角形を考えるので，
この場合は考えなくてよく，x，y，z が自然数となる場合だけを考えればいいことになりmます。
そこで，以下では，x，y，z は自然数，とします。
さらに，今回は，３辺の長さの和が面積と等しい場合を考えるので，
S = a + b + c，√(xyz(x + y + z)) =
2(x + y + z)，xyz(x + y + z) = 4(x + y + z)^2
xyz = 4(x + y + z)
の自然数解を求めればいいことになります。
式の対称性より，1
<= x <= y <= z，としても一般性を失いません。
すると，0 <
1/z <= 1/y <= 1/x <= 1，で，
1 = 4(1/yz + 1/zx +
1/xy) <= 4(1/x^2 + 1/x^2 + 1/x^2) = 12/x^2
1 <= x^2 <=
12，x = 1，2，3
x = 1 の場合
yz = 4(1 + y + z)，(y - 4)(z - 4) = 20 =
2 * 2 * 5
-3 = 1 - 4 <= y
- 4 <= z - 4 に注意して，
(y,z) = (5,24),
(6,14), (8,9)
(x,y,z) = (1,5,24),
(1,6,14), (1,8,9)
(a,b,c) =
(6,29,25), (7,20,15), (9,17,10)
x = 2 の場合
2yz = 4(2 + y + z)，(2y - 4)(2z - 4) = 32，(y - 2)(z - 2) = 8 = 2 * 2 * 2
0 = 2 - 2 <= y -
2 <= z - 2 に注意して，
(y,z) = (3,10),
(4,6)
(x,y,z) = (2,3,10),
(2,4,6)
(a,b,c) =
(5,13,12), (6,10,8)
x = 3 の場合
3yz = 4(3 + y + z)，(3y - 4)(3z - 4) = 52
= 2 * 2 * 13
5 = 3 * 3 - 4 <=
3y - 4 <= 3z - 4 に注意すると，解はありません。
以上より，
(a,b,c) =
(5,13,12), (6,10,8), (6,29,25), (7,20,15), (9,17,10)
a <= b <= c に並べ替えると，
(5,12,13),
(6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17)
になります。
二つ目が例示されているものですね。
追加の問題
直角を挟む２辺の長さを a，b，a < b，斜辺の長さを c，とします。
この問題では，a を自然数として b = a + 1 とおけます。
ただ，c が一般に正の実数とすると問題にならないので，c も自然数，として解いておきます。
三平方の定理より，
a^2 + b^2 = c^2，a^2 + (a + 1)^2 = c^2，2a^2 + 2a + 1 = c^2，4a^2 + 4a + 2 = 2c^2，
(2a + 1)^2 - 2c^2 =
-1
ここで，x = 2a +
1，y = c とおくと，
x^2 - 2y^2 = -1
になります。
これはよく知られたペル方程式で，例えば，第２８２回数学的な応募問題にも出てきたものです。
そこで，そこでの私の解答の結果を使うと，
(p,q) を x^2 - 2y^2 = -1 の解とすると (3p+4q,2p+3q) も解
になります。具体的には，最小の自然数解 (1,1) から始めて，
(1,1) -> (7,5)
-> (41,29) -> (239,169) -> (1393,985) -> (8119,5741) -> …
となります。
p は常に奇数であることに注意して a，b，c に戻すと，
(a,b,c) = (a,a+1,c)
= ((p-1)/2,(p+1)/2,q)
具体的には，
(3,4,5) ->
(20,21,29) -> (119,120,169) -> (696,697,985) -> (4059,4060,5741) ->
…
になります。
(感想)
どちらもあっさりと解けてしまいました。何か勘違いをしているのでしょうか？
３辺の和と面積が等しいヘロン三角形の方は，これでいいのならば，意外と少ないんですね。
ＮＯ２「浜田明巳」 03/04
11時02分受信 更新3/24
三角形の面積をＳ，３辺の長さをａ，ｂ，ｃ（ａ≦ｂ≦ｃ），ｓ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)／２とすると，ヘロンの公式から，
Ｓ＝{ｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)}１／２
である．
条件から，Ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓであるから，
２ｓ＝{ｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)}１／２
∴４ｓ２＝ｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)
∴４ｓ＝(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)
∴４・(ａ＋ｂ＋ｃ)／２＝(−ａ＋ｂ＋ｃ)／２・(ａ−ｂ＋ｃ)／２・(ａ＋ｂ−ｃ)／２
∴１６(ａ＋ｂ＋ｃ)＝(−ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)
さらにａ，ｂ，ｃが三角形の３辺をなすので，
｜ａ−ｂ｜＜ｃ＜ａ＋ｂ
これらの条件を元に，十進ＢＡＳＩＣでプログラムをつくってみる．
!288.bas
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
FOR a=10 TO 99
FOR b=a TO 99
FOR c=b TO
MIN(a+b-1,99)
IF 16*(a+b+c)=(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c) THEN
PRINT a;b;c
END IF
NEXT c
NEXT b
NEXT a
END
しかしこのプログラムによると，解はない．つまり２桁の整数で条件に合うものはない．
ａの値の範囲を１〜９９とすると（FOR a=1 TO 99），
5，12，13
6，8，10
6，25，29
7，15，20
9，10，17
の５組ある．
さらにａの値の範囲を大きくとれば，さらに解が増えるかも知れないが，時間がかかってしまう．
「浜田明巳」 03/05 13時33分受信
更新3/24
直角を挟む２辺の長さをｎ，ｎ＋１（ｎは正の整数），斜辺の長さを整数とする．
十進ＢＡＳＩＣのプログラムとして，
!288_2.bas
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
LET maximum=10000
FOR n=1 TO maximum
LET a=INT(SQR(n*n+(n+1)*(n+1)))
FOR aa=a TO a+1
IF n*n+(n+1)*(n+1)=aa*aa THEN
PRINT
n;n+1;aa
END IF
NEXT aa
NEXT n
END
を作成し，走らせてみると，
3 4 5
20 21 29
119 120 169
696 697 985
4059 4060 5741
の５組の解が求められる．
どうやら解は無限に存在するらしい．maximumの値を増やせば，もっと解を求められるだろうが，時間がかかってしまう．
ちなみに，
a=INT(SQR(n*n+(n+1)*(n+1)))
の値を直接計算に使うのではなく，
FOR aa=a TO a+1
としたのは，ルート計算をする際に切り捨て計算をするので，このような場合を考えてのことである．
さるソフトで，ルート１６９のガウス関数が１２となる場合を見たことがある．ひどい目にあった．
ＮＯ３「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 03/12
00時17分受信 更新3/24
今回も...妖しい気がしますが...^^;
一応送らせていただきますぅ〜m(_ _)m〜
互いに素なときしかわかりませんでした...ので..全部を考えたことにはなってないと思われます...^^;
問題
1<=a<=b<=c
s=(a+b+c)/2
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)=2s
(s-a)(s-b)(s-c)=4s
(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=16(a+b+c)
a+b-c=x,a+c-b=y,b+c-a=z, 1<=<x<=y<=z,
x+y+z=xyz/16
x(yz-16)=16(y+z)
x=1,2,4,8,16
x=1…なし
x=2…y=10,z=48…a=6,b=25,c=29
…y=12,z=28…a=7,b=15,c=20
…y=16,z=18…a=9,b=10,c=17
x=4…y=6,z=20…a=5,b=12,c=13
…y=8,z=12…a=6,b=8,c=10
x=8,16…なし
＜水の流れ：実は後で分かったことですが、追加問題は2011年三重大学の入試問題にでていました。解いていて、感動した覚えがあります。下に実際の問題を載せておきます＞
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。
