平成２５年５月２６日
[流れ星]
第２９１回数学的な応募解答
＜解答募集期間：５月５日～5月26日＞
［単位分数の和が１］
上智大学1999年の入試問題を改題しました。
「uchinyan」 05/05 15時14分受信 更新5/26
以下では多くの場合分けが生じますが，場合分けの記号を，
x，y，z，w，v の値を未定の場合は「?」としコンマで区切って並べ括弧に入れて記すことにします。
(1)
1/x + 1/y + 1/z + 1/w = 1，0 < 1 <= x <= y <= z
<= w
1/x >== 1/y >= 1/z >=
1/w > 0 なので，
4/x >= 1/x + 1/y + 1/z + 1/w
= 1，2 <= x <= 4
(2,?,?,?) の場合
3/y >= 1/y + 1/z + 1/w = 1/2，3 <= y <= 6
(2,3,?,?) の場合
2/z >= 1/z + 1/w = 1/6，7 <= z <= 12
(x,y,z,w) = (2,3,7,42)，(2,3,8,24)，(2,3,9,18)，(2,3,10,15)，(2,3,12,12)
(2,4,?,?) の場合
2/z >= 1/z + 1/w = 1/4，5 <= z <= 8
(x,y,z,w) = (2,4,5,20)，(2,4,6,12)，(2,4,8,8)
(2,5,?,?) の場合
2/z >= 1/z + 1/w = 3/10，5 <= z <= 6
(x,y,z,w) = (2,5,5,10)
(2,6,?,?) の場合
2/z >= 1/z + 1/w = 1/3，6 <= z <= 6
(x,y,z,w) = (2,6,6,6)
(3,?,?,?) の場合
3/y >= 1/y + 1/z + 1/w = 2/3，3 <= y <= 4
(3,3,?,?) の場合
2/z >= 1/z + 1/w = 1/3，4 <= z <= 6
(x,y,z,w) = (3,3,4,12)，(3,3,6,6)
(3,4,?,?) の場合
2/z >= 1/z + 1/w = 5/12，4 <= z <= 4
(x,y,z,w) = (3,4,4,6)
(4,?,?,?) の場合
3/y >= 1/y + 1/z + 1/w = 3/4，4 <= y <= 4
(x,y,z,w) = (4,4,4,4)
以上ですべてなので，結局，次の 14 個。
(x,y,z,w) =
(2,3,7,42)，(2,3,8,24)，(2,3,9,18)，(2,3,10,15)，(2,3,12,12)，
(2,4,5,20)，(2,4,6,12)，(2,4,8,8)，
(2,5,5,10)，
(2,6,6,6)，
(3,3,4,12)，(3,3,6,6)，
(3,4,4,6)
(4,4,4,4)
(２)
1/x + 1/y + 1/z + 1/w + 1/v = 1，0 < 1 <= x <= y <= z
<= w <= v
1/x >== 1/y >= 1/z >=
1/w >= 1/v > 0 なので，
5/x >= 1/x + 1/y + 1/z + 1/w
+ 1/v = 1，2 <= x
<= 5
(2,?,?,?,?) の場合
4/y >= 1/y + 1/z + 1/w + 1/v
= 1/2，3 <= y <=
8
(2,3,?,?,?) の場合
3/z >= 1/z + 1/w + 1/v = 1/6，7 <= z <= 18
(2,3,7,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 1/42，43 <= w <= 84
(x,y,z,w,v) = 次の 14 個
(2,3,7,43,1806)，(2,3,7,44,924)，(2,3,7,45,630)，(2,3,7,46,483)，(2,3,7,48,336)，
(2,3,7,49,294)，(2,3,7,51,238)，(2,3,7,54,189)，(2,3,7,56,168)，(2,3,7,60,140)，
(2,3,7,63,126)，(2,3,7,70,105)，(2,3,7,78,91)，(2,3,7,84,84)
(2,3,8,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 1/24，25 <= w <= 48
(x,y,z,w,v) = 次の 11 個
(2,3,8,25,600)，(2,3,8,26,312)，(2,3,8,27,216)，(2,3,8,28,168)，(2,3,8,30,120)，
(2,3,8,32,96)，(2,3,8,33,88)，(2,3,8,36,72)，(2,3,8,40,60)，(2,3,8,42,56)，
(2,3,8,48,48)
(2,3,9,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 1/18，19 <= w <= 36
(x,y,z,w,v) = 次の 8 個
(2,3,9,19,342)，(2,3,9,20,180)，(2,3,9,21,126)，(2,3,9,22,99)，(2,3,9,24,72)，
(2,3,9,27,54)，(2,3,9,30,45)，(2,3,9,36,36)
(2,3,10,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 1/15，16 <= w <= 30
(x,y,z,w,v) = 次の 5 個
(2,3,10,16,240)，(2,3,10,18,90)，(2,3,10,20,60)，(2,3,10,24,40)，(2,3,10,30,30)
(2,3,11,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 5/66，14 <= w <= 26
(x,y,z,w,v) = 次の 3 個
(2,3,11,14,231)，(2,3,11,15,110)，(2,3,11,22,33)
(2,3,12,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 1/12，13 <= w <= 24
(x,y,z,w,v) = 次の 8 個
(2,3,12,13,156)，(2,3,12,14,84)，(2,3,12,15,60)，(2,3,12,16,48)，(2,3,12,18,36)，
(2,3,12,20,30)，(2,3,12,21,28)，(2,3,12,24,24)
(2,3,13,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 7/78，13 <= w <= 22
(x,y,z,w,v) = 次の 1 個
(2,3,13,13,78)
(2,3,14,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 2/21，14 <= w <= 21
(x,y,z,w,v) = 次の 3 個
(2,3,14,14,42)，(2,3,14,15,35)，(2,3,14,21,21)
(2,3,15,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 1/10，15 <= w <= 20
(x,y,z,w,v) = 次の 2 個
(2,3,15,15,30)，(2,3,15,20,20)
(2,3,16,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 5/48，16 <= w <= 19
(x,y,z,w,v) = 次の 1 個
(2,3,16,16,24)
(2,3,17,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 11/102，17 <= w <= 18
(x,y,z,w,v) =
解なし
(2,3,18,?,?) の場合
2/w >= 1/w + 1/v = 1/9，18 <= w <= 18
(x,y,z,w,v) = 次の 1 個
(2,3,18,18,28)
．．．
以下同様にできますが，一つ一つ書いていくのも大変なのと，手計算ではかなりシンドイので，
後は十進ベーシックでプログラムを組みました。
アルゴリズムは解法のようにしてもいいのですが，
「このぐらいならば単純な方がいいかな」と思ってかなり手抜きになっています (^^;
なお，誤差の問題が生じないように，十進ベーシックの有理数モードで動かします。
OPTION ARITHMETIC RATIONAL
PRINT "(x,y,z,w,v) =
"
FOR x = 2 TO 5
FOR y = x TO 8
FOR z = y TO 18
LET cb = 0
FOR w = z TO 84
FOR v = w TO 1806
IF 1/x + 1/y + 1/z +
1/w + 1/v = 1 THEN
LET cb = cb + 1
LET c = c + 1
PRINT
"("; x; ","; y; ","; z; ","; w;
","; v; ")"
END IF
NEXT v
NEXT w
IF cb <> 0 THEN
PRINT "(";
x; ","; y; ","; z; ", ? , ? ) の個数"; cb
END IF
NEXT z
NEXT y
NEXT x
PRINT "総数："; c
END
結果は，
(x,y,z,w,v) =
( 2 , 3 , 7 , 43 , 1806 )( 2 ,
3 , 7 , 44 , 924 )( 2 , 3 , 7 , 45 , 630 )
( 2 , 3 , 7 , 46 , 483 )( 2 , 3
, 7 , 48 , 336 )( 2 , 3 , 7 , 49 , 294 )
( 2 , 3 , 7 , 51 , 238 )( 2 , 3
, 7 , 54 , 189 )( 2 , 3 , 7 , 56 , 168 )
( 2 , 3 , 7 , 60 , 140 )( 2 , 3
, 7 , 63 , 126 )( 2 , 3 , 7 , 70 , 105 )
( 2 , 3 , 7 , 78 , 91 )( 2 , 3
, 7 , 84 , 84 )( 2 , 3 , 7 , ? , ? ) の個数 14
( 2 , 3 , 8 , 25 , 600 )( 2 , 3
, 8 , 26 , 312 )( 2 , 3 , 8 , 27 , 216 )
( 2 , 3 , 8 , 28 , 168 )( 2 , 3
, 8 , 30 , 120 )( 2 , 3 , 8 , 32 , 96 )
( 2 , 3 , 8 , 33 , 88 )( 2 , 3
, 8 , 36 , 72 )( 2 , 3 , 8 , 40 , 60 )
( 2 , 3 , 8 , 42 , 56 )( 2 , 3
, 8 , 48 , 48 )( 2 , 3 , 8 , ? , ? ) の個数 11
( 2 , 3 , 9 , 19 , 342 )( 2 , 3
, 9 , 20 , 180 )( 2 , 3 , 9 , 21 , 126 )
( 2 , 3 , 9 , 22 , 99 )( 2 , 3
, 9 , 24 , 72 )( 2 , 3 , 9 , 27 , 54 )
( 2 , 3 , 9 , 30 , 45 )( 2 , 3
, 9 , 36 , 36 )( 2 , 3 , 9 , ? , ? ) の個数 8
( 2 , 3 , 10 , 16 , 240 )( 2 ,
3 , 10 , 18 , 90 )( 2 , 3 , 10 , 20 , 60 )
( 2 , 3 , 10 , 24 , 40 )( 2 , 3
, 10 , 30 , 30 )( 2 , 3 , 10 , ? , ? ) の個数 5
( 2 , 3 , 11 , 14 , 231 )( 2 ,
3 , 11 , 15 , 110 )( 2 , 3 , 11 , 22 , 33 )
( 2 , 3 , 11 , ? , ? ) の個数 3
( 2 , 3 , 12 , 13 , 156 )( 2 ,
3 , 12 , 14 , 84 )( 2 , 3 , 12 , 15 , 60 )
( 2 , 3 , 12 , 16 , 48 )( 2 , 3
, 12 , 18 , 36 )( 2 , 3 , 12 , 20 , 30 )
( 2 , 3 , 12 , 21 , 28 )( 2 , 3
, 12 , 24 , 24 )( 2 , 3 , 12 , ? , ? ) の個数 8
( 2 , 3 , 13 , 13 , 78 )( 2 , 3
, 13 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 3 , 14 , 14 , 42 )( 2 , 3
, 14 , 15 , 35 )( 2 , 3 , 14 , 21 , 21 )
( 2 , 3 , 14 , ? , ? ) の個数 3
( 2 , 3 , 15 , 15 , 30 )( 2 , 3
, 15 , 20 , 20 )( 2 , 3 , 15 , ? , ? ) の個数 2
( 2 , 3 , 16 , 16 , 24 )( 2 , 3
, 16 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 3 , 18 , 18 , 18 )( 2 , 3
, 18 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 4 , 5 , 21 , 420 )( 2 , 4
, 5 , 22 , 220 )( 2 , 4 , 5 , 24 , 120 )
( 2 , 4 , 5 , 25 , 100 )( 2 , 4
, 5 , 28 , 70 )( 2 , 4 , 5 , 30 , 60 )
( 2 , 4 , 5 , 36 , 45 )( 2 , 4
, 5 , 40 , 40 )( 2 , 4 , 5 , ? , ? ) の個数 8
( 2 , 4 , 6 , 13 , 156 )( 2 , 4
, 6 , 14 , 84 )( 2 , 4 , 6 , 15 , 60 )
( 2 , 4 , 6 , 16 , 48 )( 2 , 4
, 6 , 18 , 36 )( 2 , 4 , 6 , 20 , 30 )
( 2 , 4 , 6 , 21 , 28 )( 2 , 4
, 6 , 24 , 24 )( 2 , 4 , 6 , ? , ? ) の個数 8
( 2 , 4 , 7 , 10 , 140 )( 2 , 4
, 7 , 12 , 42 )( 2 , 4 , 7 , 14 , 28 )
( 2 , 4 , 7 , ? , ? ) の個数 3
( 2 , 4 , 8 , 9 , 72 )( 2 , 4 ,
8 , 10 , 40 )( 2 , 4 , 8 , 12 , 24 )
( 2 , 4 , 8 , 16 , 16 )( 2 , 4
, 8 , ? , ? ) の個数 4
( 2 , 4 , 9 , 9 , 36 )( 2 , 4 ,
9 , 12 , 18 )( 2 , 4 , 9 , ? , ? ) の個数 2
( 2 , 4 , 10 , 10 , 20 )( 2 , 4
, 10 , 12 , 15 )( 2 , 4 , 10 , ? , ? ) の個数 2
( 2 , 4 , 12 , 12 , 12 )( 2 , 4
, 12 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 5 , 5 , 11 , 110 )( 2 , 5
, 5 , 12 , 60 )( 2 , 5 , 5 , 14 , 35 )
( 2 , 5 , 5 , 15 , 30 )( 2 , 5
, 5 , 20 , 20 )( 2 , 5 , 5 , ? , ? ) の個数 5
( 2 , 5 , 6 , 8 , 120 )( 2 , 5
, 6 , 9 , 45 )( 2 , 5 , 6 , 10 , 30 )
( 2 , 5 , 6 , 12 , 20 )( 2 , 5
, 6 , 15 , 15 )( 2 , 5 , 6 , ? , ? ) の個数 5
( 2 , 5 , 7 , 7 , 70 )( 2 , 5 ,
7 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 5 , 8 , 8 , 20 )( 2 , 5 ,
8 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 5 , 10 , 10 , 10 )( 2 , 5
, 10 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 6 , 6 , 7 , 42 )( 2 , 6 ,
6 , 8 , 24 )( 2 , 6 , 6 , 9 , 18 )
( 2 , 6 , 6 , 10 , 15 )( 2 , 6
, 6 , 12 , 12 )( 2 , 6 , 6 , ? , ? ) の個数 5
( 2 , 6 , 7 , 7 , 21 )( 2 , 6 ,
7 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 6 , 8 , 8 , 12 )( 2 , 6 ,
8 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 6 , 9 , 9 , 9 )( 2 , 6 ,
9 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 7 , 7 , 7 , 14 )( 2 , 7 ,
7 , ? , ? ) の個数 1
( 2 , 8 , 8 , 8 , 8 )( 2 , 8 ,
8 , ? , ? ) の個数 1
( 3 , 3 , 4 , 13 , 156 )( 3 , 3
, 4 , 14 , 84 )( 3 , 3 , 4 , 15 , 60 )
( 3 , 3 , 4 , 16 , 48 )( 3 , 3
, 4 , 18 , 36 )( 3 , 3 , 4 , 20 , 30 )
( 3 , 3 , 4 , 21 , 28 )( 3 , 3
, 4 , 24 , 24 )( 3 , 3 , 4 , ? , ? ) の個数 8
( 3 , 3 , 5 , 8 , 120 )( 3 , 3
, 5 , 9 , 45 )( 3 , 3 , 5 , 10 , 30 )
( 3 , 3 , 5 , 12 , 20 )( 3 , 3
, 5 , 15 , 15 )( 3 , 3 , 5 , ? , ? ) の個数 5
( 3 , 3 , 6 , 7 , 42 )( 3 , 3 ,
6 , 8 , 24 )( 3 , 3 , 6 , 9 , 18 )
( 3 , 3 , 6 , 10 , 15 )( 3 , 3
, 6 , 12 , 12 )( 3 , 3 , 6 , ? , ? ) の個数 5
( 3 , 3 , 7 , 7 , 21 )( 3 , 3 ,
7 , ? , ? ) の個数 1
( 3 , 3 , 8 , 8 , 12 )( 3 , 3 ,
8 , ? , ? ) の個数 1
( 3 , 3 , 9 , 9 , 9 )( 3 , 3 ,
9 , ? , ? ) の個数 1
( 3 , 4 , 4 , 7 , 42 )( 3 , 4 ,
4 , 8 , 24 )( 3 , 4 , 4 , 9 , 18 )
( 3 , 4 , 4 , 10 , 15 )( 3 , 4
, 4 , 12 , 12 )( 3 , 4 , 4 , ? , ? ) の個数 5
( 3 , 4 , 5 , 5 , 60 )( 3 , 4 ,
5 , 6 , 20 )( 3 , 4 , 5 , ? , ? ) の個数 2
( 3 , 4 , 6 , 6 , 12 )( 3 , 4 ,
6 , 8 , 8 )( 3 , 4 , 6 , ? , ? ) の個数 2
( 3 , 5 , 5 , 5 , 15 )( 3 , 5 ,
5 , 6 , 10 )( 3 , 5 , 5 , ? , ? ) の個数 2
( 3 , 6 , 6 , 6 , 6 )( 3 , 6 ,
6 , ? , ? ) の個数 1
( 4 , 4 , 4 , 5 , 20 )( 4 , 4 ,
4 , 6 , 12 )( 4 , 4 , 4 , 8 , 8 )
( 4 , 4 , 4 , ? , ? ) の個数 3
( 4 , 4 , 5 , 5 , 10 )( 4 , 4 ,
5 , ? , ? ) の個数 1
( 4 , 4 , 6 , 6 , 6 )( 4 , 4 ,
6 , ? , ? ) の個数 1
( 5 , 5 , 5 , 5 , 5 )( 5 , 5 ,
5 , ? , ? ) の個数 1
総数： 147
(感想)
1/x + 1/y + 1/z = 1 は有名問題で，そのときの解法を流用しました。
これで問題なく解けると思いますが，項数が多くなると単純とはいえかなり大変です。
(1)は「まぁこんなものかな」という感じですが，(2)はプログラムを組んでしまいました。
「何かうまい方法がないかな」と思うものの，解の個数が多いので，
どうやってもあまりうまくいかない気もします。
「浜田明巳」 05/06
11時44分受信 更新5/26
（１）１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１（１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦ｗ）
１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦ｗから，
１≧１／ｘ≧１／ｙ≧１／ｚ≧１／ｗ
∴１＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＝４／ｘ
∴ｘ≦４
１／ｘ＜１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１から，ｘ＞１
∴２≦ｘ≦４
i). ｘ＝２のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１－１／２＝１／２
ｘ＝２≦ｙ≦ｚ≦ｗから，
１／２＝１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝３／ｙ
∴ｙ≦６
１／ｙ＜１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１／２から，ｙ＞２
∴３≦ｙ≦６
i-i). ｙ＝３のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝１／２－１／３＝１／６
ｙ＝３≦ｚ≦ｗから，
１／６＝１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｚ＋１／ｚ＝２／ｚ
∴ｚ≦１２
１／ｚ＜１／ｚ＋１／ｗ＝１／６から，ｚ＞６
∴７≦ｚ≦１２
i-i-i). ｚ＝７のとき，１／ｗ＝１／６－１／７＝１／４２
∴ｗ＝４２
これは条件を満たす．
i-i-ii). ｚ＝８のとき，１／ｗ＝１／６－１／８＝１／２４
∴ｗ＝２４
これは条件を満たす．
i-i-iii). ｚ＝９のとき，１／ｗ＝１／６－１／９＝１／１８
∴ｗ＝１８
これは条件を満たす．
i-i-iv). ｚ＝１０のとき，１／ｗ＝１／６－１／１０＝１／１５
∴ｗ＝１５
これは条件を満たす．
i-i-v). ｚ＝１１のとき，１／ｗ＝１／６－１／１１＝５／６６
これはｗが整数であることに反する．
i-i-vi). ｚ＝１２のとき，１／ｗ＝１／６－１／１２＝１／１２
∴ｗ＝１２
これは条件を満たす．
i-ii). ｙ＝４のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝１／２－１／４＝１／４
ｙ＝４≦ｚ≦ｗから，
１／４＝１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｚ＋１／ｚ＝２／ｚ
∴ｚ≦８
１／ｚ＜１／ｚ＋１／ｗ＝１／４から，ｚ＞４
∴５≦ｚ≦８
i-ii-i). ｚ＝５のとき，１／ｗ＝１／４－１／５＝１／２０
∴ｗ＝２０
これは条件を満たす．
i-ii-ii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＝１／４－１／６＝１／１２
∴ｗ＝１２
これは条件を満たす．
i-ii-iii). ｚ＝７のとき，１／ｗ＝１／４－１／７＝３／２８
これはｗが整数であることに反する．
i-ii-iv). ｚ＝８のとき，１／ｗ＝１／４－１／８＝１／８
∴ｗ＝８
これは条件を満たす．
i-iii). ｙ＝５のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝１／２－１／５＝３／１０
ｙ＝５≦ｚ≦ｗから，
３／１０＝１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｚ＋１／ｚ＝２／ｚ
∴５≦ｚ≦２０／３＝６＋２／３
i-iii-i). ｚ＝５のとき，１／ｗ＝３／１０－１／５＝１／１０
∴ｗ＝１０
これは条件を満たす．
i-iii-ii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＝３／１０－１／６＝２／１５
これはｗが整数であることに反する．
i-iv). ｙ＝６のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝１／２－１／６＝１／３
ｙ＝６≦ｚ≦ｗから，
１／３＝１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｚ＋１／ｚ＝２／ｚ
∴６≦ｚ≦６ ∴ｚ＝６
∴１／ｗ＝１／３－１／６＝１／６
∴ｗ＝６
これは条件を満たす．
ii). ｘ＝３のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１－１／３＝２／３
ｘ＝３≦ｙ≦ｚ≦ｗから，
２／３＝１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝３／ｙ
∴３≦ｙ≦９／２＝４.５
ii-i). ｙ＝３のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝２／３－１／３＝１／３
ｙ＝３≦ｚ≦ｗから，
１／３＝１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｚ＋１／ｚ＝２／ｚ
∴ｚ≦６
１／ｚ＜１／ｚ＋１／ｗ＝１／３から，ｚ＞３
∴４≦ｚ≦６
ii-i-i). ｚ＝４のとき，１／ｗ＝１／３－１／４＝１／１２
∴ｗ＝１２
これは条件を満たす．
ii-i-ii). ｚ＝５のとき，１／ｗ＝１／３－１／５＝２／１５
これはｚが整数であることに反する．
ii-i-iii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＝１／３－１／６＝１／６
∴ｗ＝６
これは条件を満たす．
ii-ii). ｙ＝４のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝２／３－１／４＝５／１２
ｙ＝４≦ｚ≦ｗから，
５／１２＝１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｚ＋１／ｚ＝２／ｚ
∴４≦ｚ≦２４／５＝４＋４／５ ∴ｚ＝４
∴１／ｗ＝５／１２－１／４＝１／６
∴ｗ＝６
これは条件を満たす．
iii). ｘ＝４のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１－１／４＝３／４
ｘ＝４≦ｙ≦ｚ≦ｗから，
３／４＝１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝３／ｙ
∴４≦ｙ≦４ ∴ｙ＝４
∴１／ｚ＋１／ｗ＝３／４－１／４＝１／２
ｙ＝４≦ｚ≦ｗから，
１／２＝１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｚ＋１／ｚ＝２／ｚ
∴４≦ｚ≦４ ∴ｚ＝４
∴１／ｗ＝１／２－１／４＝１／４
∴ｗ＝４
これは条件を満たす．
i).～iii).をまとめると，次の１４組である．
(ｘ，ｙ，ｚ，ｗ)＝(２，３，７，４２)，(２，３，８，２４)，(２，３，９，１８)，
(２，３，１０，１５)，(２，３，１２，１２)，(２，４，５，２０)，
(２，４，６，１２)，(２，４，８，８)，(２，５，５，１０)，
(２，６，６，６)，(３，３，４，１２)，(３，３，６，６)，
(３，４，４，６)，(４，４，４，４)
分数計算ができるソフトである十進ＢＡＳＩＣで検算してみた．確かに上記の１４通りの組が答である．
! 291_1.bas
OPTION ARITHMETIC RATIONAL
LET kosuu=0
FOR x=2 TO 4
! 1/y+1/z+1/w=1-1/x≦3/y
FOR y=x TO INT(3/(1-1/x))+1
IF 1-1/x-1/y>0 THEN
! 1/z+1/w=1-1/x-1/y≦2/z
FOR z=y TO
INT(2/(1-1/x-1/y))+1
IF 1-1/x-1/y-1/z>0 THEN
LET w=INT(1/(1-1/x-1/y-1/z))
IF 1/x+1/y+1/z+1/w=1 AND w>=z THEN
LET kosuu=kosuu+1
PRINT kosuu;":";x;",";y;",";z;",";w
END IF
END IF
NEXT z
END IF
NEXT y
NEXT x
END
（２）１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１（１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦ｗ≦ｖ）
（１）と比べ，組数が多いので，十進ＢＡＳＩＣで求めてみた．次の１４７組が答である．組数が多い場合はコンピュータに限る．
! 291_2.bas
OPTION ARITHMETIC RATIONAL
LET kosuu=0
FOR x=2 TO 5
! 1/y+1/z+1/w+1/v=1-1/x≦4/y
FOR y=x TO INT(4/(1-1/x))+1
IF 1-1/x-1/y>0 THEN
! 1/z+1/w+1/v=1-1/x-1/y≦3/z
FOR z=y TO
INT(3/(1-1/x-1/y))+1
IF 1-1/x-1/y-1/z>0 THEN
! 1/w+1/v=1-1/x-1/y-1/z≦2/w
FOR w=z TO INT(2/(1-1/x-1/y-1/z))+1
IF 1-1/x-1/y-1/z-1/w>0 THEN
LET v=INT(1/(1-1/x-1/y-1/z-1/w))
IF 1/x+1/y+1/z+1/w+1/v=1 AND y>=w THEN
LET kosuu=kosuu+1
PRINT
kosuu;":";x;",";y;",";z;",";w;",";v
END IF
END IF
NEXT w
END IF
NEXT z
END IF
NEXT y
NEXT x
END
1 : 2 , 3 , 7 , 43 , 1806
2 : 2 , 3 , 7 , 44 , 924
3 : 2 , 3 , 7 , 45 , 630
4 : 2 , 3 , 7 , 46 , 483
5 : 2 , 3 , 7 , 48 , 336
6 : 2 , 3 , 7 , 49 , 294
7 : 2 , 3 , 7 , 51 , 238
8 : 2 , 3 , 7 , 54 , 189
9 : 2 , 3 , 7 , 56 , 168
10 : 2 , 3 , 7 , 60 , 140
11 : 2 , 3 , 7 , 63 , 126
12 : 2 , 3 , 7 , 70 , 105
13 : 2 , 3 , 7 , 78 , 91
14 : 2 , 3 , 7 , 84 , 84
15 : 2 , 3 , 8 , 25 , 600
16 : 2 , 3 , 8 , 26 , 312
17 : 2 , 3 , 8 , 27 , 216
18 : 2 , 3 , 8 , 28 , 168
19 : 2 , 3 , 8 , 30 , 120
20 : 2 , 3 , 8 , 32 , 96
21 : 2 , 3 , 8 , 33 , 88
22 : 2 , 3 , 8 , 36 , 72
23 : 2 , 3 , 8 , 40 , 60
24 : 2 , 3 , 8 , 42 , 56
25 : 2 , 3 , 8 , 48 , 48
26 : 2 , 3 , 9 , 19 , 342
27 : 2 , 3 , 9 , 20 , 180
28 : 2 , 3 , 9 , 21 , 126
29 : 2 , 3 , 9 , 22 , 99
30 : 2 , 3 , 9 , 24 , 72
31 : 2 , 3 , 9 , 27 , 54
32 : 2 , 3 , 9 , 30 , 45
33 : 2 , 3 , 9 , 36 , 36
34 : 2 , 3 , 10 , 16 , 240
35 : 2 , 3 , 10 , 18 , 90
36 : 2 , 3 , 10 , 20 , 60
37 : 2 , 3 , 10 , 24 , 40
38 : 2 , 3 , 10 , 30 , 30
39 : 2 , 3 , 11 , 14 , 231
40 : 2 , 3 , 11 , 15 , 110
41 : 2 , 3 , 11 , 22 , 33
42 : 2 , 3 , 12 , 13 , 156
43 : 2 , 3 , 12 , 14 , 84
44 : 2 , 3 , 12 , 15 , 60
45 : 2 , 3 , 12 , 16 , 48
46 : 2 , 3 , 12 , 18 , 36
47 : 2 , 3 , 12 , 20 , 30
48 : 2 , 3 , 12 , 21 , 28
49 : 2 , 3 , 12 , 24 , 24
50 : 2 , 3 , 13 , 13 , 78
51 : 2 , 3 , 14 , 14 , 42
52 : 2 , 3 , 14 , 15 , 35
53 : 2 , 3 , 14 , 21 , 21
54 : 2 , 3 , 15 , 15 , 30
55 : 2 , 3 , 15 , 20 , 20
56 : 2 , 3 , 16 , 16 , 24
57 : 2 , 3 , 18 , 18 , 18
58 : 2 , 4 , 5 , 21 , 420
59 : 2 , 4 , 5 , 22 , 220
60 : 2 , 4 , 5 , 24 , 120
61 : 2 , 4 , 5 , 25 , 100
62 : 2 , 4 , 5 , 28 , 70
63 : 2 , 4 , 5 , 30 , 60
64 : 2 , 4 , 5 , 36 , 45
65 : 2 , 4 , 5 , 40 , 40
66 : 2 , 4 , 6 , 13 , 156
67 : 2 , 4 , 6 , 14 , 84
68 : 2 , 4 , 6 , 15 , 60
69 : 2 , 4 , 6 , 16 , 48
70 : 2 , 4 , 6 , 18 , 36
71 : 2 , 4 , 6 , 20 , 30
72 : 2 , 4 , 6 , 21 , 28
73 : 2 , 4 , 6 , 24 , 24
74 : 2 , 4 , 7 , 10 , 140
75 : 2 , 4 , 7 , 12 , 42
76 : 2 , 4 , 7 , 14 , 28
77 : 2 , 4 , 8 , 9 , 72
78 : 2 , 4 , 8 , 10 , 40
79 : 2 , 4 , 8 , 12 , 24
80 : 2 , 4 , 8 , 16 , 16
81 : 2 , 4 , 9 , 9 , 36
82 : 2 , 4 , 9 , 12 , 18
83 : 2 , 4 , 10 , 10 , 20
84 : 2 , 4 , 10 , 12 , 15
85 : 2 , 4 , 12 , 12 , 12
86 : 2 , 5 , 5 , 11 , 110
87 : 2 , 5 , 5 , 12 , 60
88 : 2 , 5 , 5 , 14 , 35
89 : 2 , 5 , 5 , 15 , 30
90 : 2 , 5 , 5 , 20 , 20
91 : 2 , 5 , 6 , 8 , 120
92 : 2 , 5 , 6 , 9 , 45
93 : 2 , 5 , 6 , 10 , 30
94 : 2 , 5 , 6 , 12 , 20
95 : 2 , 5 , 6 , 15 , 15
96 : 2 , 5 , 7 , 7 , 70
97 : 2 , 5 , 8 , 8 , 20
98 : 2 , 5 , 10 , 10 , 10
99 : 2 , 6 , 6 , 7 , 42
100 : 2 , 6 , 6 , 8 , 24
101 : 2 , 6 , 6 , 9 , 18
102 : 2 , 6 , 6 , 10 , 15
103 : 2 , 6 , 6 , 12 , 12
104 : 2 , 6 , 7 , 7 , 21
105 : 2 , 6 , 8 , 8 , 12
106 : 2 , 6 , 9 , 9 , 9
107 : 2 , 7 , 7 , 7 , 14
108 : 2 , 8 , 8 , 8 , 8
109 : 3 , 3 , 4 , 13 , 156
110 : 3 , 3 , 4 , 14 , 84
111 : 3 , 3 , 4 , 15 , 60
112 : 3 , 3 , 4 , 16 , 48
113 : 3 , 3 , 4 , 18 , 36
114 : 3 , 3 , 4 , 20 , 30
115 : 3 , 3 , 4 , 21 , 28
116 : 3 , 3 , 4 , 24 , 24
117 : 3 , 3 , 5 , 8 , 120
118 : 3 , 3 , 5 , 9 , 45
119 : 3 , 3 , 5 , 10 , 30
120 : 3 , 3 , 5 , 12 , 20
121 : 3 , 3 , 5 , 15 , 15
122 : 3 , 3 , 6 , 7 , 42
123 : 3 , 3 , 6 , 8 , 24
124 : 3 , 3 , 6 , 9 , 18
125 : 3 , 3 , 6 , 10 , 15
126 : 3 , 3 , 6 , 12 , 12
127 : 3 , 3 , 7 , 7 , 21
128 : 3 , 3 , 8 , 8 , 12
129 : 3 , 3 , 9 , 9 , 9
130 : 3 , 4 , 4 , 7 , 42
131 : 3 , 4 , 4 , 8 , 24
132 : 3 , 4 , 4 , 9 , 18
133 : 3 , 4 , 4 , 10 , 15
134 : 3 , 4 , 4 , 12 , 12
135 : 3 , 4 , 5 , 5 , 60
136 : 3 , 4 , 5 , 6 , 20
137 : 3 , 4 , 6 , 6 , 12
138 : 3 , 4 , 6 , 8 , 8
139 : 3 , 5 , 5 , 5 , 15
140 : 3 , 5 , 5 , 6 , 10
141 : 3 , 6 , 6 , 6 , 6
142 : 4 , 4 , 4 , 5 , 20
143 : 4 , 4 , 4 , 6 , 12
144 : 4 , 4 , 4 , 8 , 8
145 : 4 , 4 , 5 , 5 , 10
146 : 4 , 4 , 6 , 6 , 6
147 : 5 , 5 , 5 , 5 , 5
このプログラムのロジックは次の通り．
１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１≧１／ｘ≧１／ｙ≧１／ｚ≧１／ｗ≧１／ｖ
∴１＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ≦１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＝５／ｘ
∴ｘ≦５
１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１－１／ｘ＞０から，
１／ｘ＜１
∴ｘ＞１
まとめると，２≦ｘ≦５………(1)
次に，
１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１－１／ｘ
から，上と同様に考え，
１－１／ｘ＝１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ≦４／ｙ
∴ｘ≦ｙ≦４／(１－１／ｘ)………(2)
さらに，
１－１／ｘ－１／ｙ＝１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ≦３／ｚ
∴ｙ≦ｚ≦３／(１－１／ｘ－１／ｙ)………(3)
さらに，
１－１／ｘ－１／ｙ－１／ｚ＝１／ｗ＋１／ｖ≦２／ｗ
∴ｚ≦ｗ≦２／(１－１／ｘ－１／ｙ－１／ｚ)………(4)
この(1)～(4)から条件に合うｘ，ｙ，ｚ，ｗ，ｖを求める．
ただしプログラムは切り捨て計算であるので，念のため(2)～(4)を
ｘ≦ｙ≦[４／(１－１／ｘ)]＋１
ｙ≦ｚ≦[３／(１－１／ｘ－１／ｙ)]＋１
ｚ≦ｗ≦[２／(１－１／ｘ－１／ｙ－１／ｚ)]＋１
としてある（[ ]はガウス記号）．
「浜田明巳」 05/11
16時31分受信 更新5/26
（１）（別解）１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１（１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦ｗ）
１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦ｗから，
１／ｘ＜１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１≦１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＝４／ｘ
∴２≦ｘ≦４
i). ｘ＝２のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１－１／２＝１／２
ｘ＝２≦ｙ≦ｚ≦ｗから，
１／ｙ＜１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１／２≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝３／ｙ
∴３≦ｙ≦６
i-i). ｙ＝３のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝１／２－１／３＝１／６
∴ｚｗ＝６(ｚ＋ｗ)
∴(ｚ－６)(ｗ－６)＝３６
３≦ｚ≦ｗから，－３≦ｚ－６≦ｗ－６
∴(ｚ－６，ｗ－６)＝(１，３６)，(２，１８)，(３，１２)，(４，９)，(６，６)
∴(ｚ，ｗ)＝(７，４２)，(８，２４)，(９，１８)，(１０，１５)，(１２，１２)
i-ii). ｙ＝４のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝１／２－１／４＝１／４
∴ｚｗ＝４(ｚ＋ｗ)
∴(ｚ－４)(ｗ－４)＝１６
４≦ｚ≦ｗから，０≦ｚ－４≦ｗ－４
∴(ｚ－４，ｗ－４)＝(１，１６)，(２，８)，(４，４)
∴(ｚ，ｗ)＝(５，２０)，(６，１２)，(８，８)
i-iii). ｙ＝５のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝１／２－１／５＝３／１０
∴３ｚｗ＝１０(ｚ＋ｗ)
∴(３ｚ－１０)(３ｗ－１０)＝１００
５≦ｚ≦ｗから，５≦３ｚ－１０≦３ｗ－１０
∴(３ｚ－１０，３ｗ－１０)＝(５，２０)，(１０，１０)
∴(３ｚ，３ｗ)＝(１５，３０)，(２０，２０)
ｚ，ｗは整数なので， (ｚ，ｗ)＝(５，１０)
i-iv). ｙ＝６のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝１／２－１／６＝１／３
∴ｚｗ＝３(ｚ＋ｗ)
∴(ｚ－３)(ｗ－３)＝９
６≦ｚ≦ｗから，３≦ｚ－３≦ｗ－３
∴(ｚ－３，ｗ－３)＝(３，３)
∴(ｚ，ｗ)＝(６，６)
ii). ｘ＝３のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１－１／３＝２／３
ｘ＝３≦ｙ≦ｚ≦ｗから，
２／３＝１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝３／ｙ
∴３≦ｙ≦９／２＝４.５
ii-i). ｙ＝３のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝２／３－１／３＝１／３
∴(ｚ－３)(ｗ－３)＝９
３≦ｚ≦ｗから，０≦ｚ－３≦ｗ－３
(ｚ－３，ｙ－３)＝(１，９)，(３，３)
∴(ｚ，ｗ)＝(４，１２)，(６，６)
ii-ii). ｙ＝４のとき，１／ｚ＋１／ｗ＝２／３－１／４＝５／１２
∴５ｚｗ＝１２(ｚ＋ｗ)
∴(５ｚ－１２)(５ｗ－１２)＝１４４
４≦ｚ≦ｗから，８≦５ｚ－１２≦５ｗ－１２
∴(５ｚ－１２，５ｗ－１２)＝(８，１８)，(９，１６)，(１２，１２)
∴(５ｚ，５ｗ)＝(２０，３０)，(２１，２８)，(２４，２４)
ｚ，ｗは整数なので，
(ｚ，ｗ)＝(４，６)
iii). ｘ＝４のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＝１－１／４＝３／４
ｘ＝４≦ｙ≦ｚ≦ｗから，
３／４＝１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝３／ｙ
∴４≦ｙ≦４ ∴ｙ＝４
∴１／ｚ＋１／ｗ＝３／４－１／４＝１／２
∴ｚｗ＝２(ｚ＋ｗ)
∴(ｚ－２)(ｗ－２)＝４
４≦ｚ≦ｗから，２≦ｚ－２≦ｗ－２
∴(ｚ－２，ｗ－２)＝(２，２)
∴(ｚ，ｗ)＝(４，４)
i).～iii).をまとめると，次の１４組である．
(ｘ，ｙ，ｚ，ｗ)＝(２，３，７，４２)，(２，３，８，２４)，(２，３，９，１８)，
(２，３，１０，１５)，(２，３，１２，１２)，(２，４，５，２０)，
(２，４，６，１２)，(２，４，８，８)，(２，５，５，１０)，
(２，６，６，６)，(３，３，４，１２)，(３，３，６，６)，
(３，４，４，６)，(４，４，４，４)
「浜田明巳」 05/13
08時04分受信 更新5/26
（２）（別解）１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１（１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦ｗ≦ｖ）
１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｘ＜１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１≦１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ＝５／ｘ
∴２≦ｘ≦５
i). ｘ＝２のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１－１／２＝１／２
ｘ＝２≦ｙ≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｙ＜１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝４／ｙ
∴３≦ｙ≦８
i-i). ｙ＝３のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／３＝１／６
ｙ＝３≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＜１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／６≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴７≦ｚ≦１８
i-i-i). ｚ＝７のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／７＝１／４２
∴ｗｖ＝４２(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－４２)(ｖ－４２)＝４２２
７≦ｗ≦ｖから，－３５≦ｗ－４２≦ｖ－４２
∴(ｗ－４２，ｖ－４２)＝(１，４２２)，(２，２１・４２)，(３，１４・４２)，(４，２１２)，(６，２９４)，(７，２５２)，(９，１４２)，(１２，１４７)，(１４，１２６)，(１８，９８)，(２１，８４)，(２８，６３)，(３６，４９)，(４２，４２)
∴(ｗ，ｖ)＝(４３，１８０６)，(４４，９２４)，(４５，６３０)，(４６，４８３)，(４８，３３６)，(４９，２９４)，(５１．２３８)，(５４，１８９)，(５６，１６８)，(６０，１４０)，(６３，１２６)，(７０，１０５)，(７８，９１)，(８４，８４)
i-i-ii). ｚ＝８のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／８＝１／２４
∴ｗｖ＝２４(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－２４)(ｖ－２４)＝２４２
８≦ｗ≦ｖから，－１６≦ｗ－２４≦ｖ－２４
∴(ｗ－２４，ｖ－２４)＝(１，２４２)，(２，１２・２４)，(３，１９２)，(４，１４４)，(６，９６)，(８，７２)，(９，６４)，(１２，４８)，(１６，３６)，(１８，３２)，(２４，２４)
∴(ｗ，ｖ)＝(２５，６００)，(２６，３１２)，(２７，２１６)，(２８，１６８)，(３０，１２０)，(３２，９６)，(３３，８８)，(３６，７２)，(４０，６０)，(４２，５６)，(４８，４８)
i-i-iii). ｚ＝９のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／９＝１／１８
∴ｗｖ＝１８(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－１８)(ｖ－１８)＝１８２
９≦ｗ≦ｖから，－９≦ｗ－１８≦ｖ－１８
∴(ｗ－１８，ｖ－１８)＝(１，１８２)，(２，１６２)，(３，１０８)，(４，８１)，(６，５４)，(９，３６)，(１２，２７)，(１８，１８)
∴(ｗ，ｖ)＝(１９，３４２)，(２０，１８０)，(２１，１２６)，(２２，９９)，(２４，７２)，(２７，５４)，(３０，４５)，(３６，３６)
i-i-iv). ｚ＝１０のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１０＝１／１５
∴ｗｖ＝１５(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－１５)(ｖ－１５)＝２２５
１０≦ｗ≦ｖから，－５≦ｗ－１５≦ｖ－１５
∴(ｗ－１５，ｖ－１５)＝(１，２２５)，(３，７５)，(５，４５)，(９，２５)，(１５，１５)
∴(ｗ，ｖ)＝(１６，２４０)，(１８，９０)，(２０，６０)，（２４，４０)，(３０，３０)
i-i-v). ｚ＝１１のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１１＝５／６６
∴５ｗｖ＝６６(ｗ＋ｖ)
∴(５ｗ－６６)(５ｖ－６６)＝６６２
１１≦ｗ≦ｖから，－１１≦５ｗ－６６≦５ｖ－６６
∴(５ｗ－６６，５ｖ－６６)＝(１，６６２)，(２，３３・６６)，(３，２２・６６)，(４，３３２)，(６，７２６)，(９，４８４)，(１１，３９６)，(１２，３６３)，(１８，２４２)，(２２，１９８)，(３３，１３２)，(３６，１２１)，(４４，９９)，(６６，６６)
∴(５ｗ，５ｖ)＝(６７，６６＋６６２)，(６８，３４・６６)，(６９，２３・６６)，(７０，１１５５)，(７２，７９２)，(７５，５５０)，(７７，４６２)，(７８，４２９)，(８４，３０８)，(８８，２６４)，(９９，１９８)，(１０２，１８７)，(１１０，１６５)，(１３２，１３２)
ｚ，ｗは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(１４，２３１)，(１５，１１０)，(２２，３３)
i-i-vi). ｚ＝１２のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１２＝１／１２
∴ｗｖ＝１２(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－１２)(ｖ－１２)＝１４４
１２≦ｗ≦ｖから，０≦ｗ－１２≦ｖ－１２
∴(ｗ－１２，ｖ－１２)＝(１，１４４)，(２，７２)，(３，４８)，(４，３６)，(６，２４)，(８，１８)，(９，１６)，(１２，１２)
∴(ｗ，ｖ)＝(１３，１５６)，(１４，８４)，(１５，６０)，(１６，４８)，(１８，３６)，(２０，３０)，(２１，２８)，(２４，２４)
i-i-vii). ｚ＝１３のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１３＝７／７８
∴７ｗｖ＝７８(ｗ＋ｖ)
∴(７ｗ－７８)(７ｖ－７８)＝７８２
１３≦ｗ≦ｖから，１３≦７ｗ－７８≦７ｖ－７８
∴(７ｗ－７８，７ｖ－７８)＝(１３，１２・３９)，(１８，１３・２６)，(２６，３・７８)，(３６，１３２)，(３９，１２・１３)，(５２，３・３９)，(７８，７８)
∴(７ｗ，７ｖ)＝(９１，１４・３９)，(９６，７８＋１３・２６)，(１０４，７８・４)，(１１４，７８＋１３２)，(１１７，７８＋１２・１３)，(１３０，７８＋３・３９)，(１５６，１５６)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(１３，７８)
i-i-viii). ｚ＝１４のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１４＝２／２１
∴２ｗｖ＝２１(ｗ＋ｖ)
∴(２ｗ－２１)(２ｖ－２１)＝２１２
１４≦ｗ≦ｖから，７≦２ｗ－２１≦２ｖ－２１
∴(２ｗ－２１，２ｖ－２１)＝(７，６３)，(９，４９)，(２１，２１)
∴(２ｗ，２ｖ)＝(２８，８４)，(３０，７０)，(４２，４２)
∴(ｗ，ｖ)＝(１４，４２)，(１５，３５)，(２１，２１)
これは条件を満たす．
i-i-ix). ｚ＝１５のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１５＝１／１０
∴ｗｖ＝１０(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－１０)(ｖ－１０)＝１００
１５≦ｗ≦ｖから，５≦ｗ－１０≦ｖ－１０
∴(ｗ－１０，ｖ－１０)＝(５，２０)，(１０，１０)
∴(ｗ，ｖ)＝(１５，３０)，(２０，２０)
i-i-x). ｚ＝１６のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１６＝５／４８
∴５ｗｖ＝４８(ｗ＋ｖ)
∴(５ｗ－４８)(５ｖ－４８)＝４８２
１６≦ｗ≦ｖから，３２≦５ｗ－４８≦５ｖ－４８
∴(５ｗ－４８，５ｖ－４８)＝(３２，７２)，(３６，６４)，(４８，４８)
∴(５ｗ，５ｖ)＝(８０，１２０)，(８４，１１２)，(９６，９６)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ、ｖ)＝(１６，２４)
i-i-xi). ｚ＝１７のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１７＝１１／１０２
∴１１ｗｖ＝１０２(ｗ＋ｖ)
∴(１１ｗ－１０２)(１１ｖ－１０２)＝１０２２
１７≦ｗ≦ｖから，８５≦１１ｗ－１０２≦１１ｖ－１０２
∴(１１ｗ－１０２，１１ｖ－１０２)＝(１０２，１０２)
∴(１１ｗ、１１ｖ)＝(２０４，２０４)
これはｗ，ｖが整数であることに反する．
i-i-xii). ｚ＝１８のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／６－１／１８＝１／９
∴ｗｖ＝９(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－９)(ｖ－９)＝８１
１８≦ｗ≦ｖから，９≦ｗ－９≦ｖ－９
∴(ｗ－９，ｖ－９)＝(９，９)
∴(ｗ，ｖ)＝(１８，１８)
i-ii). ｙ＝４のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／４＝１／４
ｙ＝４≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＜１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／４≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴５≦ｚ≦１２
i-ii-i). ｚ＝５のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／４－１／５＝１／２０
∴ｗｖ＝２０(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－２０)(ｖ－２０)＝４００
５≦ｗ≦ｖから，－１５≦ｗ－２０≦ｖ－２０
∴(ｗ－２０，ｖ－２０)＝(１，４００)，(２，２００)，(４，１００)，(５，８０)，(８，５０)，(１０，４０)，(１６，２５)，(２０，２０)
∴(ｗ，ｖ)＝(２１，４２０)，(２２，２２０)，(２４，１２０)，(２５，１００)，(２８，７０)，(３０，６０)，(３６．４５)，(４０，４０)
i-ii-ii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／４－１／６＝１／１２
∴ｗｖ＝１２(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－１２)(ｖ－１２)＝１４４
６≦ｗ≦ｖから，－６≦ｗ－１２≦ｖ－１２
∴(ｗ－１２，ｖ－１２)＝(１，１４４)，(２，７２)，(３，４８)，(４，３６)，(６，２４)，(８，１８)，(９，１６)，(１２，１２)
∴(ｗ，ｖ)＝(１３，１５６)，(１４，８４)，(１５，６０)，(１６，４８)，(１８，３６)，(２０，３０)，(２１，２８)，(２４，２４)
i-ii-iii). ｚ＝７のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／４－１／７＝３／２８
∴３ｗｖ＝２８(ｗ＋ｖ)
∴(３ｗ－２８)(３ｖ－２８)＝２８２
７≦ｗ≦ｖから，－７≦３ｗ－２８≦３ｖ－２８
∴(３ｗ－２８，３ｖ－２８)＝(１，２８２)，(２，１４・２８)，(４，７・２８)，(７，４・２８)，(８，７・１４)，(１４，２・２８)，(１６，４９)，(２８，２８)
∴(３ｗ，３ｖ)＝(２９，２８・２９)，(３０，１５・２８)，(３２，８・２８)，(３５，５・２８)，(３６，９・１４)，(４２，３・２８)，(４４，７７)，(５６，５６)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(１０，１４０)，(１２，４２)，(１４，２８)
i-ii-iv). ｚ＝８のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／４－１／８＝１／８
∴ｗｖ＝８(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－８)(ｖ－８)＝６４
８≦ｗ≦ｖから，０≦ｗ－８≦ｖ－８
∴(ｗ－８，ｖ－８)＝(１，６４)，(２，３２)，(４，１６)，(８，８)
∴(ｗ，ｖ)＝(９，７２)，(１０，４０)，(１２，２４)，(１６，１６)
i-ii-v). ｚ＝９のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／４－１／９＝５／３６
∴５ｗｖ＝３６(ｗ＋ｖ)
∴(５ｗ－３６)(５ｖ－３６)＝３６２
９≦ｗ≦ｖから，９≦５ｗ－３６≦５ｖ－３６
∴(５ｗ－３６，５ｖ－３６)＝(９，４・３６)，(１２，３・３６)，(１６，８１)，(１８，７２)，(２４，５４)，(２７，４８)，(３６，３６)
∴(５ｗ，５ｖ)＝(４５，５・３６)，(４８，４・３６)，(５２，１１７)，(５４，１０８)，(６０，９０)，(６３，８４)，(７２，７２)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(９，３６)，(１２，１８)
i-ii-vi). ｚ＝１０のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／４－１／１０＝３／２０
∴３ｗｖ＝２０(ｗ＋ｖ)
∴(３ｗ－２０)(３ｖ－２０)＝４００
１０≦ｗ≦ｖから，１０≦３ｗ－２０≦３ｖ－２０
∴(３ｗ－２０，３ｖ－２０)＝(１０，４０)，(１６，２５)，(２０，２０)
∴(３ｗ，３ｖ)＝(３０，６０)，(３６，４５)，(４０，４０)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(１０，２０)，(１２，１５)
i-ii-vii). ｚ＝１１のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／４－１／１１＝７／４４
∴７ｗｖ＝４４(ｗ＋ｖ)
∴(７ｗ－４４)(７ｖ－４４)＝４４２
１１≦ｗ≦ｖから，３３≦７ｗ－４４≦７ｖ－４４
∴(７ｗ－４４，７ｖ－４４)＝(４４，４４)
∴(７ｗ，７ｖ)＝(８８，８８)
ｗ，ｖは整数なので，これは矛盾する．
i-ii-viii). ｚ＝１２のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／４－１／１２＝１／６
∴ｗｖ＝６(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－６)(ｖ－６)＝３６
１２≦ｗ≦ｖから，６≦ｗ－６≦ｖ－６
∴(ｗ－６，ｖ－６)＝(６，６)
∴(ｗ，ｖ)＝(１２，１２)
i-iii). ｙ＝５のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／５＝３／１０
ｙ＝５≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝３／１０≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴５≦ｚ≦１０
i-iii-i). ｚ＝５のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝３／１０－１／５＝１／１０
∴ｗｖ＝１０(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－１０)(ｖ－１０)＝１００
５≦ｗ≦ｖから，－５≦ｗ－１０≦ｖ－１０
∴(ｗ－１０，ｖ－１０)＝(１，１００)，(２，５０)，(４，２５)，(５，２０)，(１０，１０)
∴(ｗ，ｖ)＝(１１，１１０)，(１２，６０)，(１４，３５)，(１５，３０)，(２０，２０)
i-iii-ii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝３／１０－１／６＝２／１５
∴２ｗｖ＝１５(ｗ＋ｖ)
∴(２ｗ－１５)(２ｖ－１５)＝２２５
６≦ｗ≦ｖから，－３≦２ｗ－１５≦２ｖ－１５
∴(２ｗ－１５，２ｖ－１５)＝(１，２２５)，(３，７５)，(５，４５)，(９，２５)，(１５，１５)
∴(２ｗ，２ｖ)＝(１６，２４０)，(１８，９０)，(２０，６０)，(２４，４０)，(３０，３０)
∴(ｗ，ｖ)＝(８，１２０)，(９，４５)，(１０，３０)，(１２，２０)，(１５，１５)
これは条件を満たす．
i-iii-iii). ｚ＝７のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝３／１０－１／７＝１１／７０
∴１１ｗｖ＝７０(ｗ＋ｖ)
∴(１１ｗ－７０)(１１ｖ－７０)＝４９００
７≦ｗ≦ｖから，７≦１１ｗ－７０≦１１ｖ－７０
∴(１１ｗ－７０，１１ｖ－７０)＝(７，７００)，(１０，４９０)，(１４，３５０)，(２０，２４５)，(２５，１９６)，(２８，１７５)，(３５，１４０)，(４９，１００)，(５０，９８)，(７０，７０)
∴(１１ｗ，１１ｖ)＝(７７，７７０)，(８０，５６０)，(８４，４２０)，(９０，３１５)，(９５，２６６)，(９８，２４５)，(１０５，２１０)，(１１９，１７０)，(１２０，１６８)，(１４０，１４０)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(７，７０)
i-iii-iv). ｚ＝８のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝３／１０－１／８＝７／４０
∴７ｗｖ＝４０(ｗ＋ｖ)
∴(７ｗ－４０)(７ｖ－４０)＝１６００
８≦ｗ≦ｖから，１６≦７ｗ－４０≦７ｖ－４０
∴(７ｗ－４０，７ｖ－４０)＝(１６，１００)，(２０，８０)，(２５，６４)，(３２，５０)，(４０，４０)
∴(７ｗ，７ｖ)＝(５６，１４０)，(６０，１２０)，(６５，１０４)，(７２，９０)，(８０，８０)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(８，２０)
i-iii-v). ｚ＝９のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝３／１０－１／９＝１７／９０
∴１７ｗｖ＝９０(ｗ＋ｖ)
∴(１７ｗ－９０)(１７ｖ－９０)＝８１００
９≦ｗ≦ｖから，６３≦１７ｗ－９０≦１７ｖ－９０
∴(１７ｗ－９０，１７ｖ－９０)＝(７５，１０８)，(８１，１００)，(９０，９０)
∴(１７ｗ，１７ｖ)＝(１６５，１９８)，(１７１，１９０)，(１８０，１８０)
ｗ，ｖは整数なので，これは矛盾する．
i-iii-vi). ｚ＝１０のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝３／１０－１／１０＝１／５
∴ｗｖ＝５(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－５)(ｖ－５)＝２５
１０≦ｗ≦ｖから，５≦ｗ－５≦ｖ－５
∴(ｗ－５，ｖ－５)＝(５，５)
∴(ｗ，ｖ)＝(１０，１０)
i-iv). ｙ＝６のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／６＝１／３
ｙ＝６≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／３≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴６≦ｚ≦９
i-iv-i). ｚ＝６のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／６＝１／６
∴ｗｖ＝６(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－６)(ｖ－６)＝３６
６≦ｗ≦ｖから，０≦ｗ－６≦ｖ－６
∴(ｗ－６，ｖ－６)＝(１，３６)，(２，１８)，(３，１２)，(４，９)，(６，６)
∴(ｗ，ｖ)＝(７，４２)，(８，２４)，(９，１８)，(１０，１５)，(１２，１２)
i-iv-ii). ｚ＝７のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／７＝４／２１
∴４ｗｖ＝２１(ｗ＋ｖ)
∴(４ｗ－２１)(４ｖ－２１)＝４４１
７≦ｗ≦ｖから，７≦４ｗ－２１≦４ｖ－２１
∴(４ｗ－２１，４ｖ－２１)＝(７，６３)，(９，４９)，(２１，２１)
∴(４ｗ，４ｖ)＝(２８，８４)，(３０，７０)，(４２，４２)
ｗ，ｖは整数なので，
∴(ｗ，ｖ)＝(７，２１)
i-iv-iii). ｚ＝８のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／８＝５／２４
∴５ｗｖ＝２４(ｗ＋ｖ)
∴(５ｗ－２４)(５ｖ－２４)＝２４２
８≦ｗ≦ｖから，１６≦５ｗ－２４≦５ｖ－２４
∴(５ｗ－２４，５ｖ－２４)＝(１６，３６)，(１８，３２)，(２４，２４)
∴(５ｗ，５ｖ)＝(４０，６０)，(４２，５６)，(４８，４８)
ｗ，ｖは整数なので，
∴(ｗ，ｖ)＝(８，１２)
i-iv-iv). ｚ＝９のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／９＝２／９
∴２ｗｖ＝９(ｗ＋ｖ)
∴(２ｗ－９)(２ｖ－９)＝８１
９≦ｗ≦ｖから，９≦２ｗ－９≦２ｖ－９
∴(２ｗ－９，２ｖ－９)＝(９，９)
∴(２ｗ，２ｖ)＝(１８，１８)
∴(ｗ，ｖ)＝(９，９)
これは条件に適する．
i-v). ｙ＝７のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／７＝５／１４
ｙ＝７≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝５／１４≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴７≦ｚ≦４２／５＝８＋２／５
i-v-i). ｚ＝７のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝５／１４－１／７＝３／１４
∴３ｗｖ＝１４(ｗ＋ｖ)
∴(３ｗ－１４)(３ｖ－１４)＝１９６
７≦ｗ≦ｖから，７≦３ｗ－１４≦３ｖ－１４
∴(３ｗ－１４，３ｖ－１４)＝(７，２８)，(１４，１４)
∴(３ｗ，３ｖ)＝(２１，４２)，(２８，２８)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(７，１４)
i-v-ii). ｚ＝８のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝５／１４－１／８＝１３／５６
∴１３ｗｖ＝５６(ｗ＋ｖ)
∴(１３ｗ－５６)(１３ｖ－５６)＝５６２
８≦ｗ≦ｖから，４８≦１３ｗ－５６≦１３ｖ－５６
∴(１３ｗ－５６，１３ｖ－５６)＝(４９，６４)，(５６，５６)
∴(１３ｗ，１３ｖ)＝(１０５，１２０)，(１１２，１１２)
これはｗ，ｖが整数であることに反する．
i-vi). ｙ＝８のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／８＝３／８
ｙ＝８≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝３／８≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴８≦ｚ≦８ ∴ｚ＝８
∴１／ｗ＋１／ｖ＝３／８－１／８＝１／４
∴ｗｖ＝４(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－４)(ｖ－４)＝１６
８≦ｗ≦ｖから，４≦ｗ－４≦ｖ－４
∴(ｗ－４，ｖ－４)＝(４，４)
∴(ｗ，ｖ)＝(８，８)
ii). ｘ＝３のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１－１／３＝２／３
ｘ＝３≦ｙ≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝２／３≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝４／ｙ
∴３≦ｙ≦６
ii-i). ｙ＝３のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝２／３－１／３＝１／３
ｙ＝３≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＜１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／３≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴４≦ｚ≦９
ii-i-i). ｚ＝４のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／４＝１／１２
∴ｗｖ＝１２(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－１２)(ｖ－１２)＝１４４
４≦ｗ≦ｖから，－８≦ｗ－１２≦ｖ－１２
∴(ｗ－１２，ｖ－１２)＝(１，１４４)，(２，７２)，(３，４８)，(４，３６)，(６，２４)，(８，１８)，(９，１６)，(１２，１２)
∴(ｗ，ｖ)＝(１３，１５６)，(１４，８４)，(１５，６０)，(１６，４８)，(１８，３６)，(２０，３０)，(２１．２８)，(２４，２４)
ii-i-ii). ｚ＝５のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／５＝２／１５
∴２ｗｖ＝１５(ｗ＋ｖ)
∴(２ｗ－１５)(２ｖ－１５)＝２２５
５≦ｗ≦ｖから，－５≦２ｗ－１５≦２ｖ－１５
∴(２ｗ－１５，２ｖ－１５)＝(１，２２５)，(３，７５)，(５，４５)，(９，２５)，(１５，１５)
∴(２ｗ，２ｖ)＝(１６，２４０)，(１８，９０)，(２０，６０)，(２４，４０)，(３０，３０)
∴(ｗ，ｖ)＝(８，１２０)，(９，４５)，(１０，３０)，(１２，２０)，(１５，１５)
これは条件を満たす．
ii-i-iii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／６＝１／６
∴ｗｖ＝６(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－６)(ｖ－６)＝３６
６≦ｗ≦ｖから，０≦ｗ－６≦ｖ－６
∴(ｗ－６，ｖ－６)＝(１，３６)，(２，１８)，(３，１２)，(４，９)，(６，６)
∴(ｗ，ｖ)＝(７，４２)，(８，２４)，(９，１８)，(１０，１５)，(１２，１２)
ii-i-iv). ｚ＝７のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／７＝４／２１
∴４ｗｖ＝２１(ｗ＋ｖ)
∴(４ｗ－２１)(４ｖ－２１)＝４４１
７≦ｗ≦ｖから，７≦４ｗ－２１≦４ｖ－２１
∴(４ｗ－２１，４ｖ－２１)＝(７，６３)，(９，４９)，(２１，２１)
∴(４ｗ，４ｖ)＝(２８，８４)，(３０，７０)，(４２，４２)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(７，２１)
ii-i-v). ｚ＝８のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／８＝５／２４
∴５ｗｖ＝２４(ｗ＋ｖ)
∴(５ｗ－２４)(５ｖ－２４)＝２４２
８≦ｗ≦ｖから，１６≦５ｗ－２４≦５ｖ－２４
∴(５ｗ－２４，５ｖ－２４)＝(１６，３６)，(１８，３２)，(２４，２４)
∴(５ｗ，５ｖ)＝(４０，６０)，(４２，５６)，(４８，４８)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(８，１２)
ii-i-vi). ｚ＝９のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／３－１／９＝２／９
∴２ｗｖ＝９(ｗ＋ｖ)
∴(２ｗ－９)(２ｖ－９)＝８１
９≦ｗ≦ｖから，９≦２ｗ－９≦２ｖ－９
∴(２ｗ－９，２ｖ－９)＝(９，９)
∴(２ｗ，２ｖ)＝(１８，１８)
∴(ｗ，ｖ)＝(９，９)
これは条件を満たす．
ii-ii). ｙ＝４のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝２／３－１／４＝５／１２
ｙ＝４≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝５／１２≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴４≦ｚ≦３６／５＝７＋１／５
ii-ii-i). ｚ＝４のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝５／１２－１／４＝１／６
∴ｗｖ＝６(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－６)(ｖ－６)＝３６
４≦ｗ≦ｖから，－２≦ｗ－６≦ｖ－６
∴(ｗ－６，ｖ－６)＝(１，３６)，(２，１８)，(３，１２)，(４，９)，(６，６)
∴(ｗ，ｖ)＝(７，４２)，(８，２４)，(９，１８)，(１０，１５)，(１２，１２)
ii-ii-ii). ｚ＝５のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝５／１２－１／５＝１３／６０
∴１３ｗｖ＝６０(ｗ＋ｖ)
∴(１３ｗ－６０)(１３ｖ－６０)＝３６００
５≦ｗ≦ｖから，５≦１３ｗ－６０≦１３ｖ－６０
∴(１３ｗ－６０，１３ｖ－６０)＝(５，７２０)，(６，６００)，(８，４５０)，(９，４００)，(１０，３６０)，(１２，３００)，(１５，２４０)，(１６，２２５)，(１８，２００)，(２０，１８０)，(２４，１５０)，(２５，１４４)，（３０，１２０)，(３６，１００)，(４０，９０)，(４５，８０)，(４８，７５)，(５０，７２)，(６０，６０)
∴(１３ｗ，１３ｖ)＝(６５，７８０)，(６６，６６０)，(６８，５１０)，(６９，４６０)，(７０，４２０)，(７２，３６０)，(７５，３００)，(７６，２８５)，(７８，２６０)，(８０，２４０)，(８４，２１０)，(８５，２０４)，(９０，１８０)，(９６，１６０)，(１００，１５０)，(１０５，１４０)，(１０８，１３５)，(１１０，１３２)，(１２０，１２０)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(５，６０)，(６，２０)
ii-ii-iii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝５／１２－１／６＝１／４
∴ｗｖ＝４(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－４)(ｖ－４)＝１６
６≦ｗ≦ｖから，２≦ｗ－４≦ｖ－４
∴(ｗ－４，ｖ－４)＝(２，８)，(４，４)
∴(ｗ，ｖ)＝(６，１２)，(８，８)
ii-ii-iv). ｚ＝７のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝５／１２－１／７＝２３／８４
∴２３ｗｖ＝８４(ｗ＋ｖ)
∴(２３ｗ－８４)(２３ｖ－８４)＝８４２
７≦ｗ≦ｖから，７７≦２３ｗ－８４≦２３ｖ－８４
∴(２３ｗ－８４，２３ｖ－８４)＝(８４，８４)
∴(２３ｗ，２３ｖ)＝(１６８，１６８)
これはｗ，ｖが整数であることに反する．
ii-iii). ｙ＝５のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝２／３－１／５＝７／１５
ｙ＝５≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝７／１５≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴５≦ｚ≦４５／７＝６＋３／７
ii-iii-i). ｚ＝５のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝７／１５－１／５＝４／１５
∴４ｗｖ＝１５(ｗ＋ｖ)
∴(４ｗ－１５)(４ｖ－１５)＝２２５
５≦ｗ≦ｖから，５≦４ｗ－１５≦４ｖ－１５
∴(４ｗ－１５，４ｖ－１５)＝(５，４５)，(９，２５)，(１５，１５)
∴(４ｗ，４ｖ)＝(２０，６０)，(２４，４０)，(３０，３０)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(５，１５)，(６，１０)
ii-iii-ii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝７／１５－１／６＝３／１０
∴３ｗｖ＝１０(ｗ＋ｖ)
∴(３ｗ－１０)(３ｖ－１０)＝１００
６≦ｗ≦ｖから，８≦３ｗ－１０≦３ｖ－１０
∴(３ｗ－１０，３ｖ－１０)＝(１０，１０)
∴(３ｗ，３ｖ)＝(２０，２０)
これはｗ，ｖが整数であることに反する．
ii-iv). ｙ＝６のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝２／３－１／６＝１／２
ｙ＝６≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴６≦ｚ≦６ ∴ｚ＝６
∴１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／６＝１／３
∴ｗｖ＝３(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－３)(ｖ－３)＝９
６≦ｗ≦ｖから，３≦ｗ－３≦ｖ－３
∴(ｗ－３，ｖ－３)＝(３，３)
∴(ｗ，ｖ)＝(６，６)
iii). ｘ＝４のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１－１／４＝３／４
ｘ＝４≦ｙ≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝３／４≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝４／ｙ
∴４≦ｙ≦１６／３＝５＋１／３
iii-i). ｙ＝４のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝３／４－１／４＝１／２
ｙ＝４≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１／２≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴４≦ｚ≦６
iii-i-i). ｚ＝４のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／４＝１／４
∴ｗｖ＝４(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－４)(ｖ－４)＝１６
４≦ｗ≦ｖから，０≦ｗ－４≦ｖ－４
∴(ｗ－４，ｖ－４)＝(１，１６)，(２，８)，(４，４)
∴(ｗ，ｖ)＝(５，２０)，(６，１２)，(８，８)
iii-i-ii). ｚ＝５のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／５＝３／１０
∴３ｗｖ＝１０(ｗ＋ｖ)
∴(３ｗ－１０)(３ｖ－１０)＝１００
５≦ｗ≦ｖから，５≦３ｗ－１０≦３ｖ－１０
∴(３ｗ－１０，３ｖ－１０)＝(５，２０)，(１０，１０)
∴(３ｗ，３ｖ)＝(１５，３０)，(２０，２０)
ｗ，ｖは整数なので，
(ｗ，ｖ)＝(５，１０)
iii-i-iii). ｚ＝６のとき，１／ｗ＋１／ｖ＝１／２－１／６＝１／３
∴ｗｖ＝３(ｗ＋ｖ)
∴(ｗ－３)(ｖ－３)＝９
６≦ｗ≦ｖから，３≦ｗ－３≦ｖ－３
∴(ｗ－３，ｖ－３)＝(３，３)
∴(ｗ，ｖ)＝(６，６)
iii-ii). ｙ＝５のとき，１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝３／４－１／５＝１１／２０
ｙ＝５≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１１／２０≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴５≦ｚ≦６０／１１＝５＋５／１１ ∴ｚ＝５
∴１／ｗ＋１／ｖ＝１１／２０－１／５＝７／２０
∴７ｗｖ＝２０(ｗ＋ｖ)
∴(７ｗ－２０)(７ｖ－２０)＝４００
５≦ｗ≦ｖから，１５≦７ｗ－２０≦７ｖ－２０
∴(７ｗ－２０，７ｖ－２０)＝(１６，２５)，(２０，２０)
∴(７ｗ，７ｖ)＝(３６，４５)，(４０，４０)
これはｗ，ｖは整数であることに反する．
iv). ｘ＝５のとき，１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝１－１／５＝４／５
ｘ＝５≦ｙ≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｙ＋１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝４／５≦１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＋１／ｙ＝４／ｙ
∴５≦ｙ≦５ ∴ｙ＝５
∴１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝４／５－１／５＝３／５
ｙ＝５≦ｚ≦ｗ≦ｖから，
１／ｚ＋１／ｗ＋１／ｖ＝３／５≦１／ｚ＋１／ｚ＋１／ｚ＝３／ｚ
∴５≦ｚ≦５ ∴ｚ＝５
∴１／ｗ＋１／ｖ＝３／５－１／５＝２／５
∴２ｗｖ＝５(ｗ＋ｖ)
∴(２ｗ－５)(２ｖ－５)＝２５
５≦ｗ≦ｖから，５≦２ｗ－５≦２ｖ－５
∴(２ｗ－５，２ｖ－５)＝(５，５)
∴(２ｗ，２ｖ)＝(１０，１０)
∴(ｗ，ｖ)＝(５，５)
これは条件を満たす．
以上の結果をまとめると，前述の１４７組となる．
（計算ミスがないことを祈っています．あっても見逃して下さい）
「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 05/11
19時07分受信 更新5/26
(1)
1/2+1/2 から始めて求める。
1/2=k/(2k)=1/(2k)+(k-1)/(2k)=1/(2k)+1/(2+2/(k-1))…k=2 or 3
つまり…
・1/2=1/4+1/4=1/6+1/3
(1/2,1/4,1/4), (1/2,1/3,1/6) から、1/2,1/4,1/3,1/6 の単位分数の数だけできる。
ここまでで、(1/4,1/4,1/4,1/4), (1/4,1/4,1/3,1/6),
(1/3,1/3,1/6,1/6)
・1/4=k/(4k)=1/4k+(k-1)/4k=1/(4k)+1/(4+4/(k-1))…k=2 or 3
or 5
つまり…
1/4=1/8+1/8=1/12+1/6=1/20+1/5
ここまでで、(1/2,1/4,1/8,1/8), (1/2,1/4,1/6,1/12),
(1/2,1/4,1/5,1/20)
・1/3=k/(3k)=1/(3k)+(k-1)/(3k)=1/(3k)+1/(3+3/(k-1))…k=2
or 4
つまり…
1/3=1/6+1/6=1/12+1/4
ここまでで、(1/2,1/6,1/6,1/6), (1/2,1/6,1/12,1/4)
・1/6=k/(6k)=1/(6k)+(k-1)/(6k)=1/(6k)+1/(6+6/(k-1))…k=2
or 3 or 7
つまり…
1/6=1/12+1/12=1/18+1/9=1/42+1/7
ここまでで、(1/2,1/3,1/12,1/12), (1/2,1/3,1/9,1/18),
(1/2,1/3,1/7,1/42)
で、すべて。
分母の小さい順に並び替え＆重複を除くと…
(1/2,1/3,1/7,1/42), (1/2,1/3,1/9,1/18), (1/2,1/3,1/12,1/12)
(1/2,1/4,1/5,1/20), (1/2,1/4,1/6,1/12), (1/2,1/4,1/8,1/8), (1/2,1/6,1/6,1/6),
(1/3,1/4,1/4,1/6), (1/3,1/3,1/6,1/6)
(1/4,1/4,1/4,1/4)
の10種類かな？
(2) は、これから、1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/9, 1/12, 1/18,
1/20, 1/42 の単位分数分だけのものを入れ替えて、重複を除けば得られそうですが...力不足...Orz...
もっと上手い方を思いつけば再チャレンジしてみまっす !!
＜水の流れ：あまり気になされないで
> 今回はできると思うも...(2)はややこしそうにて..
（２）は安易に出題した形になり申し訳ありませんでした。
時間的に一部しか答えを持ち合わせないまま、出題した次第です。
１４７組もあるとは、思いもよりませんでした。ＰＣで答えるのが妥当みたいです。
こちらとしては、例えば１個の単位分数から２個に分裂していけば何か関連をみつけならないか
という気持ちもありまして。
例 １／２＝１／３＋１／６ 、
１／３＝１／４＋１／１２、
１／４＝１／５＋１／２０、１／６＋１／１２
１／６＝１／７＋１／４２、１／８＋１／２４、１／９＋１／１８，１／１０＋１／１５
といふうに連鎖を考えていました。
１／６＝１／８＋１／/２４＝１／１０＋１／１５がありまして。
いや、全部で１４組あります。（上の分で２組でてきて、後は２組あります）
「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 05/13
22時03分受信 更新5/26
なるほどぉ...^^;
単位分数の和を見つける方法は...
1/n なら...分母が (n+1)～2(n+1) のすべてを考えればいいわけですね☆
っていうか、そうじゃなきゃすべてを網羅できてなかったわけでした...Orz...
今回は...それがわかっただけでも得るものがありました♪
へたしたら...倍々ゲームのような蟻地獄な ^^; 数になるわけなんですねぇ...
～m(_ _)m～ @ スモークマン
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。
