平成２５年７月28日

[流れ星]

　　　　　第２９４回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月７日〜７月28日＞

［３乗数の下４桁］

７月７日の七夕にちなんだ問題を作りたいと思い数遊びをしていたところ、次のような数を発見しました。

問題１：　３乗したときときの下４桁が７７７７となる最小の自然数を求めよ。

問題２：　３乗したときときの下４桁が１１１１となる最小の自然数を求めよ。

問題３：　３乗したときときの下４桁が３３３３となる最小の自然数を求めよ。

問題４：　３乗したときときの下４桁が９９９９となる最小の自然数を求めよ。

問題５：　３乗したときときの下３桁が８８８となる最小の自然数を求めよ。

参考：PCを用いて発見しても良いですよ。また、３乗数で他に何か面白い数を発見したとき、教えてください。例えば、下４桁が４３２１とかになる３乗数　

ＮＯ１「uchinyan」 07/07 14時44分受信 更新7/28

求める数を n とし，n の桁の数字を下１桁から a，b，c，d，それ以上を e，つまり，

n = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a

とします。すると，下４桁に注目しこの部分を抜き出す形で n^3 を計算すると，

n^3 = (10000e + 1000d + 100c + 10b + a)^3

-> (1000d + 100c + 10b + a)^3

= (1000d + 100c)^3 + 3(1000d + 100c)^2(10b + a) + 3(1000d + 100c)(10b + a)^2 + (10b + a)^3

-> 3(1000d + 100c)(10b + a)^2 + (10b + a)^3

= 3(1000d + 100c)(100b^2 + 20ab + a^2) + (1000b^3 + 300ab^2 + 30ba^2 + a^3)

-> 6000abc + 3000da^2 + 300ca^2 + 1000b^3 + 300ab^2 + 30ba^2 + a^3

= 1000(6abc + 3da^2 + b^3) + 100(3ca^2 + 3ab^2) + 10(3ba^2) + a^3

ただし，桁上りが存在することに注意。　なお，最後の式を m とおきます。

問題１： 下４桁が 7777

m = 1000(6abc + 3da^2 + b^3) + 100(3ca^2 + 3ab^2) + 10(3ba^2) + a^3

m の１桁目が 7 -> a^3 の１桁目が 7 -> a = 3

m = 1000(18bc + 27d + b^3) + 100(27c + 9b^2) + 10(27b) + 27

-> 1000(8bc + 7d + b^3 + 2c) + 100(7c + 9b^2 + 2b) + 10(7b + 2) + 7

m の２桁目が 7 -> 7b + 2 の１桁目が 7 -> b = 5

m = 1000(40c + 7d + 125 + 2c) + 100(7c + 235) + 10(37) + 7

-> 1000(7d + 2c + 8) + 100(7c + 8) + 70 + 7

m の３桁目が 7 -> 7c + 8 の１桁目が 7 -> c = 7

m = 1000(7d + 22) + 100(57) + 70 + 7

-> 1000(7d + 7) + 700 + 70 + 7

m の４桁目が 7 -> 7d + 7 の１桁目が 7 -> d = 0

m = 1000(7) + 700 + 70 + 7

-> 7000 + 700 + 70 + 7 = 7777

そこで，条件を満たす n の下４桁は 0753 で，最小の数は 753 になります。

問題２： 下４桁が 1111

m = 1000(6abc + 3da^2 + b^3) + 100(3ca^2 + 3ab^2) + 10(3ba^2) + a^3

m の１桁目が 1 -> a^3 の１桁目が 1 -> a = 1

m = 1000(6bc + 3d + b^3) + 100(3c + 3b^2) + 10(3b) + 1

-> 1000(6bc + 3d + b^3) + 100(3c + 3b^2) + 10(3b) + 1

m の２桁目が 1 -> 3b の１桁目が 1 -> b = 7

m = 1000(42c + 3d + 343) + 100(3c + 147) + 10(21) + 1

-> 1000(2c + 3d + 7) + 100(3c + 9) + 10 + 1

m の３桁目が 1 -> 3c + 9 の１桁目が 1 -> c = 4

m = 1000(3d + 15) + 100(21) + 10 + 1

-> 1000(3d + 7) + 100 + 10 + 1

m の４桁目が 1 -> 3d + 7 の１桁目が 1 -> d = 8

m = 1000(31) + 100 + 10 + 1

-> 1000 + 100 + 10 + 1 = 1111

そこで，条件を満たす n の下４桁は 8471 で，最小の数は 8471 になります。

問題３： 下４桁が 3333

m = 1000(6abc + 3da^2 + b^3) + 100(3ca^2 + 3ab^2) + 10(3ba^2) + a^3

m の１桁目が 3 -> a^3 の１桁目が 3 -> a = 7

m = 1000(42bc + 147d + b^3) + 100(147c + 21b^2) + 10(147b) + 343

-> 1000(2bc + 7d + b^3 + b + 2b^2 + 4c) + 100(7c + b^2 + 4b + 3) + 10(7b + 4) + 3

m の２桁目が 3 -> 7b + 4 の１桁目が 3 -> b = 7

m = 1000(14c + 7d + 4c + 448) + 100(7c + 80) + 10(53) + 3

-> 1000(8c + 7d + 6) + 100(7c + 5) + 30 + 3

m の３桁目が 3 -> 7c + 5 の１桁目が 3 -> c = 4

m = 1000(7d + 38) + 100(33) + 30 + 3

-> 1000(7d + 1) + 300 + 30 + 3

m の４桁目が 3 -> 7d + 1 の１桁目が 3 -> d = 6

m = 1000(43) + 300 + 30 + 3

-> 3000 + 300 + 30 + 3 = 3333

そこで，条件を満たす n の下４桁は 6477 で，最小の数は 6477 になります。

問題４： 下４桁が 9999

m = 1000(6abc + 3da^2 + b^3) + 100(3ca^2 + 3ab^2) + 10(3ba^2) + a^3

m の１桁目が 9 -> a^3 の１桁目が 9 -> a = 9

m = 1000(54bc + 243d + b^3) + 100(243c + 27b^2) + 10(243b) + 729

-> 1000(4bc + 3d + b^3 + 2b^2 + 2b + 4c) + 100(3c + 7b^2 + 4b + 7) + 10(3b + 2) + 9

m の２桁目が 9 -> 3b + 2 の１桁目が 9 -> b = 9

m = 1000(40c + 3d + 909) + 100(3c + 610) + 10(29) + 9

-> 1000(3d) + 100(3c + 2) + 90 + 9

m の３桁目が 9 -> 3c + 2 の１桁目が 9 -> c = 9

m = 1000(3d) + 100(29) + 90 + 9

-> 1000(3d + 2) + 900 + 90 + 9

m の４桁目が 9 -> 3d + 2 の１桁目が 9 -> d = 9

m = 1000(29) + 900 + 90 + 9

-> 9000 + 900 + 90 + 9 = 9999

そこで，条件を満たす n の下４桁は 9999 で，最小の数は 9999 になります。

問題５： 下３桁が 888

どうせなので，下４桁が 8888 も求めてしまいましょう。

m = 1000(6abc + 3da^2 + b^3) + 100(3ca^2 + 3ab^2) + 10(3ba^2) + a^3

m の１桁目が 8 -> a^3 の１桁目が 8 -> a = 2

m = 1000(12bc + 12d + b^3) + 100(12c + 6b^2) + 10(12b) + 8

-> 1000(2bc + 2d + b^3 + c) + 100(2c + 6b^2 + b) + 10(2b) + 8

m の２桁目が 8 -> 2b の１桁目が 8 -> b = 4, 9

b = 4 の場合

m = 1000(8c + 2d + 64 + c) + 100(2c + 100) + 10(8) + 8

-> 1000(9c + 2d + 4) + 100(2c) + 80 + 8

m の３桁目が 8 -> 2c の１桁目が 8 -> c = 4, 9

b = 4, c = 4 の場合

m = 1000(2d + 40) + 800 + 80 + 8

-> 1000(2d) + 800 + 80 + 8

このとき，，条件を満たす n の下３桁は 442 です。

m の４桁目が 8 -> 2d の１桁目が 8 -> d = 4, 9

b = 4, c = 4, d = 4 の場合

m = 1000(8) + 800 + 80 + 8

-> 8000 + 800 + 80 + 8 = 8888

このとき，条件を満たす n の下４桁は 4442 です。

b = 4, c = 4, d = 9 の場合

m = 1000(18) + 800 + 80 + 8

-> 8000 + 800 + 80 + 8 = 8888

このとき，条件を満たす n の下４桁は 9442 です。

b = 4, c = 9 の場合

m = 1000(2d + 85) + 100(18) + 80 + 8

-> 1000(2d + 6) + 800 + 80 + 8

このとき，，条件を満たす n の下３桁は 942 です。

m の４桁目が 8 -> 2d + 6 の１桁目が 8 -> d = 1, 6

b = 4, c = 9, d = 1 の場合

m = 1000(8) + 800 + 80 + 8

-> 8000 + 800 + 80 + 8 = 8888

このとき，条件を満たす n の下４桁は 1942 です。

b = 4, c = 9, d = 6 の場合

m = 1000(18) + 800 + 80 + 8

-> 8000 + 800 + 80 + 8 = 8888

このとき，条件を満たす n の下４桁は 6942 です。

b = 9 の場合

m = 1000(18c + 2d + 729 + c) + 100(2c + 495) + 10(18) + 8

-> 1000(9c + 2d + 8) + 100(2c + 6) + 80 + 8

m の３桁目が 8 -> 2c + 6 の１桁目が 8 -> c = 1, 6

b = 9, c = 1 の場合

m = 1000(2d + 17) + 100(8) + 80 + 8

-> 1000(2d + 7) + 800 + 80 + 8

このとき，，条件を満たす n の下３桁は 192 です。

m の４桁目が 8 -> 2d + 7 の１桁目が 8 -> d = 解なし

b = 9, c = 6 の場合

m = 1000(2d + 62) + 100(18) + 80 + 8

-> 1000(2d + 3) + 800 + 80 + 8

このとき，，条件を満たす n の下３桁は 692 です。

m の４桁目が 8 -> 2d + 3 の１桁目が 8 -> d = 解なし

結局，

下３桁が 888 となる n の下３桁は，192，442，692，942，で，最小の数は 192，

下４桁が 8888 となる n の下４桁は，1942，4442，6942，9442，で，最小の数は 1942，

です。

問題５：は，下３桁が 888 となる最小の自然数を求めるので，192 になります。

(感想)

ちなみに，３乗したときの下４桁では，最小の自然数は，

0000 は 100，1111 は 8471，2222 は解なし，3333 は 6477，4444 は解なし，

5555 は解なし，6666 は解なし，7777 は 753，8888 は 1942，9999 は 9999

となるようですね。

面白いといえば面白いですが，結局は機械的な作業なので，数学的な面白味は薄そうかなぁ．．．？

何か面白い関係とかあるのでしょうか。

ＮＯ２「浜田明巳」　07/08 09時24分受信 更新7/28

長桁計算ができるソフト十進ＢＡＳＩＣで解いてみた．それによると，答は
問題１：753
問題２：8471
問題３：6477
問題４：9999
問題５：下３桁の場合，192（下４桁の場合，1942）
となる．
　また，4321となるのは，7841である．
　プログラムは以下の通り．
! 294.bas
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
LET deta1=0
LET deta2=0
LET deta3=0
LET deta4=0
LET deta5=0
LET deta6=0
LET n=1
DO WHILE deta1+deta2+deta3+deta4+deta5+deta6<6
     LET n=n+1
     LET m=1
     FOR j=1 TO 3
         LET m=MOD(m*n,10000)
     NEXT j
     IF deta1=0 and m=7777 THEN
         LET deta1=1
         LET k1=n
     ELSEIF deta2=0 and m=1111 THEN
         LET deta2=1
         LET k2=n
     ELSEIF deta3=0 AND m=3333 THEN
         LET deta3=1
         LET k3=n
     ELSEIF deta4=0 AND m=9999 THEN
         LET deta4=1
         LET k4=n
     ELSEIF deta5=0 AND m=8888 THEN
         LET deta5=1
         LET k5=n
     ELSEIF deta6=0 AND m=4321 THEN
         LET deta6=1
         LET k6=n
     END IF
LOOP
PRINT 7777;k1
PRINT 1111;k2
PRINT 3333;k3
PRINT 9999;k4
PRINT 8888;k5
PRINT 4321;k6
END

　他の数の場合を求める為に，次のプログラムを作ったが，顕著な数，例えば，
　　1234，2222，4444，5555，6666
の場合には，解はなかった．ただし上限の数を10000000としている．
! 294_2.bas
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
OPTION BASE 0
DIM k(9999)
LET maximum=10000000
FOR n=1 TO 9999
     LET k(n)=0
NEXT n
FOR n=1 TO maximum
     LET m=1
     FOR j=1 TO 3
         LET m=MOD(m*n,10000)
     NEXT j
     IF k(m)=0 THEN
         LET k(m)=n
     END IF
NEXT n
FOR n=0 TO 9999
     IF k(n)>0 THEN
         PRINT n;k(n)
     END IF
NEXT n
END

「浜田明巳」　07/18 12時43分受信 更新7/28

問題１
　　０^３＝０
　　１^３＝１
　　２^３＝８
　　３^３≡７（mod １０）
　　４^３≡４（mod １０）
　　５^３≡５（mod １０）
　　６^３≡６（mod １０）
　　７^３≡３（mod １０）
　　８^３≡２（mod １０）
　　９^３≡９（mod １０）
であるから，３乗の下１桁が７となるのは，元の数の下１桁が３のときのみ．
　　３^３＝２７
　　１３^３≡９７（mod １００）
　　２３^３≡６７（mod １００）
　　３３^３≡３７（mod １００）
　　４３^３≡７（mod １００）
　　５３^３≡７７（mod １００）
　　６３^３≡４７（mod １００）
　　７３^３≡１７（mod １００）
　　８３^３≡８７（mod １００）
　　９３^３≡５７（mod １００）
であるから，３乗の下２桁が７７となるのは，元の数の下２桁が５３のときのみ．
　　５３^３≡８７７（mod １０００）
　　１５３^３≡５７７（mod １０００）
　　２５３^３≡２７７（mod １０００）
　　３５３^３≡９７７（mod １０００）
　　４５３^３≡６７７（mod １０００）
　　５５３^３≡３７７（mod １０００）
　　６５３^３≡７７（mod １０００）
　　７５３^３≡７７７７（mod １００００）
であるから，３乗の下４桁が７７７７となる最小の数は，７５３である．

問題２
　問題１から，３乗の下１桁が１となるのは，元の数の下１桁が１のときのみ．
　　１^３＝１
　　１１^３≡３１（mod １００）
　　２１^３≡６１（mod １００）
　　３１^３≡９１（mod １００）
　　４１^３≡２１（mod １００）
　　５１^３≡５１（mod １００）
　　６１^３≡８１（mod １００）
　　７１^３≡１１（mod １００）
　　８１^３≡４１（mod １００）
　　９１^３≡７１（mod １００）
であるから，３乗の下２桁が１１となるのは，元の数の下２桁が７１のときのみ．
　　７１^３≡９１１（mod １０００）
　　１７１^３≡２１１（mod １０００）
　　２７１^３≡５１１（mod １０００）
　　３７１^３≡８１１（mod １０００）
　　４７１^３≡１１１（mod １０００）
　　５７１^３≡４１１（mod １０００）
　　６７１^３≡７１１（mod １０００）
　　７７１^３≡１１（mod １０００）
　　８７１^３≡３１１（mod １０００）
　　９７１^３≡６１１（mod １０００）
であるから，３乗の下３桁が１１１となるのは，元の数の下３桁が４７１のときのみ．
　　４７１^３≡７１１１（mod １００００）
　　１４７１^３≡１１１（mod １００００）
　　２４７１^３≡３１１１（mod １００００）
　　３４７１^３≡６１１１（mod １００００）
　　４４７１^３≡９１１１（mod １００００）
　　５４７１^３≡２１１１（mod １００００）
　　６４７１^３≡５１１１（mod １００００）
　　７４７１^３≡８１１１（mod １００００）
　　８４７１^３≡１１１１（mod １００００）
であるから，３乗の下４桁が１１１１となる最小の数は，８４７１である．

問題３
　問題１から，３乗の下１桁が３となるのは，元の数の下１桁が７のときのみ．
　　７^３≡４３（mod １００）
　　１７^３≡１３（mod １００）
　　２７^３≡８３（mod １００）
　　３７^３≡５３（mod １００）
　　４７^３≡２３（mod １００）
　　５７^３≡９３（mod １００）
　　６７^３≡６３（mod １００）
　　７７^３≡３３（mod １００）
　　８７^３≡３（mod １００）
　　９７^３≡７３（mod １００）
であるから，３乗の下２桁が３３となるのは，元の数の下２桁が７７のときのみ．
　　７７^３≡５３３（mod １０００）
　　１７７^３≡２３３（mod １０００）
　　２７７^３≡９３３（mod １０００）
　　３７７^３≡６３３（mod １０００）
　　４７７^３≡３３３（mod １０００）
　　５７７^３≡３３（mod １０００）
　　６７７^３≡７３３（mod １０００）
　　７７７^３≡４３３（mod １０００）
　　８７７^３≡１３３（mod １０００）
　　９７７^３≡８３３（mod １０００）
であるから，３乗の下３桁が３３３となるのは，元の数の下３桁が４７７のときのみ．
　　４７７^３≡１３３３（mod １００００）
　　１４７７^３≡８３３３（mod １００００）
　　２４７７^３≡５３３３（mod １００００）
　　３４７７^３≡２３３３（mod １００００）
　　４４７７^３≡９３３３（mod １００００）
　　５４７７^３≡６３３３（mod １００００）
　　６４７７^３≡３３３３（mod １００００）
であるから，３乗の下４桁が３３３３となる最小の数は，６４７７である．

問題４
　問題１から，３乗の下１桁が９となるのは，元の数の下１桁が９のときのみ．
　　９^３≡２９（mod １００）
　　１９^３≡５９（mod １００）
　　２９^３≡８９（mod １００）
　　３９^３≡１９（mod １００）
　　４９^３≡４９（mod １００）
　　５９^３≡７９（mod １００）
　　６９^３≡９（mod １００）
　　７９^３≡３９（mod １００）
　　８９^３≡６９（mod １００）
　　９９^３≡９９（mod １００）
であるから，３乗の下２桁が９９となるのは，元の数の下２桁が９９のときのみ．
　　９９^３≡２９９（mod １０００）
　　１９９^３≡５９９（mod １０００）
　　２９９^３≡８９９（mod １０００）
　　３９９^３≡１９９（mod １０００）
　　４９９^３≡４９９（mod １０００）
　　５９９^３≡７９９（mod １０００）
　　６９９^３≡９９（mod １０００）
　　７９９^３≡３９９（mod １０００）
　　８９９^３≡６９９（mod １０００）
　　９９９^３≡９９９（mod １０００）
であるから，３乗の下３桁が９９９となるのは，元の数の下３桁が９９９のときのみ．
　　９９９^３≡２９９９（mod １００００）
　　１９９９^３≡５９９９（mod １００００）
　　２９９９^３≡８９９９（mod １００００）
　　３９９９^３≡１９９９（mod １００００）
　　４９９９^３≡４９９９（mod １００００）
　　５９９９^３≡７９９９（mod １００００）
　　６９９９^３≡９９９（mod １００００）
　　７９９９^３≡３９９９（mod １００００）
　　８９９９^３≡６９９９（mod １００００）
　　９９９９^３≡９９９９（mod １００００）
であるから，３乗の下４桁が９９９９となる最小の数は，９９９９である．

問題５
　問題１から，３乗の下１桁が８となるのは，元の数の下１桁が２のときのみ．
　　２^３＝８
　　１２^３≡２８（mod １００）
　　２２^３≡４８（mod １００）
　　３２^３≡６８（mod １００）
　　４２^３≡８８（mod １００）
　　５２^３≡８（mod １００）
　　６２^３≡２８（mod １００）
　　７２^３≡４８（mod １００）
　　８２^３≡６８（mod １００）
　　９２^３≡８８（mod １００）
であるから，３乗の下２桁が８８となるのは，元の数の下２桁が４２，９２のときのみ．
　　４２^３≡８８（mod １０００）
　　１４２^３≡２８８（mod １０００）
　　２４２^３≡４８８（mod １０００）
　　３４２^３≡６８８（mod １０００）
　　４４２^３≡８８８（mod １０００）
　　９２^３≡６８８（mod １０００）
　　１９２^３≡８８８（mod １０００）
であるから，３乗の下３桁が８８８となる最小の数は，１９２である

参考
　問題１から，３乗の下１桁が１となるのは，元の数の下１桁が１のときのみ．
　　１^３＝１
　　１１^３≡３１（mod １００）
　　２１^３≡６１（mod １００）
　　３１^３≡９１（mod １００）
　　４１^３≡２１（mod １００）
　　５１^３≡５１（mod １００）
　　６１^３≡８１（mod １００）
　　７１^３≡１１（mod １００）
　　８１^３≡４１（mod １００）
　　９１^３≡７１（mod １００）
であるから，３乗の下２桁が２１となるのは，元の数の下２桁が４１のときのみ．
　　４１^３≡９２１（mod １０００）
　　１４１^３≡２２１（mod １０００）
　　２４１^３≡５２１（mod １０００）
　　３４１^３≡８２１（mod １０００）
　　４４１^３≡１２１（mod １０００）
　　５４１^３≡４２１（mod １０００）
　　６４１^３≡７２１（mod １０００）
　　７４１^３≡２１（mod １０００）
　　８４１^３≡３２１（mod １０００）
　　９４１^３≡６２１（mod １０００）
であるから，３乗の下３桁が３２１となるのは，元の数の下３桁が８４１のときのみ．
　　８４１^３≡３３２１（mod １００００）
　　１８４１^３≡６３２１（mod １００００）
　　２８４１^３≡９３２１（mod １００００）
　　３８４１^３≡２３２１（mod １００００）
　　４８４１^３≡５３２１（mod １００００）
　　５８４１^３≡８３２１（mod １００００）
　　６８４１^３≡１３２１（mod １００００）
　　７８４１^３≡４３２１（mod １００００）
であるから，３乗の下４桁が４３２１となる最小の数は，７８４１である．

ＮＯ３「にいばりZ12」7/25 02時35分受信 更新7/28

にいばりＺ12です

準備）1

求める自然数の桁数の数字を下からａｂｃdとします（たとえば1234ならa=4，b=3，c=2，d=1

A=ａ、Ｂ＝10ｂ、Ｃ＝１００ｃ、D＝1000dとすると

求める自然数の3乗は

（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）＾３＝

A^3+B^3+C^3+Ｄ＾3

+3(A^2B+A^2C+A^2D+B^2A+B^2C+B^2D+C^2A+C^2B+C^2D+D^2A+D^2B+D^2C)

+6(ABC+ABD+BCD)・・・・�@

この式で１桁目を決定するのはＡだけです。（ＢＣDはＢ＝10ｂ、Ｃ＝１００ｃ、D＝１０００ｄから２、３、４桁目）

また、�@で５桁以上の項（０が4個付く項）は考えなくても良いので、

C^3、Ｄ＾3、B^2C、B^2D、C^2A、C^2B、C^2D、D^2A、D^2B、D^2C、ABD、BCDは消せます

よって、立方数の下４桁を検討するには

A^3+B^3+3(A^2B+A^2C+A^2D+B^2A)+6ABC・・・・�A

を考えれば良い事が解ります。

同様に、立方数の下３、２、１桁を検討するには

A^3+3(A^2B+A^2C+B^2A)・・・・�B（３桁)

A^3+3A^2B・・・・�C(２桁）

A^3・・・・�D(1桁）

ここで立方数を1から9迄求めると

1

8

27

64

125

216

343

512

729

このことから�D立方数の下一桁（Ａ＾3の下一桁）は、A=aから一意に決まることがわかります。

準備）2
1桁目がｑ（0≦ｑ≦9（ｐ∈Ｚ））で、ｎ（ｎ∈Ｎ）で割り切れ、その商がｐ（0≦ｐ≦9（ｐ∈Ｚ））となる数Ｑは、ｎの一桁目をｎ1（ｎ1≠0）とすると
Ｑ＝ｐｎ
ｐn1=10Ｇ+ｑ（0≦Ｇ≦8（Ｇ∈Ｚ））
∵ｑ（0≦ｑ≦9（ｐ∈Ｚ））、ｎ1（0≦ｎ1≦9（ｐ∈Ｚ））∴0≦ｐn1≦81
	ｐ表		ｐn1=10Ｇ+ｑ
	ｎ１　^ｑ	0					1		2		3		4		5					6		7		8		9
	1	0					1		2		3		4		5					6		7		8		9
	2	0	5						1	6			2	7						3	8			4	9
	3	0					7		4		1		8		5					2		9		6		3
	4	0	5						3	8			1	6						4	9			2	7
	5	0	2	4	6	8									1	3	5	7	9
	6	0	5						2	7			4	9						1	6			3	8
	7	0					3		6		9		2		5					8		1		4		7
	8	0	5						4	9			3	8						2	7			1	6
	9	0					9		8		7		6		5					4		3		2		1
	上表よりn1が５以外の奇数のときｑに対しｐは0から9に一意に定まる。
			n1、ｑが５以外の奇数のときｐは５以外の奇数を取る。
			n1が偶数のときｑは偶数となりｐは2つの値をとり互いに同一の数は無い。 （０から９に割り振られる）
			n1が5のときｑは0または5となりｐはｑ＝0のとき偶数を取り ｑ＝５のとき奇数を取る。
			上記以外のｎ１、ｑの組み合わせについてはｐは整数にならない。

問題１：　３乗したときときの下４桁が７７７７となる最小の自然数を求めよ。

�Dから　　A=3

�Cから

27+27×B=10^2S+10^3T+77    (0≦S≦9、0≦T≦9）

           b=(10S+10^2T+5)/27　より　1桁目が5で27で割り切れ、その商が1桁になる数は135なのでS=3,T=1

           b=5、B=50　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

�Bから

27+3(9×50+9C+2500×3）＝10^3S+10^4T+777   (0≦S≦9、0≦T≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝（10S+10^2T-231）/27

SとＴから下ろして　　　　　　ｃ＝（10S+10^2T+9）/27　より　1桁目が9で27で割り切れ、

その商が1桁になる数は189なのでS=8,T=1

　　　　　ｃ＝7、C=700　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

以上から求める自然数は

　　　　　　　　753・・・・回答　（753＾3＝426957777）

念のため

�Aから

27+125000+3(450+6300+9D+7500)+6×105000＝10^4S+10^5T+7777   (0≦S≦9、0≦T≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T-790）/27

SとＴから下ろして　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+0）/27　より　1桁目が0で27で割り切れ、

その商が1桁になる数は0なのでS=0,T=0

         d=0、Ｄ＝0　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

問題２：　３乗したときときの下４桁が１１１１となる最小の自然数を求めよ。

�Dから　　A=1

�Cから

1+3×B=10^2S+10^3T+11    (0≦S≦9、0≦T≦9）

           b=(10S+10^2T+1)/3　より　1桁目が1で3で割り切れ、その商が1桁になる数は21なのでS=2,T=0

           b=7、B=70　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

�Bから

1+3(70+C+4900）＝10^3S+10^4T+111   (0≦S≦9、0≦T≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝（10S+10^2T-148）/3

SとＴから下ろして　　　　　　ｃ＝（10S+10^2T+2）/3　より　1桁目が2で3で割り切れ、

その商が1桁になる数は12なのでS=1,T=0

　　　　　ｃ＝4、C=400　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

�Aから

1+343000+3(70+400+D+4900)+6×28000＝10^4S+10^5T+1111  (0≦S≦9、0≦T≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T-526）/3

SとＴから下ろして　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+4）/3　より　1桁目が4で3で割り切れ、

その商が1桁になる数は24なのでS=2,T=0

         d=8、Ｄ＝8000　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

以上から求める自然数は

　　　　　　　　8471・・・・回答　（8471＾3＝607860671111）

問題３：　３乗したときときの下４桁が３３３３となる最小の自然数を求めよ。

�Dから　　A=7

�Cから

343+147×B=10^2S+10^3T+10^5Ｕ+33   (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　 b=(10S+10^2T+10^3Ｕ-31)/147

SとＴから下ろして　　　　　 b＝（10S+10^2T+10^3Ｕ+9）/147　より　1桁目が9で147で割り切れ、

その商が1桁になる数は1029なのでS=2,T=0,U=1

           b=7、B=70　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

�Bから

343+3(3430+49C+34300）＝10^3S+10^4T+333   (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝(10S+10^2T+10^3Ｕ-1132)/147

SとＴから下ろして　　　　　　ｃ＝（10S+10^2T+8）/147　より　1桁目が8で147で割り切れ、

その商が1桁になる数は588なのでS=8,T=5

　　　　　ｃ＝4、C=400　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

�Aから

343+343000+3(3430+19600+49D+34300)+6×196000＝10^4S+10^5T+10^6Ｕ+3333  (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ-1688）/147

SとＴとＵから下ろして　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10^2S+10^3T+2）/147　より　1桁目が2で147で割り切れ、

その商が1桁になる数は882なのでS=8,T=8,Ｕ=0

         d=6、Ｄ＝6000　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

以上から求める自然数は

　　　　　　　　6477・・・・回答　（6477＾3＝271720053333）

問題４：　３乗したときときの下４桁が９９９９となる最小の自然数を求めよ。

�Dから　　A=9

�Cから

729+243×B=10^2S+10^3T+10^4Ｕ+99   (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　 b=(10S+10^2T+10^3Ｕ-63)/243

SとＴから下ろして　　　　　 b＝（10S+10^2T+10^3Ｕ+7）/243　より　1桁目が7で243で割り切れ、

その商が1桁になる数は2187なのでS=8,T=1,U=2

           b=9、B=90　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

�Bから

729+3(7290+81C+72900）＝10^3S+10^4T+999   (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝(10S+10^2T+10^3Ｕ-2403)/243

SとＴとＵから下ろして　　　　　　ｃ＝（10S+10^2T+10^3Ｕ+7）/243　より　1桁目が7で243で割り切れ、その商が1桁になる数は2187なのでS=8,T=1,U=2

　　　　　ｃ＝9、C=900　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

�Aから

729+729000+3(7290+72900+81D+72900)+6×729000＝10^4S+10^5T+10^6Ｕ+9999  (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ-5553）/243

SとＴとＵから下ろして　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ+7）/243　より　1桁目が7で243で割り切れ、

その商が1桁になる数は2187なのでS=8,T=1,U=2

         d=9、Ｄ＝9000　　　　　　　　　　（準備２による一意性）

以上から求める自然数は

　　　　　　　　9999・・・・回答　（9999＾3＝999700029999）

　　　問題４：別解

自然数ｋを自然数ｍに対し次のようにおきます。

ｋ＝10＾ｍ-1

ｋ^３=(10＾ｍ-1)＾3＝１０＾（３ｍ）-３・１０^(２ｍ)+３・１０^ｍ-1

　　　　　　　　　　　＝10＾（2ｍ）・（10＾ｍ-3）+（3・10＾ｍ-1）

右辺第１項は

　　　10＾（2ｍ）・（9・10＾（ｍ-1）+9・10＾（ｍ-2）+9・10＾（ｍ-3）+9・10＾（ｍ-4）・・・・・＋9・10＾1＋7）

これは

9がｍ-1個7が1個0が2ｍ個の数となります

ｍ＝1で

700

ｍ＝2で

970,000

ｍ＝3で

997,000,000

ｍ＝4で

999,700,000,000

右辺第2項は

2・10＾ｍ+9・10＾（ｍ-1）+9・10＾（ｍ-2）+9・10＾（ｍ-3）+9・10＾（ｍ-4）・・・・・＋9・10＾1＋9

これは

2が1個9がｍ個の数となります（ｍ+１桁）

ｍ＝1で

29

ｍ＝2で

299

ｍ＝3で

2,999

ｍ＝4で

29,999

第１項目の7は２ｍ+１桁に在り、第２項目の2はｍ+１桁目にあるので加算されません。

したがって、3乗したとき下ｍ桁が9となる自然数はｋ（ｍ桁の9）に等しくなります。

よってｍ＝4のとき

　　　　　　　　9999・・・・回答　（9999＾3＝999700029999）

一意性の証明

・ 別解から3乗したとき下ｍ桁が9となる自然数はｋ（ｍ桁の9）に等しくなることが判り、本解により一意性が証明される。

・ したがって別解の一意性は証明されたことになります。

問題５：　３乗したときときの下３桁が８８８となる最小の自然数を求めよ。

�Dから　　A=2

�Cから

8+12×B=10^2S+10^3T+10^4Ｕ+88   (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　 b=(10S+10^2T+10^3Ｕ+8)/12　　より　1桁目が8で12で割り切れ、その商が1桁になる数は　　　　　　　　　　（準備２による2価性）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　48　S=4,T=0,U=0　　b=4、B=40    ・・・（ア）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　108　S=0,T=1,U=0　　b=9、B=90　　・・・（イ）

�Bから

2桁目が（ア）

8+3(160+4C+3200）＝10^3S+10^4T+10^5Ｕ+888  (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝(10S+10^2T+10^3Ｕ-92)/12

SとＴから下ろして　　　　　　ｃ＝(10S+10^2T+10^3Ｕ+8）/12　より　1桁目が8で12で割り切れ、その商が1桁になる数は　　　　　　　　　　（準備２による2価性）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　48　S=4,T=0,U=0　　ｃ=4、C=400  ・・・（エ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　108　S=0,T=1,U=0　　ｃ=9、C=900  ・・・（オ）

2桁目が（イ）

8+3(360+4C+16200）＝10^3S+10^4T+10^5Ｕ+888  (0≦S≦9、0≦T≦9、0≦Ｕ≦9）

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ＝(10S+10^2T+10^3Ｕ-488)/12

SとＴから下ろして　　　　　　ｃ＝(10S+10^2T+10^3Ｕ+2）/12　より　1桁目が2で12で割り切れ、その商が1桁になる数は　　　　　　　　　　（準備２による2価性）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12　S=1,T=0,U=0　　ｃ=1、C=100  ・・・（カ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　72　S=7,T=0,U=0　　ｃ=6、C=600  ・・・（キ）

よって下３桁が888となる立方数は

　　　　　　　　192・・・・　　　　（192＾3＝7,077,888）・・・・・回答　　 　（カ）（イ）2

　　　　　　　　692・・・・ 　（692＾3＝331,373,888）　　　　　　　　　　 （キ）（イ）2

　　　　　　　　942・・・・ 　（942＾3＝835,896,888）　　　　　　　　　　 （オ）（ア）2

　　　　　　　　442・・・・ 　（442＾3＝86,350,888）　　　　　　　　　　　（エ）（ア）2

問題５'：　３乗したときときの下4桁が8８８８となる最小の自然数を求めよ。

A^3+B^3+3(A^2B+A^2C+A^2D+B^2A)+6ABC・・・・�A

�Aから

3桁目までが192の時

8+729000+3（360+400+4D+16200)+6*18000=10^4S+10^5T+10^6Ｕ+8888

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ-879）/12

SとＴとＵから下ろして　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ+1）/12　より　1桁目が1で12で割り切れ、

その商が1桁になる数は無い。（準備２による不存在）

3桁目までが692の時

8+729000+3（360+2400+4D+16200)+6*108000=10^4S+10^5T+10^6Ｕ+8888

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ-1425）/12

SとＴとＵから下ろして　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ+5）/12　より　1桁目が5で12で割り切れ、

その商が1桁になる数は無い。（準備２による不存在）

3桁目までが942の時

8+64000+3（160+3600+4D+3200)+6*72000=10^4S+10^5T+10^6Ｕ+8888

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ-508）/12

SとＴとＵから下ろして　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ+2）/12　より　1桁目が2で12で割り切れ、

その商が1桁になる数は　　　（準備２による2価性）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12　S=1,T=0,U=0　　ｄ=1、Ｄ=1000  ・・・（ク）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　72　S=7,T=0,U=0　　ｄ=6、Ｄ=6000  ・・・（ケ）

3桁目までが442の時

8+64000+3（160+1600+4D+3200)+6*32000=10^4S+10^5T+10^6Ｕ+8888

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ-262）/12

SとＴとＵから下ろして　　　　　　　　　　　　d＝（10S+10^2T+10^3Ｕ+8）/12　より　1桁目が4で12で割り切れ、

その商が1桁になる数は　　　　（準備２による2価性）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　48　S=4,T=0,U=0　　ｄ=4、Ｄ=4000  ・・・（サ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　108　S=0,T=1,U=0　　ｄ=9、Ｄ=9000  ・・・（シ）

　　　　　　　　1942・・・・ 　　（1942＾3＝7,323,988,888）・・・・・回答　　 （ク）（オ）（ア）2

　　　　　　　　6942・・・・ 　　（6942＾3＝334,544,448,888）　　　　　　　　（ケ）（オ）（ア）2

　　　　　　　　4442・・・・ 　（4442＾3＝87,646,718,888）　　　　　　　　　（サ）（エ）（ア）2

　　　　　　　　9442・・・・ 　（9442＾3＝841,767,178,888）　　　　　　　　（シ）（エ）（ア）2

準備2により、下桁が5以外の奇数の時は一意に決まりますが偶数の場合どんどん検討しなければならない数が増えます。

まだまだ一般的な解法がありそうですが、力足らずで時間切れです。

最後に解いている過程で面白い表を作ったので蛇足ながら加えておきます。

A^nの一桁目の表
	n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
	A	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	A	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	A	2	4	8	6	2	4	8	6	2	4	8	6	2	4	8	6	2
	A	3	9	7	1	3	9	7	1	3	9	7	1	3	9	7	1	3
	A	4	6	4	6	4	6	4	6	4	6	4	6	4	6	4	6	4
	A	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
	A	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6
	A	7	9	3	1	7	9	3	1	7	9	3	1	7	9	3	1	7
	A	8	4	2	6	8	4	2	6	8	4	2	6	8	4	2	6	8
	A	9	1	9	1	9	1	9	1	9	1	9	1	9	1	9	1	9

ＮＯ４「二度漬け白菜」7/27 17時13分受信 更新7/28

計算機を使って求めました。

(解答)
問題1: 753
問題2: 8471
問題3: 6477
問題4: 9999
問題5: 192

ところで、任意の正整数nに対して、3乗したときの下n桁が
777…7 (7がn個続く)
となるような正整数は必ず存在するのでしょうか？
3^3=27,
53^3=148877,
753^3=426957777,
60753^3=224234888577777,
660753^3=288481143504777777
となっています。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。