平成２５年9月8日

[流れ星]

　　　　　第２９６回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：８月18日～9月8日＞

［整数の問題］

朝倉書店「数論の精選104問」から数学Ａで扱う整数の問題を見つけました。

ただし、数の表記ですが、例えば３桁の数100ａ＋10ｂ＋ｃをａｂｃとします。

問題１：次の方程式では各文字は10進法における桁の数字を表す。異なる文字には異なる数字が入る。

　　　　（ｂａ）×（ｃａ）＝ｄｄｄ

　　　　このとき、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄを求めよ。

問題２：６桁の正の整数ａｂｃｄｅｆの７倍は６桁の正の整数ｄｅｆａｂｃの６倍に等しい。このようなａｂｃｄｅｆを求めよ。

問題３：立方体の各面に正の整数が１つずつ書かれている。この立方体の各頂点Ｐについて、Ｐを含む３つの面に書かれた数の積を計算し、その値をＰに書く。８つの頂点に書かれた数の和が1001であるとき、６つの面に書かれた数の和を求めよ。

ＮＯ１「uchinyan」  08/18 12時54分受信 更新9/8

問題１：ba * ca = ddd = d * 111 = d * 3 * 37

37 は素数なので ba か ca を割り切りますが。

求めるのは a + b + c + d で b と c に関して対称なので，ba を割り切るとして十分です。

また， ba は２桁の数なので，ba = 37 * 1 = 37 又は 37 * 2 = 74 しかあり得ません。

ba = 37 の場合

b = 3，a = 7，c7 = d * 3，より，d = 9，c7 = 27，c = 2，となって，

a，b，c，d はすべて異なり題意を満たすので，a + b + c + d = 21，です。

ba = 74 の場合

b = 7，a = 4，c4 = d/2 * 3，より，d/2 = 8 しかあり得ませんが，d = 16 > 9，

となって，題意を満たさず，解はありません。

以上より，結局，a + b + c + d = 21，になります。

ちなみに，37 * 27 = 27 * 37 = 999，ですね。

問題２：

abcdef * 7 = defabc * 6

(1000 * abc + def) * 7 = (1000 * def + abc) * 6

7000 + abc + 7 * def = 6000 * def + 6 * abc

6994 * abc = 5993 * def

ここで，6994 と 5993 の最大公約数をユークリッドの互除法で求めると，

6994 = 5993 * 1 + 1001，5993 = 1001 * 5 + 988，1001 = 988 * 1 + 13，988 = 13 * 76 + 0

つまり，13 が最大公約数です。そこで，両辺を 13 で割って，

538 * abc = 461 * def

ここで，538 と 461 は互いに素なので，abc = 461，def = 538，となるしかありません。

そこで，abcdef = 461538，になります。　実際，

461538 * 7 = 3230766 = 538461 * 6　です。

問題３：

立方体を水平な床に置き，上面の数を a，上面の対面である下面の数を b，

上面から見て側面の一つの面の数を c，その対面の数を d，

上面から見て c の左側の面の数を e，その対面の数を f，とします。

すると，各頂点に書かれた数の和は，

ace + bce + aed + bed + adf + bdf + afc + bfc

= (a + b)ce + (a + b)ed + (a + b)df + (a + b)fc

= (a + b)(ce + ed + df + fc)

= (a + b)((c + d)e + (c + d)f)

= (a + b)(c + d)(e + f)

これが 1001 に等しいので，

(a + b)(c + d)(e + f) = 1001 = 7 * 11 * 13

ここで，a，b，c，d，e，f は正の整数なので，a + b >= 2，c + d >= 2，e + f >= 2，より，　a + b，c + d，e + f は，入れ替えは可能ですが，7，11，13 のいずれかになります。

そこで，

各面の数の和 = a + b + c + d + e + f = 7 + 11 + 13 = 31　になります。

(感想)いずれも，一見ややこしそうに見えるのですが，実は容易に求まってしまうのは面白いですね。

問題１：は，各値ではなく和を求めればいいので，もう一工夫できるのかも，ですが，ちょっと思い付きませんでした。

問題２：は，abc = x，def = y，と置いた方が分かりやすいかも知れません。

問題３：は，文字の置き方はもちろん他の置き方でも構いません。

しかし，対面の和の積になるとは。面白い性質ですね。

ＮＯ２「Iga」　　　 08/20 00時47分受信 更新9/8

お久しぶりです、Igaです。

１１１＝３×３７や

１１１１１１１１１＝９×１２３４５６７９＝９×３７×３３３６６７、

１００１＝７×１１×１３などは不思議な数、面白い数のタネとしてよく使っていましたので今回は、素因数分解を利用すればなんとかなると思ってチャレンジしました。
問題１　ｄｄｄ＝ｄ×１１１
　　　　　　　＝ｄ×３×３７
　　なので　ｂａ＝ｄ×３　、　ｃａ＝３７
　　よって、ａ＝７，ｃ＝３
　　また、ｂ７＝ｄ×３は３の倍数で、ｄは１～９の自然数だから
　　　　　　　ｂ＝２，ｄ＝９
　以上より、　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝７＋２＋３＋９
　　　　　　　　　　　　　　＝２１

問題２　ａｂｃ＝ｘ，ｄｅｆ＝ｙとおく。
　　　　題意より　（１０００ｘ＋ｙ）×７＝（１０００ｙ＋ｘ）×６
　　　　　　　　　　　　　７０００ｘ＋７ｙ＝６０００ｙ＋６ｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　６９９４ｘ＝５９９３ｙ
　　　　ここで、５９９４＝２×１３×２６９　，　５９９３＝１３×４６１　なので
　　　　両辺を１３でわって　　５３８ｘ＝４６１ｙ
　　　　ｘ，ｙは３ケタの自然数なので、　ｘ＝４６１　，　ｙ＝５３８
　　　　よって、ａｂｃｄｅｆ＝４６１５３８

問題３　積を通常の表記で表します。
　　　６つの面に書かれている数を、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆとし、
　　　８個の頂点をＰ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，Ｐ５，Ｐ６，Ｐ７，Ｐ８とする。
　　　Ｐ１＝ａｅｆ，Ｐ２＝ａｂｆ，Ｐ３＝ａｂｃ，Ｐ４＝ａｃｅ，
　　　Ｐ５＝ｄｅｆ，Ｐ６＝ｄｂｆ，Ｐ７＝ｄｂｃ，Ｐ８＝ｄｃｅ　となる。
　　　その合計は、
　　　Ｐ１＋Ｐ２＋Ｐ３＋Ｐ４＋Ｐ５＋Ｐ６＋Ｐ７＋Ｐ８　　　　　　　　　＝１００１
＝ａｅｆ＋ａｂｆ＋ａｂｃ＋ａｃｅ＋ｄｅｆ＋ｄｂｆ＋ｄｂｃ＋ｄｃｅ
＝ａ（ｂｃ＋ｂｆ＋ｃｅ＋ｅｆ）＋ｄ（ｂｃ＋ｂｆ＋ｃｅ＋ｅｆ）
＝（ａ＋ｄ）（ｂｃ＋ｂｆ＋ｅｃ＋ｅｆ）
＝（ａ＋ｄ）（ｂ＋ｅ）（ｃ＋ｆ）＝１００１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝７×１１×１３
　以上より、ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆ　は　７，１１，１３　の組み合わせである。
　（ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆの３つの数は、どれか１つが７で、残りの２つのうちどちらかが１１で、残りの１つが１３であるということ）
　よって、　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝（ａ＋ｄ）＋（ｂ＋ｅ）＋（ｃ＋ｆ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝７＋１１＋１３
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３１
なかなか楽しい問題でした。またよろしくお願いします。

ＮＯ３「浜田明巳」　08/20 09時12分受信 更新9/8

問題１
　ＶＢＳＣＲＩＰＴで計算した．
　０≦ａ≦９，１≦ｂ≦９，１≦ｃ≦９として，それぞれの場合のａ，ｂ，ｃに対して，
　　ｂａ×ｃａ＝ｄｄｄ
すなわち，
　　(１０×ｂ＋ａ)×(１０×ｃ＋ａ)＝１００×ｄ＋１０×ｄ＋ｄ
を計算する．１００≦ｄｄｄ≦９９９かつｄｄｄが１１１の倍数であるときに，
　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ
　このスクリプトにより，答は
　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝２１，(ａ，ｂ，ｃ，ｄ)＝(７，２，３，９)，(７，３，２，９)
　　（２７×３７＝９９９）
であることが分かる．

for a=0 to 9
   for b=1 to 9
     if a<>b then
       for c=1 to 9
         if a<>c and b<>c then
           ddd=(10*b+a)*(10*c+a)
           if 999>=ddd and ddd>=100 and ddd mod 111=0 then
             d=ddd/111
             msgbox (a+b+c+d)&",(a,b,c,d)=("&a&","&b&","&c&","&d&")"
           end if
         end if
       next
     end if
   next
next

問題２
　ＶＢＳＣＲＩＰＴで計算した．
　　ａｂｃｄｅｆ×７＝ｄｅｆａｂｃ×６
すなわち，
　　７(１０００×ａｂｃ＋ｄｅｆ)＝６(１０００×ｄｅｆ＋ａｂｃ)
　　∴ｄｅｆ＝(６－７×１０００)×ａｂｃ／(７－６×１０００）
　つまり，ａｂｃの値からｄｅｆの値を求めることができる．
　１００≦ａｂｃ≦９９９として，ｄｅｆが１００以上９９９以下の整数になる場合を求め，表示する．
　このスクリプトにより，答は，
　　４６１５３８
　　（４６１５３８×７＝５３８４６１×６＝３２３０７６６）
であることが分かる．

for abc=100 to 999
   def=int((6-1000*7)*abc/(7-1000*6))
   if 100<=def and def<=999 and (1000*abc+def)*7=(1000*def+abc)*6 then
     msgbox 1000*abc+def
   end if
next

問題３
　図のように，立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨの６面に正整数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆを書く．


　点Ａにはａ×ｂ×ｆ，点Ｂにはａ×ｂ×ｃ，点Ｃにはａ×ｃ×ｄ，点Ｄにはａ×ｄ×ｆ，点Ｅにはｂ×ｅ×ｆ，点Ｆにはｂ×ｃ×ｅ，点Ｇにはｃ×ｄ×ｅ，点Ｈにはｄ×ｅ×ｆが書かれる（面積のない点上に何か書くことができるのか，疑問なのですが）．
　　∴ａ×ｂ×ｆ＋ａ×ｂ×ｃ＋ａ×ｃ×ｄ＋ａ×ｄ×ｆ＋ｂ×ｅ×ｆ＋ｂ×ｃ×ｅ＋ｃ×ｄ×ｅ＋ｄ×ｅ×ｆ＝１００１
　また対称性から，ａを最小とし，
　　ａ≦ｂ≦ｃ，ｂ≦ｄ，ｂ≦ｆ，ａ≦ｅ
としてよい．
　この考えに基づき，十進ＢＡＳＩＣで計算した．
　このプログラムにより，答は
　　３１
であることが分かる．このときのａ～ｆは多数ある．

OPTION BASE 0
DIM n(6)
DIM nn(6,1000)
LET n(0)=0
FOR a=1 TO 1001
   FOR b=a TO 1001
     LET c=b
     DO WHILE 1001>a*b*c
       LET d=b
       DO WHILE 1001>a*b*c+a*c*d
         LET e=a
         DO WHILE 1001>a*b*c+a*c*d+b*c*e+c*d*e
           LET f=INT((1001-(a*b*c+a*c*d+b*c*e+c*d*e))/(a*b+a*d+b*e+d*e))
           IF f>=b AND a*b*f+a*b*c+a*c*d+a*d*f+b*e*f+b*c*e+c*d*e+d*e*f=1001 THEN
             LET n(1)=a
             LET n(2)=b
             LET n(3)=c
             LET n(4)=d
             LET n(5)=e
             LET n(6)=f
             FOR j=1 TO 6-1
               FOR jj=j+1 TO 6
                 IF n(j)>n(jj) THEN
                   LET dummy=n(j)
                   LET n(j)=n(jj)
                   LET n(jj)=dummy
                 END IF
               NEXT jj
             NEXT j
             LET deta=0
             LET j=1
             DO WHILE deta=0 AND n(0)>=j
               LET onaji=0
               FOR jj=1 TO 6
                 IF n(jj)=nn(jj,j) THEN
                   LET onaji=onaji+1
                 END IF
               NEXT jj
               IF onaji=6 THEN
                 LET deta=1
               ELSE
                 LET j=j+1
               END IF
             LOOP
             IF deta=0 THEN
               LET n(0)=n(0)+1
               LET wa=0
               FOR j=1 TO 6
                 LET nn(j,n(0))=n(j)
                 LET wa=wa+n(j)
               NEXT j
               PRINT wa;"(";
               FOR j=1 TO 6
                 PRINT n(j);
                 IF 6>j THEN
                   PRINT ",";
                 END IF
               NEXT j
               PRINT ")"
             END IF
           END IF
           LET e=e+1
         LOOP
         LET d=d+1
       LOOP
       LET c=c+1
     LOOP
   NEXT b
NEXT a
END

　ａ～ｆは以下の８８通り．
31 :{ 1 , 1 , 1 , 6 , 10 , 12 } 1
31 :{ 1 , 1 , 2 , 6 , 10 , 11 } 2
31 :{ 1 , 1 , 2 , 6 , 9 , 12 } 3
31 :{ 1 , 1 , 2 , 5 , 10 , 12 } 4
31 :{ 1 , 1 , 3 , 6 , 10 , 10 } 5
31 :{ 1 , 1 , 3 , 6 , 8 , 12 } 6
31 :{ 1 , 1 , 3 , 4 , 10 , 12 } 7
31 :{ 1 , 1 , 4 , 6 , 9 , 10 } 8
31 :{ 1 , 1 , 4 , 6 , 7 , 12 } 9
31 :{ 1 , 1 , 5 , 6 , 8 , 10 } 10
31 :{ 1 , 1 , 5 , 6 , 6 , 12 } 11
31 :{ 1 , 1 , 6 , 6 , 7 , 10 } 12
31 :{ 1 , 2 , 2 , 5 , 10 , 11 } 13
31 :{ 1 , 2 , 2 , 5 , 9 , 12 } 14
31 :{ 1 , 2 , 2 , 6 , 9 , 11 } 15
31 :{ 1 , 2 , 3 , 5 , 10 , 10 } 16
31 :{ 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 12 } 17
31 :{ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 10 } 18
31 :{ 1 , 2 , 3 , 4 , 9 , 12 } 19
31 :{ 1 , 2 , 3 , 6 , 8 , 11 } 20
31 :{ 1 , 2 , 3 , 4 , 10 , 11 } 21
31 :{ 1 , 2 , 4 , 5 , 9 , 10 } 22
31 :{ 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 12 } 23
31 :{ 1 , 2 , 4 , 6 , 9 , 9 } 24
31 :{ 1 , 2 , 4 , 6 , 7 , 11 } 25
31 :{ 1 , 2 , 5 , 5 , 8 , 10 } 26
31 :{ 1 , 2 , 5 , 5 , 6 , 12 } 27
31 :{ 1 , 2 , 5 , 6 , 8 , 9 } 28
31 :{ 1 , 2 , 5 , 6 , 6 , 11 } 29
31 :{ 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 10 } 30
31 :{ 1 , 2 , 6 , 6 , 7 , 9 } 31
31 :{ 1 , 3 , 3 , 4 , 10 , 10 } 32
31 :{ 1 , 3 , 3 , 4 , 8 , 12 } 33
31 :{ 1 , 3 , 3 , 6 , 8 , 10 } 34
31 :{ 1 , 3 , 4 , 4 , 9 , 10 } 35
31 :{ 1 , 3 , 4 , 4 , 7 , 12 } 36
31 :{ 1 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 } 37
31 :{ 1 , 3 , 4 , 6 , 7 , 10 } 38
31 :{ 1 , 3 , 4 , 5 , 8 , 10 } 39
31 :{ 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 12 } 40
31 :{ 1 , 3 , 5 , 6 , 8 , 8 } 41
31 :{ 1 , 3 , 5 , 6 , 6 , 10 } 42
31 :{ 1 , 3 , 6 , 6 , 7 , 8 } 43
31 :{ 1 , 4 , 4 , 6 , 7 , 9 } 44
31 :{ 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } 45
31 :{ 1 , 4 , 5 , 6 , 6 , 9 } 46
31 :{ 1 , 4 , 6 , 6 , 7 , 7 } 47
31 :{ 1 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 } 48
31 :{ 1 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7 } 49
31 :{ 2 , 2 , 2 , 5 , 9 , 11 } 50
31 :{ 2 , 2 , 3 , 5 , 9 , 10 } 51
31 :{ 2 , 2 , 3 , 5 , 8 , 11 } 52
31 :{ 2 , 2 , 3 , 4 , 9 , 11 } 53
31 :{ 2 , 2 , 4 , 5 , 9 , 9 } 54
31 :{ 2 , 2 , 4 , 5 , 7 , 11 } 55
31 :{ 2 , 2 , 5 , 5 , 8 , 9 } 56
31 :{ 2 , 2 , 5 , 5 , 6 , 11 } 57
31 :{ 2 , 2 , 5 , 6 , 7 , 9 } 58
31 :{ 2 , 3 , 3 , 4 , 9 , 10 } 59
31 :{ 2 , 3 , 3 , 4 , 8 , 11 } 60
31 :{ 2 , 3 , 3 , 5 , 8 , 10 } 61
31 :{ 2 , 3 , 4 , 4 , 9 , 9 } 62
31 :{ 2 , 3 , 4 , 4 , 7 , 11 } 63
31 :{ 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9 } 64
31 :{ 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 10 } 65
31 :{ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 11 } 66
31 :{ 2 , 3 , 5 , 5 , 8 , 8 } 67
31 :{ 2 , 3 , 5 , 5 , 6 , 10 } 68
31 :{ 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 9 } 69
31 :{ 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 } 70
31 :{ 2 , 4 , 4 , 5 , 7 , 9 } 71
31 :{ 2 , 4 , 5 , 5 , 7 , 8 } 72
31 :{ 2 , 4 , 5 , 5 , 6 , 9 } 73
31 :{ 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 } 74
31 :{ 2 , 5 , 5 , 5 , 6 , 8 } 75
31 :{ 2 , 5 , 5 , 6 , 6 , 7 } 76
31 :{ 3 , 3 , 3 , 4 , 8 , 10 } 77
31 :{ 3 , 3 , 4 , 4 , 8 , 9 } 78
31 :{ 3 , 3 , 4 , 4 , 7 , 10 } 79
31 :{ 3 , 3 , 4 , 5 , 8 , 8 } 80
31 :{ 3 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 } 81
31 :{ 3 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } 82
31 :{ 3 , 4 , 4 , 4 , 7 , 9 } 83
31 :{ 3 , 4 , 4 , 5 , 7 , 8 } 84
31 :{ 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 9 } 85
31 :{ 3 , 4 , 4 , 6 , 7 , 7 } 86
31 :{ 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 8 } 87
31 :{ 3 , 4 , 5 , 6 , 6 , 7 } 88

「浜田明巳」　08/22 15時35分受信 更新9/8

問題１（別解）
　　ｂａ×ｃａ＝ｄｄｄ＝ｄ×１１１＝ｄ×３×３７
　３７は素数なので，ｂａ，またはｃａは３７の倍数である．
i). ｂａが３７の倍数のとき，ｂａ＝３７，３７×２
　ア). ｂａ＝３７，すなわち(ａ，ｂ)＝(７，３)のとき，
　　　３７×(１０×ｃ＋７)＝ｄ×３×３７
　　　∴１０×ｃ＋７＝ｄ×３
　　１≦ｄ≦９，ｃ≧１から，
　　　１７≦１０×ｃ＋７＝ｄ×３≦２７
　　　∴(ｃ，ｄ)＝(２，９)
　イ). ｂａ＝３７×２＝７４，すなわち(ａ，ｂ)＝(４，７)のとき，
　　　７４×(１０×ｃ＋４)＝ｄ×３×３７
　　　∴２×(１０×ｃ＋４)＝ｄ×３
　　　∴２０×ｃ＋８＝ｄ×３
　　１≦ｃ≦９，１≦ｄ≦９であるから，この式を満たすｃ，ｄは存在しない．
　まとめると，
　　(ａ，ｂ，ｃ，ｄ)＝(７，３，２，９)
ii). ｃａが３７の倍数のとき，i).と同様に，
　　(ａ，ｂ，ｃ，ｄ)＝(７，２，３，９)
　i).，ii).から，いずれの場合も
　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝２１

問題２（別解）
　　ａｂｃｄｅｆ×７＝ｄｅｆａｂｃ×６
　　∴７(１０００×ａｂｃ＋ｄｅｆ)＝６(１０００×ｄｅｆ＋ａｂｃ)
　　∴６９９４×ａｂｃ＝５９９３×ｄｅｆ
　　∴１３×５３８×ａｂｃ＝１３×４６１×ｄｅｆ
　　∴５３８×ａｂｃ＝４６１×ｄｅｆ………①
　４６１と５３８は互いに素なので，①は，４６１×５３８の倍数である．
　１００≦ａｂｃ≦９９９，１００≦ｄｅｆ≦９９９なので，
　　(ａｂｃ，ｄｅｆ)＝(４６１，５３８)
　　∴ａｂｃｄｅｆ＝４６１５３８

問題３（別解）
　図のように，立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨの６面に正整数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆを書く．


　条件から，
　　ａ×ｂ×ｆ＋ａ×ｂ×ｃ＋ａ×ｃ×ｄ＋ａ×ｄ×ｆ＋ｂ×ｅ×ｆ＋ｂ×ｃ×ｅ＋ｃ×ｄ×ｅ＋ｄ×ｅ×ｆ＝１００１
　　∴左辺＝ａ×(ｂ×ｆ＋ｂ×ｃ＋ｃ×ｄ＋ｄ×ｆ)＋ｅ×(ｂ×ｆ＋ｂ×ｃ＋ｃ×ｄ＋ｄ×ｆ)
　　　　　＝(ａ＋ｅ)×(ｂ×ｆ＋ｂ×ｃ＋ｃ×ｄ＋ｄ×ｆ)
　　　　　＝(ａ＋ｅ)×{ｂ×(ｆ＋ｃ)＋ｄ×(ｃ＋ｆ)}
　　　　　＝(ａ＋ｅ)×(ｂ＋ｄ)×(ｃ＋ｆ)
　　　右辺＝７×１４３＝７×１１×１３
　２≦ａ＋ｅ，２≦ｂ＋ｄ，２≦ｃ＋ｆから，
　　{ａ＋ｅ，ｂ＋ｄ，ｃ＋ｆ}＝{７，１１，１３}
　　∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝７＋１１＋１３＝３１

 

ＮＯ４「にいばりZ12」8/27 00時45分受信 更新9/8

問題１

・題意からabcdは非負整数とします（負整数を含むと、「（ａ,ｂ,ｃ,ｄ）の組を全て求めよ」となると思うので。）

ba×ca=ddd・・・題意表記演算

(10b+a)(10c+a)＝100d+10d+d＝111ｄ

100bc+10a(b+c)+a^2＝111ｄ・・・・①

左辺一桁目は平方数の1桁めでｄに等しい

故にa≠ｄから（a,d)は

（2,4)

（3,9)

（4,6)

（7,9)

（8,4)

（9,1)

のいずれかしかとらない

このことから

ｄは1、4、6、9（平方数の一桁目）のいずれかである・・・・②

 

各々のｄｄｄについて素因数分解し

(ba,ca)の組み合わせを列挙すると表1のようになりますが

表1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

ddd

素因数

(ba,ca)の組み合わせ

 

1

111

　

　

　

3

37

(3,37)

　

　

　

　

 

2

222

　

　

2

3

37

　

　

　

　

　

 

3

333

　

　

3

3

37

　

　

　

　

　

 

4

444

　

2

2

3

37

(2,222)

(3,148)

(4,111)

(12,37)

(6,74)

 

5

555

　

　

5

3

37

　

　

　

　

　

 

6

666

　

2

3

3

37

(2,333)

(3,222)

(6,111)

(18,37)

(9,74)

 

7

777

　

　

7

3

37

　

　

　

　

　

 

8

888

2

2

2

3

37

　

　

　

　

　

 

9

999

　

3

3

3

37

(3,333)

(9,111)

(27,37)

　

　

 

 

a≠ｂ≠ｃ≠ｄを満たし且つ(ba,ca)の組み合わせの一桁目（a）が等しいのは

(27,37)だけでありこのことから

ａ＝7

ｂ＝2,ｃ＝3

ｂ＝3,ｃ＝2

ｄ＝9

よって

a+ｂ+ｃ+ｄ＝21・・・回答

別解

この問題を考える時先ず、ｄ≠0は自明です（a≠ｄからｄ＝0とするとa＝0となり成立しない)

次にdddを2桁の数の合成数に出来るか

言い換えれば、2桁の因数を持つかを考えます

ｄが1から9の何れの数であってもdddは①から111を因数に持ちます

111を素因数分解すると3×37です

（もし、素因数に3桁があれば、解無しと結論できます・・（素因数分解の一意性から））

このことからｄが1から9の何れの数であってba,caのいずれかは37または37×2＝74となります。

何故なら、37を素因数に含む因数で2桁の因数は上記2つしかありません。

次に、

ca(baでも良い）が、37であった時ｃ＝3、a＝7なので①から

300ｂ+70ｂ+210+49＝111ｄ

∴ｄ＝9、ｂ＝（999-259）/370＝2となり

a≠ｂ≠ｃ≠ｄを満たし成立

 

ca(baでも良い）が、74であった時ｃ＝7、a＝4なので①から

700ｂ+40ｂ+280+16＝111ｄ

∴ｄ＝6、ｂ＝（666-296）/740＝1/2となり

整数とならないので不成立

したがって

ａ＝7

ｂ＝2,ｃ＝3

ｂ＝3,ｃ＝2

ｄ＝9

a+ｂ+ｃ+ｄは一意に定まり

a+ｂ+ｃ+ｄ＝21・・・・・回答

 

別解からの考察1

ba×ca=ddd・・・題意表記演算を拡張し次のように問題を書き換えます

(10b1+a)(10b2+a)(10b3+a)・・・(10bn+a)=((10n+1-1)/9)d

a≠ｂ1≠b2≠・・・≠ｂｎ≠ｄ   （1≦ｎ≦7）  (a,bi,d∈Z∩9≧a,bi,d≧0）

上記を満たすa,bi,dの組を求め、それらの和＝Sを示せ。

 

別解から拡張式右辺を素因数分解したとき3桁の素因数が存在した時解無しとなります。・・（イ）

 

n=1

10b+a=11d

解なし

 

n=2・・・本問

(10b1+a)(10b2+a)=111d

S=21

 

n=3

(10b1+a)(10b2+a)(10b3+a)=1111d

1111を素因数分解すると

11×101

よって（イ）から解なし

 

n=4

(10b1+a)(10b2+a)(10b3+a)(10b4+a)=11111d

11111を素因数分解すると

41×271

よって（イ）から解なし

 

n=5

(10b1+a)(10b2+a)(10b3+a)(10b4+a)(10b5+a)=111111d

111111を素因数分解すると

3×7×11×13×37

左辺の一桁目はa^5の一桁目となり（a^5の一桁目は必ずａと等しくなるので）右辺の一桁目と等しくなります

即ちa=d

よって解なし

A^nの一桁目表

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

A

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 

A

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 

A

2

4

8

6

2

4

8

6

2

4

8

 

A

3

9

7

1

3

9

7

1

3

9

7

 

A

4

6

4

6

4

6

4

6

4

6

4

 

A

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

 

A

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

 

A

7

9

3

1

7

9

3

1

7

9

3

 

A

8

4

2

6

8

4

2

6

8

4

2

 

A

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

 

 

n=6

(10b1+a)(10b2+a)(10b3+a)(10b4+a)(10b5+a)(10b6+a)=1111111d

1111111を素因数分解すると

239×4649

よって（イ）から解なし

 

n=7

(10b1+a)(10b2+a)(10b3+a)(10b4+a)(10b5+a)(10b6+a)(10b7+a)=11111111d

11111111を素因数分解すると

11×73×101×137

よって（イ）から解なし

 

したがって、本問を拡張し、1から9までの数を全て割り振ると言う試みは失敗に終わりました。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

問題2

abc=A

def=B

とおくと

7（1000Ａ+Ｂ）＝6（1000Ｂ+Ａ）

6994と5997を素因数分解し変形整理すると

13×538Ａ＝13×461Ｂ

∴Ａ＝461ｎ、Ｂ＝538ｎ

となりＡＢとも3桁の数となるのはｎ=1の場合だけであるので

abcdef＝461538・・・・・回答

 

問題3

題意から立方体に書かれる数字abcdefは全て異なる正の整数とします

1001を素因数分解すると

7×11×13

立方体の側面4面をａｂｃｄとし上下面をｅｆとすると

（ｅ+ｆ）（ａｂ+ｂｃ+ｃｄ+ad）＝7×11×13・・・①

立方体の側面4面をｂeｄfとし上下面をacとすると

（a+c）（ｂe+ed+df+ef）＝7×11×13・・・②

立方体の側面4面をaecfとし上下面をbdとすると

（b+d）（ae+ec+cf+af）＝7×11×13・・・③

 

題意の回答が存在するとすれば（積の和が1001ではなく素数であれば解なし）

①左辺のａｂ+ｂｃ+ｃｄ+adにおいてabcdが全て異なる正の整数を代入した時の最小数を求めると

a,b,c,dは1,2,3,4のいずれかで円順列になるので下記6通りで各々ａｂ+ｂｃ+ｃｄ+ad（計算上は数珠順列）を求めると

1,2,3,4　2+6+12+4＝24

1,2,4,3　2+8+12+4＝26

1,3,2,4　3+6+8+4＝21

1,3,4,2　3+12+8+3＝26

1,4,2,3　4+8+6+3＝21

1,4,3,2　4+12+6+2＝24

となり、最少数は21なので1001の素因数の何れよりも大きい

したがって①左辺のａｂ+ｂｃ+ｃｄ+ad（②③も同様)は右辺の素因数の2つの積となります

よって、（ｅ+ｆ）、（a+c）、（b+d）は7、11、13のいずれかの数をとります

a≠ｂ≠ｃ≠ｄ≠ｅ≠ｆ

このことは、（ｅ+ｆ）（a+c）（b+d）＝1001、（ｅ+ｆ）+（a+c）+（b+d）＝31

であることを示しています。

よって、a+b+c+d+e+f=31・・・・回答

 

 

「にいばりZ12」8/27 22時40分受信 更新9/8

問題3の一部を訂正させてください

よく考えると、a,b,c,dの並びで対面を取り替えても隣り合う数の積の和は変わらないので「計算上云々」は必要なく単に数珠順列になることに気がつきました。

①左辺のａｂ+ｂｃ+ｃｄ+adにおいてabcdが全て異なる正の整数を代入した時の最小数を求めると

a,b,c,dは1,2,3,4のいずれかで円順列になるので下記6通りで各々ａｂ+ｂｃ+ｃｄ+ad（計算上は数珠順列）を求めると

1,2,3,4　2+6+12+4＝24

1,2,4,3　2+8+12+4＝26

1,3,2,4　3+6+8+4＝21

1,3,4,2　3+12+8+3＝26

1,4,2,3　4+8+6+3＝21

1,4,3,2　4+12+6+2＝24

①左辺のａｂ+ｂｃ+ｃｄ+adにおいてabcdが全て異なる正の整数を代入した時の最小数を求めると

a,b,c,dは1,2,3,4のいずれかで数珠順列（ｎ-1）！/2になるので下記3通りで各々ａｂ+ｂｃ+ｃｄ+adを求めると

1,2,3,4　2+6+12+4＝24

1,2,4,3　2+8+12+4＝26

1,3,2,4　3+6+8+4＝21

「にいばりZ12」8/30 01時16分受信 更新9/8

問題3に関して考えが足りなく、強引な回答を送ってしまいました。

再度考えましたので送信します。ただ、思考の過程から来ることと思いますので途中のじたばたもまたあっても良いのではないかと思います。

現在、問題1と問題3についての考察を考えています。間に合えば送信したいと思います。

 

問題3別解(改良解）

題意から立方体に書かれる数字abcdefは全て異なる正の整数とします

1001を素因数分解すると

7×11×13

立方体の側面4面をａｂｃｄとし上下面をｅｆとすると

（ｅ+ｆ）（ａｂ+ｂｃ+ｃｄ+ad）＝7×11×13・・・①

立方体の側面4面をｂeｄfとし上下面をacとすると

（a+c）（ｂe+ed+df+ｂf）＝7×11×13・・・②

立方体の側面4面をaecfとし上下面をbdとすると

（b+d）（ae+ec+cf+af）＝7×11×13・・・③

 

上記①②③を変形すると

（ｅ+ｆ）（ａｂ+ｂｃ+ｃｄ+ad）＝（ｅ+ｆ）（ａ+ｃ）(b+d）＝7×11×13・・・・・④

（a+c）（ｂe+ed+df+ef）＝（a+c）(b+d）（ｅ+ｆ）＝7×11×13・・・・・④

（b+d）（ae+ec+cf+af）＝（b+d）（a+c）（ｅ+ｆ）＝7×11×13・・・・・④

 

①②③は同じ立方体を転がしただけなので当然上記のように同値の結果が得られます。

また、④より次のことが言えます

・立方体の８つの頂点Ｐについて、Ｐを含む３つの面に書かれた数の積の和は、立方体の3つの対面に書かれた数の和の積に等しい。・・・⑤

④⑤及び素因数分解の一意性から

立方体の3つの対面に書かれた数の和（a+c）、(b+d）、（ｅ+ｆ）はそれぞれ異なり7、11、13のいずれかをとる。

∴（a+c）+(b+d）+（ｅ+ｆ）＝7+11+13

よって立方体の6つの面に書かれた数の和は

a+b+c+d+e+f＝31・・・・・回答

 

「にいばりZ12」9/08 02時43分受信 更新9/8

にいばりＺ12です問題1と問題3について考察してみました

問題1

考察2

特殊な場合　ｎ＝2^m（1111・・・1が2^m桁）の場合を考えてみました。

　この場合、項数を2個にわけ続けることができるので例えばｍ＝8、ｎ＝2×2×2×2×2×2×2＝256

11111・・・・1＝1+10+10＾2+10＾3+10＾4+10＾5+10＾6+・・・・10256-1（右辺項数256個）

を二項づつにわけ1+10でくくり

（1+10）（1+10＾2+10＾4+10＾6+10＾8+10＾10+10＾12+10＾14+・・・・・・・+10＾252+10＾254）

次に

（1+10＾2+10＾4+10＾6+10＾8+10＾10+10＾12+10＾14+・・・・・・・+10＾252+10＾254）

を二項づつにわけ1+10＾2でくくり

（1+10＾2）（1+10＾4+10＾8+10＾12+10＾16+10＾20+・・・+10＾248+10＾252）

次に

（1+10＾4+10＾8+10＾12+10＾16+10＾20+・・・+10＾248+10＾252）

を二項づつにわけ1+10＾4でくくり

（1+10＾4）（1+10＾8+10＾16+10＾24+10＾32+10＾40+10＾48+・・・+10＾232+10＾240）

この操作を繰り返すと

1+10+10＾2+10＾3+・・・・10＾255

=(1+10)（1+10＾2）（1+10＾4）（1+10＾8）（1+10＾16）（1+10＾32）（1+10＾64）（1+10＾128）

水野先生の「美しい数学の話13話」の中でＶ（ｎ）＝10＾ｎ+1の形をした数は現在途切れなくｎ＝225まで判っています

1+10+10＾2+10＾3+・・・・10＾255=Ｖ（1）Ｖ（2）Ｖ（4）Ｖ（8）Ｖ（16）Ｖ（32）Ｖ（64）Ｖ（128）

の形で素因数分解できます。

問題3

考察1

題意の条件で考察してみます。

素因数分解の一意性から立方体の８つの頂点Ｐについて、Ｐを含む３つの面に書かれた数の積をSとします。

Sは素因数分解の一意性から6より大きい3つ以上の因数を持ちます。

（6より大きくなければa≠ｂ≠ｃ≠ｄ≠ｅ≠ｆが下記より成立しません）

そのような最小のSは7＾3＝343となりこれはサイコロで3つの対面の和はすべて7で各面の総和は21です。

最小のSをS0とし次のSをS1とし順じS2・・・・Sｎとします。

a≠ｂ≠ｃ≠ｄ≠ｅ≠ｆの条件から

S0は、ac,bd,efを対面としa,c,b,d,e,f=1,6,2,5,3,4

S1はS0の最大数6を7にするしかないので

ac,bd,efを対面としa,c,b,d,e,f=1,7,2,5,3,4

（a+c）(b+d）（ｅ+ｆ）＝8×7×7=392

ここまでは必然ですが

S2はS1の最大数6を7にしたあとの穴を埋める5を6にする方法と最大数を8にする方法があります

ac,bd,efを対面としa,c,b,d,e,f=1,7,2,6,3,4

（a+c）(b+d）（ｅ+ｆ）＝8×8×7=448

ac,bd,efを対面としa,c,b,d,e,f=1,8,2,5,3,4

（a+c）(b+d）（ｅ+ｆ）＝9×7×7=441

（8+1）（8-1）<8^2から明らかなように

S2＝441となります

このように計算していくと

S0＝7×7×7＝343

S1＝7×7×8＝392

S2＝7×7×9＝441

S3＝7×8×8＝448

S4＝7×7×10＝490

S5＝7×8×9＝504

S6＝8×8×8＝512

S7＝7×7×11＝539

S8＝7×8×10＝560

S9＝7×9×9＝567

S10＝8×8×9＝576

S11＝7×7×12＝588

S12＝7×8×11＝616

S13＝7×9×10＝630

S14＝7×7×13＝637

S15＝8×8×10＝640

S16＝8×9×9＝648

S17＝7×8×12＝672

S18＝7×7×14＝686

S19＝7×9×11＝693

S20＝7×10×10＝700

S21＝8×8×11＝704

S22＝8×9×10＝720

S23＝7×8×13＝728

S24＝9×9×9＝729

S25＝7×7×15＝735

S26＝7×9×12＝756

S27＝8×8×12＝768

S28＝7×10×11＝770

S29＝7×7×16＝784

S30＝7×8×14＝784

S31＝8×9×11＝792

S32＝8×10×10＝800

S33＝9×9×10＝810

S34＝7×9×13＝819

S35＝8×8×13＝832

S36＝7×7×17＝833

S37＝7×8×15＝840

S38＝7×10×12＝840

S39＝7×11×11＝847

S40＝8×9×12＝864

S41＝8×10×11＝880

S42＝7×7×18＝882

S43＝7×9×14＝882

S44＝9×9×11＝891

S45＝7×8×16＝896

S46＝8×8×14＝896

S47＝9×10×10＝900

S48＝7×10×13＝910

S49＝7×11×12＝924

S50＝7×7×19＝931

S51＝8×9×13＝936

S52＝7×9×15＝945

S53＝7×8×17＝952

S54＝8×8×15＝960

S55＝8×10×12＝960

S56＝8×11×11＝968

S57＝9×9×12＝972

S58＝7×7×20＝980

S59＝7×10×14＝980

S60＝9×10×11＝990

S61＝10×10×10＝1000

S62＝7×11×13＝1001

となり対面数の和の組み合わせからは62番目になります

S29＝7×7×16＝784とS30＝7×8×14＝784など素因数は同じでも対面数が違う場合は別としました

８つの頂点に書かれた数の和が784の時は回答は30と29の2つを列挙することになります。

ただ、この数列の規則性（一般項）が判りません。どなたか教えて頂ければ・・・。

 

考察2

題意の1001は3つの素因数を持ちます

また1001は、10＾3+1です

そこでＶ（ｎ）＝10＾ｎ+1の形をした数で素因数を3つ持つ数で考えてみます。

水野先生の「美しい数学の話」の中でこの形をした数は現在途切れなくｎ＝225まで判っています

判明している中で最大の3つの素因数を持つ合成数はＶ（214）のようです

V(214)=101*40882343106721*2421825498886875706568085804897442030525256100180294305383840413574930314582991

559155197335837338973747281007884658776715423100656032123324942160620509168628560523446063044557248001192491268292405581

よって10＾214+1の素因数は3つあり上記の通りで対面数の和は、和が素数の場合

a+c=101

b+d=40882343106721

e+f=24218254988868757065680858048974420305252561001802943053838404135749303145829915591

55197335837338973747281007884658776715423100656032123324942160620509168628560523446063044557248001192491268292405581

の一意に決まります。

 

実は問題1の11111・・・1の素因数分解をＶ（ｎ）に帰着させられないかをずっと考えていたのですがまたまた時間切れとなってしまいました。

また問題3は正多面体でどの様な挙動を示すのかを考えていました。

今回の考察はその途中経過で中途半端になってしまいましたが問題の広がりを考えることに意味があるのではと思い投稿します。

 

 

ＮＯ５「ｽﾓｰｸﾏﾝ」    08/28 00時04分受信 更新9/8

問題１：次の方程式では各文字は10進法における桁の数字を表す。異なる文字には異なる数字が入る。

　　　　（ｂａ）×（ｃａ）＝ｄｄｄ

　　　　このとき、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄを求めよ。

(回答)
右辺=111*d=3d*37
3d が2桁　or (3d/2)*74 から、3d/2 が2桁
3d...3*4=12, 3*5=15, 3*6=18, 3*7=21, 3*8=24, 3*9=27...ビンゴ!!
実際に27*37=999
3d/2...3*8/2=12, ...なし
けっきょく...
7+2+3+9=21

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」    08/28 23時44分受信 更新9/8

問題3のヒント(ほとんど答えですが...^^;)を知人Kさんから教えていただきましたもので...
以下に ～m(_ _)m～

問題３：立方体の各面に正の整数が１つずつ書かれている。この立方体の各頂点Ｐについて、Ｐを含む３つの面に書かれた数の積を計算し、その値をＰに書く。８つの頂点に書かれた数の和が1001であるとき、６つの面に書かれた数の和を求めよ。

*『対面同士を(a,b)(c,d)(e,f)とおけば、
頂点の和というのは、(a+b)(cf+ce+de+df)のようにおけます。
1001という数の性質からあとはすんなり行くと思います。』

つまり...
各３面の積の和=(a+b)(c+d)(e+f) で表せるってことなんですね　←ここが肝でしたのね☆
1001=7*11*13

求めるもの=a+b+c+d+e+f=7+11+13=31

ってことになるんですねぇ...Orz～

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」    08/30 00時56分受信 更新9/8

問題2
６桁の正の整数ａｂｃｄｅｆの７倍は６桁の正の整数ｄｅｆａｂｃの６倍に等しい。このようなａｂｃｄｅｆを求めよ。

回答
7(1000m+n)=6(1000n+m)
6994m=5993n
6994=2*13*269
5993=13*461

つまり…m=461, n=2*269=538　から...
abcdef=461538
ですね ^^

じっさいに…
7*461538=3230766
6*538461=3230766

ＮＯ６「二度漬け白菜」    09/04 11時19分受信 更新9/8

問題１：
a+b+c+d=21 (答)

 

100*d+10*d+d=111*d は 111=3*37の倍数ですから、10*b+a, 10*c+a のうち、少なくとも一方は37の倍数。この事実をもとに考えました。

 

問題２：
求める6桁の正整数abcdefは、461538 (答)

 

x=100*a+10*b+c,
y=100*d+10*e+f
とおくと、
7*(1000*x+y)=6*(1000*y+x).
この式から
x=461,　y=538
が導けます。

 

問題３:
6つの面に書かれた数の和は、31(答)

 

立方体の各面に書かれた数を文字に置いて考えました。
立方体の向かい合う面に書かれた数が、
(a,b),(c,d),(e,f) だとすると、
問題文の条件から、
(a+b)*(c+d)*(e+f)=1001.
1001=7*11*13であることと、a+b>1,c+d>1,e+f>1であることとから、
(a+b)+(c+d)+(e+f)=7+11+13.

 

 

「数論の精選104問」にはこの３問以外にも興味深い問題が多く収録されていますね。
例えば97ページの問題：
「任意の整数nは，適切に k および符号 +，- を選ぶことで無限に多くの方法で
n = ±1^2 ± 2^2 ± … ±k^2
と表せることを示せ．」

 

さらに一般にはどうなるんでしょうか？
つまり、
mを正整数とするとき、任意の整数nは、適切に k および符号 +，-を選ぶことで
n = ±1^m ± 2^m ± … ±k^m
という形に表現できるのか否か？
もし表現できるとすれば、その方法は有限個あるのか、それとも無限個あるのか？

 

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。