kadai78

平成２５年９月２９日

[流れ星]

　　　　　第２９７回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：９月８日～9月29日＞

［分数の和］

「uchinyan」 09/08 15時55分受信

「uchinyan」 09/10 14時39分受信更新9/29

問題１　　　2013 = 3 * 11 * 61 なので，

p/2013 が既約分数になるのは，p が 3 の倍数でも 11 の倍数でも 61 の倍数でもないときです。そこで，その和は，分子に関して，

1 ～ 2012 の和から，

3 の倍数，11 の倍数，61 の倍数，の和を引いて，

引き過ぎた 3 * 11 の倍数，3 * 61 の倍数，11 * 61 の倍数，の和を足せばいいです。

これより，

1/2013 + 2/2013 + 4/2013 + 5/2013 + … + 2011/2013 + 2012/2013

= (Σ[k=1,2012]{k})/2013

- (3 * Σ[k=1,670]{k})/2013 - (11 * Σ[k=1,182]{k})/2013 - (61 * Σ[k=1,32]{k})/2013

+ (33 * Σ[k=1,60]{k})/2013 + (183 * Σ[k=1,10]{k})/2013 + (671 * Σ[k=1,2]{k})/2013

= ((2012 * 2013)/2)/2013

- ((670 * 671)/2)/671 - ((182 * 183)/2)/183 - ((32 * 33)/2)/33

+ ((60 * 61)/2)/61 + ((10 * 11)/2)/11 + ((2 * 3)/2)/3

= 1006 - 335 - 91 - 16 + 30 + 5 + 1

= 600　　になります。

(考察1)　a，b，c を互いに素な素数として，p/abc が既約分数のときの和は，

全く同様にして，(a - 1)(b - 1)(c - 1)/2，になります。

(考察2)　一般に，分母を n とし，p/n が既約分数となるような分子が 1 ～ n-1 の和は，

次のようにして求められます。

一般に，n 未満で n と互いに素な自然数を m とします。

また，m の個数は，n 未満で n と互いに素な自然数の個数なので，

例えば，第１５７回数学的な応募問題［オイラー関数］などより，

オイラー関数を使って，φ(n) 個，と書けます。

さて，p/n が既約分数となる p = 1 ～ n-1 の和は，分子に注目すれば，m の和，です。

m は n と互いに素なので，n - m も n と互いに素です。

また，m と n - m とは１対１に対応しているので，それぞれ φ(n) 個あります。

しかも，(m の和) = ((n - m) の和)，m + (n - m) = n，なので，

(m の和) = 1/2 * {(m の和) + (m の和)}

= 1/2 * {(m の和) + ((n - m) の和)}

= 1/2 * {(m + (n - m))の和}

= 1/2 * n * φ(n)

そこで，

求める既約分数の和 = (m の和)/n = (1/2 * n * φ(n))/n = φ(n)/2　になります。

a，b，c を互いに素な素数で，n = abc の場合は，

φ(n) = abc(1 - 1/a)(1 - 1/b)(1 - 1/c) = (a - 1)(b - 1)(c - 1)

が知られているので，確かに，(a - 1)(b - 1)(c - 1)/2，になりますね。

もちろん，問題１では，(3 - 1)(11 - 1)(61 - 1)/2 = 600，です。

問題２　三つの方法で解いてみましょうか。

(解法1)　一般に 5k = 7q + r，0 <= r <= 6 とおくと，

5k/7 = q + r/7，[5k/7] = q + [r/7] = q

となり，k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 に対して q = 0, 1, 2, 2, 3, 4, 5 となるので，

ここまでの和は，0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 = 17，です。

次の k = 8 ～ 14 では，8 = 7 + 1, 9 = 7 + 2, …, 14 = 7 + 7 に注意すると，

先ほどの 17 に 5 * 1 * 7 = 35 が加わります。

以下，k = 7n + m，m = 1 ～ 7 のときは，

同様にして，17 に 5 * n * 7 が加わります。

ただし，最後の k = 7 * 14 + 1，7 * 14 + 2 = 100 のときは，

1 に 5 * 14 * 2 が加わります。

そこで，

求める和 = Σ[k=1,100]{[5k/7]}

= Σ[n=0,13]{17 + 5 * n * 7} + (1 + 5 * 14 * 2)

= 17 * 14 + (13 * 14)/2 * 35 + 141

= 238 + 3185 + 141

= 3564　になります。

(解法2)

求める和 = S = [5/7] + [10/7] + [15/7] + … + [490/7] + [495/7] + [500/7]

= Σ[k=1,98]{[5k/7]} + [495/7] + [500/7]

5k/7 は，m を自然数として，k = 7m のときに整数になり，それ以外は整数にはなりません。

また，[495/7] = 70，[500/7] = 71，です。

これらを踏まえると，m を自然数として，

S = Σ[k=1～98,k≠7m]{[5k/7]} + Σ[m=1,14]{5m} + 70 + 71

S1 = Σ[k=1～98,k≠7m]{[5k/7]} とおくと，

S = S1 + ((5 + 70) * 14)/2 + 70 + 71 = S1 + 666

ここで，

5k/7 = i + f，i は正の整数，0 < f < 1，[5k/7] = i，とおけるので，

[(490 - 5k)/7] = [70 - 5k/7] = [70 - (i + f)] = [(70 - i - 1) + (1 - f)]

70 - i - 1 は整数，0 < 1 - f < 1 なので，

[(490 - 5k)/7] = 70 - i - 1 = 69 - i

となります。このことと，

S1 = Σ[k=1～98,k≠7m]{[5k/7]} = Σ[k=1～98,k≠7m]{[(490 - 5k)/7]}

に注意すると，

S1 * 2 = Σ[k=1～98,k≠7m]{[5k/7] + [(490 - 5k)/7]}

= Σ[k=1～98,k≠7m]{i + (69 - i)} = Σ[k=1～98,k≠7m]{69}

k=1～98,k≠7m となる k は 98 - 14 = 84 個あるので，

S1 * 2 = 69 * 84，S1 = 69 * 42 = 2898

そこで，求める和 = S = 2898 + 666 = 3564　になります。

(解法3)　(x,y)-座標平面を考え，y = 5x/7 という直線を考えます。

すると，[5k/7] は x = k における y = 5x/7 以下で x 軸より上の格子点の個数になります。そこで，求める和は，

(0,0)，(100,0)，(100,500/7) を頂点とする直角三角形の内部又は x 軸上を除く辺上の格子点の個数

に等しくなります。これは，少し工夫すれば，次のように数えられます。

まず，この三角形に近い格子点を結んだ三角形を考えます。

そこで，100 = 7 * 14 + 2，500 = 7 * 71 + 3 より，

(0,0)，(98,0)，(98,497) を頂点とする直角三角形の内部又は x 軸上を除く辺上の格子点の個数を考えると，これに，x = 99 と 100 の格子点の個数 70 + 71 = 141 個を加えればいいことになります。

この格子点を結んだ三角形は，

辺 (0,0) - (98,0) 上の格子点の個数は 99 個

辺 (98,0) - (98,70) 上の格子点の個数は 71 個

辺 (0,0) - (98,70) 上の格子点の個数は 15 個

これより，格子点を頂点にもつ三角形の内部又は x 軸上を除く辺上の格子点の個数は，

この直角三角形を二つくっつけた長方形を考えて，

(99 * 71 + 15)/2 - 99 = 3522 - 99 = 3423 個

これより，元の三角形の内部又は x 軸上を除く辺上の格子点の個数は，

3423 + 141 = 3564 個

以上より，結局，求める和は，3564，になります。

(考察1)　一般に，a，b，0 < b < a，を互いに素な自然数，として，

[b/a] + [2b/a] + [3b/a] + … + [(a-2)b/a] + [(a-1)b/a]

の場合を考えてみましょう。

(解法2)でも(解法3)でもできますが，ここでは(解法3)の方向で，若干異なる工夫をして考えてみましょう。

この場合，求める和は，

(1,b/a)，(a-1,b/a)，(a-1,(a-1)b/a) を頂点とする直角三角形の内部又は辺上の格子点の個数に等しくなる，と考えることができます。

そこで，この直角三角形を二つくっつけた

(1,b/a)，(a-1,b/a)，(a-1,(a-1)b/a)，(1,(a-1)b/a) を頂点とする長方形を考え，

(a-1)b/a = b - b/a，0 < b/a < 1，b-1 < (a-1)b/a < b

に注意すると，この長方形は，

x 軸に平行な方向の格子点の個数は a-1 個

x 軸に平行な方向の格子点の個数は b-1 個

対角線 (1,b/a) - (a-1,(a-1)b/a) 上の格子点の個数は 0 個

で，長方形の中心で対称になっているので，

元の直角三角形の内部又は辺上の格子点の個数は，

((a-1)(b-1) + 0)/2 = (a-1)(b-1)/2 個

以上より，結局，求める和は，(a - 1)(b - 1)/2，になります。この結果はきれいですね。

(考察2)＝(解法4)

(考察1)の結果を知っていれば，これを使って問題２を解くこともできます。

例えば，(解法1)のように，k = 1 ～ 100 を 7 ずつ区切って(解法3)のように図形的に考えると．．．

k = 1 ～ 7 は，

[5/7] + [10/7] + [15/7] + [20/7] + [25/7] + [30/7] + [35/7]

に対応する直角三角形で，(考察1)の結果を使って，(5 - 1)(7 - 1)/2 + 5 = 17，です。

k = 7m+1 ～ 7m+7，m = 1 ～ 13，は，

1 ～ 7 の直角三角形とその下の 7 * 5m の長方形なので，17 + 35m で，

m = 1 ～ 13 なので，17 * 13 + 35 * (13 * 14)/2 = 221 + 3185 = 3406，です。

k = 99, 100 は，[495/7] + [500/7] = 70 + 71 = 141，です。

以上ですべてなので，

求める和 = 17 + 3406 + 141 = 3564　になります。

(感想)　どちらの問題も，以前に考えたことがありました。

問題１は，(考察2)で示したように，かなり一般化できるのが面白いです。

問題２は，この問題に関しては，(解法1)が単純な気がしますが，(解法2)や(解法3)も興味深いです。

(解法3)は，ピックの定理を使ってもいいのですが，単純な図形なので，そこまでする必要もないでしょう。

(考察1)の結果はきれいですね。(考察2)＝(解法4)は，実は，(解法1)と同じ考え方ともいえそうです。

「浜田明巳」　09/10 11時02分受信更新9/29

エクセルのマクロで解いた．解は，
問題１：６００
問題２：３５６４　である．

（マクロ）
Option Explicit
Sub Macro1()
     Sheets("Sheet1").Select
     Cells(1, 1).Value = 0
     Cells(1, 2).Value = 2013
     Dim p As Integer
     Dim g As Integer
     Dim j As Integer
     For p = 1 To 2012
      If Application.Gcd(p, 2013) = 1 Then
         Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + p
      : End If
     Next p
     g = Application.Gcd(Cells(1, 1).Value, Cells(1, 2).Value)
     For j = 1 To 2
       Cells(1, j).Value = Cells(1, j).Value / g
     Next j
     Range("A1").Select
     '
     Cells(3, 1).Value = 0
     For j = 5 To 500 Step 5
       Cells(3, 1).Value = Cells(3, 1).Value + Int(j / 7)
     Next j
     Range("A3").Select
End Sub

（別解）問題１
　２０１３＝３・６７１＝３・１１・６１であるから，分子ｐは３，１１，６１の倍数でない．
　故に分子の和は，　１～２０１２の和から，
　　　３の倍数，１１の倍数，６１の倍数
を引く．しかしこれでは，
　　　３・１１の倍数，１１・６１の倍数，６１・３の倍数
を余計に引いているので，それらを加える．しかしこれでは，
　　　３・１１・６１の倍数
を余計に加えていることになるが，これは，
　　　３・１１・６１＝２０１３＞２０１２
となり，無視してよい．
　故に分子の和は，
　　Σ_{１≦ｋ≦２０１２}ｋ－３Σ_{１≦ｋ≦１１・６１－１}ｋ－１１Σ_{１≦ｋ≦３・６１－１}ｋ－６１Σ_{１≦ｋ≦３・１１－１}ｋ
　　　＋３・１１Σ_{１≦ｋ≦６１－１}ｋ＋１１・６１Σ_{１≦ｋ≦３－１}ｋ＋６１・３Σ_{１≦ｋ≦１１－１}ｋ
　＝Σ_{１≦ｋ２０１２}ｋ－３Σ_{１≦ｋ≦６７０}ｋ－１１Σ_{１≦ｋ≦１８２}ｋ－６１Σ_{１≦ｋ≦３２}ｋ
　　　＋３・１１Σ_{１≦ｋ≦６０}ｋ＋１１・６１Σ_{１≦ｋ≦２}ｋ＋６１・３Σ_{１≦ｋ≦１０}ｋ
　＝２０１２・２０１３／２－３・６７０・６７１／２－１１・１８２・１８３／２－６１・３２・３３／２
　　　＋３・１１・６０・６１／２＋１１・６１・２・３／２＋６１・３・１０・１１／２
　＝２０２５０７８－６７４３５５－１８３１８３－３２２０８＋６０３９０＋２０１３＋１００６５
　＝１２０７８００
　故に解の分数は，　１２０７８００／２０１３＝６００

問題２
　[５ｋ／７]（１≦ｋ≦１００）を書き出してみると，
　　１→　　５／７→　０，　　２→　１０／７→　１，　３→　１５／７→　２，　４→　２０／７→　２，　５→　２５／７→　３，　６→　３０／７→　４，　７→　３５／７→　５，
　　８→　４０／７→　５，　　９→　４５／７→　６，１０→　５０／７→　７，１１→　５５／７→　７，１２→　６０／７→　８，１３→　６５／７→　９，１４→　７０／７→１０，
　１５→　７５／７→１０，　１６→　８０／７→１１，１７→　８５／７→１２，１８→　９０／７→１２，１９→　９５／７→１３，２０→１００／７→１４，２１→１０５／７→１５，
　・・・
　９２→４６０／７→６５，　９３→４６５／７→６６，９４→４７０／７→６７，９５→４７５／７→６７，９６→４８０／７→６８，９７→４８５／７→６９，９８→４９０／７→７０，
　９９→４９５／７→７０，１００→５００／７→７１

　まとめると，
　　{(０＋１＋２＋３＋４＋５)＋２}＋{(５＋６＋７＋８＋９＋１０)＋７}＋{(１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５)＋１２}
　　　＋・・・＋{(６５＋６６＋６７＋６８＋６９＋７０)＋６７}＋(７０＋７１)
　＝{６(０＋５)／２＋２}＋{６(５＋１０)／２＋７}＋{６(１０＋１５)／２＋１２}
　　　＋・・・＋{６(６５＋７０)／２＋６７}＋１４１
　＝{３(５・０＋５・１)＋(５・０＋２)}＋{３(５・１＋５・２)＋(５・１＋２)}＋{３(５・２＋５・３)＋(５・２＋２)}
　　　＋・・・＋{３(５・１３＋５・１４)＋(５・１３＋２)}＋１４１
　＝{３・５・１＋(５・０＋２)}＋{３・５・３＋(５・１＋２)}＋{３・５・５＋(５・２＋２)}
　　　＋・・・＋{３・５・２７＋(５・１３＋２)}＋１４１
　＝３・５・(１＋３＋５＋・・・＋２７)＋５・(０＋１＋２＋・・・＋１３)＋２・１４＋１４１

　ここで，
　　１＋３＋５＋・・・＋２７＝Σ_{１≦ｋ≦１４}(２ｋ－１)＝１４^２＝１９６
　　０＋１＋２＋・・・＋１３＝１３・１４／２＝９１
　　∴与式＝３・５・１９６＋５・９１＋２８＋１４１＝２９４０＋４５５＋１６９＝３５６４

「にいばりZ12」9/14 01時32分受信更新9/29

問題2

[5/7]+ [10/7] + [15/7] + [20/7] + [25/7] + [30/7] + [35/7]＝0+1+2+2+3+4+5＝17

[35/7+5/7]+ [35/7+10/7] + [35/7+15/7] + [35/7+20/7] + [35/7+25/7] + [35/7+30/7] + [35/7+35/7]＝5×7+0+1+2+2+3+4+5＝5×7+17

[35×2/7+5/7]+ [35×2/7+10/7] + [35×2/7+15/7] + [35×2/7+20/7] + [35×2/7+25/7] + [35×2/7+30/7] + [35×2/7+35/7]＝5×2×7+0+1+2+2+3+4+5＝5×2×7+17

の様に7項ずつ括っていくと、項数が7の倍数7ｍであれば

S0=（5×0×7+17）+（5×1×7+17）+（5×2×7+17）+（5×3×7+17）+・・・・+（5×7（ｍ-1）+17）＝17ｍ+Σ_(i=1_→_m-1)35i＝17ｍ+35×ｍ（ｍ-1）/2

項数は500/5=100なのでｍ＝14括られない項数は（100/7-[100/7]）×7＝2

よって7の倍数部分は17×14+35×14(14-1)/2＝3423

7の倍数に括られない項は最後の2項で[495/7]、 [500/7]

S=3423+[495/7] +[500/7]＝3423+70+71＝3564・・・回答

感想

問題2は、回答にたどりつきましたがしっくり来ていません。

何とか苦手な合同式を用いて解く方法と、5の倍数を7で割った時の余りの数列、5,3,1,6,4,2,0,5,3,1,6,4,2,0・・・・の一般項を導こうと考えたのですが挫折中です。この一般項が導出できるともっとシンプルな回答が出来ると思うのですが・・・。何か考え付いたらまた投稿したいと思いますのでよろしくお願いします。

「にいばりZ12」9/20 01時19分受信更新9/29

ご指摘どおりオイラーのφ関数で解きなおしをしましたので訂正させてください。

問題1

2013＝3×11×61と3個の素因数に分解される合成数です

したがって、1/2013から2013/2013までの分数で

既約である分数の個数は分子分母が互いに素であることから

オイラーのφ関数により

φ（3)=3×（1-1/3）＝2

φ（11)=11×（1-1/11）＝10

φ（61)=61×（1-1/61）＝60

φ（3×11×61)=φ（3)φ（11)φ（61)=1200

したがって既約でない分数の個数は2013-1200＝813個となります。

分子のみを取り出し1から2013までの既約でない分数の分子の総和Ｓを求めます

3の倍数は3,6,9・・・、で2013/3＝671個　　　　　 ①

11の倍数は11,22,33,44,・・・、で2013/11＝183個　　　②

61の倍数は61,122,183,・・・、で2013/61＝33個　　　　③

3と11の最小公倍数は33でその倍数は

33,66,99,・・・2013/33＝61個　　　　　　　　④-

3と61の最小公倍数は183でその倍数は

183,366,549,・・・2013/183＝11個　　　　　　⑤

11と61の最小公倍数は671でその倍数は

671,1342,013 2013/671＝3個　　　　　　 ⑥

3と11と61の最小公倍数は2013の1個　　　⑦

Ｓの個数をｓとすると

ｓ＝①+②＋③－④－⑤－⑥+⑦＝671＋183＋33－61－11－3＋1＝813

となり、確かにオイラーのφ関数が確かめられます。

Ｓ①＝Σ_(i=1_→₆₇₁₎3i＝3(671(671+1)/2)＝2013(671+1)/2

Ｓ②＝Σ_(i=1_→₁₈₃₎11i＝11(183(183+1)/2) ＝2013(183+1)/2

Ｓ③＝Σ_(i=1_→₃₃₎61i＝61(33(33+1)/2) ＝2013(33+1)/2

Ｓ④＝Σ_(i=1_→₆₁₎33i＝33(61(61+1)/2) ＝2013(61+1)/2

Ｓ⑤＝Σ_(i=1_→₁₁₎183i＝183(11(11+1)/2) ＝2013(11+1)/2

Ｓ⑥＝Σ_(i=1_→₃₎671i＝671(3(3+1)/2) ＝2013(3+1)/2

Ｓ⑦＝Σ_(i=1_→₁₎2013i＝2013(1(1+1)/2) ＝2013(1+1)/2

S=Ｓ①+Ｓ②+Ｓ③ｰＳ④ｰＳ⑤ｰＳ⑥+Ｓ⑦

　＝2013( (671+1)+ (183+1) +(33+1)-(61+1) -(11+1) -(3+1) + (1+1) )／2

　＝2013×814／2・・・・・⑧

1から2013までの自然数の総和は

2013（2013+1）／2・・・・⑨

で与えられるので

既約である分数の分子の総和は

⑨－⑧＝2013（2013+1-814）／2＝2013×1200／2

よって既約でない分数（分子分母が互いに素）の総和は

2013×1200／（2×2013）＝600・・・・・・・・・・・回答

回答から次のことが予想されます

自然数ｎを与えｎが相異なる３個の素因数に分解され

ｎと互いに素でありｎを超えない自然数の総和をｍとした時

m／ｎ＝φ（n)／2（但しφ（n)はオイラーのφ関数とする）

証明

ｎを素因数分解し

ｎ=p1p2p3とする(p1＜p2＜p3)

自然数1からｎまでの数のうちｎと互いに素である数の個数はオイラーのφ関数で次のように与えられる

∵「オイラーの関数は（互いに素な数の積に関して）乗法的」

φ（p1p2p3)=φ(p1)φ(p2)φ(p3)=(p1-1)(p2-1)(p3-1)

=p1p2p3-(p1p2+p2p3+p1p3)+(p1+p2+p3)-1

一方で、それらの数の総和Ｓを求めると

1からｎまでの数の総和は

ｎ（ｎ＋１）／２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・①

1からｎの内p1の倍数（ｎと互いに素でない数）で表される数の総和は

Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／_p1_）p1ｉ＝p1Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／_p1_）ｉ＝ｐ1（ｎ/ｐ1）（（ｎ/ｐ1）+1）／2＝ｎ（（ｎ/ｐ1）+1）／2＝ｎ（ｐ2ｐ3+1）／2　　　　・・・・②　　　　　　　　　　　　　　　　

同様に1からｎの内p2､ p3の倍数で表される数の総和は

Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／_p2_）p2ｉ＝p1Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／_p2_）ｉ＝ｐ2（ｎ/ｐ2）（（ｎ/ｐ2）+1）／2＝ｎ（（ｎ/ｐ2）+1）／2＝ｎ（ｐ1ｐ3+1）／2　　　　・・・・③

Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／_p3_）p 3ｉ＝p1Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／_p3_）ｉ＝ｐ3（ｎ/ｐ3）（（ｎ/ｐ3）+1）／2＝ｎ（（ｎ/ｐ3）+1）／2＝ｎ（ｐ1ｐ2+1）／2　　　　・・・・④　

1からｎの内p1 p2の倍数（p1とp2の公倍数）で表される数の総和は

Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／（_{p 1 p 2}_））ｐ1ｐ2ｉ＝ｐ1ｐ2Σ_（ｉ＝₁_{→ｎ／（ｐ}₁_ｐ₂_））ｉ＝ｐ1ｐ2（ｎ/（ｐ1ｐ2）（ｎ/（ｐ1ｐ2）+1））／2＝ｎ（ｐ3+1）／2　　・・・・⑤

同様に1からｎの内p2 p3､p1 p3の倍数で表される数の総和は

Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／（_{p 2 p 3}_））ｐ2ｐ3ｉ＝ｐ2ｐ3Σ_（ｉ＝₁_{→ｎ／（ｐ}₂_ｐ₃_））ｉ＝ｐ2ｐ3（ｎ/（ｐ2ｐ3）（ｎ/（ｐ2ｐ3）+1））／2＝ｎ（ｐ1+1）／2　　・・・・⑥　

Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／（_{p 1 p 3}_））ｐ1ｐ3ｉ＝ｐ1ｐ3Σ_（ｉ＝₁_{→ｎ／（ｐ}₁_ｐ₃_））ｉ＝ｐ1ｐ3（ｎ/（ｐ1ｐ3）（ｎ/（ｐ1ｐ3）+1））／2＝ｎ（ｐ2+1）／2　　・・・・⑦

またp1 p2 p3 はｎなのでｎの倍数で表される数の総和は

Σ_（ｉ＝₁_→ｎ／（_{p 1 p 2 p 3}_））ｐ1ｐ2ｐ3ｉ＝ｎΣ_（ｉ＝₁_→₁_）ｉ＝ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・⑧

Ｓ＝①－（②+③+④）+（⑤+⑥+⑦）－⑧

　＝ｎ（ｎ＋１）／２－（ｎ（ｐ2ｐ3+1）／2+ｎ（ｐ1ｐ3+1）／2+ｎ（ｐ1ｐ3+1）／2) +（ｎ（ｐ3+1）／2+ｎ（ｐ1+1）／2+ｎ（ｐ2+1）／2）－ｎ

　＝（ｎ＋１）ｎ／２－（（ｐ2ｐ3+1）+（ｐ1ｐ3+1）+（ｐ1ｐ3+1）) ｎ／2+（（ｐ3+1）+（ｐ1+1）+（ｐ2+1））ｎ／2－ｎ

＝（ｎ／２）（ｎ＋１－（（ｐ2ｐ3+1）+（ｐ1ｐ3+1）+（ｐ1ｐ3+1）) +（（ｐ3+1）+（ｐ1+1）+（ｐ2+1））－2）

＝（ｎ／２）（ｐ1ｐ2ｐ3－（ｐ2ｐ3+ｐ1ｐ3+ｐ1ｐ3) +（ｐ3+ｐ1+ｐ2）－1）

＝（ｎ／２）φ（p1p2p3)＝ｍ

∴ｍ／ｎ＝φ（p1p2p3)／2・・・・証明終わり

一般に４個以上の相異なる素因数に分解される場合にも成り立ちそうですが、証明には、もっとエレガントな方法が必要と思います。

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 09/16 19時09分受信更新9/29

(1) 素っか…^^;
2013と互いに素な個数は、オイラー関数で出せるのでしたぁ !!
2013=3*11*61
φ(2013)=φ(3)*φ(11)*φ(61)=2013*(1-1/3)(1-1/11)(1-1/61)=1200
mが2013と素なら2013-m も同様に素なので…
1200/2=600 ペアあり、
(m+2013-m)/2013=1 だから…
600
でしたのね ^^

オイラー関数知らなければ...
約数に持つ数=[2013/3]+[2013/11]+[2013/61]-[2013/(3*11)]-[2013/(3*61)]-[2013/(11*61)]+[2013/(3*11*61)]
=11*61+3*61+3*11-61-11-3+1
=813

つまり...
2013 と素な数=2013-813=1200 でぴったり合うわけねぇ...☆

いつか自分で勉強したんだけど...オイラー関数の式でいいことがすぐわからなかったりしてます...^^;;...

(2)
[505/7]=72+1/7 を２個にわけたとき、間隔 1の間だとその分 1だけ減ってる !!
つまり、
[m/7]+[(505-m)/7] は…
505-m の mが7の倍数のとき以外は 71個
500/5=100, 100/7=14個が7の倍数。505は7の倍数ではないから…
14ペアが72…つまり、71+1 ということだから…
50*71+14=3564
ってことですね ^^

いつもながら一発で正解できない...論理の甘さ...勝手読みが多いわたしの囲碁と同じ...
Orz〜

「二度漬け白菜」9/20 22時14分受信更新9/29

問題 1 ：

求める和は、
(1/2)*φ(2013)
=(1/2)*2013*(1-1/3)*(1-1/11)*(1-1/61) = 600 (答)

一般に2以上の正整数nに対して、n以下の正整数のうち、
nと互いに素なものの総和をS(n)とすると、S(n)は
S(n) = 1/2 * n * φ(n)
で与えられます。
(ここで、φはオイラーのトーシェント関数)

この事実の証明は、「第１５７回数学的な応募問題解答」において、
解答者のひとり、uchinyan さんによってなされています。

本問では、S(2013)/2013 = (1/2)*φ(2013) の値を計算すればいいです。

問題 2 ：　

求める和は、3564 (答)

(与式)=Σ[k=1～100]floor((5*k)/7)
=Σ[k=0～104]floor((5*k)/7)-Σ[k=101～104]floor((5*k)/7)
=Σ[k=0～104]floor((5*k)/7)-291.
ここで、k=7*p+i (0≦p≦14, 0≦i≦6) とおくと、
floor((5*k)/7)=floor(5*p+(5*i)/7)=5*p+floor((5*i)/7).
よって、
(与式)=Σ[k=0～104](floor((5*k)/7)) -291
=Σ[p=0～14]Σ[i=0～6](5*p+floor((5*i)/7)) -291
=Σ[p=0～14]Σ[i=0～6](5*p)+Σ[p=0～14]Σ[i=0～6]floor((5*i)/7)) -291
=Σ[p=0～14](35*p)+Σ[p=0～14](0+0+1+2+2+3+4) -291
=35*14*15/2+15*12-291
=3564.

本問を少しだけ一般化した問題を考えてみました。

(問題)
nを任意の正整数とするとき、次の和をa(n)とする。

floor(5/7)+floor(10/7)+floor(15/7)+floor(20/7)+……+floor((5*n)/7)

このとき、a(n)をnの式で表せ。

(答)
a(n)=5*floor(n/7+6/7)*floor(n/7)+floor(n/7+5/7)*(5*floor(n/7)+1)+floor(n/7+4/7)*(5*floor(n/7)+2)+floor(n/7+3/7)*(5*floor(n/7)+2)+floor(n/7+2/7)*(5*floor(n/7)+3)

+floor(n/7+1/7)*(5*floor(n/7)+4)-(25/2)*floor(n/7)*(floor(n/7)+1).

「Iga」　　　 09/21 00時49分受信更新9/29

問題１　分数ｐ／２０１３　が既約分数であるような次の和を求めよ。
　1/2013+2/2013+4/2013+5/2013+……2011/2013+2012/2013

2013を素因数分解すると　2013＝３×１１×６１　なので
　求める和＝（１＋２＋４＋５＋……＋２０１１＋２０１２）／２０１３
　　　　　＝（Σｎ－（3の倍数、１１の倍数、６１の倍数））／２０１３
　分子　　＝Σｎ－３の倍数－(11の倍数－33の倍数)－(61の倍数－183の倍数－671の倍数＋2013)
　　　　　＝（１＋２０１３）×２０１３／２
－３×（１＋６７１）×６７１／２
　　　　　　　　　－（１１×１８４×１８３／２－３３×６２×６１／２）
　　　　　　　　　－（６１×３４×３３／２－１８３×１２×１１／２－６７１×４×３／２＋２０１３）
　　　　　＝２０２７０９１－６７６３６８－１２２７９３－２０１３０
　　　　　＝１２０７８００
よって、
求める和＝１２０７８００／２０１３
　　　　　＝６００
分子の計算にも素因数分解を利用すると、多少小さい数で計算できる。
　分子　　＝｛2014×2013－672×2013－（184－62）×2013－（34－12－４＋２）×2013｝／２
　　　　　＝（２０１４－６７２－１２２－２０）×２０１３／２
　　　　　＝１２００／２×２０１３
　　　　　＝６００×２０１３
となるので、求める和＝６００　となる。

問題２　［ｘ］＝ｘの整数部分　というように記号［　］を定義するとき、次の和を求めよ。
　［５／７］＋［１０／７］＋［１６／７］＋……＋［４９５／７］＋［５００／７］

　分子は５の倍数だから、５ｎ／７について考察すると、５００÷７＝７１．４２８５７　であるから、
　　　ｎ　　　５ｎ　　　　５ｎ／７　　　　　　　　　［５ｎ／７］
　　　１　　　　５　　　　　５／７　　０．７１４　　　　０
　　　２　　　１０　　　１＋３／７　　１．４２８　　　　１
　　　３　　　１５　　　２＋１／７　　２．１４２　　　　２
　　　４　　　２０　　　２＋６／７　　２．８５７　　　　２　※
　　　５　　　２５　　　３＋４／７　　３．５７１　　　　３
　　　６　　　３０　　　４＋２／７　　４．２８５　　　　４
　　　７　　　３５　　　５＋０／７　　５．０００　　　　５
　------------------------------------------------------------------------------------------------　ループ１回目
　　８　　　４０　　　５＋５／７　　５．７１４　　　　５　※
　　　…　　　　…　　　　　…　　　　　　…　　　　　　…
　　９８　　４９０　　７０＋０／７　７０．０００　　　７０
　------------------------------------------------------------------------------------------------　ループ１０回目
　　９９　　４９５　　７０＋５／７　７０．７１４　　　７０　※
　１００　　５００　　７１＋３／７　７１．４２８　　　７１

　というように、ｎが７増えるごとに同様に繰り返されているので、
求める和＝（ループ１０回分）＋［４９５／７］＋［５００／７］
となることがわかる。また、ループ中に、ｎが７を法として３と４の時及びｎが０と１の時は、［　］の値が等しくなるので、その分を加えると、
　求める和＝Σｐ＋Σ(５ｑ＋２)＋Σ(５ｑ＋５)＋［４９５／７］＋［５００／７］
　　　　　＝（１＋70）×70／２＋（２×14＋５×14×13／２）＋（５×13＋５×13×12／２）＋70＋71
　　　　　＝２４８５＋４８３＋４５５＋７０＋７１
　　　　　＝３５６４
また、当初考えた方法の１つに、ｙ＝ｘ／７を利用することを思いつきました。
座標平面をｙ軸方向１、ｘ軸方向５のマスとして考えて、変域ｘ≦５００の範囲で、直線ｙ＝ｘ／７より下のマスの数が求める和になるというもの。明らかに直線より下にあるマスは問題ないものの、直線が横切るマスの扱いに苦慮しました。結局、直線が上辺を通る場合は加え、直線が格子点及び左右の辺しか通らないマスは加えないことで解決しました。計算式にはまとめられませんでしたが、エクセルの関数でその通りに条件を設定したところ、前述と同様の結果を得ることができました。
また楽しい問題をよろしくお願いします。

「Iga」　　　 09/23 21時32分受信更新9/29

前回送らせていただいたものの追加です。

上記の考えをエクセルの表にしたものを添付しました。ｙ＝ｘ／７の直線は見た目だけの図形で、計算式には影響していません。最終的には黄色のマスの個数を数えるようになっています。

＜水の流れ：添付されたファイルですが、Ｗｅｂに貼り付けできませんでしたので、大変申し訳ありませんが、割愛します。＞