平成２６年２月１６日

[流れ星]

　　　　　第30２回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：1月19日〜2月16日＞

［特殊な漸化式］

次の隣接三項間の漸化式から類推しながら、数列の一般項を導いてください。

問題１：ａ_１＝４，ａ_２＝９，ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝２ｎ−１

問題２：ａ_１＝５，ａ_２＝２１，ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝＝２・４^ｎ

NO1「uchinyan」 01/19 15時31分　受信

「uchinyan」 01/20 11時53分　受信 更新02/16

類推は省略し，いっきに解いてしまいましょう。

(解法1)

問題１：a(1) = 4，a(2) = 9，a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) = 2n - 1

a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) = 2n - 1

a(n+3) - 5a(n+2) + 6a(n+1) = 2(n+1) - 1

(a(n+3) - a(n+2)) - 5(a(n+2) - a(n+1)) + 6(a(n+1) - a(n)) = 2

(a(n+3) - a(n+2) - 1) - 5(a(n+2) - a(n+1) - 1) + 6(a(n+1) - a(n) - 1) = 0

ここで，b(n) = a(n+1) - a(n) - 1 とおくと，

b(n+2) - 5b(n+1) + 6b(n) = 0

さらに，x^2 - 5x + 6 = 0 の解 x = 2, 3 を使って変形すると，

b(n+2) - 3b(n+1) = 2(b(n+1) - 3b(n)) = … = 2^n * (b(2) - 3b(1))

b(n+2) - 2b(n+1) = 3(b(n+1) - 2b(n)) = … = 3^n * (b(2) - 2b(1))

ここで，a(1) = 4, a(2) = 9, a(3) = 5a(2) - 6a(1) + (2 * 1 - 1) = 22，より，

b(2) = a(3) - a(2) - 1 = 22 - 9 - 1 = 12

b(1) = a(2) - a(1) - 1 = 9 - 4 - 1 = 4

なので，

b(n+2) - 3b(n+1) = 2^n * (12 - 3 * 4) = 0

b(n+2) - 2b(n+1) = 3^n * (12 - 2 * 4) = 4 * 3^n

b(n+1) - 3b(n) = 0

b(n+1) - 2b(n) = 4 * 3^(n-1)

b(n) = 4 * 3^(n-1)

そこで，

a(n+1) - a(n) - 1 = b(n) = 4 * 3^(n-1)

a(n+1) - a(n) = 4 * 3^(n-1) + 1

a(n) = Σ[k=1,n-1]{4 * 3^(k-1) + 1} + a(1)

= 4 * (3^(n-1) - 1)/(3 - 1) + (n - 1) + 4

= 2 * 3^(n-1) + n + 1

a(n) = 2 * 3^(n-1) + n + 1

になります。

問題２：a(1) = 5，a(2) = 21，a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) = 2 * 4^n

a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) = 2 * 4^n

a(n+2)/4^n - 5a(n+1)/4^n + 6a(n)/4^n = 2

16(a(n+2)/4^(n+2)) - 20(a(n+1)/4^(n+1)) + 6(a(n)/4^n) = 2

8(a(n+2)/4^(n+2) - 1) - 10(a(n+1)/4^(n+1) - 1) + 3(a(n)/4^n - 1) = 0

ここで，b(n) = a(n)/4^n - 1 とおくと，

8b(n+2) - 10b(n+1) + 3b(n) = 0

さらに，8x^2 - 10x + 3 = 0 の解 x = 1/2, 3/4 を使って変形すると，

b(n+2) - (3/4)b(n+1) = (1/2)(b(n+1) - (3/4)b(n)) = … = (1/2)^n * (b(2) - (3/4)b(1))

b(n+2) - (1/2)b(n+1) = (3/4)(b(n+1) - (1/2)b(n)) = … = (3/4)^n * (b(2) - (1/2)b(1))

ここで，a(1) = 5, a(2) = 21，より，

b(2) = a(2)/4^2 - 1 = 21/16 - 1 = 5/16

b(1) = a(1)/4^1 - 1 = 5/4 - 1 = 1/4

なので，

b(n+2) - (3/4)b(n+1) = (1/2)^n * (5/16 - (3/4)(1/4)) = 1/8 * (1/2)^n

b(n+2) - (1/2)b(n+1) = (3/4)^n * (5/16 - (1/2)(1/4)) = 3/16 * (3/4)^n

b(n+1) - (3/4)b(n) = 1/8 * (1/2)^(n-1)

b(n+1) - (1/2)b(n) = 3/16 * (3/4)^(n-1)

b(n) = (3/4)^n - (1/2)^n

そこで，

a(n)/4^n - 1 = b(n) = (3/4)^n - (1/2)^n

a(n) = 4^n + 3^n - 2^n

になります。

(解法2)

一般に，

a(n+2) - pa(n+1) + qa(n) = f(n)

において，a(n) を一般解，s(n) を何らかの方法で見つけた特殊な解，特殊解，とすると，

a(n+2) - pa(n+1) + qa(n) = f(n)

s(n+2) - ps(n+1) + qs(n) = f(n)

(a(n+2) - pa(n+1) + qa(n)) - (s(n+2) - ps(n+1) + qs(n)) = f(n) - f(n) = 0

(a(n+2) - s(n+2)) - p(a(n+1) - s(n+1)) + q(a(n) - s(n)) = 0

c(n) = a(n) - s(n) とおくと，

c(n+2) - pc(n+1) + qc(n) = 0

つまり，c(n) は元の漸化式の右辺を 0 とした漸化式の解です。

このことより，

a(n) = s(n) + c(n)

と書くことができます。

このことを踏まえると，次のように解くことができます。

問題１：a(1) = 4，a(2) = 9，a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) = 2n - 1

右辺を 0 にした漸化式は，

c(n+2) - 5c(n+1) + 6c(n) = 0

で，これは(解法1)の b(n) と同様にして式変形し，一般に，a，b を定数として，

c(n) = a * 2^n + b * 3^n

と書くことができます。

一方で，特殊解ですが，s(n) = pn + q とおくと

(p(n+2) + q) - 5(p(n+1) + q) + 6(pn + q)) = 2n - 1

2pn + (- 3p + 2q) = 2n - 1

p = 1, q = 1

s(n) = n + 1

と求まります。

そこで，

a(n) = s(n) + c(n) = (n + 1) + (a * 2^n + b * 3^n)

これより，

a(1) = (1 + 1) + (a * 2^1 + b * 3^1) = 2 + 2a + 3b = 4

a(2) = (2 + 1) + (a * 2^2 + b * 3^2) = 3 + 4a + 9b = 9

a = 0, b = 2/3

a(n) = (n + 1) + (0 * 2^n + 2/3 * 3^n) = 2 * 3^(n-1) + n + 1

になります。

問題２：a(1) = 5，a(2) = 21，a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) = 2 * 4^n

右辺を 0 にした漸化式は，

c(n+2) - 5c(n+1) + 6c(n) = 0

で，これは，同様にして，

c(n) = a * 2^n + b * 3^n

と書くことができます。

一方で，特殊解ですが，s(n) = p * 4^n とおくと

(p * 4^(n+2)) - 5(p * 4^(n+1)) + 6(p * 4^n) = 2 * 4^n

2p = 2

p = 1

s(n) = 4^n

と求まります。

そこで，

a(n) = s(n) + c(n) = 4^n + (a * 2^n + b * 3^n)

これより，

a(1) = 4^1 + (a * 2^1 + b * 3^1) = 4 + 2a + 3b = 5

a(2) = 4^2 + (a * 2^2 + b * 3^2) = 16 + 4a + 9b = 21

a = -1, b = 1

a(n) = 4^n + ((-1) * 2^n + 1 * 3^n) = 4^n + 3^n - 2^n

になります。

(感想)

非線形の漸化式ですね。初見では，類推するにしても難しいかも知れません。

ただ，はるか昔になりますが，私が高校生の頃は，(解法1)のように式変形を駆使して解いていた気がします。

これは右辺の式の形に依存して工夫する必要がありますが，それでもかなり応用は効きます。

一方，(解法2)の最初の考え方は非常に一般的で，線形の一般解と非線形の特殊解から構成できます。

もっとも，特殊解を求めるのは同様に右辺の式の形に依存して工夫が必要ですが。

(解法2)の手法を知ったのは大学に入ってからです。

しかも，数学ではなく，物理の力学で時間に依存した強制力のあるシステムの動作を求める問題でした。

したがって，漸化式ではなく，運動方程式 = 微分方程式 でした。

本に載っていたこの方法にいたく感動した思いがあります。

漸化式はある意味で差分方程式と等価で，差分方程式は微分方程式の親戚なので，

漸化式でもそのまま使えますね。

そんなことを懐かしく思い出しながら解きました。

NO2「浜田明巳」　01/21 16時44分　受信 更新02/16

問題１．
　　ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝２ｎ−１………(1)
から，
　　ａ_ｎ＋２−２ａ_ｎ＋１＝３(ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ)＋２ｎ−１
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｂ_ｎ＋１＝３ｂ_ｎ＋２ｎ−１
　　∴ｂ_ｎ＋１／３^ｎ＋１＝ｂ_ｎ／３^ｎ＋(２ｎ−１)／３^ｎ＋１
　ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ／３^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｃ_ｎ＋１＝ｃ_ｎ＋(２ｎ−１)／３^ｎ＋１
　ｎ≧２のとき，
　　ｃ_ｎ＝ｃ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}(２ｋ−１)／３^ｋ＋１………(2)
　ここで，
　　ｃ_１＝ｂ_１／３＝(ａ_２−２ａ_１)／３＝(９−２・４)／３＝１／３
　Ｓ_ｎ＝Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(２ｋ−１)／３^ｋ＋１（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　Ｓ_ｎ＝１／３^２＋３／３^３＋５／３^４＋………＋(２ｎ−１)／３^ｎ＋１………(3)
　　∴１／３・Ｓ_ｎ＝１／３^３＋３／３^４＋５／３^５＋………＋(２ｎ−１)／３^ｎ＋２………(4)
　(3)−(4)から，
　　２／３・Ｓ_ｎ＝１／３^２＋２／３^３＋２／３^４＋………＋２／３^ｎ＋１−(２ｎ−１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝２／３^２・(１＋１／３＋１／３^２＋………＋１／３^ｎ−１)−１／３^２−(２ｎ−１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝２／９・{１−(１／３)^ｎ}／(１−１／３)−１／９−(２ｎ−１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝１／３・(１−１／３^ｎ)−１／９−(２ｎ−１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝２／９−１／３^ｎ＋１−(２ｎ−１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝{２・３^ｎ−３−(２ｎ−１)}／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝(２・３^ｎ−２ｎ−２)／３^ｎ＋２
　　∴Ｓ_ｎ＝３／２・(２・３^ｎ−２ｎ−２)／３^ｎ＋２
　　　　＝(３^ｎ−ｎ−１)／３^ｎ＋１
　(2)から，
　　ｃ_ｎ＝１／３＋Ｓ_ｎ−１
　　　　＝１／３＋{３^ｎ−１−(ｎ−１)−１}／３^ｎ
　　　　＝(３^ｎ−１＋３^ｎ−１−ｎ)／３^ｎ
　　　　＝(２・３^ｎ−１−ｎ)／３^ｎ
　これは，ｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｃ_ｎ＝(２・３^ｎ−１−ｎ)／３^ｎ＝ｂ_ｎ／３^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＝２・３^ｎ−１−ｎ
　　∴ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１−ｎ………(5)

　(1)から，
　　ａ_ｎ＋２−３ａ_ｎ＋１＝２(ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ)＋２ｎ−１
　ｄ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｄ_ｎ＋１＝２ｄ_ｎ＋２ｎ−１
　　∴ｄ_ｎ＋１／２^ｎ＋１＝ｄ_ｎ／２^ｎ＋(２ｎ−１)／２^ｎ＋１
　ｅ_ｎ＝ｄ_ｎ／２^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｅ_ｎ＋１＝ｅ_ｎ＋(２ｎ−１)／２^ｎ＋１
　ｎ≧２のとき，
　　ｅ_ｎ＝ｅ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}(２ｋ−１)／２^ｋ＋１………(6)
　ここで，
　　ｅ_１＝ｄ_１／２＝(ａ_２−３ａ_１)／２＝(９−３・４)／２＝−３／２
　Ｔ_ｎ＝Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(２ｋ−１)／２^ｋ＋１（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　Ｔ_ｎ＝１／２^２＋３／２^３＋５／２^４＋………＋(２ｎ−１)／２^ｎ＋１………(7)
　　∴１／２・Ｔ_ｎ＝１／２^３＋３／２^４＋５／２^５＋………＋(２ｎ−１)／２^ｎ＋２………(8)
　(7)−(8)から，
　　１／２・Ｔ_ｎ＝１／２^２＋２／２^３＋２／２^４＋………＋２／２^ｎ＋１−(２ｎ−１)／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝(１／２＋１／２^２＋１／２^３＋………＋１／２^ｎ)−１／２^２−(２ｎ−１)／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝１／２・{１−(１／２)^ｎ}／(１−１／２)−１／４−(２ｎ−１)／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝(１−１／２^ｎ)−１／４−(２ｎ−１)／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝３／４−１／２^ｎ−(２ｎ−１)／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝{３・２^ｎ−４−(２ｎ−１)}／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝(３・２^ｎ−２ｎ−３)／２^ｎ＋２
　　∴Ｔ_ｎ＝(３・２^ｎ−２ｎ−３)／２^ｎ＋１
　(6)から，
　　ｅ_ｎ＝−３／２＋Ｔ_ｎ−１
　　　＝−３／２＋{３・２^ｎ−１−２(ｎ−１)−３}／２^ｎ
　　　＝(−３・２^ｎ−１＋３・２^ｎ−１−２ｎ＋２−３)／２^ｎ
　　　＝(−２ｎ−１)／２^ｎ
　これは，ｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｅ_ｎ＝(−２ｎ−１)／２^ｎ＝ｄ_ｎ／２^ｎ
　　∴ｄ_ｎ＝−２ｎ−１
　　∴ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ＝−２ｎ−１………(9)

　(5)−(9)から，
　　ａ_ｎ＝(２・３^ｎ−１−ｎ)＋(２ｎ＋１)
　　　＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１………（答）

（別解）
　　ａ_ｎ＋２−２ａ_ｎ＋１＝３(ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ)＋２ｎ−１
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｂ_ｎ＋１＝３ｂ_ｎ＋２ｎ−１
　ｂ_ｎ＝ｐ・３^ｎ＋ｑｎ＋ｒ（ｎ＝１，２，３，………，ｐ，ｑ，ｒは定数）とすると，
　　ｐ・３^ｎ＋１＋ｑ(ｎ＋１)＋ｒ＝３(ｐ・３^ｎ＋ｑｎ＋ｒ)＋２ｎ−１
　　∴ｑｎ＋(ｑ＋ｒ)＝(３ｑ＋２)ｎ＋(３ｒ−１)
　ｎの恒等式なので，
　　ｑ＝３ｑ＋２………(2)
　　ｑ＋ｒ＝３ｒ−１………(3)
　(2)から，−２ｑ＝２　　　∴ｑ＝−１
　(3)から，−１＋ｒ＝３ｒ−１　　　∴ｒ＝０
　　∴ｂ_ｎ＝ｐ・３^ｎ−ｎ………(4)
　ｂ_１＝ａ_２−２・ａ_１＝１から，(4)にｎ＝１を代入すると，
　　ｂ_１＝３ｐ−１＝１　　　∴ｐ＝２／３
　(4)から，ｂ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１−ｎ
（後で数学的帰納法で証明する）

（別解その２）(1)から，
　　ａ_３＝５ａ_２−６ａ_１＋１＝５・９−６・４＋１＝４５−２４＋１＝２２
　　ａ_４＝５ａ_３−６ａ_２＋３＝５・２２−６・９＋３＝１１０−５４＋３＝５９
　　ａ_５＝５ａ_４−６ａ_３＋５＝５・５９−６・２２＋５＝２９５−１３２＋５＝１６８
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｂ_１＝ａ_２−ａ_１＝９−４＝５
　　ｂ_２＝ａ_３−ａ_２＝２２−９＝１３
　　ｂ_３＝ａ_４−ａ_３＝５９−２２＝３７
　　ｂ_４＝ａ_５−ａ_４＝１６８−５９＝１０９
　ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ＋１−ｂ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｃ_１＝ｂ_２−ｂ_１＝１３−５＝８
　　ｃ_２＝ｂ_３−ｂ_２＝３７−１３＝２４
　　ｃ_３＝ｂ_４−ｂ_３＝１０９−３７＝７２
　故に数列｛ｃ_ｎ｝は，初項８，公比３の等比数列であると類推できる．このとき，
　　ｃ_ｎ＝８・３^ｎ−１＝ｂ_ｎ＋１−ｂ_ｎ
　ｎ≧２のとき，
　　ｂ_ｎ＝ｂ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}８・３^ｋ−１
　　　＝５＋８・(３^ｎ−１−１)／(３−１)
　　　＝５＋４(３^ｎ−１−１)
　　　＝４・３^ｎ−１＋１
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｂ_ｎ＝４・３^ｎ−１＋１＝ａ_ｎ＋１−ａ_ｎ
　ｎ≧２のとき，
　　ａ_ｎ＝ａ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}(４・３^ｋ−１＋１)
　　　＝４＋４・(３^ｎ−１−１)／(３−１)＋(ｎ−１)
　　　＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１
　これはｎ＝１のときも成立する．
　これを数学的帰納法で証明する．
　ｎ＝１，ｎ＝２のとき，明らかに成立する．
　ｎ＝ｋ，ｎ＝ｋ＋１（ｋ≧１）のとき，成り立つと仮定すると，
　　ａ_ｋ＝２・３^ｋ−１＋ｋ＋１，ａ_ｋ＋１＝２・３^ｋ＋ｋ＋２
　(1)から，
　　ａ_ｋ＋２＝５ａ_ｋ＋１−６ａ_ｋ＋(２ｋ−１)
　　　　＝５(２・３^ｋ＋ｋ＋２)−６(２・３^ｋ−１＋ｋ＋１)＋２ｋ−１
　　　　＝１０・３^ｋ＋５ｋ＋１０−４・３^ｋ−６ｋ−６＋２ｋ−１
　　　　＝６・３^ｋ＋ｋ＋３
　　　　＝２・３^ｋ＋１＋ｋ＋３
　故にｎ＝ｋ＋２のときも成立する．
　故にすべての自然数ｎについて，
　　ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１………（答）

問題２．
　　ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝２・４^ｎ………(1)
から，
　　ａ_ｎ＋２−２ａ_ｎ＋１＝３(ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ)＋２・４^ｎ
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｂ_ｎ＋１＝３ｂ_ｎ＋２・４^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＋１／４^ｎ＋１＝３／４・ｂ_ｎ／４^ｎ＋１／２
　ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ／４^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｃ_ｎ＋１＝３／４・ｃ_ｎ＋１／２
　　∴ｃ_ｎ＋１−２＝３／４・ｃ_ｎ−３／２＝３／４・(ｃ_ｎ−２)
　ｄ_ｎ＝ｃ_ｎ−２（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｄ_ｎ＋１＝３／４・ｄ_ｎ
　故に数列｛ｄ_ｎ｝は，初項
　　ｄ_１＝ｃ_１−２＝ｂ_１／４−２＝(ａ_２−２ａ_１)／４−２＝(２１−２・５)／４−２＝３／４
公比３／４の等比数列であるので，
　　ｄ_ｎ＝３／４・(３／４)^ｎ−１＝３^ｎ／４^ｎ＝ｃ_ｎ−２
　　∴ｃ_ｎ＝２＋３^ｎ／４^ｎ＝ｂ_ｎ／４^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＝２・４^ｎ＋３^ｎ
　　∴ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ＝２・４^ｎ＋３^ｎ………(2)

　(1)から，
　　ａ_ｎ＋２−３ａ_ｎ＋１＝２(ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ)＋２・４^ｎ
　ｅ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｅ_ｎ＋１＝２ｅ_ｎ＋２・４^ｎ
　　∴ｅ_ｎ＋１／４^ｎ＋１＝１／２・ｂ_ｎ／４^ｎ＋１／２
　ｆ_ｎ＝ｅ_ｎ／４^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｆ_ｎ＋１＝１／２・ｆ_ｎ＋１／２
　　∴ｆ_ｎ＋１−１＝１／２・ｆ_ｎ−１／２＝１／２・(ｆ_ｎ−１)
　ｇ_ｎ＝ｆ_ｎ−１（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｇ_ｎ＋１＝１／２・ｇ_ｎ
　故に数列｛ｇ_ｎ｝は，初項
　　ｇ_１＝ｆ_１−１＝ｅ_１／４−１＝(ａ_２−３ａ_１)／４−１＝(２１−３・５)／４−１＝１／２
公比１／２の等比数列であるので，
　　ｇ_ｎ＝１／２・(１／２)^ｎ−１＝１／２^ｎ＝ｆ_ｎ−１
　　∴ｆ_ｎ＝１＋１／２^ｎ＝ｅ_ｎ／４^ｎ
　　∴ｅ_ｎ＝４^ｎ＋４^ｎ／２^ｎ
　　∴ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ＝４^ｎ＋２^ｎ………(3)

　(2)−(3)から，
　　ａ_ｎ＝４^ｎ＋３^ｎ−２^ｎ………（答）

「浜田明巳」　01/22 17時05分　受信 更新02/16

問題１．
（別解）(5)　ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１−ｎ
を使わず，
　　(9)　ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ＝−２ｎ−１
のみを使う解法

　　ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ＝−２ｎ−１………(9)
から，
　　ａ_ｎ＋１／３^ｎ＋１−ａ_ｎ／３^ｎ＝−(２ｎ＋１)／３^ｎ＋１
　ここで，
　　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ／３^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）
とすると，
　　ｂ_ｎ＋１−ｂ_ｎ＝−(２ｎ＋１)／３^ｎ＋１
　ｎ≧２のとき，
　　ｂ_ｎ＝ｂ_１−Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}(２ｋ＋１)／３^ｋ＋１
　ここで，
　　ｂ_１＝ａ_１／３＝４／３
　また，
　　Ｓ_ｎ＝Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(２ｋ＋１)／３^ｋ＋１
　　　＝３／３^２＋５／３^３＋７／３^４＋………＋(２ｎ＋１)／３^ｎ＋１
とすると，
　　１／３・Ｓ_ｎ＝３／３^３＋５／３^４＋７／３^５＋………＋(２ｎ−１)／３^ｎ＋１＋(２ｎ＋１)／３^ｎ＋２
　辺々を引くと，
　　２／３・Ｓ_ｎ＝３／３^２＋２／３^３＋２／３^４＋………＋２／３^ｎ＋１−(２ｎ＋１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝１／３^２＋２／３^２・(１＋１／３＋１／３^２＋………＋１／３^ｎ−１)−(２ｎ＋１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝１／９＋２／９・{１−(１／３)^ｎ}／(１−１／３)−(２ｎ＋１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝１／９＋１／３・(１−１／３^ｎ)−(２ｎ＋１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝４／９−１／３^ｎ＋１−(２ｎ＋１)／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝{４・３^ｎ−３−(２ｎ＋１)}／３^ｎ＋２
　　　　　　　＝(４・３^ｎ−２ｎ−４)／３^ｎ＋２
　　∴Ｓ_ｎ＝３／２・(４・３^ｎ−２ｎ−４)／３^ｎ＋２
　　　　＝(２・３^ｎ−ｎ−２)／３^ｎ＋１
　　∴ｂ_ｎ＝４／３−Ｓ_ｎ−１
　　　　＝４／３−{２・３^ｎ−１−(ｎ−１)−２}／３^ｎ
　　　　＝(４・３^ｎ−１−２・３^ｎ−１＋ｎ−１＋２)／３^ｎ
　　　　＝(２・３^ｎ−１＋ｎ＋１)／３^ｎ
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｂ_ｎ＝(２・３^ｎ−１＋ｎ＋１)／３^ｎ＝ａ_ｎ／３^ｎ
　　∴ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１

（別解）(9)　ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ＝−２ｎ−１
を使わず，
　　(5)　ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１−ｎ
のみを使う解法

　　ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１−ｎ
から，
　　ａ_ｎ＋１／２^ｎ＋１−ａ_ｎ／２^ｎ＝１／２・(３／２)^ｎ−１−ｎ／２^ｎ＋１
　ここで，
　　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ／２^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）
とすると，
　　ｂ_ｎ＋１−ｂ_ｎ＝１／２・(３／２)^ｎ−１−ｎ／２^ｎ＋１
　ｎ≧２のとき，
　　ｂ_ｎ＝ｂ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}{１／２・(３／２)^ｋ−１−ｋ／２^ｋ＋１}
　　　＝ａ_１／２＋１／２・{(３／２)^ｎ−１−１}／(３／２−１)−Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}ｋ／２^ｋ＋１
　　　＝２＋３^ｎ−１／２^ｎ−１−１−Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}ｋ／２^ｋ＋１
　　　＝１＋３^ｎ−１／２^ｎ−１−Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}ｋ／２^ｋ＋１
　ここで，
　　Ｓ_ｎ＝Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ／２^ｋ＋１
　　　＝１／２^２＋２／２^３＋３／２^４＋………＋ｎ／２^ｎ＋１
とすると，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１／２^３＋２／２^４＋３／２^５＋………＋(ｎ−１)／２^ｎ＋１＋ｎ／２^ｎ＋２
　辺々を引くと，
　　１／２・Ｓ_ｎ＝１／２^２＋１／２^３＋１／２^４＋………＋１／２^ｎ＋１−ｎ／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝１／２^２・{１−(１／２)^ｎ}／(１−１／２)−ｎ／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝１／２・(１−１／２^ｎ)−ｎ／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝１／２−１／２^ｎ＋１−ｎ／２^ｎ＋２
　　　　　　　＝(２^ｎ＋１−２−ｎ)／２^ｎ＋２
　　∴Ｓ_ｎ＝２・(２^ｎ＋１−ｎ−２)／２^ｎ＋２
　　　　＝(２^ｎ＋１−ｎ−２)／２^ｎ＋１
　　∴ｂ_ｎ＝１＋３^ｎ−１／２^ｎ−１−Ｓ_ｎ−１
　　　　＝１＋３^ｎ−１／２^ｎ−１−{２^ｎ−(ｎ−１)−２}／２^ｎ
　　　　＝(２^ｎ＋２・３^ｎ−１−２^ｎ＋ｎ−１＋２)／２^ｎ
　　　　＝(２・３^ｎ−１＋ｎ＋１)／２^ｎ
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｂ_ｎ＝(２・３^ｎ−１＋ｎ＋１)／２^ｎ＝ａ_ｎ／２^ｎ
　　∴ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１

問題２．
（別解）
　　ａ_ｎ＋２−２ａ_ｎ＋１＝３(ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ)＋２・４^ｎ
において，
　　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）
とすると，
　　ｂ_ｎ＋１＝３ｂ_ｎ＋２・４^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＋１／３^ｎ＋１＝ｂ_ｎ／３^ｎ＋２／３・(４／３)^ｎ
　ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ／３^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｃ_ｎ＋１＝ｃ_ｎ＋２／３・(４／３)^ｎ
　ｎ≧２のとき，
　　ｃ_ｎ＝ｃ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}２／３・(４／３)^ｋ
　　　＝ｂ_１／３＋２／３・４／３・{(４／３)^ｎ−１−１}／(４／３−１)
　　　＝(ａ_２−２ａ_１)／３＋８／３・(４^ｎ−１／３^ｎ−１−１)
　　　＝１１／３＋２・４^ｎ／３^ｎ−８／３
　　　＝２・４^ｎ／３^ｎ＋１
　　　＝(２・４^ｎ＋３^ｎ)／３^ｎ
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｃ_ｎ＝(２・４^ｎ＋３^ｎ)／３^ｎ＝ｂ_ｎ／３^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＝２・４^ｎ＋３^ｎ
　　∴ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ＝２・４^ｎ＋３^ｎ………(A)

　　ａ_ｎ＋２−３ａ_ｎ＋１＝２(ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ)＋２・４^ｎ
において，
　　ｄ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）
とすると，
　　ｄ_ｎ＋１＝２ｄ_ｎ＋２・４^ｎ
　　∴ｄ_ｎ＋１／２^ｎ＋１＝ｄ_ｎ／２^ｎ＋２^ｎ
　ｅ_ｎ＝ｄ_ｎ／２^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とすると，
　　ｅ_ｎ＋１＝ｅ_ｎ＋２^ｎ
　ｎ≧２のとき，
　　ｅ_ｎ＝ｅ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}２^ｋ
　　　＝ｄ_１／２＋２・(２^ｎ−１−１)／(２−１)
　　　＝(ａ_２−３ａ_１)／２＋２^ｎ−２
　　　＝３＋２^ｎ−２
　　　＝２^ｎ＋１
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｅ_ｎ＝２^ｎ＋１＝ｄ_ｎ／２^ｎ
　　∴ｄ_ｎ＝４^ｎ＋２^ｎ
　　∴ａ_ｎ＋１−３ａ_ｎ＝４^ｎ＋２^ｎ………(B)

　(A)−(B)から，
　　ａ_ｎ＝４^ｎ＋３^ｎ−２^ｎ
（いささか，やりすぎました）

「浜田明巳」　01/23 16時25分　受信 更新02/16

問題１．（ヒントを元に）
（別解）ａ_ｎ＋２−２ａ_ｎ＋１＝３(ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ)＋２ｎ−１
と変形できるので，
　　ａ_ｎ＝ａ・３^ｎ＋ｂ・２^ｎ＋ｃｎ＋ｄ（ａ，ｂ，ｃ，ｄは定数）
とする．
　　ａ_１＝３ａ＋２ｂ＋ｃ＋ｄ＝４………(1)
　　ａ_２＝９ａ＋４ｂ＋２ｃ＋ｄ＝９………(2)
　また，
　　ａ_３＝５ａ_２−６ａ_１＋１＝５・９−６・４＋１＝２２
　　ａ_４＝５ａ_３−６ａ_２＋３＝５・２２−６・９＋３＝５９
から，
　　ａ_３＝２７ａ＋８ｂ＋３ｃ＋ｄ＝２２………(3)
　　ａ_４＝８１ａ＋１６ｂ＋４ｃ＋ｄ＝５９………(4)
　(2)−(1)から，
　　６ａ＋２ｂ＋ｃ＝５………(5)
　(3)−(2)から，
　　１８ａ＋４ｂ＋ｃ＝１３………(6)
　(4)−(3)から，
　　５４ａ＋８ｂ＋ｃ＝３７………(7)
　(6)−(5)から，
　　１２ａ＋２ｂ＝８　　　∴６ａ＋ｂ＝４………(8)
　(7)−(6)から，
　　３６ａ＋４ｂ＝２４　　　∴９ａ＋ｂ＝６………(9)
　(9)−(8)から，
　　３ａ＝２　　　∴ａ＝２／３
　(8)から，
　　ｂ＝４−６ａ＝４−４＝０
　(5)から，
　　ｃ＝５−６ａ−２ｂ＝５−４＝１
　(1)から，
　　ｄ＝４−３ａ−２ｂ−ｃ＝４−２−１＝１
　　∴ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１
　これを数学的帰納法で証明する．
　ｎ＝１，ｎ＝２のとき，明らかに成立する．
　ｎ＝ｋ，ｎ＝ｋ＋１（ｋ≧１）のとき，成立すると仮定すると，
　　ａ_ｋ＝２・３^ｋ−１＋ｋ＋１，ａ_ｋ＋１＝２・３^ｋ＋ｋ＋２
　　∴ａ_ｋ＋２＝５ａ_ｋ＋１−６ａ_ｋ＋２ｋ−１
　　　　　＝５(２・３^ｋ＋ｋ＋２)−６(２・３^ｋ−１＋ｋ＋１)＋２ｋ−１
　　　　　＝(１０−４)・３^ｋ＋５ｋ＋１０−６ｋ−６＋２ｋ−１
　　　　　＝２・３^ｋ＋１＋ｋ＋３
　故にｎ＝ｋ＋２のときも成立する．
　故にすべての自然数ｎについて，
　　ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１

問題２．（別解）ａ_ｎ＋２−２ａ_ｎ＋１＝３(ａ_ｎ＋１−２ａ_ｎ)＋２・４^ｎ
と変形できるので，
　　ａ_ｎ＝ａ・４^ｎ＋ｂ・３^ｎ＋ｃ・２^ｎ＋ｄ（ａ，ｂ，ｃ，ｄは定数）
とする．
　　ａ_１＝４ａ＋３ｂ＋２ｃ＋ｄ＝５………(1)
　　ａ_２＝１６ａ＋９ｂ＋４ｃ＋ｄ＝２１………(2)
　また，
　　ａ_３＝５ａ_２−６ａ_１＋２・４＝５・２１−６・５＋８＝８３
　　ａ_４＝５ａ_３−６ａ_２＋２・４^２＝５・８３−６・２１＋３２＝３２１
から，
　　ａ_３＝６４ａ＋２７ｂ＋８ｃ＋ｄ＝８３………(3)
　　ａ_４＝２５６ａ＋８１ｂ＋１６ｃ＋ｄ＝３２１………(4)
　(2)−(1)から，
　　１２ａ＋６ｂ＋２ｃ＝１６………(5)
　(3)−(2)から，
　　４８ａ＋１８ｂ＋４ｃ＝６２　　　∴２４ａ＋９ｂ＋２ｃ＝３１………(6)
　(4)−(3)から，
　　１９２ａ＋５４ｂ＋８ｃ＝２３８　　　∴９６ａ＋２７ｂ＋４ｃ＝１１９………(7)
　(6)−(5)から，
　　１２ａ＋３ｂ＝１５………(8)
　(7)−(6)×２から，
　　４８ａ＋９ｂ＝５７　　　∴１６ａ＋３ｂ＝１９………(9)
　(9)−(8)から，
　　４ａ＝４　　　∴ａ＝１
　(8)から，ｂ＝５−４ａ＝１
　(5)から，ｃ＝８−６ａ−３ｂ＝−１
　(1)から，ｄ＝５−４ａ−３ｂ−２ｃ＝０
　　∴ａ_ｎ＝４^ｎ＋３^ｎ−２^ｎ
　これを数学的帰納法で証明する．
　ｎ＝１，ｎ＝２のとき，明らかに成立する．
　ｎ＝ｋ，ｎ＝ｋ＋１（ｋ≧１）のとき，成立すると仮定すると，
　　ａ_ｋ＝４^ｋ＋３^ｋ−２^ｋ，ａ_ｋ＋１＝４^ｋ＋１＋３^ｋ＋１−２^ｋ＋１
　　∴ａ_ｋ＋２＝５ａ_ｋ＋１−６ａ_ｋ＋２・４^ｋ
　　　　　＝５(４^ｋ＋１＋３^ｋ＋１−２^ｋ＋１)−６(４^ｋ＋３^ｋ−２^ｋ)＋２・４^ｋ
　　　　　＝(２０−６＋２)・４^ｋ＋(１５−６)・３^ｋ＋(−１０＋６)・２^ｋ
　　　　　＝４^ｋ＋２＋３^ｋ＋２−２^ｋ＋２
　故にｎ＝ｋ＋２のときも成立する．
　故にすべての自然数ｎについて，
　　ａ_ｎ＝４^ｎ＋３^ｎ−２^ｎ
（潔い解とはいえず，あまり好きではありません）

「浜田明巳」　02/10 10時59分　受信 更新02/16

問題１：ａ_１＝４，ａ_２＝９，ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝２ｎ−１
（別解）（１−５＋６＝２を使う方法）
　ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝２ｎ−１から，
　　{ａ_ｎ＋２−(ｎ＋２)−１}−５{ａ_ｎ＋１−(ｎ＋１)−１}＋６(ａ_ｎ−ｎ−１)＝２ｎ−１−(ｎ＋２)−１＋５{(ｎ＋１)＋１}−６(ｎ＋１)＝０
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ−ｎ−１（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｂ_ｎ＋２−５ｂ_ｎ＋１＋６ｂ_ｎ＝０
　　∴ｂ_ｎ＋２−２ｂ_ｎ＋１＝３(ｂ_ｎ＋１−２ｂ_ｎ)………�@
　　　ｂ_ｎ＋２−３ｂ_ｎ＋１＝２(ｂ_ｎ＋１−３ｂ_ｎ)………�A
　�@において，ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ＋１−２ｂ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｃ_ｎ＋１＝３ｃ_ｎ
　故に数列｛ｃ_ｎ｝は，初項
　　ｃ_１＝ｂ_２−２ｂ_１＝(ａ_２−２−１)−２(ａ_１−１−１)＝(９−３)−２(４−２)＝２
公比３の等比数列である．
　　∴ｃ_ｎ＝２・３^ｎ−１
　　∴ｂ_ｎ＋１−２ｂ_ｎ＝２・３^ｎ−１………�B
　�Aにおいて，ｄ_ｎ＝ｂ_ｎ＋１−３ｂ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｄ_ｎ＋１＝２ｄ_ｎ
　故に数列｛ｄ_ｎ｝は，初項
　　ｄ_１＝ｂ_２−３ｂ_１＝６−３・２＝０
公比２の等比数列である．
　　∴ｄ_ｎ＝０・２^ｎ−１＝０
　　∴ｂ_ｎ＋１−３ｂ_ｎ＝０………�C
　�B−�Cから，ｂ_ｎ＝２・３^ｎ−１
　　∴ａ_ｎ−ｎ−１＝２・３^ｎ−１
　　∴ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１

（別解）（階差数列を使う方法）
　ｎにｎ＋１を代入すると，
　　ａ_ｎ＋３−５ａ_ｎ＋２＋６ａ_ｎ＋１＝２ｎ＋１
　　ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ　＝２ｎ−１
　差をとると，
　　(ａ_ｎ＋３−ａ_ｎ＋２)−５(ａ_ｎ＋２−ａ_ｎ＋１)＋６(ａ_ｎ＋１−ａ_ｎ)＝２
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ＋１−ａ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｂ_ｎ＋２−５ｂ_ｎ＋１＋６ｂ_ｎ＝２
　ｎにｎ＋１を代入すると，
　　ｂ_ｎ＋３−５ｂ_ｎ＋２＋６ｂ_ｎ＋１＝２
　　ｂ_ｎ＋２−５ｂ_ｎ＋１＋６ｂ_ｎ　＝２
　差をとると，
　　(ｂ_ｎ＋３−ｂ_ｎ＋２)−５(ｂ_ｎ＋２−ｂ_ｎ＋１)＋６(ｂ_ｎ＋１−ｂ_ｎ)＝０
　ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ＋１−ｂ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｃ_ｎ＋２−５ｃ_ｎ＋１＋６ｃ_ｎ＝０
　　∴ｃ_ｎ＋２−３ｃ_ｎ＋１＝２(ｃ_ｎ＋１−３ｃ_ｎ)
　ｄ_ｎ＝ｃ_ｎ＋１−３ｃ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｄ_ｎ＋１＝２ｄ_ｎ
　　∴ｄ_ｎ＝ｄ_１・２^ｎ−１
　ここで，
　　ａ_３＝５ａ_２−６ａ_１＋１＝５・９−６・４＋１＝４５−２４＋１＝２２
　　ａ_４＝５ａ_３−６ａ_２＋３＝５・２２−６・９＋３＝１１０−５４＋３＝５９
　　ｂ_１＝ａ_２−ａ_１＝９−４＝５
　　ｂ_２＝ａ_３−ａ_２＝２２−９＝１３
　　ｂ_３＝ａ_４−ａ_３＝５９−２２＝３７
　　ｃ_１＝ｂ_２−ｂ_１＝１３−５＝８
　　ｃ_２＝ｂ_３−ｂ_２＝３７−１３＝２４
　　ｄ_１＝ｃ_２−３ｃ_１＝２４−３・８＝０
　　∴ｄ_ｎ＝０・２^ｎ−１＝０
　　∴ｃ_ｎ＋１−３ｃ_ｎ＝０
　　∴ｃ_ｎ＋１＝３ｃ_ｎ
　　∴ｃ_ｎ＝ｃ_１・３^ｎ−１＝８・３^ｎ−１
　　∴ｂ_ｎ＋１−ｂ_ｎ＝８・３^ｎ−１
　ｎ≧２のとき，
　　ｂ_ｎ＝ｂ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}８・３^ｋ−１
　　　＝５＋８・(３^ｎ−１−１)／(３−１)
　　　＝５＋４(３^ｎ−１−１)
　　　＝４・３^ｎ−１＋１
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｂ_ｎ＝４・３^ｎ−１＋１
　　∴ａ_ｎ＋１−ａ_ｎ＝４・３^ｎ−１＋１
　ｎ≧２のとき，
　　ａ_ｎ＝ａ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}(４・３^ｋ−１＋１)
　　　＝４＋４・(３^ｎ−１−１)／(３−１)＋(ｎ−１)
　　　＝２(３^ｎ−１−１)＋ｎ＋３
　　　＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ａ_ｎ＝２・３^ｎ−１＋ｎ＋１

問題２：ａ_１＝５，ａ_２＝２１，ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝２・４^ｎ
（別解）ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝２・４^ｎから，
　　(ａ_ｎ＋２−４^ｎ＋２)−５(ａ_ｎ＋１−４^ｎ＋１)＋６(ａ_ｎ−４^ｎ)＝２・４^ｎ−１６・４^ｎ＋２０・４^ｎ−６・４^ｎ＝０
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ−４^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｂ_ｎ＋２−５ｂ_ｎ＋１＋６ｂ_ｎ＝０
　　∴ｂ_ｎ＋２−２ｂ_ｎ＋１＝３(ｂ_ｎ＋１−２ｂ_ｎ)………�@
　　　ｂ_ｎ＋２−３ｂ_ｎ＋１＝２(ｂ_ｎ＋１−３ｂ_ｎ)………�A
　�@において，ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ＋１−２ｂ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｃ_ｎ＋１＝３ｃ_ｎ
　故に数列｛ｃ_ｎ｝は，初項
　　ｃ_１＝ｂ_２−２ｂ_１＝(ａ_２−４^２)−２(ａ_１−４)＝(２１−１６)−２(５−４)＝３
公比３の等比数列である．
　　∴ｃ_ｎ＝３・３^ｎ−１＝３^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＋１−２ｂ_ｎ＝３^ｎ………�B
　�Aにおいて，ｄ_ｎ＝ｂ_ｎ＋１−３ｂ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｄ_ｎ＋１＝２ｄ_ｎ
　故に数列｛ｄ_ｎ｝は，初項
　　ｄ_１＝ｂ_２−３ｂ_１＝５−３・１＝２
公比２の等比数列である．
　　∴ｄ_ｎ＝２・２^ｎ−１＝２^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＋１−３ｂ_ｎ＝２^ｎ………�C
　�B−�Cから，ｂ_ｎ＝３^ｎ−２^ｎ
　　∴ａ_ｎ−４^ｎ＝３^ｎ−２^ｎ
　　∴ａ_ｎ＝４^ｎ＋３^ｎ−２^ｎ

（別解）（上別解の�Bだけを用いて解く）
　�Bの両辺を２^ｎ＋１で割ると，
　　ｂ_ｎ＋１／２^ｎ＋１−ｂ_ｎ／２^ｎ＝３^ｎ／２^ｎ＋１＝３／４・(３／２)^ｎ−１
　ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ／２^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｃ_ｎ＋１−ｃ_ｎ＝３／４・(３／２)^ｎ−１
　ｎ≧２のとき，
　　ｃ_ｎ＝ｃ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}３／４・(３／２)^ｋ−１
　　　＝ｂ_１／２＋３／４・{(３／２)^ｎ−１−１}／(３／２−１)
　　　＝１／２＋３／２・{(３／２)^ｎ−１−１}
　　　＝１／２＋(３／２)^ｎ−３／２
　　　＝(３／２)^ｎ−１
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｃ_ｎ＝(３／２)^ｎ−１＝ｂ_ｎ／２^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＝３^ｎ−２^ｎ＝ａ_ｎ−４^ｎ
　　∴ａ_ｎ＝４^ｎ＋３^ｎ−２^ｎ

（別解）（上上別解の�Cだけを用いて解く）
　�Cの両辺を３^ｎ＋１で割ると，
　　ｂ_ｎ＋１／３^ｎ＋１−ｂ_ｎ／３^ｎ＝２^ｎ／３^ｎ＋１＝２／９・(２／３)^ｎ−１
　ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ／３^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｃ_ｎ＋１−ｃ_ｎ＝２／９・(２／３)^ｎ−１
　ｎ≧２のとき，
　　ｃ_ｎ＝ｃ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}２／９・(２／３)^ｋ−１
　　　＝ｂ_１／３＋２／９・{１−(２／３)^ｎ−１}／(１−２／３)
　　　＝１／３＋２／３・{１−(２／３)^ｎ−１}
　　　＝１−(２／３)^ｎ
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｃ_ｎ＝１−(２／３)^ｎ＝ｂ_ｎ／３^ｎ
　　∴ｂ_ｎ＝３^ｎ−２^ｎ＝ａ_ｎ−４^ｎ
　　∴ａ_ｎ＝４^ｎ＋３^ｎ−２^ｎ

（別解）ａ_ｎ＋２−５ａ_ｎ＋１＋６ａ_ｎ＝２・４^ｎの両辺を４^ｎ＋２で割ると，
　　ａ_ｎ＋２／４^ｎ＋２−５／４・ａ_ｎ＋１／４^ｎ＋１＋３／８・ａ_ｎ／４^ｎ＝１／８
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ／４^ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｂ_ｎ＋２−５／４・ｂ_ｎ＋１＋３／８・ｂ_ｎ＝１／８
　　∴ｂ_ｎ＋２−１／２・ｂ_ｎ＋１＝３／４・(ｂ_ｎ＋１−１／２・ｂ_ｎ)＋１／８
　ｃ_ｎ＝ｂ_ｎ＋１−１／２・ｂ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｃ_ｎ＋１＝３／４・ｃ_ｎ＋１／８
　　∴ｃ_ｎ＋１−１／２＝３／４・(ｃ_ｎ−１／２)
　ｄ_ｎ＝ｃ_ｎ−１／２（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｄ_ｎ＋１＝３／４・ｄ_ｎ
　　∴ｄ_ｎ＝ｄ_１・(３／４)^ｎ−１
　ここで，
　　ｄ_１＝ｃ_１−１／２＝ｂ_２−１／２・ｂ_１−１／２＝ａ_２／４^２−１／２・ａ_１／４−１／２＝２１／１６−５／８−１／２＝３／１６
　　∴ｄ_ｎ＝３／１６・(３／４)^ｎ−１＝３^ｎ／４^ｎ＋１
　　∴ｃ_ｎ−１／２＝３^ｎ／４^ｎ＋１
　　∴ｃ_ｎ＝１／２＋３^ｎ／４^ｎ＋１
　　∴ｂ_ｎ＋１−１／２・ｂ_ｎ＝１／２＋３^ｎ／４^ｎ＋１
　両辺に２^ｎ＋１をかけると，
　　２^ｎ＋１ｂ_ｎ＋１−２^ｎｂ_ｎ＝２^ｎ＋３^ｎ／２^ｎ＋１
　ｅ_ｎ＝２^ｎｂ_ｎ（ｎ＝１，２，３，………）とおくと，
　　ｅ_ｎ＋１−ｅ_ｎ＝２^ｎ＋３^ｎ／２^ｎ＋１
　ｎ≧２のとき，
　　ｅ_ｎ＝ｅ_１＋Σ_{１≦ｋ≦ｎ−１}(２^ｋ＋３^ｋ／２^ｋ＋１)
　　　＝２ｂ_１＋２・(２^ｎ−１−１)／(２−１)＋３／４・{(３／２)^ｎ−１−１}／(３／２−１)
　　　＝２ａ_１／４＋２^ｎ−２＋３／２・{(３／２)^ｎ−１−１}
　　　＝５／２＋２^ｎ−２＋(３／２)^ｎ−３／２
　　　＝２^ｎ＋(３／２)^ｎ−１
　これはｎ＝１のときも成立する．
　　∴ｅ_ｎ＝２^ｎ＋(３／２)^ｎ−１
　　∴２^ｎｂ_ｎ＝２^ｎａ_ｎ／４^ｎ＝ａ_ｎ／２^ｎ＝２^ｎ＋(３／２)^ｎ−１
　　∴ａ_ｎ＝４^ｎ＋３^ｎ−２^ｎ

NO3「早起きのおじさん」1/21 21時33分　受信　

「早起きのおじさん」1/22 09時44分　受信 更新02/16

今回の問題は２を計算していったらきれいになったのでうれしくなりました。

久しぶりに集中した楽しい時間を過ごせました。

問題１

●二回、階差数列をとり解ける形に直します。

・一回目は右辺の変数を消します。

(1)−(2)より、

この階差数列をとします。

・二回目は右辺を零にします。

(3)−(4)より、

この階差数列をとします。

●実際に解きます。

・方程式の解を用いて(5)の式を変形します。

　(6)より、は、初項、公比3の等比数列なので、

　(7)より、は、初項、公比2の等比数列なので、

　(8)、(9)を連立させ(8)−(9)よりについて解くと、

・は階差なので、

の階差が、二つの等比数列の差の形になっているので、

∴
∴　

・具体的に求めると、

なので、

問題２

●問題１をヒントに解ける形に直します。

の両辺をで割ります。
なので、とおくと、

●について解きます。

・まず階差をとります。

(10)−(11)より、

この階差数列をとします。

・方程式の解を用いて、(12)の式を変形します。

　(13)より、は、初項、公比の等比数列なので、

　(14)より、は、初項、公比の等比数列なので、

　(15)、(16)を連立させ(16)−(15)よりについて解くと、

　∴

・は階差なので、

の階差が、二つの等比数列の差の形になっているので、

　∴

・とおいたので、

　∴

・具体的に求めると、

なので、

NO4 「にいばりZ12」1/24 02時14分 受信 　更新02/16

にいばりZ12です

数列の添え字と数字を区別するため添え字の後ろにはピリオドをつけています。

問題1

下表のように数字を具体的に書き出し第2階差までとると、等比数列になっていると類推できるので階差から数列を逆に計算していくと表のように元の数列は

an=1+n+2*3^(n-1)の一般項を持つことが類推されます。

n
	an．.+2-5an+1．+6an．=2n-1
	an．+2=5an+1．-6an．+2n-1
		an．=(5an+1．-an+2．+2n-1)/6
			第1階差
			αi．	第2階差（等比数列）
			i=n-1	βj．=β1．*3^(j-1)=8*3^(n-3)
				j=n-2	r
						Sβj．=β1．*(r^j-1)/(r-1)=4*(3^(n-2)-1)
							αi．=α1．+Sβj．=5+4*(3^(n-2)-1)=1+4*3^(n-2)
								Sαi．=(n-1)+4*((3^(n-1)-1)/(3-1))=n+2*(3^(n-1)-1)-1
									an．=a1．+Sαi．=4+n+2*(3^(n-1)-1)-1=1+n+2*3^(n-1)
1	a1	4							4
2	a2	9	5				5	5	9
3	a3	22	13	8		8	13	18	22
4	a4	59	37	24	3	32	37	55	59
5	a5	168	109	72	3	104	109	164	168
6	a6	493	325	216	3	320	325	489	493
7	a7	1466	973	648	3	968	973	1462	1466
8	a8	4383	2917	1944	3	2912	2917	4379	4383
9	a9	13132	8749	5832	3	8744	8749	13128	13132
10	a10	39377	26245	17496	3	26240	26245	39373	39377
11	a11	118110	78733	52488	3	78728	78733	118106	118110
12	a12	354307	236197	157464	3	236192	236197	354303	354307

an．=1+n+2*3^(n-1)

an+1=2+n+2*3^n     ・・・・�@

が成立するとき

an+2．=3+n+2*3^(n+1)・・・・�A

が成立する事を示します

題意より

an+2．-5an+1．+6an．=2n-1

an+2．=5an+1．-6an．+2n-1・・・（１）

（１）に�@を代入すると

an+2．=5*(2+n+2*3^n)-6*(1+n+2*3^(n-1))+2n-1

=3+n+2*3^(n+1)

となり成立しています。

一方で題意から

a1．=4,a2．=9であり仮定�@は初項及び第2項で成立している事から全ての項で成立します

よって数列の一般項は

an．=1+n+2*3^(n-1)　　・・・・回答

問題2

an+2．-5an+1．+6an．=2・4^n、　a1．=5 、 a2．=21

一般項を

an．=4^n+3^n-2^n

と類推します

実際

a1	5
a2	21
a3	83
a4	321
a5	1235
a6	4761
a7	18443
a8	71841
a9	281315
a10	1106601

となり

an+2．-5an+1．+6an．=2・4^n

を満たしています。

an．=4^n+3^n-2^n

an+1．=4^(n+1)+3^(n+1)-2^(n+1) ・・・・�@

が成立するとき

an+2．=4^(n+2)+3^(n+2)-2^(n+2) ・・・・�A

が成立する事を示します

�@�Aを元の漸化式左辺に代入すると

4^(n+2)+3^(n+2)-2^(n+2) -5＊(4^(n+1)+3^(n+1)-2^(n+1))+6＊(4^n+3^n-2^n)

=2・4^n

となり成立しており

一方で

a1．=5,a2．=21であり仮定�@は初項及び第2項で成立している事から全ての項で成立します

よって数列の一般項を

an．=4^n+3^n-2^n　・・・・・回答

――――――――――――――――

問題2の一般項は問題1のようにうまく類推できなかったので、以下のように力ずくで類推しました

漸化式の両辺を4^nで割りan．/4^n=bn．とおき整理すると

bn+2．−(5/4) bn+1．+(8/3) bn．=1/8、b1．=5/4、b2．=21/16・・・・�@

bn+2．+αbn+1．+β=γ(bn+1．+αbn．+β)とおくと

bn+2．+(α-γ)bn+1．-αγbn．=β(γ-1)

�@との係数比較を行い

α-γ=-5/4

-αγ=3/8

β(γ-1)=1/8

これを解くと

(A)　 α=-3/4　β=-1/4　γ=1/2

(B)　 α=-1/2　β=-1/2　γ=3/4

(A)から

bn+2．-(3/4)bn+1．-1/4=(1/2)・(bn+1．-(3/4)bn．-1/4)

c n．= bn+1．-(3/4)bn．-1/4 とおくと

c n+1．=(1/2) cn．

　c1．= b2．-(3/4)b1．-1/4=1/8

これは初項1/8公比1/2の等比数列なので

c n．=(1/8)・(1/2)^(n-1)

cをbにもどして

bn+1．-(3/4)bn．-1/4=(1/8)・(1/2)^(n-1)

さらにbをaにもどして

an+1．/4^(n+1)-(3/4)an．/4^n-1/4=(1/8)・(1/2)^(n-1)

整理すると

an+1．=3 an．+2^n+4^n・・・(A1)

(B)から同様に計算すると

an+1．=2 an．+3^n+2・4^n・・・(B1)

(A1)から(B1)を辺々引き整理すると

an．=4^n+3^n-2^n

なお、問題1で漸化式の両辺から2ｎ-3を引くと

(an+2．-(n+2))-5(an+1．-(n+1))+6(an．-n)=2となり

an．-n= bnとおくと

bn+2．-5bn+1．+6bn．=2と書けることから

同様の手法で導けそうです。・・・・蛇足

NO5 「スモークマン」2/07 20時38分 受信 　更新02/16

合間合間に考えてましたが…

途中までできたかと思いますので…^^;…

問題１：ａ(１)＝４，ａ(２)＝９，ａ(ｎ＋２)−５ａ(ｎ＋１)＋６ａ(ｎ)＝２ｎ−１

a(n+2)-3a(n+1)-2(a(n+1)-3a(n))=2n-1

(a(n+2)-3a(n+1))-2((a(n+1)-3a(n)))=2n-1

b(n)=a(n)-3a(n-1) と置くと…

b(n+2)-2b(n+1)=2n-1

b(n+2)+p(n+2)+q=2(b(n+1)+p(n+1)+q)

2p-p=2, 2q-q=-1

p=2, q=-1

b(n+2)+2(n+2)-1=2(b(n+1)+2(n+1)-1)

問題２：ａ(１)＝５，ａ(２)＝２１，ａ(ｎ＋２)−５ａ(ｎ＋１)＋６ａ(ｎ)＝２・４^ｎ

同様に考えて…

b(n+2)-4^(n+1)=2(b(n+1)-4^(n))

今のところここまでです…Orz...

NO6 「二度漬け白菜」2/09 11時15分 受信 　更新02/16

問題文にある、「類推しながら」というのは、「一般項を類推しながら」
という意味に解釈しました。
しかし私には一般項は類推できませんでした。
ですので、今回の一般項を導く問題は、私が普段使っている母関数による
解法で解きました。

問題 1：
A(x)=Σ[n=1〜∞](a[n]*x^n) とする。

与えられた漸化式 a[n+2]-5a[n+1]+6a[n]=2n-1
の両辺に x^(n+2) をかけて，
a[n+2]*x^(n+2)-5a[n+1]*x^(n+2)+6a[n]*x^(n+2) = (2n-1)*x^(n+2)．
さらに両辺のΣ[n=1〜∞]　を考えることによって，
Σ[n=1〜∞](a[n+2]*x^(n+2)-5a[n+1]*x^(n+2)+6a[n]*x^(n+2)) =Σ[n=1〜∞] ((2n-1)*x^(n+2) ．
ここで，
(左辺)
=Σ[n=1〜∞](a[n+2]*x^(n+2))-5*x*Σ[n=1〜∞](a[n+1]*x^(n+1))+6*x^2*Σ[n=1〜∞](a[n]*x^n))
=(A(x)-a[1]*x-a[2]*x^2)-5*x*(A(x)-a[1]*x)+6*x^2*A(x)
=(A(x)-4*x-9*x^2)-5*x*(A(x)-4*x)+6*x^2*A(x)．

(右辺)
=Σ[n=1〜∞]((2n-1)*x^(n+2)
=2*x^3*Σ[n=1〜∞](n*x^(n-1))-x^3*Σ[n=1〜∞](x^(n-1))
=2*x^3*(d/dx)(1/(1-x))-x^3*(1/(1-x))
=2*x^3*(1/(1-x)^2)-x^3*(1/(1-x))
=(x^3+x^4)/((1-x)^2)．

よって，
(A(x)-4*x-9*x^2)-5*x*(A(x)-4*x)+6*x^2*A(x)=(x^3+x^4)/((1-x)^2)．
A(x)*(1-5*x+6*x^2)=(x^3+x^4)/((1-x)^2)+4*x-11*x^2．
A(x)=((x^3+x^4)/((1-x)^2)+4*x-11*x^2)/(1-5*x+6*x^2)．
=1/(1-x)^2+(2/3)*(1/(1-3*x))-5/3
=Σ[n=0〜∞](n+1)*x^n + (2/3)*Σ[n=0〜∞](3*x)^n - 5/3．
両辺のx^nの係数を比較することによって，
a[n] = (n+1)+(2/3)*3^n = 2*3^(n-1)+n+1 (答)．

問題 2：
A(x)=Σ[n=1〜∞](a[n]*x^n) とする。
与えられた漸化式 a[n+2]-5*a[n+1]+6*a[n]=2*4^n より、
(A(x)-5*x-21*x^2)-5*x*(A(x)-5*x)+6*x^2*A(x)
=2*Σ[n=1〜∞](4^n*x^(n+2))
=2*x^2*Σ[n=1〜∞](4*x)^n
=2*x^2*(4*x)/(1-4*x)．

A(x)*(1-5*x+6*x^2)=8*x^3/(1-4*x)+5*x-4*x^2．
A(x)
=(8*x^3/(1-4*x)+5*x-4*x^2)/(1-5*x+6*x^2)
=1/(1-4*x)+1/(1-3*x)-1/(1-2*x)-1
=Σ[n=0〜∞](4*x)^n + Σ[n=0〜∞](3*x)^n - Σ[n=0〜∞](2*x)^n - 1．
両辺のx^nの係数を比較することによって，
a[n] = 4^n + 3^n - 2^n (答)．

＜水の流れから＞

こちらが考えていたのは答えの形を予想してから　

問題１ではA2^n+B3^n+Cn+D

問題２ではA2^n+B3^n+C4^n

として、後は初期条件から係数を求める方法です。

　　　　　　　　　　　

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。