平成２６年４月１３日

[流れ星]

　　　　　第304回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：３月16日〜４月13日＞

［大相撲の星取表］

ただいま大相撲春場所が大阪府立体育館で行われています。ある力士の初場所の勝敗は○●○○○●●○○●●○●○●の8勝7敗でした。これを２日間で分析したところ○○が３回、○●が５回、●○が４回、●●が２回になります。

問題１：２日間の分析結果が上と同じ○○が３回、○●が５回、●○が４回、●●が２回となるような星取表は全部で何通りあるか。

問題２：２日間の分析結果を調べたら●●が零回だった。このような星取表は１５日間で考えたとき全部で何通りあるか。

NO1「uchinyan」 03/16 13時18分　受信

問題１：

○●が 5 回あると，それらの間には必ず●○が 1 回ずつ合計 4 回あります。

そこで，○●を 5 個並べておいて，○の前に○を合計で 3 個，●の後に●を合計　2 個，挟み込めばいいです。

○の方は，

○○が単独で 3 回現れる場合，5C3 = 10 通り

○○が 1 回，○○○が 1 回，現れる場合，5C2 * 2 = 20 通り

○○○○が 1 回現れる場合，5C1 = 5 通り

で，合計 10 + 20 + 5 = 35 通り。

●の方は，

●●が単独で 2 回現れる場合，5C2 = 10 通り

●●●が 1 回現れる場合，5C1 = 5 通り

で，合計 10 + 5 = 15 通り。

これらの現れ方は独立なので，これらを掛けて，

35 * 15 = 525 通り

になります。

問題２：

要するに，●が連続して現れなければいいです。

●が 0 回の場合

1 通り。

●が 1 回の場合

15 通り。

●が 2 回の場合

●と●の間に○が少なくとも 1 回現れればいいので，●と●の間に○を最初に 1 個置いて，残りは○で埋めて，

3H(15-2-1) = 3H12 = 14C12 = 91 通り。

●が 3 回の場合

同様に考えて，4H(15-3-2) = 4H10 = 13C10 = 286 通り。

●が 4 回の場合

同様に考えて，5H(15-4-3) = 5H8 = 12C8 = 495 通り。

●が 5 回の場合

同様に考えて，6H(15-5-4) = 6H6 = 11C6 = 462 通り。

●が 6 回の場合

同様に考えて，7H(15-6-5) = 7H4 = 10C4 = 210 通り。

●が 7 回の場合

同様に考えて，8H(15-7-6) = 8H2 = 9C2 = 36 通り。

●が 8 回の場合

同様に考えて，9H(15-8-7) = 9H0 = 8C0 = 1 通り。

●が 9 回以上の場合

明らかに 0 通り。

以上ですべてなので，

1 + 15 + 91 + 286 + 495 + 462 + 210 + 36 + 1 = 1597 通り

になります。

(別解)

n 回試合をした後に●●が一度もなく，n 回目の試合が，○の場合を a(n) 通り，●の場合を b(n) 通り，とすると，

a(n+1) = a(n) + b(n)，b(n+1) = a(n)，a(1) = 1，b(1) = 1

と書けます。そこで，

a(n) = a(n-1) + a(n-2)，b(n) = a(n-1)，a(1) = 1，a(2) = 2

これより，a(n) は，a(0) = 1 とした場合のフィボナッチ数列で，

求めるのは a(15) + b(15) = a(15) + a(14) = a(16) なので，

a(3) = 3，a(4) = 5，a(5) = 8，a(6) = 13，a(7) = 21，a(8) = 34，a(9) = 55，a(10) = 89，

a(11) = 144，a(12) = 233，a(13) = 377，a(14) = 610，a(15) = 987，a(16) = 1597

そこで，1597 通り，になります。

(感想)

これはよくあるパターンの問題で，このサイトでも以前に類題があったと思います。

特に，問題２：がフィボナッチ数列になるのはよく知られたことのように思います。

よい復習になりました。

NO2「早起きのおじさん」 03/18 16時11分　受信

問題1

「2日間の分析」によると、初日と千秋楽の勝敗は1回数えられ、2日目から14日目の勝敗は2回数えられます。

（※）○○が3回、○●が5回、●○が4回、●●が2回なので、

勝ちは、2×3＋5＋4＝15、負けは、5＋4＋2×2＝13になります。

つまり、勝ちは15／2＝7.5以上（8.5未満）、負けは、13／2＝6.5以上（7.5未満）となるので、確かに8勝7敗です。

初日と千秋楽の勝敗が異なる場合は、この場合の様に端数が出ます。

初日と千秋楽の勝敗が同じ場合は、端数は出ず、その数が1つ少なくなります。

（例えば初日と千秋楽が勝ちなら、勝ちが1つ少なくなります）

8勝7敗で（※）のような割振りになる場合を考えます。

・まず勝ちを8つ考えます。

　　　○＾○＾○＾○＾○＾○＾○＾○

　この状態は○○が7回です。

・（※）は○○が3回なので、7つの間（＾）の異なる4つに●を入れます。（→）

　例えば、

　　　○○●○●○○○●○●○

　すると、○○は3回になり、○●と●○はともに4回になります。

・○●を5回にするために、最後に●を付け加えます。

　　　○○●○●○○○●○●○●

・5か所の●のうちどこか2か所に重複を許して●を付け加えます。（→）

　例えば、

　　　○○●○●●●○○○●○●○●

　すると、（※）○○が3回、○●が5回、●○が4回、●●が2回となります。

ゆえに、求める星取表は通りあります。

問題2

●が入れるのは、勝ち数＋1個の間（＾）です。

＾○＾○＾○＾○＾・・・＾○＾○＾○＾

「2日間の分析」で●●が零回の場合は、次の場合です。

・15勝0敗のとき　

・14勝1敗のとき　

・13勝2敗のとき　

・12勝3敗のとき　

・11勝4敗のとき　

・10勝5敗のとき　

・ 9勝6敗のとき　

・ 8勝7敗のとき　

・ 7勝8敗のとき　

以上合計1597通りです。

●ついでに、8勝7敗の場合の星取表について「2日間の分析」パターンは以下の27種類です。

問題1はNo17になります。

No	○○	○●	●○	●●	場合の数	備考
1	7	1	1	5	6	間に8連勝
2	7	1	0	6	1	8連勝のあと7連敗
3	7	0	1	6	1	7連敗のあと8連勝
4	6	2	2	4	105
5	6	2	1	5	42
6	6	1	2	5	42
7	6	1	1	6	7	間に7連敗
8	5	3	3	3	420
9	5	3	2	4	315
10	5	2	3	4	315
11	5	2	2	5	126
12	4	4	4	2	525
13	4	4	3	3	700
14	4	3	4	3	700
15	4	3	3	4	525
16	3	5	5	1	210
17	3	5	4	2	525
18	3	4	5	2	525
19	3	4	4	3	700
20	2	6	6	0	21
21	2	6	5	1	126
22	2	5	6	1	126
23	2	5	5	2	315
24	1	7	6	0	7
25	1	6	7	0	7
26	1	6	6	1	42
27	0	7	7	0	1	交互に勝ち負け
	合計				6435

８勝７敗の勝ち負けの星取表は、 通りあります。

さて、組合せの記号の左の添え字を下げる公式　 を繰り返して用いると、

となります。

これを用いて を変形してみます。

まず、左の添え字を7下げてみます。

次に、 に注意して、左の添え字が8の部分を1下げます。

また、左の添え字が7のもの（係数）は数に直しておきます。

そして、 を用いて書き直すと、

となり表と同じになります。

パスカルの三角形

そして、 を用いて書き直すと、

となり表と同じになります。

パスカルの三角形

NO3「早起きのおじさん」 03/18 18時23分　受信

＜水の流れコメント：２連敗●●しない星取表は初日、二日目、三日目と数えてみてください。

面白い結果になります。＞

面白いご指摘ありがとうございます。

1を補って、フィボナッチ数列になるのですね。

1	2
2	3
3	5
4	8
5	13
6	21
7	34
8	55
9	89
10	144
11	233
12	377
13	610
14	987
15	1597

樹形図を書くとよくわかります。

ありがとうございました。

NO4「二度漬け白菜」 03/18 19時57分 受信

問題1:　(5H2)*(5H3) = 15*35 = 525通り．(答)

○○をA，○●をB，●○をC，●●をD という文字で表すことにします．
問題文の条件を満たすようにAを3個，Bを5個，Cを4個，Dを2個　を横一列に並べることを考えます．
まずBを5個並べます．
次にCを並べます．
このとき，隣接するBとBの間には必ずちょうど1個のCが並びます．
Bが5個，Cが4個なのでBとCの並びだけを考えた場合，考えられるのは
B  C  B  C  B  C  B  C  B
というパターンだけです．
Dの位置として考えられるのは，Bの直後かもしくは，Cの直前．その際，Dは1個以上連続して並びます．
また，Aの位置として考えられるのはBの直前かもしくは，Cの直後．その際，Aは1個以上連続して並びます．
2個のDの並び方が 5H2通り．3個のAの並び方が5H3通り．
よって問題文の条件を満たすような並べ方は，
(5H2)*(5H3)=15*35=525通り．

問題2: Σ[k=0〜15]comb(k+1,15-k) = 1597 通り．(答)

n日間の星取表において，●●が0回となるような方法がa[n]通りあるとします．
F(x)=Σ[k=0〜∞]a[n]*x^n とします．F(x)を求めます．
星取表の並びにおいて，●●が0回となるには，
「まず初めに○が0個以上並び，その後，●○…というパターン (●の後に，1個以上の○が連続して並ぶパターン)
が0回以上並続き，その後，●が並ぶか もしくはもう何も並ばない」
となればよいです．よって，
F(x)=(1/(1-x))*(Σ[k=0〜∞](x*(x/(1-x)))^k)*(1+x)
=(1/(1-x))*(1-1/(x*(x/(1-x))))*(1+x)
=(1+x)/(1-x-x^2)
=Σ[k=0〜∞]x^k*(1+k)^(k+1)．

よって，a[n]=Σ[k=0〜n]comb(k+1,n-k)．
a[n]をnの式で書けば，
a[n]=(1/10)*(3*sqrt(5)+5)*((sqrt(5)+1)/2)^n+(1/10)*(-3*sqrt(5)+5)*((-sqrt(5)+1)/2)^n．

NO5「ＳＰＣ」3/28 15時35分 受信

パソコン部部員です。顧問の先生の指導のもと、解いてみました。パソコンのゲーム作成プログラムＨＳＰで解きました。
　○を０、●を１、ｋ１を問題１の答え、ｋ２を問題２の答え、ｂ１を○○の数、ｂ２を○●の数、ｂ３を●○の数、ｂ４を●●の数とします。

（プログラム）
dim a,15
k1=0 : k2=0
repeat 2 : a(1)=cnt
   repeat 2 : a(2)=cnt
     repeat 2 : a(3)=cnt
       repeat 2 : a(4)=cnt
         repeat 2 : a(5)=cnt
           repeat 2 : a(6)=cnt
             repeat 2 : a(7)=cnt
               repeat 2 : a(8)=cnt
                 repeat 2 : a(9)=cnt
                   repeat 2 : a(10)=cnt
                     repeat 2 : a(11)=cnt
                       repeat 2 : a(12)=cnt
                         repeat 2 : a(13)=cnt
                           repeat 2 : a(14)=cnt
                             repeat 2 : a(15)=cnt
                               b1=0 : b2=0 : b3=0 : b4=0
                               repeat 14,1
                                 if (a(cnt)=0)&(a(cnt+1)=0) : b1+
                                 if (a(cnt)=0)&(a(cnt+1)=1) : b2+
                                 if (a(cnt)=1)&(a(cnt+1)=0) : b3+
                                 if (a(cnt)=1)&(a(cnt+1)=1) : b4+
                               loop
                               if (b1=3)&(b2=5)&(b3=4) : k1+
                               if b4=0 : k2+
                             loop
                           loop
                         loop
                       loop
                     loop
                   loop
                 loop
               loop
             loop
           loop
         loop
       loop
     loop
   loop
loop
mes k1 : mes k2

（解答）
５２５

１５９７

NO6「にいばりZ12」4/06 22時40分 受信

にいばりZ14です

問題１：２日間の分析結果が上と同じ○○が３回、○●が５回、●○が４回、●●が２回となるような星取表は全部で何通りあるか

○●が５回、●○が４回というのは

○●○●○●○●○●・・・�@

の形に両側を除き（つまり内側に）●か○を足すしかありません

つまり●でも○でも中に入れる限りは

○●が５回、●○が４回が崩れないわけです

このこと�@は初日と千秋楽を考えるとわかります

初日と千秋楽のケースわけをします

・・・に何を入れても連続する同じ色を1つのぞいて消すと

○・・・○→○●と●○は同数　　　　　　（1　（・・・に●を入れない場合両方とも0）

○・・・●→○●と●○は○●が1つ多い　（2

●・・・●→○●と●○は同数　 　　　（3　（・・・に○を入れない場合両方とも0）

●・・・○→○●と●○は●○が1つ多い　（4

なので�@は（2）の形をとりかつ、その中に

●○●○●○●○を取らなくては○●が５回、●○が４回

を取ることができません。

そこで（再掲）

○●○●○●○●○●・・・�@

を基本とし

○○が3回�A

●●が2回�B

を考えると

�@に○又は●を1つ加えると各々○○、●●が1回増えていきます

つまり、●●●●は�@の●に3つ足した形ですが、●●が3つカウントされます

即ち、�A�Bは�@の内側に○を3個●を2個入れる場合の数を求める問題に帰着されます。

これは、m個のボールをn個の箱に入れる場合に相当するので重複組み合わせmHnで計算できます

よって

�Aの場合の数はm=3,n=5とし

mHn＝_m+n-1Ｃ_n-1＝₇Ｃ₄＝35

�Bの場合の数はm=2,n=5とし

mHn＝_m+n-1Ｃ_n-1＝₆Ｃ₄＝15

となり、�Aと�Bは独立なので

場合の数は

35×15＝525通りとなります・・・・回答

問題２：２日間の分析結果を調べたら●●が零回だった。このような星取表は１５日間で考えたとき全部で何通りあるか。

問題1と同様に考えると初日（1）（2）（4）のケースにおいて○のみを入れる場合の数を計算すればよいことがわかります。

（1）（2）のケース

○・・・・・・・・・・・・・・・・・・○を14個　　₁₄Ｃ_{0              =}1　　（全勝優勝の場合）

○●・・・・・・・・・・・・・・・・・○を13個　 　₁₃Ｃ_{0      =}1

○●○・・・・・・・・・・・・・・・・○を12個　　₁₃Ｃ_{1              =}13

○●○●・・・・・・・・・・・・・・・○を11個　 　₁₂Ｃ_{1      =}12

○●○●○・・・・・・・・・・・・・・○を10個　　₁₂Ｃ_{2              =}66

○●○●○●・・・・・・・・・・・・・○を9個　 　₁₁Ｃ_{2      =}55

○●○●○●○・・・・・・・・・・・・○を8個　 　₁₁Ｃ_{3              =}165

○●○●○●○●・・・・・・・・・・・○を7個　 　₁₀Ｃ_{3      =}14

○●○●○●○●○・・・・・・・・・・○を6個　 　₁₀Ｃ_{4               =}120

○●○●○●○●○●・・・・・・・・・○を5個　 　₉Ｃ_{4      =}210

○●○●○●○●○●○・・・・・・・・○を4個　 　₉Ｃ_{5              =}126

○●○●○●○●○●○●・・・・・・・○を3個　 　₈Ｃ_{5      =}56

○●○●○●○●○●○●○・・・・・・○を2個　 　₈Ｃ_{6              =}28

○●○●○●○●○●○●○●・・・・・○を1個　 　₇Ｃ_{6      =}7

○●○●○●○●○●○●○●○・・・・○を0個　 　₇Ｃ_{7              =}1

（3）（4）のケース

●○・・・・・・・・・・・・・・・・・○を13個　 　₁₃Ｃ_{0      =}1

●○●・・・・・・・・・・・・・・・・○を12個　　₁₂Ｃ_{0              =}1

●○●○・・・・・・・・・・・・・・・○を11個　 　₁₂Ｃ_{1      =}12

●○●○●・・・・・・・・・・・・・・○を10個　　₁₁Ｃ_{1              =}11

●○●○●○・・・・・・・・・・・・・○を9個　 　₁₁Ｃ_{2      =} 55

●○●○●○●・・・・・・・・・・・・○を8個　 　₁₀Ｃ_{2              =}45

●○●○●○●○・・・・・・・・・・・○を7個　 　₁₀Ｃ_{3      =}120

●○●○●○●○●・・・・・・・・・・○を6個　 　₉Ｃ_{3              =}84

●○●○●○●○●○・・・・・・・・・○を5個　 　₉Ｃ_{4      =}126

●○●○●○●○●○●・・・・・・・・○を4個　 　₈Ｃ_{4              =}70

●○●○●○●○●○●○・・・・・・・○を3個　 　 ₈Ｃ_{5      =}56

●○●○●○●○●○●○●・・・・・・○を2個　 　₇Ｃ_{5              =}21

●○●○●○●○●○●○●○・・・・・○を1個　 　₇Ｃ_{6      =}7

●○●○●○●○●○●○●○●・・・・○を0個　 　₆Ｃ_{6              =}1

これらを足し合わせると　1,597通りとなります。・・・・回答

問題2に関してはもっとエレガントで、問題1と全く違った視点で解く方法があるのだと思いますが

時間が足りませんでした。（というより力尽きたというのが本音でしょうか。先生のおっしゃられる“連想”には至りませんでした）

何せ問題1の回答にたどり着くまで、数十回の試行錯誤をしましたので。（実はすべてを数え上げたのも試行錯誤の一つでパソコンを使いながらも1日かかりました）

皆さんのエレガントな解法みるのが楽しみです。

「にいばりZ12」　4/10 23時05分 受信 更新 04/13

問題２（別解）

いろいろ試したことは前回書きましたがいちばん基本の樹形図を考えなかったのは恥ずかしい限りです。

黒は白を一つしか生まない。白は黒と白を１つずつ生む。

こう考えると一日目●２日目○３日目●○・・・のように樹形図が描けます。

　この時n日目の○はｎ-1日目の○の個数と●の個数の和に等しく、n日目の●はｎ-1日目の○の個数に等しい

これを図で表すと

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

また、表で表すと

ここで、f(n)=g(n-1)�@から、f(n-1)=g(n-2）なので

g(n)=f(n-1)+g(n-1)=g(n-2）+g(n-1)・・・・�A-1

またg(n)=f(n-1)+g(n-1)�Aから

g(n-1)=f(n-2)+g(n-2)

辺々足して整理すると

f(n-1)+f(n-2)=g(n)-g(n-2)=g(n-1)=f(n)：書き換えると

f(n)=f(n-1)+f(n-2)・・・�@-1

同様に計算すると

v(n)=v(n-1)+v(n-2)・・・�B-1

u(n)=u(n-1)+u(n-2)・・・�C-1

よって

F(n)=f(n)+g(n)+v(n)+u(n)=f(n-1)+f(n-2)+g(n-1）+g(n-2)+v(n-1)+v(n-2)+u(n-1)+u(n-2)

     =(f(n-1)+g(n-1）+v(n-1)+u(n-1))+(f(n-2)+g(n-2）+v(n-2)+u(n-2))=F(n-1)+F(n-2)・・・・�D-1

このことにより�@〜�Dまでがすべてフィボナッチ数列になることが示されました。

求めたいのは15日目の場合の数なのでF(15)

フィボナッチ数列の一般項は、m=0,1,2・・・初項0第2項1と定義すると次のように求められます。

（φ^m-（-φ-^m））/√5:φ=（1+√5）/2

ですがF(n)の初項が2第2項が3なのでn=m-2で計算することになります。

故にｎ日目の場合の数

F(n)=（φⁿ⁺²-（-φ^-n-2））/√5:φ=（1+√5）/2

F(15)=1597・・・・・回答

感想

場合の数が、数列につながっているというのは新鮮な驚きでした

また、行列や（黄金比の）極限等との繋がりも。

因みに先生に示していただいた回答と結びつけると

F(n)=（φⁿ⁺²-（-φ^-n-2））/√5　　　:φ=（1+√5）/2

　　=Σ_{i=0→(n+1)/2}(_n+1-iＣ_i)   :nは奇数

が成り立ちそうです。

今までコンビネーションの数列の総和など考えたこともなかったのですが、切り口を変えると意外な結果が得られることに感動しました。

＜水の流れ：問題２の解答＞

●（負けの数）で場合分けします。 （でも、同じ考えですが）
●をｋ個（ｋ≧０）のとき、○（１５−ｋ）個です。
ただし、ｋ≧９のときは、明らかに不適。

1. ｋ＝０のとき、○のみで１通り

2. ｋ＞０のとき、×の起こりうる日は○両端及び間の
　　　　１５−ｋ＋１＝１６−ｋ
　　　よって、●の起こる日は_16-kＣ_k（ｋ＝１，２，３，・・・，８）

したがって、その総数は

　１＋₁₅Ｃ₁＋₁₄Ｃ₂＋₁₃Ｃ₃＋₁₂Ｃ₄＋・・・＋₉Ｃ₇＋₈Ｃ₈

＝１５９７　となります。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。