平成２６年８月１０日

[流れ星]

　　　　　第309回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月20日〜８月10日＞

［2組の特別な3整数］

過去の宮崎大学入試問題から出題します。

２組の３整数の組合せ{1，10，11}と{2，7，13}に対して、

3数の和：1＋10＋11＝2＋7＋13　　　3数の平方和：1²＋10²＋11²＝2²＋7²＋13²

が成り立つ。このように、和と平方の和が等しくなる2組の3整数の組合せはたくさんある。次の問に答えよ。

問題１：１から７までの7個の整数の中の相異なる6個の整数を用いて、上の性質が成り立つような2組の3整数を見つけよ。

問題２：どのような連続する7個の整数についても、その中の相異なる6個の整数を用いて、上の性質が成り立つような2組の3整数の組合せを作ることができる。これを示せ。

問題３：上の性質が成り立つような2組の特別な3整数で、何か奥行きめいた考察があれば教えてください。

NO1「uchinyan」 　　　 07/20 14時53分　受信

「uchinyan」 　　　 07/21 10時46分　受信

「uchinyan」 　　　 08/04 14時48分　受信

「uchinyan」 　　　 08/06 13時46分　受信＜最終版＞ 更新 08/10

一般に，a, b, c と d, e, f に対して，

a + b + c = d + e + f，a^2 + b^2 + c^2 = d^2 + e^2 + f^2

がいえていれば，それぞれに n を足した，

n + a, n + b, n + c と n + d, n + e, n + f

に対しても，

(n + a) + (n + b) + (n + c)

= 3n + (a + b + c)

= 3n + (d + e + f)

= (n + d) + (n + e) + (n + r)

(n + a)^2 + (n + b)^2 + (n + c)^2

= 3n^2 + 2n(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2)

= 3n^2 + 2n(d + e + f) + (d^2 + e^2 + f^2)

= (n + d)^2 + (n + e)^2 + (n + r)^2

と，同じことがいえます。

以下ではこのことを使います。

問題１：

いきなり試行錯誤で探してもいいのですが，最初に示したことから，

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のそれぞれから 4 を引いた -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 で考えてもいいです。

すると，-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 のそれぞれの平方は 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9 なので，

この 7 個から 3 個ずつ 2 組を選んでそれぞれの和を等しくするには，

0 は選べず，1 + 4 + 9 = 1 + 4 + 9 しかありません。

そこで，2 組は，±1, ±2, ±3 と ±1, ±2, ±3 が候補になりますが，

それ自身の和が等しいことより，-3, 1, 2 と -2, -1, 3 しかありません。

これらに 4 を加えて元に戻すと，1, 5, 6 と 2, 3, 7 になります。

実際，

1 + 5 + 6 = 12 = 2 + 3 + 7，1^2 + 5^2 + 6^2 = 62 = 2^2 + 3^2 + 7^2

です。なお，上記の議論から解はこれだけです。

問題２：

n を整数として，

n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7 を考えれば，連続する 7 個の整数で，

n + 1, n + 5, n + 6 と n + 2, n + 3, n + 7 を取ってくれば，問題１：と最初の記述から，明らか。

問題３：

結局，あまり思い付かないのですが．．．

最初に示した以外に，定数倍しても成立します。

また，

a + b + c = d + e + f，a^2 + b^2 + c^2 = d^2 + e^2 + f^2

は，

a + b + c = d + e + f，ab + bc + ca = de + ef + fd

と同値なので，

a + b, b + c, c + a と d + e, e + f, f + d

に対しても成立します。

これらのことから，

ある種の１次変換のような操作で，幾つかの解からすべての解を導けそうな気がします。

そこで，次の１次変換を考えます。

x' = px + qy + rz + n，y' = qx + ry + pz + n，z' = rx + py + qz + n

この変換で，条件を満たす２組 (a,b,c) と (d,e,f) を変換したものを考えます。

a + b + c = d + e + f，a^2 + b^2 + c^2 = d^2 + e^2 + f^2

さらに，この２式から，

ab + bc + ca = de + ef + fd

これらより，

a' + b' + c'

= (pa + qb + rc + n) + (qa + rb + pc + n) + (ra + pb + qc + n)

= (p + q + r)(a + b + c) + 3n

= (p + q + r)(d + e + f) + 3n

= (pd + qe + rf + n) + (qd + re + pf + n) + (rd + pe + qf + n)

= d' + e' + f'

(a')^2 + (b')^2 + (c')^2

= (pa + qb + rc + n)^2 + (qa + rb + pc + n)^2 + (ra + pb + qc + n)^2

= (p^2 + q^2 + r^2)(a^2 + b^2 + c^2) + 2(pq + qr + rp)(ab + bc + ca) + 2(p + q + r)(a + b + c)n + 3n^2

= (p^2 + q^2 + r^2)(d^2 + e^2 + f^2) + 2(pq + qr + rp)(de + ef + fd) + 2(p + q + r)(d + e + f)n + 3n^2

= (pd + qe + rf + n)^2 + (qd + re + pf + n)^2 + (rd + pe + qf + n)^2

= (d')^2 + (e')^2 + (f')^2

で，変換後のものでも成立します。

これを使うと，p, q, r, n を与えれば，

一般に，a, b, c と d, e, f から a', b', c' と d', e', f' を導くことができます。

特に，p, q, r, n を適当に決めることによって，

問題１：の解，1, 5, 6 と 2, 3, 7，から他の解を構成することができます。

a, b, c と a', b', c' を与えて p, q, r, n を決め，d, e, f から d', e', f' を導くことを考えてみます。

a, b, c -> a', b', c' となったとすると，

pa + qb + rc + n = a'，qa + rb + pc + n = b'，ra + pb + qc + n = c'

これより，

(a - b)p + (b - c)q + (c - a)r = a' - c'，(c - b)p + (a - c)q + (b - a)r = b' - c'

((a - b)(b - a) - (c - b)(c - a))p + ((b - c)(b - a) - (a - c)(c - a))q

= (a' - c')(b - a) - (b' - c')(c - a)

(- (b - a)^2 - (c - b)(c - a))p + (- (c - b)(b - a) + (c - a)^2)q = - (c' - a')(b - a) + (c' - b')(c - a)

((c - a)^2 - (c - b)(b - a))q = ((b - a)^2 + (c - b)(c - a))p + (c' - b')(c - a) - (c' - a')(b - a)

(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)q = (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)p + (c' - b')(c - a) - (c' - a')(b - a)

q = p + ((c' - b')(c - a) - (c' - a')(b - a))/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

q = p + ((b' - a')a + (a' - c')b + (c' - b')c)/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

この式より，p，q は一般に無限個の有理数解をもちます。

特に，((b' - a')a + (a' - c')b + (c' - b')c)/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) が整数のときは，

p，q は無限個の整数解をもちます。これら p，q に対して，一般に r，n を決めることができます。

r = p + ((a' - c') - ((b' - a')a + (a' - c')b + (c' - b')c)(b - c)/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca))/(c - a)

第２項の分子

= (a' - c')(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) - ((b' - a')a + (a' - c')b + (c' - b')c)(b - c)

= (a' - c')(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

+ (- (b' - a')ab + (b' - a')ca - (a' - c')b^2 + (a' - c')bc - (c' - b')bc + (c' - b')c^2)

= (a' - c')a^2 + (a' - b')c^2 + (c' - b')ab + (b' - c')bc + ((c' - a') + (b' - a'))ca

= (c' - a')(c - a)a - (b' - a')(c - a)c - (c' - b')(c - a)b

= ((c' - a')a - (c' - b')b - (b' - a')c)(c - a)

r = p + ((c' - a')a - (c' - b')b - (b' - a')c)/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

n + (a + b + c)p

= a' - ((b' - a')ab - (c' - a')b^2 + (c' - b')bc + (c' - a')ca - (c' - b')bc - (b' - a')c^2)/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

= (a'a^2 + c'b^2 + b'c^2 - b'ab - a'bc - c'ca)/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca))

n = - (a + b + c)p + (a'a^2 + c'b^2 + b'c^2 - b'ab - a'bc - c'ca)/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca))

これによって p, q, r, n が決まったので，d, e, f を変換して d', e', f' を求めることができます。

特に，整数の p，q に対して整数の r を決めることができれば，つまり，

((c' - a')a - (c' - b')b - (b' - a')c)/(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) も整数になれば，

n も整数になるので，d, e, f を変換した d', e', f' も整数になります。

ただ，残念ながら，d', e', f' を自然数にできるかは明確ではありませんが，

必要に応じて，さらに全体に適当な正の整数を加えれば，新たな自然数の解の組を得ることができます。

一般には，p，q，r，n は有理数になり，したがって，d', e', f' も有理数になります。

これではダメなのですが，その共通の分母は a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca の約数 k なので，

全体を k 倍することによって，整数の，

ka, kb, kc と kd, ke, kd から ka', kb', kc'と kd', ke', kf'

を得ることができます。そこで，これらに，

必要に応じて，さらに全体に適当な正の整数を加えれば，新たな自然数の解の組を得ることができます。

結局まとめると，この変換では，a, b, c と d, e, f に対して，

p, q, r, n を自然数で与えた場合には，

確実に，新たな解の組，a', b', c' と d', e', f'，が得られる，

a'', b', c' を与え a, b, c -> a', b', c' とした場合には，

p, q, r, n が整数になるかは分からず，自然数の d', e', f' が得られるかは分からない，

しかし，自然数にならない場合でも，

全体を a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca の約数である共通の分母 k で，k 倍することによって，

整数の，ka, kb, kc と kd, ke, kd から ka', kb', kc'と kd', ke', kf'，を得ることができ，

必要に応じて，さらに全体に適当な正の整数を加えれば，新たな自然数の解の組を得ることができる，

ということになります。

その意味で，この変換は解の構成に一つの重要な手掛かりを与えていると思いますが，

残念ながら，十分とはいえません。

例として，問題１：の解，1, 5, 6 と 2, 3, 7，から，

問題文で例に上がっている，1, 10, 11 と 2, 7, 13，を導くことを考えてみます。

1, 5, 6 -> 1, 10, 11 となったとすると，

p + 5q + 6r + n = 1，q + 5r + 6p + n = 10，r + 5p + 6q + n = 11

p + 5q + 6r + n = 1，6p + q + 5r + n = 10，5p + 6q + r + n = 11

- 4p - q + 5r = - 10，p - 5q + 4r = - 1

- 21p + 21q = - 35

3p - 3q = 5

q = p - 5/3，r = p - 7/3，n = - 12p + 70/3

残念ながら，整数解はありません。しかし，(d,e,f) = (2,3,7) として，

d' = p * 2 + q * 3 + r * 7 + n = 2p + 3(p - 5/3) + 7(p - 7/3) + (- 12p + 70/3) = 2

e' = q * 2 + r * 3 + p * 7 + n = 2(p - 5/3) + 3(p - 7/3) + 7p + (- 12p + 70/3) = 13

f' = r * 2 + p * 3 + q * 7 + n = 2(p - 7/3) + 3p + 7(p - 5/3) + (- 12p + 70/3) = 7

となって，順番は違いますが，2, 7, 13，が導けます。

一方で，2, 3, 7 -> 1, 10, 11 となったとすると，

2p + 3q + 7r + n = 1，2q + 3r + 7p + n = 10，2r + 3p + 7q + n = 11

2p + 3q + 7r + n = 1，7p + 2q + 3r + n = 10，3p + 7q + 2r + n = 11

- p - 4q + 5r = - 10，4p - 5q + r = - 1

- 21p + 21q = - 5

21p - 21q = 5

q = p - 5/21，r = p - 46/21，n = - 12p + 358/21

残念ながら，整数解はありません。しかも，(d,e,f) = (1,5,6) として，

d' = p * 1 + q * 5 + r * 6 + n = p + 5(p - 5/21) + 6(p - 46/21) + (- 12p + 358/21) = 19/7

e' = q * 1 + r * 5 + p * 6 + n = (p - 5/21) + 5(p - 46/21) + 6p + (- 12p + 358/21) = 41/7

f' = r * 1 + p * 5 + q * 6 + n = (p - 46/21) + 5p + 6(p - 5/21) + (- 12p + 358/21) = 94/7

となって，2, 7, 13，は導けません。

しかしながら，全体を 7 倍すれば，新たな解，

14, 21, 49 と 7, 35, 42 -> 7, 70, 77 と 19, 41, 94

が導かれます。

このように，変換，

x' = px + qy + rz + n，y' = qx + ry + pz + n，z' = rx + py + qz + n

によって，一つの解から他の解をある程度は導くことができます。

ただ，残念ながら，その状況はよく分かっていません。

また，少し視点を変えた考察もできます。

a, b, c と d, e, f は，３次元空間の (x,y,z)-座標系 における格子点，とみなせます。

すると，

a + b + c = d + e + f = k，a^2 + b^2 + c^2 = d^2 + e^2 + f^2 = m

として，(a,b,c) と (d,e,f) は，

x + y + z = k，(k,0,0)，(0,k,0)，(0,0,k) を通る平面

x^2 + y^2 + z^2 = m，中心が (0,0,0) で半径が √m の球面

の両方の上にある格子点なので，この平面と球面の交線，円ですね，にある格子点，です。

さらに視点を変えると，

a + b + c = d + e + f，ab + bc + ca = de + ef + fd，であることから，

a, b, c と d, e, f は，k を適当に与えたときの次の x の３次方程式の解です。

x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x = k

これらも解の構成に手がかりを与えそうですが，よく分かっていません。

なお，ちなみに，プログラムを組んでみたら，1 〜 20 の範囲だけでも 140 個もありました。

個数 : a, b, c : d, e, f : a + b + c; a^2 + b^2 + c^2

1 : 1 5 6 : 2 3 7 : 12 62

2 : 1 6 8 : 2 4 9 : 15 101

3 : 1 7 10 : 2 5 11 : 18 150

4 : 1 7 12 : 3 4 13 : 20 194

5 : 1 8 9 : 3 4 11 : 18 146

6 : 1 8 12 : 2 6 13 : 21 209

7 : 1 8 15 : 3 5 16 : 24 290

8 : 1 9 11 : 3 5 13 : 21 203

9 : 1 9 14 : 2 7 15 : 24 278

10 : 1 9 18 : 3 6 19 : 28 406

11 : 1 10 11 : 2 7 13 : 22 222

12 : 1 10 13 : 3 6 15 : 24 270

13 : 1 10 14 : 4 5 16 : 25 297

14 : 1 10 16 : 2 8 17 : 27 357

15 : 1 11 12 : 4 5 15 : 24 266

16 : 1 11 15 : 3 7 17 : 27 347

17 : 1 11 18 : 2 9 19 : 30 446

18 : 1 12 13 : 3 7 16 : 26 314

19 : 1 12 14 : 2 9 16 : 27 341

20 : 1 12 14 : 4 6 17 : 27 341

21 : 1 12 17 : 3 8 19 : 30 434

22 : 1 13 16 : 4 7 19 : 30 426

23 : 1 14 15 : 5 6 19 : 30 422

24 : 1 14 17 : 2 11 19 : 32 486

25 : 2 6 7 : 3 4 8 : 15 89

26 : 2 7 9 : 3 5 10 : 18 134

27 : 2 8 11 : 3 6 12 : 21 189

28 : 2 8 13 : 4 5 14 : 23 237

29 : 2 9 10 : 4 5 12 : 21 185

30 : 2 9 13 : 3 7 14 : 24 254

31 : 2 9 16 : 4 6 17 : 27 341

32 : 2 10 12 : 4 6 14 : 24 248

33 : 2 10 15 : 3 8 16 : 27 329

34 : 2 10 19 : 4 7 20 : 31 465

35 : 2 11 12 : 3 8 14 : 25 269

36 : 2 11 14 : 4 7 16 : 27 321

37 : 2 11 15 : 5 6 17 : 28 350

38 : 2 11 17 : 3 9 18 : 30 414

39 : 2 12 13 : 5 6 16 : 27 317

40 : 2 12 16 : 4 8 18 : 30 404

41 : 2 12 19 : 3 10 20 : 33 509

42 : 2 13 14 : 4 8 17 : 29 369

43 : 2 13 15 : 3 10 17 : 30 398

44 : 2 13 15 : 5 7 18 : 30 398

45 : 2 13 18 : 4 9 20 : 33 497

46 : 2 14 17 : 5 8 20 : 33 489

47 : 2 15 16 : 6 7 20 : 33 485

48 : 2 15 18 : 3 12 20 : 35 553

49 : 3 7 8 : 4 5 9 : 18 122

50 : 3 8 10 : 4 6 11 : 21 173

51 : 3 9 12 : 4 7 13 : 24 234

52 : 3 9 14 : 5 6 15 : 26 286

53 : 3 10 11 : 5 6 13 : 24 230

54 : 3 10 14 : 4 8 15 : 27 305

55 : 3 10 17 : 5 7 18 : 30 398

56 : 3 11 13 : 5 7 15 : 27 299

57 : 3 11 16 : 4 9 17 : 30 386

58 : 3 12 13 : 4 9 15 : 28 322

59 : 3 12 15 : 5 8 17 : 30 378

60 : 3 12 16 : 6 7 18 : 31 409

61 : 3 12 18 : 4 10 19 : 33 477

62 : 3 13 14 : 6 7 17 : 30 374

63 : 3 13 17 : 5 9 19 : 33 467

64 : 3 14 15 : 5 9 18 : 32 430

65 : 3 14 16 : 4 11 18 : 33 461

66 : 3 14 16 : 6 8 19 : 33 461

67 : 4 8 9 : 5 6 10 : 21 161

68 : 4 9 11 : 5 7 12 : 24 218

69 : 4 10 13 : 5 8 14 : 27 285

70 : 4 10 15 : 6 7 16 : 29 341

71 : 4 11 12 : 6 7 14 : 27 281

72 : 4 11 15 : 5 9 16 : 30 362

73 : 4 11 18 : 6 8 19 : 33 461

74 : 4 12 14 : 6 8 16 : 30 356

75 : 4 12 17 : 5 10 18 : 33 449

76 : 4 13 14 : 5 10 16 : 31 381

77 : 4 13 16 : 6 9 18 : 33 441

78 : 4 13 17 : 7 8 19 : 34 474

79 : 4 13 19 : 5 11 20 : 36 546

80 : 4 14 15 : 7 8 18 : 33 437

81 : 4 14 18 : 6 10 20 : 36 536

82 : 4 15 16 : 6 10 19 : 35 497

83 : 4 15 17 : 5 12 19 : 36 530

84 : 4 15 17 : 7 9 20 : 36 530

85 : 5 9 10 : 6 7 11 : 24 206

86 : 5 10 12 : 6 8 13 : 27 269

87 : 5 11 14 : 6 9 15 : 30 342

88 : 5 11 16 : 7 8 17 : 32 402

89 : 5 12 13 : 7 8 15 : 30 338

90 : 5 12 16 : 6 10 17 : 33 425

91 : 5 12 19 : 7 9 20 : 36 530

92 : 5 13 15 : 7 9 17 : 33 419

93 : 5 13 18 : 6 11 19 : 36 518

94 : 5 14 15 : 6 11 17 : 34 446

95 : 5 14 17 : 7 10 19 : 36 510

96 : 5 14 18 : 8 9 20 : 37 545

97 : 5 15 16 : 8 9 19 : 36 506

98 : 5 16 17 : 7 11 20 : 38 570

99 : 5 16 18 : 6 13 20 : 39 605

100 : 6 10 11 : 7 8 12 : 27 257

101 : 6 11 13 : 7 9 14 : 30 326

102 : 6 12 15 : 7 10 16 : 33 405

103 : 6 12 17 : 8 9 18 : 35 469

104 : 6 13 14 : 8 9 16 : 33 401

105 : 6 13 17 : 7 11 18 : 36 494

106 : 6 14 16 : 8 10 18 : 36 488

107 : 6 14 19 : 7 12 20 : 39 593

108 : 6 15 16 : 7 12 18 : 37 517

109 : 6 15 18 : 8 11 20 : 39 585

110 : 6 16 17 : 9 10 20 : 39 581

111 : 7 11 12 : 8 9 13 : 30 314

112 : 7 12 14 : 8 10 15 : 33 389

113 : 7 13 16 : 8 11 17 : 36 474

114 : 7 13 18 : 9 10 19 : 38 542

115 : 7 14 15 : 9 10 17 : 36 470

116 : 7 14 18 : 8 12 19 : 39 569

117 : 7 15 17 : 9 11 19 : 39 563

118 : 7 16 17 : 8 13 19 : 40 594

119 : 8 12 13 : 9 10 14 : 33 377

120 : 8 13 15 : 9 11 16 : 36 458

121 : 8 14 17 : 9 12 18 : 39 549

122 : 8 14 19 : 10 11 20 : 41 621

123 : 8 15 16 : 10 11 18 : 39 545

124 : 8 15 19 : 9 13 20 : 42 650

125 : 8 16 18 : 10 12 20 : 42 644

126 : 8 17 18 : 9 14 20 : 43 677

127 : 9 13 14 : 10 11 15 : 36 446

128 : 9 14 16 : 10 12 17 : 39 533

129 : 9 15 18 : 10 13 19 : 42 630

130 : 9 16 17 : 11 12 19 : 42 626

131 : 10 14 15 : 11 12 16 : 39 521

132 : 10 15 17 : 11 13 18 : 42 614

133 : 10 16 19 : 11 14 20 : 45 717

134 : 10 17 18 : 12 13 20 : 45 713

135 : 11 15 16 : 12 13 17 : 42 602

136 : 11 16 18 : 12 14 19 : 45 701

137 : 12 16 17 : 13 14 18 : 45 689

138 : 12 17 19 : 13 15 20 : 48 794

139 : 13 17 18 : 14 15 19 : 48 782

140 : 14 18 19 : 15 16 20 : 51 881

詳細は書きませんが，1 〜 50 だと，4786 個もあるようです。

(感想)　問題３：をほとんど発展できず申し訳ないです。

確かに何かありそうで，時間が取れたらもう少し考えたいですね。

NO2「浜田明巳」 07/22 15時15分　受信 更新 08/10

問題２
　以下文字をすべて正整数とする．
　６数をｘ，ｘ＋ａ，ｘ＋ｂ，ｘ＋ｃ，ｘ＋ｄ，ｘ＋ｅとし，
　　ｘ＋(ｘ＋ａ)＋(ｘ＋ｂ)＝(ｘ＋ｃ)＋(ｘ＋ｄ)＋(ｘ＋ｅ)………(1)
　　ｘ^２＋(ｘ＋ａ)^２＋(ｘ＋ｂ)^２＝(ｘ＋ｃ)^２＋(ｘ＋ｄ)^２＋(ｘ＋ｅ)^２………(2)
　　１≦ａ＜ｂ≦６，１≦ｃ＜ｄ＜ｅ≦６，ａ〜ｅは相異なる………(3)
とする．
　(1)より，ａ＋ｂ＝ｃ＋ｄ＋ｅ………(1)'
　(3)より，
　　(ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ)＝(２，６，１，３，４)，(４，５，１，２，６)，(４，６，２，３，５)………(4)
　(1)'，(2)より，ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２＋ｄ^２＋ｅ^２
　(4)より，
　　(ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ)＝(４，５，１，２，６)
　このとき，ｘを任意の整数として，(1)，(2)が成り立つ．
　条件を満たす数はこの１組しか存在しない．

問題１
　上記より，ｘ＝１として，
　　１＋５＋６＝２＋３＋７，1^２＋５^２＋６^２＝２^２＋３^２＋７^２
となる．
　ｘ＝２のとき，ｘ＋ｅ＝２＋６＝８＞７となり，条件に合わない．
　条件を満たす数は(１，５，６，２，３，７)の１組．

問題３
　たいした考察ではないが，ａ〜ｅの値で３は存在しない．

　プログラムでこれらの値の存在を確かめたが，例外を除いて，(1)の条件がなくても，(2)のみの条件で，解は１組しか存在しなかった．
　例外はｘ＝２のときである．このとき，(2)のみの条件では，
　　(ｘ，ｘ＋ａ，ｘ＋ｂ，ｘ＋ｃ，ｘ＋ｄ，ｘ＋ｅ)＝(２，３，８，４，５，６)，(２，６，７，３，４，８)
の２組存在する．

NO3「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 07/22 15時38分　受信 更新 08/10

問題１：

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=140

140-a^2=2*b

つまり…a=2,4,6

b=68,62,52

b=x^2+y^2+z^2=s^2+t^2+u^2

を探すと…

62=7^2+3^2+2^2=6^2+5^2+1^2 だけ

問題２：

上の数を4=k とすると…

(k+3)^2+(k-1)^2+(k-2)^2=(k+2)^2+(k+1)^2+(k-3)^2

という恒等式になっているので、常に可能。

問題３：上の性質が成り立つような2組の特別な3整数で、何か奥行きめいた考察があれば教えてください。

[(n-1)/2]>=p>q>r>0

p^2+q^2+r^2

2p-2(q+r)=2(q+r)-2p

から…p=q+r

つまり…

n>=6+1=7以上 1〜8なら…3=2+1…8^2+4^2+3^2=7^2+6^2+2^2 or 7^2+3^2+2^2=6^2+5^2+1^2

1〜9なら…4=3+1, 3=2+1…8^2+4^2+3^2=7^2+6^2+2^2, 9^2+5^2+4^2=8^2+7^2+3^2, 7^2+3^2+2^2=6^2+5^2+1^2

みたいなことになるわけですね…

連続してるn(>=7)個の中からは常に１組以上のペアが存在する。

一般化してみる…

(k+p)^2+(k+q)^2+(k+r)^2=(k+s)^2+(k+t)^2+(k+u)^2

p^2+q^2+r^2=s^2+t^2+u^2

p+q+r=s+t+u

「３平方和の定理（ルジャンドル，１７９８年）

　　「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」」

から...その形以外の数は最低1ペアは存在するわけですが…2通り以上で表せる条件を求めればいいわけですね...

球面と平面の交線(円)上に格子点が2個以上あるときの条件となると思いますが…

1個でもあれば...接してない限り...球の中心からその平面への垂線との交点の座標(x,y,z)が1/2の倍数なら...最低２個は存在しそうな…?

NO4「早起きのおじさん」 07/23 17時29分　受信 更新 08/10

309解答　早起きのおじさん

問題１

なので、関係のない数は偶数です。

なぜなら、28から奇数を引くと奇数になり、2で割れないからです。

・2がないとき

なので、3数の和は、13です。

1は3とも4とも組めません。

なぜなら、最大の7と合わせても13にならないからです。

よって、和が等しい3数は、｛1,5,7｝と｛3,4,6｝です。

平方数を調べてみると、

この場合は解がありません。

・4がないとき

なので、3数の和は、12です。

1は2とも3とも組めません。

なぜなら、最大の7と合わせても12にならないからです。

よって、和が等しい3数は、｛1,5,6｝と｛2,3,7｝です。

平方数を調べてみると、

この場合が解です。

・6がないとき

なので、3数の和は、11です。

1は2と組めません。

なぜなら、最大の7と合わせても11にならないからです。

よって、和が等しい3数は、｛1,3,7｝と｛2,4,5｝です。

平方数を調べてみると、

この場合は解がありません。

問題２

連続する7個の整数を、n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7 とします。

このうち、n+4 以外の数を考えると、問題１より、

｛n+1, n+5, n+6｝と{n+2, n+3, n+7} は、

和について、

となるので、等しくなります。

平方和について、

となるので、等しくなります。

問題３

●まず問題２を考えます。

m=n+4とおいてみます。

すると、｛n+1, n+5, n+6｝と{n+2, n+3, n+7} は、｛m−3, m＋1, m＋2｝と｛m−2, m−1, m＋3｝となります。

この6個の数について、mを基準として数直線上に表してみます。

　　

2つの組の数は、mを中心に対称の位置にあります。

それぞれの組では、重心がmになっています。

だから、それぞれの組の数の和が3mになるのは直感的にわかります。

次に、平方和について考えます。

です。

kのところの数の絶対値は、2つの組で対応して等しくなっています。（＋2と−2のように）

だから、 の部分の合計はそれぞれの組で等しくなります。

一方、 の部分の和は、それぞれの組でk の和が0なので0になります。

念のため

和について、

平方和について、

●このパターンを一般的にします。

2つの組の数は　｛m+x, m+y, m−(x+y)｝と｛m−x, m−y, m+(x+y)｝　です。

●次に、問題の説明に使われた{1，10，11}と{2，7，13}を考えます。

　　

先ず7が最大数13と最小数1の中心mです。

10, 11と2は、m+a, m+bとm−cとします。

a, b, cは、 の関係にあります。（ピタゴラス数）

一般的に、2組の数を｛m−k, m+a, m+b｝と｛m−c, m, m+k｝とします。

ただし、 とします。

2組の数の和を考えると、

なので、 より、

平方和は

となるので等しくなります。

以上から、a, b, cをピタゴラス数として、

の2組が求める解です。

●さらに一般化してみます。

x, y(x>y) を互いに異なる奇素数として、

がピタゴラス数と認めることにします。(※)

すると、

が2組の数になります。

問題の説明に使われた{1，10，11}と{2，7，13}は、m=7,x=3,y=1です。

（mの右の符号を変えた組も解になります）

※ 確認しておきます。

NO5「三角定規」 　07/24 23時06分　受信 更新 08/10

● 第309回応募問題解答＜三角定規＞

[問題1]

1＋5＋6＝2＋3＋7 (＝12)

12＋52＋62＝22＋32＋72 (＝62)

より，2組の3整数は　{1，5，6}，{2，3，7} …[答]

[問題2]

　6つの整数0，1，2，4，5，6について，

0＋4＋5＝1＋2＋6 　（＝9)

02＋42＋52＝12＋22＋62 (＝41）

が成り立つから，任意の自然数kについて，

(k＋0)＋(k＋4)＋(k＋5)＝(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋6)　　　(＝3k＋9)

(k＋0)2＋(k＋4)2＋(k＋5)2＝(k＋1)2＋(k＋2)2＋(k＋6)2 (＝3k2＋18k＋41)

が成立する。

以上で，題意は証明された。

[問題3]

　問題文の例 {1，10，11}，{2，7，13} のように，「連続する7個の整数中の6個」という条件を外してみる。すなわち，[問題2] の0，1，2，4，5，6のような関係

a＋b＋c＝0＋d＋e

a2＋b2＋c2＝02＋d 2＋e2

を満たすa，b，c，d，e をエクセルのマクロを用いて調べたところ，5数が100以下の範囲だけでも1970組もありました。これだけあると，背景に潜む数理を考察する意欲が萎えてしまいました。

NO6「二度漬け白菜」 07/31 22時59分　受信 更新 08/10

(問題1) {1, 5, 6} と{2, 3, 7} (答)

(問題2)
任意の連続する7 整数は，
n-3，n-2，n-1，n，n+1，n+2，n+3
とすることができます．(nは整数)
このとき，2組の3整数の組合せ {n-3,n+1,n+2} と {n-2,n-1,n+3}について，
(n-3)+(n+1)+(n+2)=(n-2)+(n-1)+(n+3)=3*n，
(n-3)^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n-2)^2+(n-1)^2+(n+3)^2=3*n^2+14．
よって，どのような連続する7 個の整数についても，その中の相異なる6個の整数を用
いて，和も平方の和も等しくなるような2組の3整数の組合せを作ることができます．

(問題3)
異なる3つの正整数の組(a，b，c)と，異なる3つの正整数の組(d，e，f)とがあって，
a+b+c=d+e+f および a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2
を満たしているものとします．
このような3正整数の組から構成されるペア((a，b，c)，(d，e，f))を考えます．

ペア((a，b，c)，(d，e，f))に関しては，
{a，b，c}≠{d，e，f}　ならば　{a，b，c}∩{d，e，f} = { } が成り立ちます．

nを任意の正整数とします．
ペア((a，b，c),(d，e，f))のうち，{a，b，c}≠{d，e，f} であってなおかつ a+b+c=n
となるようなもの全体の集合を S_n とします．
( たとえば，((1，10，11),(2，7，13)) ∈ S_22 です．
また，S_15 = {((2，6，7)，(3，4，8))，((1，6，8)，(2，4，9)) } です．)

S_n の元の個数を s(n) とします．s(n)について調べたことを以下に書きます．

(1)
s(n)の値は次のような方法で計算できます．
a＜b＜c かつ a+b+c=n　かつ a^2+b^2+c^2=m を満たすような正整数の組(a，b，c)の数を，
g(n,m)とします．
そうすると，S_nに属するペア((a，b，c),(d，e，f))のうち，
a^2+b^2+c^2=m となるようなものが (1/2)*g(n,m)*(g(n,m)-1) 個だけあるということになります．
よってs(n)の値は，
s(n)=(1/2)*Σ[m=1〜n^2](g(n,m)*(g(n,m)-1))
という計算式で求めることができます．

s(1)〜s(1000)の値を計算した結果は次のようになりました．
http://at02.web.fc2.com/file1.txt

(2)
a＜b＜c かつ a+b+c=n を満たすような正整数の組(a，b，c)の数を f(n) で表すことにします．
f(n)をnの式で表すと，f(n)=floor(n*(n-6)/12)+1 となります．
s(n)に関して，次の不等式がなりたちます．
s(n)≦(1/2)*f(n)*(f(n)-1)．

s(n)は不規則な動きをする関数です．
s(n)をnの式で表そうとしてみたのですが，うまくいきませんでした．

NO7「にいばりZ12」 08/03 02時48分　受信 更新 08/10

問題1

1から7までの総和は

7*（7+1）/2＝28

1から7までの数から6つ選びそれらの数を2組のグループに分ける

これは1から7までの数から1つ選びそれら以外の数を2組のグループに分けると同じ

このとき、奇数をを除くと総和が奇数になるので2組に分けたとき、同数にならない

よって偶数を除くことになるが、偶数は2,4,6

2を除いたとき残った数の総和は

28-2＝26：1組の和は13・・・�@

4を除いたとき残った数の総和は

28-4＝24：1組の和は12・・・�A

6を除いたとき残った数の総和は

28-6＝22：1組の和は11・・・�B

�@

1,3,4,5,6,7

1組の和は13なので

1,3は同じ組にならない∵7を足しても13未満

6,7は同じ組にならない∵何を足しても14以上

1,6は同じ組にならない∵13になるためには6が必要

よって

1,5,7と3,4,6の組に一意に分けられる

�A

1,2,3,5,6,7

1組の和は12なので

1,2は同じ組にならない∵7を足しても12未満

6,7は同じ組にならない∵12以上

1,7は同じ組にならない∵12になるためには4が必要

よって

1,5,6と2,3,7の組に一意に分けられる

�B

1,2,3,4,5,7

1組の和は11なので

1,2は同じ組にならない∵7を足しても11未満

5,7は同じ組にならない∵11以上

1,5は同じ組にならない∵11になるためには5が必要

よって

1,3,7と2,4,5の組に一意に分けられる

結局、上記3通りになるがその中で2乗の和が等しくなるのは

�Aだけ（1＾2+5＾2+6＾2＝2＾2+3＾2+7＾2＝62）なので

｛1,5,6｝｛2,3,7｝・・・回答

問題2

1から始まる7つの連続数の場合問題1で明らか

2以上から始まる7つの連続数の場合

n≧1　n∈N

(n+1)+(n+5)+(n+6)

=3n+1+5+6=3n+2+3+7

=(n+2)+(n+3)+(n+7)

(n+1)^2+(n+5)^2+(n+6)^2

=3n^2+2(1+5+6)n+(1^2+5^2+6^2)=3n^2+2(2+3+7)n+(2^2+3^2+7^2)

=(n+2)^2+(n+3)^2+(n+7)^2・・・・�C

上記の式は

　n∈Zでも成立する

以上により、任意の7つの整数からなる連続数において

2組の3数を取り出して

2組の3数の和と、3数の平方和がともに等しくなるような組み合わせは

連続数の最小値をn+１とすると

｛n+1,n+5,n+6｝｛n+2,n+3,n+7｝

の一意に定まることが示された・・・・・回答

*「�Cの計算２行目で�@と�Bの場合ｎの１次の項と２次の項がキャンセルするので成立しない。よって一意に定まる」

問題3

問題2で負の整数から始まる7個の連続数でも成立することを示しました。

そこで、問題1を以下のように変形してみます。

1から7までの連続数を-3から3までの連続数に置き換え

�Cの結果を利用して1から7までの連続数で成立することを確かめます

1,2,3,4,5,6,7

↓

-3,-2,-1,0,1,2,3・・・Ａ

これの総和は0

したがって、等しい3整数の2組に分けると各々の組の和も0

0を（除き）中心として左右の符号を交換し2つの組を作ります。

左右とも総和は0なので、3と-3を交換すると

3,-2,-1,(0),1,2,-3・・・・・�D

置き換えた時に4を引いているので4を足して戻すと1から7までの連続数の答になります

{7,2,3}{5,6,1}

�Dの操作（符号の交換）は左右の2乗の和が変わらないことと

交換した一方が0になればもう一方も0になることを利用したものです。

上記より、奇数個の連続数において�Dの操作がどのような時に可能か考えます

まずＡにおいて、非負整数部分（0より右側）が符号の交換により0になればよい事が解ります

その方法は

ア）

1+2＝3→1,2か3の符号を入れ替える

4+7＝5+6→4,7か5,6の符号を入れ替える

8+11＝9+10→8,11か9,10の符号を入れ替える

・・・・・

で最初の3個と以降は4個ずつブロック分けして符号を入れ替える

イ）

1+4＝2+3→1,4か2,3の符号を入れ替える

5+8＝6+7→5,8か6,7の符号を入れ替える

9+12＝10+11→9,12か10,11の符号を入れ替える

・・・・・

で最初から4個ずつブロック分けして符号を入れ替える

ア、イとも、4個づつのブロック分けを4ｑ（ｑ∈N）のブロックとできます。

またア、イを整理すると

Ａにおいて、非負整数部分（0より右側）nが3+4kか4k個（k∈Z）の場合

符号の交換により総和を0とできる事が解ります

4を法として場合分けすると

Ａにおいて、非負整数部分（0より右側）の個数をnとし

符号の交換により総和を0とすることができる場合

n=4k・・・・(ア)

n=4k+3・・・・(イ)

上記以外の場合場合

n=4k+1・・・・(ウ)

n=4k+2・・・・(エ)

これらを1からnまでの総和Sの式に代入すると

(ア)S=n(n+1)/2=8k^2+2k・・・偶数

(イ)S=n(n+1)/2=8k^2+14k+6・・・偶数

(ウ)S=n(n+1)/2=8k^2+6k+1・・・奇数

(エ)S=n(n+1)/2=8k^2+10k+3・・・・奇数

Sが奇数になる場合はどんな2組に分けても等しくならないので

符号の交換で総和を0にすることはできません

したがって、符号の交換で総和を0にできるのはSが偶数のときに限られ

また、Sが偶数であれば常に符号の交換で総和を0にすることができ

それは、nが4kまたは4k+3の形で表される自然数のときに限られます。

このことから、P個の連続数が8k+1または8k+7の形で表される整数のとき

（P-1)/2個の2組の整数の和と2乗の和が等しくなるように分けることができると結論できます。

ただし、あくまで�Dの手法にのっとた場合の結論でありそれ以外の場合はできない証明にはなっていません

又、Ｐが偶数の場合は対称性が崩れるのでお手上げです。

面白い問題なので、もう少し考えてみたいと思います。

「にいばりZ12」 08/05 01時32分　受信 更新 08/10

前回のつづきを考えました

Ｐが偶数の場合を考えてみました。

基本的な考え方は奇数個（下記1〜5）の時と同じ

1　個数Ｐの連続数の各要素から連続数の中央値を引き中央値を0になるように置き換える。

2　置き換えた連続数の中央値0の左右（負、正）を2組（中央値は含まない）の整数とする。

3　2組の整数の（絶対値を変えず）符号を交換し右の組の総和を0とする

4　右の組の総和が0になるとき左の組の総和も0となり、右と左の2乗の和も等しくなる。

5　符号を交換した後の左右の組の各要素にＰの中央値を加えると求める2組を得る。

*ただし、3で述べた総和を0と出来るのはＰが8k+1または8k+7の形で表される自然数

**3で述べた総和を0とする方法は一意ではない。したがって題意を満たす組も複数存在する

（***ただしＰが7、9の場合は一意に定まる）

偶数の場合、Ｐ／２個の組に分けて以下が可能な場合を考えます。

P/2個の2組の整数の和と2乗の和が等しくなるように分ける。

1　個数Ｐの連続数の各要素から連続数の中央値を引き中央値を0になるように置き換える。

2　置き換えた数列を中央値0の左右（負、正）に分け2組（中央値は含まない）とし要素を2倍し整数とする。

3　2組の整数の（絶対値を変えず）符号を交換し右の組の総和を0とする

4　右の組の総和が0になるとき左の組の総和も0となり、右と左の2乗の和も等しくなる。

5　符号を交換した後の左右の組の各要素に1/2をかけＰの中央値を加えると求める2組を得る。

1は、問題2の�Cで明らかなように中央値が整数である必要がないので成立する。

2及び4においても、問題2の�C式の各要素が定数倍になっても成立することから成り立つ

３について

2の操作を行った時にできる右側（非負整数列）は次のように奇数列となる

1,3,5,7,9,・・・・・

この非負整数部分（0より右側）の個数をnとし

符号の交換により総和を0とすることができる場合

ア）

1+3+5+9=7+11→1,3,5,9か7,11の符号を入れ替える

13+19=15+17→13,19か15,17の符号を入れ替える

・・・・・・

で最初の6個と以降は4個ずつブロック分けして符号を入れ替える

イ）

1+7=3+5→1,7か3,5の符号を入れ替える

9+15=11+17→9,15か11,17の符号を入れ替える

・・・・・・

で最初から4個ずつブロック分けして符号を入れ替える

ア、イとも、4個づつのブロック分けを4ｑ（ｑ∈N）のブロックとできます。

またア、イを整理すると

非負整数部分（0より右側）nが6+4k(≡2+4k　mod4）か4k個（k∈N）の場合

符号の交換により総和を0とできる事が解ります

4を法として場合分けすると

符号の交換により総和を0とすることができる場合

n=4k・・・・(ア)偶数

n=4k+2・・・・(イ)偶数

（上記を合わせると4以上の偶数）

上記以外の場合

n=4k+1・・・・(ウ)奇数

n=4k+3・・・・(エ)奇数

これらをn個の奇数列の総和Sの式に代入すると

(ア)S=n＾2=（4k)^2 　　・・・偶数

(ウ)S=n＾2=（4k+1)^2　・・・奇数

(イ)S=n＾2=（4k+2)^2　・・・偶数

(エ)S=n＾2=（4k+3)^2　・・・奇数

Sが奇数になる場合はどんな2組に分けても等しくならないので

符号の交換で総和を0にすることはできません

したがって、符号の交換で総和を0にできるのはSが偶数のときに限られ

また、Sが4以上の偶数であれば常に符号の交換で総和を0にすることができ

それは、nが4kまたは4k+2の形で表される自然数のときに限られます。

このことから、連続数の個数Pが4k(k>1)の形で表される整数のとき

P/2個の2組の整数の和と2乗の和が等しくなるように分けることができると結論できます。

実際にやってみます

寄せられた表です

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