平成２６年１０月１９日

[流れ星]

　　　　　第312回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：9月21日〜10月19日＞

［美しい幾何］

　ある円に対して任意の弦ＰＱの中点をＭとして、この点を通る2本の弦ＡＢ，ＣＤを図のように作ります。点Ａと点Ｄ，点Ｂと点Ｃをそれぞれ結び、弦ＰＱとの交点を図のＥ，Ｆとます。すると、ＥＭ＝ＦＭ　が成り立つことを示してください。

ヒント：点Ｅと点Ｆからそれぞれ弦ＡＢと弦ＣＤに垂線を下ろし、その足を図のＧ，Ｈ，Ｉ，Ｊとする。さらに、いくつかの相似な三角形の組を見つけてください。

＜出展：パズルでひらめく補助線の幾何学（講談社）中村義作著＞

「二度漬け白菜」 09/21 10時33分　受信 更新 10/19

(証明)
与えられたヒントのように，G，I，H，J をとります．

AE*ED=(PM)^2-(EM)^2 ---(1) ．
(なぜなら △EAQ ∽ △EPD (同じ弧DQに対する円周角は等しいので，∠EAQ=∠EPD．
また 対頂角は等しいので，∠AEQ=∠PED) であるので，
AE：EQ=PE：ED． よって AE*ED=EQ*PE．
ここで PE=PM-EM，EQ=QM+EM=PM+EM なので，
AE*ED=EQ*PE=(PM+EM)*(PM-EM)=(PM)^2-(EM)^2．)

同様に考えて，CF*FB=(QM)^2-(FM)^2=(PM)^2-(FM)^2 ---(2)．

△EGM ∽ △FHM  より
EM/FM = EG/FH ---(3)．

△EIM ∽ △FJM より
EM/FM = EI/FJ ---(4)．

△EAG ∽ △FCJ より
EG/FJ = AE/CF ---(5)．

△EDI ∽ △FBH より
EI/FH = ED/FB ---(6)．

(3)，(4)，(5)，(6)の辺々をかけ合わせて，
(EM/FM)^2 = (AE*ED)/(CF*FB)．
よって，(EM)^2*(CF*FB)=(FM)^2*(AE*ED)．
これに(1)，(2)をつかって，
(EM)^2*((PM)^2-(FM)^2)=(FM)^2*((PM)^2-(EM)^2)．
よって，
(PM)^2*((EM)^2-(FM)^2)=0．
よって，(EM)^2-(FM)^2=0．　つまり，EM=FM (証明終)

「二度漬け白菜」 10/10 20時38分　受信 更新 10/19

この問題は「Butterfly Problem」と呼ばれている，よく知られた幾何の問題
であるようです．
ウィキペディアには「Butterfly theorem」と題して掲載されています．
http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_theorem

この問題には さまざまな解法があるようです．
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Butterfly.shtml

以下の本でこの問題の別解をみつけたました．
「Challenging Problems in Geometry」 (DOVER PUBLICATIONS)
この本には5全部で通りの解法が紹介されています．
そのうちのひとつは次のようなものです．

 (別解)
(点Bと直線PQとの距離)＜(点Dと直線PQとの距離)
となっている場合を考える．

点Bを通り，なおかつ直線PQに平行な直線がこの円と交わるB以外の点をKとする．
点Mから直線BKに下ろした垂線の足をNとする．

このとき，△MEK≡△MFB となることがつぎのようにして示せる．

MB=MK である．
(直線MNは線分BKの垂直二等分線であることが示せるので MB=MK がいえる)

∠EMK=∠FMB である．
(PQ//BKなので ∠EMK=∠MKB，∠MBK=∠FMB．△MBKはMB=MKなる二等辺三角形なので
∠MBK=∠MKB．これらより ∠EMK=∠FMB)

∠EKM=∠FBM である．
(弧ACに対する円周角は等しいので ∠FBM=∠EDM．---(1)
弧AKに対する円周角は等しいので ∠KDE=∠KBM．---(2)
また，∠KBM=∠BKM=∠EMK．これと(2)とから，∠KDE=∠EMK．
よって円周角の定理の逆より 4点 K，D，M，E は同一円周上にあることがわかる．
よって ∠EKM=∠EDM．これと(1)とから ∠EKM=∠FBM )

よって △MEK≡△MFB (二角夾辺相等)．
よって EM=FM．(終)

「uchinyan」 09/21 14時17分　受信 更新 10/19

(証明1)　ヒントに基づいて考えた証明

まず，△EMG ∽ △FMH より，EM/FM = EG/FH，△EMI ∽ △FMJ より，EM/FM = EI/FJ，なので，

EM^2/FM^2 = EG/FH * EI/FJ = EG/FJ * EI/FH，です。

次に，∠DAB = ∠BCD，∠ADC = ∠CBA から，

△EAG ∽ △FCJ より，EG/FJ = EA/FC，△EDI ∽ △FBH より，EI/FH = ED/FB，なので，

EM^2/FM^2 = EG/FJ * EI/FH = EA/FC * ED/FB = (EA * ED)/(FC * FB)，です。

そこで，方べきの定理を使って，

EM^2/FM^2 = (EA * ED)/(FC * FB) = (EP * EQ)/(FP * FQ)

ここで，PM = QM に注意すると，

EP = PM - EM，EQ = QM + EM = PM + EM，FP = PM + FM，FQ = QM - FM = PM - FM

がいえるので，

EP * EQ = (PM - EM)(PM + EM) = PM^2 - EM^2，FP * FQ = (PM + FM)(PM - FM) = PM^2 - FM^2

となって，

EM^2/FM^2 = (EP * EQ)/(FP * FQ) = (PM^2 - EM^2)/(PM^2 - FM^2)

分母を払って整理すると，

EM^2 * (PM^2 - FM^2) = FM^2 * (PM^2 - EM^2)

EM^2 * PM^2 - EM^2 * FM^2 = FM^2 * PM^2 - FM^2 * EM^2

EM^2 * PM^2 = FM^2 * PM^2

EM^2 = FM^2

EM = FM

になります。

(証明2)　単純に座標を用いた証明

対称性を考慮して，M(0,0)，P(-p,0)，Q(p,0)，円の中心を (0,o)，と座標を入れます。

すると，円の方程式は，x^2 + (y - o)^2 = o^2 + p^2，です。

さらに，AB，CD の式を，y = mx，y = nx，A(a,ma)，B(b,mb)，C(c,nc)，D(d,nd)，とします。

すると，E(e,0)，F(f,0) として，

AD の式，y - ma = (nd - ma)/(d - a) * (x - a)，e = a - ma(d - a)/(nd - ma)

CB の式，y - nc = (mb - nc)/(b - c) * (x - c)，f = c - nc(b - c)/(mb - nc)

ここで，a，b，c，d は円と AB，CD の交点なので，

a，b は，(m^2 + 1)x^2 - 2mox - p^2 = 0，の解で，解と係数の関係から，

a + b = 2mo/(m^2 + 1)，ab = - p^2/(m^2 + 1)

c，d は，(n^2 + 1)x^2 - 2nox - p^2 = 0，の解で，解と係数の関係から，

c + d = 2no/(n^2 + 1)，cd = - p^2/(n^2 + 1)，

以上の設定で，EM = -e，FM = f なので，EM = FM を示すには，e + f = 0，を示せばいいです。

e = a - ma(d - a)/(nd - ma) = (n - m)ad/(nd - ma)

f = c - nc(b - c)/(mb - nc) = (m - n)bc/(mb - nc)

e + f = (n - m)ad/(nd - ma) + (m - n)bc/(mb - nc)

= (m - n)(ad(mb - nc) + bc(ma - nd))/((ma - nd)(mb - nc))

= (m - n)(mab(c + d) - ncd(a + b))/((ma - nd)(mb - nc))

= (m - n)(m(- p^2/(m^2 + 1))(2no/(n^2 + 1)) - n(- p^2/(n^2 + 1))(2mo/(m^2 + 1)))/((ma - nd)(mb - nc))

= (m - n)(- 2mnop^2/((m^2 + 1)(n^2 + 1)) + 2mnop^2/((m^2 + 1)(n^2 + 1)))/((ma - nd)(mb - nc))

= (m - n)(0)/((ma - nd)(mb - nc))

= 0

そこで，EM = FM，が示せました。

(感想)

ヒントがあったし図もそれを前提にしたものなので，それに基づいて考えた証明が(証明1)です。

出だしから方べきの定理を使うまではそこそこきれいなのですが，その後がうまくいかず，

後半は計算主体になってしまいました。合同がどこかでいえないかな，と思ったのですが。

相似だけで押していくしかないとすると，計算が幅を利かすのは仕方がないのかも知れません。

ならば，と割り切って，座標を用い最初から計算主体にしたのが(証明2)です。

計算自体は若干複雑になりますが，やることは明確で見通しもよく，計算量も大したことはないので，

この問題では下手に初等幾何にこだわらない方がいいかも知れませんね。

なお，(証明1)の最後の辺りは加比の理を使えば，

EM^2/FM^2 = (EP * EQ)/(FP * FQ) = (PM^2 - EM^2)/(PM^2 - FM^2) = PM^2/PM^2 = 1

EM^2 = FM^2

EM = FM

ともできますね。まぁ，あまりメリットはないですが。

「早起きのおじさん」 10/02 20時59分　受信 更新 10/19

その1

●図のように、Mが原点でPQがX軸上にくるように座標をとります。

MAとX軸とが成す角をα、MCとX軸とが成す角をβ、円の半径をr、中心とMとの距離をbとします。

すると、円、直線AB、直線CDはそれぞれ次のように表されます。

(ｲ)と(ﾛ)を連立させて、点A、Bの座標を求めると、

同様に、(ｲ)と(ﾊ)を連立させて、点C、Dの座標を求めると、

式が長くなるのでこの後、

とおくことにします。

●直線AD、直線CBの式を調べます。

ADの傾きmは、

点Dを通るとして、直線ADは、

CBの傾きnは、

点Cを通るとして、直線CBは、

●点E、FのX座標を調べます。

EのX座標は、(ﾆ)のyを0にして、

通分した分子だけを書き出すと、

よってEのX座標は、

FのX座標は、(ﾎ)のyを0にして、

通分した分子だけを書き出すと、

よってFのX座標は、

●EM=FMということは、Mが原点なので、上のX座標の和が0になるということです。

X座標の和の計算の通分した分子だけを書きだすと、（ただし、共通の因子 ）

その2

■図のように∠AME＝α、∠CMF＝βとおきます。

△AMD＝△AME＋△EMDなので、

よって、

△CMB＝△CMF+△FMBなので、

よって、

以上から、

■ここで、上の図がその1の座標と同じ位置にあったとします。

補角の関係にある2つの角の正弦（SIN）は等しいので、その１の点A、B、C、Dの座標をそのまま使います。

同様に、

■ME＝MFということは、その比が1になるということです。

上の結果を（ﾍ）に代入すると、

その3

▲図のように、PM＝QM＝p、EM＝e、EG＝g、EI＝i、FM＝f、FJ＝j、FH＝hとおきます。

△MEG∽△MFHなのでe：g＝f：hより、 ･･･(ﾄ)

△AEG∽△CFJなので、g：AE＝j：CFより、 ･･･(ﾁ)

△MEI∽△MFJなので、e：i＝f：jより、 ･･･(ﾘ)

△DEI∽△BFHなので、i：ED＝h：FBより、 ･･･(ﾇ)

ADとPQに方べきの定理をあてはめて、 ･･･(ﾙ)

CBとQPに方べきの定理をあてはめて、 ･･･(ｦ)

▲以上からEMとFMの比の値を計算します。

分子には、(ﾄ)、(ﾁ)を代入し整理してから(ﾙ)を代入します。

分母には、(ﾘ)、(ﾇ)を代入し整理してから(ｦ)を代入します。

おまけ

●この問題は難しいです。

なぜ難しいかというと、 のとき、 ですが、簡単な共通因数がないからです。

（左辺と右辺が交代式の関係になっていません）

EのX座標は、

FのX座標は、

の形をしています。

であることを、BCの展開がADであることで確認します。

●このあたりの難しさがその3のEMとFMの比の計算のところに出ています。

普通ではやらない式変形をしています。

<コメント＊今回の問題は難しいです。

解答のその1は素直な考え方です。

余計なことを考えなければ計算さえ根気よくやればできます。

しかし、MEとMFの値が交代式になるはずだと思ってしまうとなかなか抜けられません。

そこから抜けるのにしばらくかかりました。

その2は幾何的に解こうとして方べきの定理やらトレミーの定理やらこねくりまわしてみましたがうまくいきませんでした。

△ MGJと△MIHがいえればすぐなのですがうまくいきませんでした。

仕方なくMEとMFの値をなんとかこじつけての計算にしました。

その3はヒントに忠実に、極力忠実に考えてこじつけました。

l その1で普通の感覚ではできないことが分かっていたのでいわゆる筋の悪いやり方でやってみたらできてしまった、という感じです。

（普通の正攻法でできるのか他の人の解答を楽しみにしています）＞

「浜田明巳 10/07 17時17分　受信 更新 10/19

座標系を導入する．（初等幾何学的なきれいな証明は好きでないので）
　この円の中心をＯ(０，０)，半径を１とし，
　　Ｍ(０，ｐ)（０≦ｐ＜１）
　　Ｐ(−(１−ｐ^２)^１／２，ｐ)，Ｑ((１−ｐ^２)^１／２，ｐ)
　　Ａ(ａ，ｂ)，Ｃ(ｃ，ｄ)
　　−(１−ｐ^２)^１／２＜ａ＜ｃ＜(１−ｐ^２)^１／２，ｐ＜ｂ≦１，ｐ＜ｄ≦１，ａ^２＋ｂ^２＝１，ｃ^２＋ｄ^２＝１
とする．
i). ａｃ≠０のとき，

　直線ＡＭの方程式は，
　　ｙ＝（ｂ−ｐ）／(ａ−０)・(ｘ−０)＋ｐ＝(ｂ−ｐ)／ａ・ｘ＋ｐ
　Ｂの座標を求める．
　　ｘ^２＋{(ｂ−ｐ)／ａ・ｘ＋ｐ}^２＝１
より，
　　{ａ^２＋(ｂ−ｐ)^２}ｘ^２＋２ａｐ(ｂ−ｐ)ｘ＋ａ^２(ｐ^２−１)＝０
　　∴(１−２ｂｐ＋ｐ^２)ｘ^２＋２ａｐ(ｂ−ｐ)ｘ＋ａ^２(ｐ^２−１)＝０（∵ａ^２＋ｂ^２＝１）
　　∴ｘ^２＋２ａｐ(ｂ−ｐ)／(１−２ｂｐ＋ｐ^２)・ｘ＋ａ^２(ｐ^２−１)／(１−２ｂｐ＋ｐ^２)＝０
　解の１つは，Ａのｘ座標のａであるので，他の解であるＢのｘ座標は，
　　ａ(ｐ^２−１)／(１−２ｂｐ＋ｐ^２)
　Ｂのｙ座標は，
　　(ｂ−ｐ)／ａ・ａ(ｐ^２−１)／(１−２ｂｐ＋ｐ^２)＋ｐ＝(ｂ−ｐ)(ｐ^２−１)／(１−２ｂｐ＋ｐ^２)＋ｐ
　　∴Ｂ(ａ(ｐ^２−１)／(１−２ｂｐ＋ｐ^２)，(ｂ−ｐ)(ｐ^２−１)／(１−２ｂｐ＋ｐ^２)＋ｐ)
　Ｃ(ｃ，ｄ)より，同様に，
　　Ｄ(ｃ(ｐ^２−１)／(１−２ｄｐ＋ｐ^２)，(ｄ−ｐ)(ｐ^２−１)／(１−２ｄｐ＋ｐ^２)＋ｐ)
　直線ＡＤの方程式は，
　　ｙ＝[{(ｄ−ｐ)(ｐ^２−１)／(１−２ｄｐ＋ｐ^２)＋ｐ}−ｂ]／{ｃ(ｐ^２−１)／(１−２ｄｐ＋ｐ^２)−ａ}・(ｘ−ａ)
　　　　　＋ｂ
　ｘの係数は，
　　{(ｄ−ｐ)(ｐ^２−１)＋(ｐ−ｂ)(１−２ｄｐ＋ｐ^２)}／{ｃ(ｐ^２−１)−ａ(１−２ｄｐ＋ｐ^２)}
　＝{−(ｂ＋ｄ)ｐ^２＋２(１＋ｂｄ)ｐ−(ｂ＋ｄ)}／{(ｃ−ａ)ｐ^２＋２ａｄｐ−(ａ＋ｃ)}
　Ｅのｘ座標を求める．
　　{−(ｂ＋ｄ)ｐ^２＋２(１＋ｂｄ)ｐ−(ｂ＋ｄ)}／{(ｃ−ａ)ｐ^２＋２ａｄｐ−(ａ＋ｃ)}・(ｘ−ａ)＋ｂ＝ｐ
より，
　　ｘ＝(ｐ−ｂ)／[{−(ｂ＋ｄ)ｐ^２＋２(１＋ｂｄ)ｐ−(ｂ＋ｄ)}／{(ｃ−ａ)ｐ^２＋２ａｄｐ−(ａ＋ｃ)}]
　　　＝(ｐ−ｂ){(ｃ−ａ)ｐ^２＋２ａｄｐ−(ａ＋ｃ)}／{−(ｂ＋ｄ)ｐ^２＋２(１＋ｂｄ)ｐ−(ｂ＋ｄ)}＋ａ
　　　＝{(ｃ−ａ)ｐ^３＋(２ａｄ−ｂｃ＋ａｂ)ｐ^２−(ａ＋ｃ＋２ａｂｄ)ｐ＋(ａｂ＋ｂｃ)}
　　　　　／{−(ｂ＋ｄ)ｐ^２＋２(１＋ｂｄ)ｐ−(ｂ＋ｄ)}＋ａ
　Ｆのｘ座標は，同様に，
　　{(ａ−ｃ)ｐ^３＋(２ｃｂ−ｄａ＋ｃｄ)ｐ^２−(ｃ＋ａ＋２ｃｄｂ)ｐ＋(ｃｄ＋ｄａ)}
　　　／{−(ｄ＋ｂ)ｐ^２＋２(１＋ｄｂ)ｐ−(ｄ＋ｂ)}＋ｃ
　　∴(Ｅのｘ座標)＋(Ｆのｘ座標)
　　＝{(ｃ−ａ)ｐ^３＋(２ａｄ−ｂｃ＋ａｂ)ｐ^２−(ａ＋ｃ＋２ａｂｄ)ｐ＋(ａｂ＋ｂｃ)}
　　　　／{−(ｂ＋ｄ)ｐ^２＋２(１＋ｂｄ)ｐ−(ｂ＋ｄ)}＋ａ
　　　　＋{(ａ−ｃ)ｐ^３＋(２ｂｃ−ａｄ＋ｃｄ)ｐ^２−(ａ＋ｃ＋２ｂｃｄ)ｐ＋(ｃｄ＋ａｄ)}
　　　　　／{−(ｄ＋ｂ)ｐ^２＋２(１＋ｄｂ)ｐ−(ｄ＋ｂ)}＋ｃ
　　＝[(ａｄ＋ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ)ｐ^２−２{ａ＋ｃ＋(ａ＋ｃ)ｂｄ}ｐ＋(ａｂ＋ｂｃ＋ａｄ＋ｃｄ)]
　　　　／{−(ｂ＋ｄ)ｐ^２＋２(１＋ｂｄ)ｐ−(ｂ＋ｄ)}＋(ａ＋ｃ)
　　＝(ａ＋ｃ)・[{(ｂ＋ｄ)ｐ^２−２(１＋ｂｄ)ｐ＋(ｂ＋ｄ)}
　　　　　　　　　／{−(ｂ＋ｄ)ｐ^２＋２(１＋ｂｄ)ｐ−(ｂ＋ｄ)}＋１]
　　＝０＝(Ｍのｘ座標)
　　∴ＥＭ＝ＦＭ

ii). ａ＝０のとき，Ａ(０，１)，Ｂ(０，−１)，Ｃ(ｃ，ｄ)
　　０＜ｃ＜(１−ｐ^２)^１／２，ｐ＜ｄ＜１

　i)と同様に，
　　Ｄ(ｃ(ｐ^２−１)／(１−２ｄｐ＋ｐ^２)，(ｄ−ｐ)(ｐ^２−１)／(１−２ｄｐ＋ｐ^２)＋ｐ)
　直線ＡＤの方程式は，
　　ｙ＝[{(ｄ−ｐ)(ｐ^２−１)／(１−２ｄｐ＋ｐ^２)＋ｐ}−１]／{ｃ(ｐ^２−１)／(１−２ｄｐ＋ｐ^２)−０}・(ｘ−０)＋１
　ｘの係数は，
　　{(ｄ−ｐ)(ｐ^２−１)＋(ｐ−１)(１−２ｄｐ＋ｐ^２)}／{ｃ(ｐ^２−１)}
　＝{−(ｄ＋１)ｐ^２＋２(１＋ｄ)ｐ−(ｄ＋１)}／{ｃ(ｐ^２−１)}
　＝−(ｄ＋１)(ｐ^２−２ｐ＋１)／{ｃ(ｐ^２−１)}
　＝−(ｄ＋１)(ｐ−１)／{ｃ(ｐ＋１)}
　　∴ＡＤ：ｙ＝(ｄ＋１)(１−ｐ)／{ｃ(ｐ＋１)}・ｘ＋１
　Ｅのｘ座標を求める．
　(ｄ＋１)(１−ｐ)／{ｃ(ｐ＋１)}・ｘ＋１＝ｐより，
　　(ｐ−１)／[(ｄ＋１)(１−ｐ)／{ｃ(ｐ＋１)}]＝−ｃ(ｐ＋１)／(ｄ＋１)
　直線ＢＣの方程式は，
　　ｙ＝{ｄ−(−１)}／(ｃ−０)・(ｘ−０)−１＝(ｄ＋１)／ｃ・ｘ−１
　Ｆのｘ座標を求める．
　(ｄ＋１)／ｃ・ｘ−１＝ｐより，
　　(ｐ＋１)／{(ｄ＋１)／ｃ}＝ｃ(ｐ＋１)／(ｄ＋１)＝−(Ｅのｘ座標)
　　∴ＥＭ＝ＦＭ

iii). ｃ＝０のときも，ii)と同様．

　i)〜iii)より，ＥＭ＝ＦＭ