平成２６年１２月１４日

[流れ星]

　　　　　第314回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：11月16日〜12月14日＞

［楕円の接線］

信州大学の過去問を参考にしながら次の2題を作問しました。

問題１：楕円b^２ｘ^２＋a^２ｙ^２＝a^２ｂ^２上の動点Ｐ（Ｐは第一象限）における接線と，ｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＱ，Ｒとする。このとき、線分ＱＲの長さの最小値と、そのときの点Ｐの座標を求めよ。

問題２：楕円b^２ｘ^２＋a^２ｙ^２＝a^２ｂ^２に点Ａ（２ａ，０）から接線を引いて、その接点をＰ（Ｐは第一象限）とするとき、楕円と接線とx軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。また、接点Ｐの座標も求めよ。

「uchinyan」 11/16 15時52分　受信 更新 12/14

問題文には特に断りはないのですが，題意及び対称性より，以下では，a > b > 0，とします。

問題１：(解法1)

楕円 b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 は x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 と書けます。

P(s,t)，s > 0，t > 0，とします。P は楕円上の点なので s^2/a^2 + t^2/b^2 = 1 です。

また，P における接線は sx/a^2 + ty/b^2 = 1 と書けます。

そこで，Q(a^2/s,0)，R(0,b^2/t)，となり，

QR^2 = OQ^2 + OR^2 = (a^2/s)^2 + (b^2/t)^2

(s/a)^2 + (t/b)^2 = s^2/a^2 + t^2/b^2 = 1 に注意し，コーシー・シュワルツの不等式を使うと，

= ((a^2/s)^2 + (b^2/t)^2)((s/a)^2 + (t/b)^2) >= (a + b)^2

QR >= a + b

ここで，等号は，s^2/a^3 = t^2/b^3，s = √(a^3/(a + b))，t = √(b^3/(a + b))，で実現可能です。

そこで，

QR の最小値は a + b，そのときの P は (a√(a/(a + b)), b√(b/(a + b)))　になります。

(解法2)

P における接線を y = - mx + k とおきます。P は第一象限の点なので，m > 0，k > 0，です。

これが楕円と P で接するので，

楕円の式 b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 の y を消去した x の２次方程式が P で重解をもつことになります。

b^2x^2 + a^2(- mx + k)^2 = a^2b^2

(a^2m^2 + b^2)x^2 - 2(kma^2)x + (k^2 - b^2)a^2 = 0

判別式/4 = (- kma^2)^2 - (a^2m^2 + b^2)(k^2 - b^2)a^2 = 0

a^2m^2 - k^2 + b^2 = 0，k^2 = a^2m^2 + b^2

このとき，x = kma^2/(a^2m^2 + b^2) = ma^2/k，P(ma^2/k, b^2/k)，です。

そして，Q(k/m,0)，R(0,k)，なので，

QR^2 = OQ^2 + OR^2 = (k/m)^2 + k^2 = (1 + 1/m^2)k^2

= (1 + 1/m^2)(a^2m^2 + b^2) = (a^2 + b^2) + (a^2m^2 + b^2/m^2)

相加相乗平均を使って，

>= (a^2 + b^2) + 2√(a^2m^2 * b^2/m^2) = (a^2 + b^2) + 2ab = (a + b)^2

QR >= a + b

ここで，等号は，a^2m^2 = b^2/m^2，m = √(b/a)，k = √(b(a + b))，で実現可能です。

そこで

QR の最小値は a + b，そのときの P は (a√(a/(a + b)), b√(b/(a + b)))　になります。

問題２： (解法1)

A(2a,0) から楕円 b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 に引いた接線を y = - m(x - 2a) とします。

このとき，接点 P は第一象限にあるので m > 0 です。

これが楕円と P で接するので，楕円の式の y を消去した x の２次方程式が P で重解をもつことになります。

b^2x^2 + a^2(- m(x - 2a))^2 = a^2b^2

(a^2m^2 + b^2)x^2 - 2(2m^2a^3)x + (4a^2m^2 - b^2)a^2 = 0

判別式/4 = (- 2m^2a^3)^2 - (a^2m^2 + b^2)(4a^2m^2 - b^2)a^2 = 0

a^2m^2 - 4a^2m^2 + b^2 = 0，m^2 = b^2/(3a^2)，m = (1/√3)(b/a) > 0

このとき，x = 2m^2a^3/(a^2m^2 + b^2) = a/2，P(a/2,(√3/2)b)，です。

そこで，楕円は第一象限で y = b√(1 - (x/a)^2) であることに注意して，

求める面積

= ∫[a/2,a]{(- m(x - 2a)) - b√(1 - (x/a)^2)}dx + ∫[a,2a]{- m(x - 2a)}dx

= (b/√3)∫[a/2,2a]{- x/a + 2}dx - b∫[a/2,a]{√(1 - (x/a)^2)}dx

ここで，x/a = t とおくと，

= (ab/√3)∫[1/2,2]{- t + 2}dt - ab∫[1/2,1]{√(1 - t^2)}dt

第２項は t = sinθ とおいて，

= (ab/√3)[- t^2/2 + 2t][1/2,2] - ab∫[π/6,π/2]{(cosθ)^2}dθ

= (ab/√3)(9/8) - ab∫[π/6,π/2]{(1 + cos(2θ))/2}dθ

= (3√3/8)ab - ab[(θ + sin(2θ)/2)/2][π/6,π/2]

= (3√3/8)ab - ab[(π/4) - (π/12 + √3/8)]

= (√3/2 - π/6)ab

そこで，

面積は (√3/2 - π/6)ab，P は (a/2,(√3/2)b)　になります。

(解法2)

楕円 b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 は x^2 + ((a/b)y)^2 = a^2 と書けますが，

x = X，(a/b)y = Y，とおくと X^2 + Y^2 = a^2 となって，

(x,y)-座標系ではなく (X,Y)-座標系では，中心が原点，半径が a，の円になります。

そして，A(2a,0) はこの変換でも同じで A(2a,0) のままです。

このとき，AO = 2a，PO = a，∠APO = π/2，より，∠POA = π/3 となるので，

接点 P は (a/2,(√3/2)a) で，対応する領域の面積 S は，

S = △POA - 扇形OAP = 2a * (√3/2)a * 1/2 - πa^2 * 1/6 = (√3/2 - π/6)a^2

実際に求めるのは (x,y)-座標系の方で，

x = X，y = (b/a)Y，Y 方向だけを b/a 倍する，で元に戻せばよく，

面積は (√3/2 - π/6)ab，P は (a/2,(√3/2)b)，になります。

(感想)これはどちらもなかなか面白い問題でした

問題１；は，不等式がうまく使えました。もっとも，問題文の感じからすると(解法1)の方が自然かな。

最小値問題なので計算主体が考えやすいのですが，より図形的な方法がないか気になるところです。

問題２：は，計算主体と図形的考察主体の二つの解法を書いておきました。

計算主体の(解法1)も実は途中から図形的な解釈を入れて積分なしで済ませることもできますが，

これは(解法2)の方に取っておきました。(解法2)のようにすれば暗算で解けてしまいますね。

「浜田明巳」 11/20 12時05分　受信 更新 12/14

問題１では，ａｂ≠０でよいのだが，問題２ではａ＞０，ｂ≠０でよい．
　便宜上ａ＞０，ｂ＞０とする．

問題１
　接点をＰ(Ｘ，Ｙ)とする．
　ただし，０＜Ｘ＜ａ，０＜Ｙ＜ｂ，
　　　　　　ｂ^２Ｘ^２＋ａ^２Ｙ^２＝ａ^２ｂ^２………(1)　とする．
　ｂ^２ｘ^２＋ａ^２ｙ^２＝ａ^２ｂ^２の両辺をｘで微分すると，
　　２ｂ^２ｘ＋２ａ^２ｙｙ'＝０
　ｙ≠０のとき，ｙ'＝−(ｂ^２ｘ)／(ａ^２ｙ)
　接線の方程式は，
　　ｙ＝−(ｂ^２Ｘ)／(ａ^２Ｙ)・(ｘ−Ｘ)＋Ｙ
　　　＝−(ｂ^２Ｘ)／(ａ^２Ｙ)・ｘ＋(ｂ^２Ｘ^２)／(ａ^２Ｙ)＋Ｙ
　　∴(定数項)＝(ｂ^２Ｘ^２＋ａ^２Ｙ^２)／(ａ^２Ｙ)
　　　　　　　　＝(ａ^２ｂ^２)／(ａ^２Ｙ)（∵(1)）
　　　　　　　　＝ｂ^２／Ｙ
　　∴Ｒ(０，ｂ^２／Ｙ)
　また，ｙ＝−(ｂ^２Ｘ)／(ａ^２Ｙ)・ｘ＋ｂ^２／Ｙ＝０とすると，ｂ≠０より，
　　−Ｘｘ＋ａ^２＝０
　　∴ｘ＝ａ^２／Ｘ
　　∴Ｑ(ａ^２／Ｘ，０)
　　∴ＱＲ^２＝ａ^４／Ｘ^２＋ｂ^４／Ｙ^２………(2)
　ここで，(1)より，
　　Ｙ^２＝(ａ^２ｂ^２−ｂ^２Ｘ^２)／ａ^２
　　　　＝ｂ^２／ａ^２・(ａ^２−Ｘ^２)
　(2)に代入すると，
　　ＱＲ^２＝ａ^４／Ｘ^２＋ｂ^４／{ｂ^２／ａ^２・(ａ^２−Ｘ^２)}
　　　　　＝ａ^４／Ｘ^２＋(ａ^２ｂ^２)／(ａ^２−Ｘ^２)
　　∴ＱＲ^２／ａ^２＝ａ^２／Ｘ^２＋ｂ^２／(ａ^２−Ｘ^２)
　ここで，ｔ＝Ｘ^２（０＜ｔ＜ａ^２），ｆ(ｔ)＝ＱＲ^２／ａ^２とすると，
　　ｆ(ｔ)＝ａ^２／ｔ＋ｂ^２／(ａ^２−ｔ)
　　∴ｆ'(ｔ)＝−ａ^２／ｔ^２−ｂ^２／(ａ^２−ｔ)^２・(−１)
　　　　　　＝{−ａ^２(ａ^２−ｔ)^２＋ｂ^２ｔ^２｝／{ｔ^２(ａ^２−ｔ)^２}
　　　　　　＝{(ｂ^２−ａ^２)ｔ^２＋２ａ^４ｔ−ａ^６}／{ｔ^２(ａ^２−ｔ)^２}
　ｇ(ｔ)＝(ｂ^２−ａ^２)ｔ^２＋２ａ^４ｔ−ａ^６とすると，
　　ｇ(０)＝−ａ^６＜０
　　ｇ(ａ^２)＝(ｂ^２−ａ^２)ａ^４＋２ａ^６−ａ^６
　　　　　　＝ａ^４ｂ^２＞０
　ｇ(ｔ)はｔの２次以下の連続関数であるので，あるｔ_０が一意的に存在し，
　　０＜ｔ_０＜ａ^２，ｇ(ｔ_０)＝０
　　０＜ｔ＜ｔ_０のとき，ｇ(ｔ)＜０
　　ｔ_０＜ｔ＜ａ^２のとき，ｇ(ｔ)＞０
となる．
　ｔ_０を求める．
i). ａ≠ｂのとき，
　　ｇ(ｔ)＝(ｂ＋ａ)(ｂ−ａ)ｔ^２＋２ａ^４ｔ−ａ^６
　　　　　＝{(ａ＋ｂ)ｔ−ａ^３}{(ｂ−ａ)ｔ＋ａ^３}
　ｇ(ｔ)＝０のとき，ｔ＝ａ^３／(ａ＋ｂ)，ａ^３／(ａ−ｂ)
　ここで，ａ^３／(ａ＋ｂ)＞０であり，
　　ａ^２−ａ^３／(ａ＋ｂ)
　　　＝ａ^２・{(ａ＋ｂ)−ａ}／(ａ＋ｂ)
　　　＝(ａ^２ｂ)／(ａ＋ｂ)＞０
　　∴０＜ａ^３／(ａ＋ｂ)＜ａ^２
　ａ＜ｂのとき，ａ^３／(ａ−ｂ)＜０
　ａ＞ｂのとき，
　　ａ^３／(ａ−ｂ)−ａ^２
　　　＝ａ^２・{ａ−(ａ−ｂ)}／(ａ−ｂ)
　　　＝ａ^２ｂ／(ａ−ｂ)＞０
　　∴ａ^２＜ａ^３／(ａ−ｂ)
　まとめると，ｔ_０＝ａ^３／(ａ＋ｂ)
ii). ａ＝ｂのとき，
　　ｇ(ｔ)＝２ａ^４ｔ−ａ^６＝２ａ^４(ｔ−ａ^２／２)
　０＜ａ^２／２＜ａ^２なので，ｔ_０＝ａ^２／２
　これはi).のｔ_０において，ａ＝ｂとしたものに他ならない．
　i).，ii).のいずれの場合も，ｔ_０＝ａ^３／(ａ＋ｂ)である．
　故に０＜ｔ＜ａ^３／(ａ＋ｂ)のとき，ｆ'(ｔ)＜０
　　　　ａ^３／(ａ＋ｂ)＜ｔ＜ａ^２のとき，ｆ'(ｔ)＞０
　故にｔ＝ａ^３／(ａ＋ｂ)のとき，ｆ(ｔ)は最小となる．
　最小値は，
　　ａ^２／{ａ^３／(ａ＋ｂ)}＋ｂ^２／{ａ^２−ａ^３／(ａ＋ｂ)}
　　　＝(ａ＋ｂ)／ａ＋{ｂ^２(ａ＋ｂ)}／[ａ^２{(ａ＋ｂ)−ａ}]
　　　＝(ａ＋ｂ)／ａ＋{ｂ(ａ＋ｂ)}／ａ^２
　　　＝１＋ｂ／ａ＋ｂ／ａ＋ｂ^２／ａ^２
　　　＝(１＋ｂ／ａ)^２
　これがＱＲ^２／ａ^２の最小値であるので，ＱＲ^２の最小値は，(ａ＋ｂ)^２
　故にＱＲの最小値は，ａ＋ｂ
　このとき，ｔ＝Ｘ^２＝ａ^３／(ａ＋ｂ)であるので，
　　Ｘ＝{ａ^３／(ａ＋ｂ)}^１／２
　　∴Ｙ^２＝ｂ^２／ａ^２・(ａ^２−Ｘ^２)
　　　　　＝ｂ^２／ａ^２・{ａ^２−ａ^３／(ａ＋ｂ)}
　　　　　＝ｂ^２{１−ａ／(ａ＋ｂ)}
　　　　　＝ｂ^２・{(ａ＋ｂ)−ａ}／(ａ＋ｂ)
　　　　　＝ｂ^３／(ａ＋ｂ)
　　∴Ｙ＝{ｂ^３／(ａ＋ｂ)}^１／２
　故にＱＲの最小値はａ＋ｂ，接点Ｐの座標は，
　　({ａ^３／(ａ＋ｂ)}^１／２，{ｂ^３／(ａ＋ｂ)}^１／２)

問題２
　点Ｐ(Ｘ，Ｙ)における接線の方程式は，ｙ＝−(ｂ^２Ｘ)／(ａ^２Ｙ)・ｘ＋ｂ^２／Ｙ
　点(２ａ，０)を通るので，０＝−(ｂ^２Ｘ)／(ａ^２Ｙ)・２ａ＋ｂ^２／Ｙ
　ｂ≠０から，０＝−２Ｘ／ａ＋１
　　∴Ｘ＝ａ／２
　　∴Ｙ^２＝ｂ^２／ａ^２・(ａ^２−Ｘ^２)
　　　　　　＝ｂ^２／ａ^２・(ａ^２−ａ^２／４)
　　　　　　＝３／４・ｂ^２
　　∴Ｙ＝√３／２・ｂ
　　∴Ｐ(ａ／２，√３／２・ｂ)

　図より，求める面積Ｓは，
　　Ｓ＝１／２・(２ａ−ａ／２)・√３／２・ｂ−∫_{ａ／２＜ｘ＜ａ}ｂ／ａ・(ａ^２−ｘ^２)^１／２ｄｘ
　　　＝３√３／８・ａｂ−ｂ／ａ・∫_{ａ／２＜ｘ＜ａ}(ａ^２−ｘ^２)^１／２ｄｘ

　図より，
　　∫_{ａ／２＜ｘ＜ａ}(ａ^２−ｘ^２)^１／２ｄｘ
　　　＝π・ａ^２・１／６−１／２・ａ／２・√３／２・ａ
　　　＝(π／６−√３／８)ａ^２
　　∴Ｓ＝３√３／８・ａｂ−(π／６−√３／８)ａｂ
　　　　　＝(√３／２−π／６)ａｂ

「早起きのおじさん」 11/23 15時32分　受信 更新 12/14

問題１

a＞bとして考えます。

接点Pの座標を(x₁，y₁)とおきます。

接線QRの方程式は、b²x₁x＋a²y₁y＝a²b² です。

点Q，Rの座標は、 です。

線分QRの長さをtとおくと、

Pは楕円上の点なので、b²x₁²＋a²y₁²＝a²b²より、 だから、

ここで、s＝x₁²(0＜s＜a²)とおくと、

とすると、

ここで0＜s＜a²なので が適します。

s	････		0	････		････		････		････
	−		×	−	0	＋	×	＋	0	−
		↓	×	↓	極小	↑	×	↑	極大	↓

（↑：増加、↓：減少）

よってt²最小値は、このsの値を代入して、

∴　QRの最小値は(a+b)となります。

接点のx座標は、なので、y座標は、 より、

∴　接点の座標は、です。

問題２

接点Pの座標を(x₁，y₁)とおきます。

楕円の接線の方程式は、b²x₁x＋a²y₁y＝a²b² です。

点Qの座標は、です。

x切片が2aなので、より、 です。

接点は楕円上の点なので、より、です。

∴　接点は、 です。

接線は、接点とx切片を考えて、より、

楕円の式をy(＞0)について解くと、

故に求める面積Sは、

前半の積分の値S₁は、

後半の積分の値S₂は、x＝a･sinθとおくと,

よって、

∴　面積Sは、

この結果は、

円と接線とx軸で囲まれた部分（水色）をb/a倍した値になります。

水色の部分は、直角三角形OPQから円の1/6を引きます。

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 11/25 20時59分　受信 更新 12/14

問題１：回答・・・射影的に…

楕円は、円 x^2+y^2=1 をx方向に1/a, y方向に1/b に拡大したもの…

円において、第一象限で考えると…

(p*q)/√(p^2+q^2)=1

(pq)^2=p^2+q^2>=2pq

等号はp=qのときで…p^2=2…p=q=√2

√(p^2+q^2)=2

X/aが√2, Y/bが√2

X^2+y^2=2a^2+2b^2・・・QP=√2*√(a^2+b^2)

P(√2*a, √2*b)

問題２： 回答・・・同様にして…

A(2a,0)は…(2,0)から円x^2+y^2=1に接線を引いたときを考えると…P(1/2, √3/2), R(0,2√3/3)

囲まれた△の面積=2*(2√3/3)*a*b*(1/2)=(2√3/3)*a*b

P=((1/2)*a, (√3/2)*b)

でよさそうに思えますけど…Orz

寒さ弥増しますので風邪など召されませんように ^^

「二度漬け白菜」 12/07 20時41分　受信 更新 12/14

問題1と問題2の，問題文のa,bについてですが，
これらはいずれも正の実数と考えて解答します．

問題1:
線分QRの長さの最小値は a+b．
そのときのPの座標は，P(√(a^3/(a+b))，√(b^3/(a+b)))．(答)

動点Pの座標を(s，t)とすると，この楕円のPにおける接線の方程式は
s*x/(a^2) + t*y/(b^2) = 1．
よって Q(a^2/s，0),  R(0，b^2/t)．
また，点Pはこの楕円上にあるので， s^2/a^2 + t^2/b^2 = 1  ---(1)

(QR)^2
=1*(QR)^2
=(s^2/a^2+t^2/b^2)*((a^2/s)^2+(b^2/t)^2) (∵(1))
=a^2+b^2+(b^4*s^2)/(a^2*t^2)+(a^4*t^2)/(b^2*s^2)
≧a^2+b^2+2*√( ((b^4*s^2)/(a^2*t^2))*((a^4*t^2)/(b^2*s^2)) ) ---(2)
=a^2+b^2+2*a*b
=(a+b)^2 = (一定)

ここで(2)の等号が成り立つのは，
(b^4*s^2)/(a^2*t^2)=(a^4*t^2)/(b^2*s^2) のとき，
つまり，s/t=(a/b)^(3/2) のとき，
つまり，s=√(a^3/(a+b))，t=√(b^3/(a+b)))のときである．

問題2:
楕円と接線とx軸とで囲まれた図形の面積は，(3*√3-π)*a*b/6．
接点Pの座標は，P(a/2，(√3)*b/2)．　(答)

接点Pの座標を(s，t)とする．この楕円のPにおける接線 L: s*x/(a^2)+t*y/(b^2)=1
が点Aを通過することから，s*(2*a)/a^2=1．よって s=a/2．
このとき，t=√((1-s^2/a^2)*b^2)=(√3)*b/2．
図形全体をy軸方向に(a/b)倍に拡大する．
この拡大によって，点PはP'(a/2，(√3)*a/2)に移る．
また，楕円は円 C:x^2+y^2=a^2に移り，さらにLは AとP'を通過する直線L'に移る．
CとL'およびx軸で囲まれた図形をTとし，Tの面積を求める．点(a，0)をBとする．
(Tの面積)=(△OAP'の面積)-(扇形OP'Bの面積)．
扇形OP'Bは中心角π/3，半径aであるので，
(Tの面積)=(1/2)*(2*a)*((√3)*a/2)-π*(a^2)*(π/3)/(2*π)=(3*√3-π)*a^2/6．
よって求める面積は，
(Tの面積)*(b/a)=(3*√3-π)*a*b/6．

問題1 に関してですが，webで検索すると同じ趣旨の問題がありますね．
http://okwave.jp/qa/q2695130.html
コーシー・シュワルツの不等式を使っても解けるみたいです．

「にいばりZ12」 12/08 01時51分　受信

「にいばりZ12」 12/09 02時00分　受信

「にいばりZ12」 12/13 06時01分　受信 更新 12/14

問題１：準備

tanθ´＝sec²θ

cotθ´＝−cosec²θ

いま、半径aの円を考えその上の動点Ｐ（Ｐは第一象限）における接線と，ｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＱ，Ｒとする。このとき、線分ＱＲの長さの最小値と、そのときの点Ｐの座標を求めよ。という問題を考えます

寄せられたPDFです。

QPの長さLはPとx軸との取る角度をθまたOPをaとすると

L=a（tanθ+ cotθ）となります

Pは円の第1象限を動く動点なので

その長さの極値を計算すると

ｄL/ｄθ＝a（sec²θ−cosec²θ）

となるのでこれを0とおくとθ＝π/4（その他の解は第一象限から外れます）

作図すると明らかであり、計算上も2回微分を行えば明らかですがここでは円の場合θがπ/4の時にPQが最小になることを自明としておきます。

またこの円は

ｘ^２/a^２＋ｙ^２/ａ^２＝1

です。またＰの座標は極座標から計算すると(a/√2, a/√2)でありＱＲ＝a（tanπ/4+ cotπ/4）=2aです。

ＱＲのｘ及びｙ切片は2√2ａ

問題の楕円は次のように変形できます（題意が楕円と言っている以上、a≠0、b≠0）

ｘ^２/a^２＋ｙ^２/ｂ^２＝1

（焦点以外は問題に関係しないのでａｂの大小関係には言及しません）

半径a中心が（0,0）の円と、ｘ軸との交点が(a,0)でｙ軸との交点が（0,b）中心が（0,0）の楕円の接線のｘ切片が同じ場合円と楕円の第一象限の接点のｘ座標が同じになることを示しておきます。（ｘ切片を(ｃ、0)としa<cとする）

円　   x²/a²+y²/a²=1　　　ｙ＝ａ√(1-x²/a²)

楕円   x²/a²+y²/b²=1      ｙ＝ｂ√(1-x²/a²)

上記でわかるように円と楕円の関係は第一象限でみると

円のｙ座標にｂ/ａを乗じた写像が楕円です

円の場合、接点のｘ座標は(0,0)と接点Pを結ぶ線分とｘ軸のなす角度をθとすると

　ｘ_c＝ａcosθ

　ａ＝ｃcosθ

　　から

　ｘ_c＝a²/ｃ

　ｙ＝ａsinθ

ａ＝ｃcosθ

から

　ｙ_c＝ａ√(1-ａ²/ｃ²)

（添え字のcは円の意）

接線の方程式は

　ｙ＝-ａ/（ｃ√(１−（ａ/ｃ）²）・（ｘ-ｃ）

(ｃ、0)と（a²/ｃ,ｂ√(1-ａ²/ｃ²)）すなわち円の接点の座標のｙ_cのみにb/aを乗じた点を通る直線の方程式は

ｙ＝-ｂ/（ｃ√(１−（ａ/ｃ）²）・（ｘ-ｃ）となり

これと楕円の方程式

ｙ＝ｂ√(1-x²/a²)の交点を求めると

連立方程式の解は

（ａ²/ｃ,ｂ√(1-ａ²/ｃ²)）の重根となる

よって、接線も楕円と号用に同様にb/aで写像されることが示されました。

今、楕円の接線の方程式のｘ切片ｃを代入しｙ切片を求めると

ｘ_ｙ0＝ｃ

ｙ_x0＝ｂｃ/√（ｃ^２−ａ^２）

Ｌ_e＝ＱＲ＝√（ｘ_ｙ0²₊ｙ_x0²）＝√（ｃ²+（ｂｃ/√（ｃ²−ａ^２））²）

（添え字ｅは楕円の意）

となりＬ_eをｃで微分（計算はＬ_e^２で行っても同じ）しｃ>ａ>0に注意し極値を求めると

ｃ＝√（ａ²+ａｂ）となります（ｃ^２＝（ａ²+ａｂ）

これを

Ｌ_e^２＝ＱＲ²＝ｘ_ｙ0²₊ｙ_x0²＝ｃ²+（ｂｃ/√（ｃ²−ａ^２））²

に代入し正の解を求めると

Ｌ_e＝ａ＋ｂ・・・回答１

接点Ｐの座標は

（ａ²/ｃ,ｂ√(1-ａ²/ｃ²)）にｃ＝√（ａ²+ａｂ）を代入し

（ａ²/√（ａ²+ａｂ）,ｂ√(ｂ/（ａ＋ｂ)）・・・回答

問題２：楕円b^２ｘ^２＋a^２ｙ^２＝a^２ｂ^２に点Ａ（２ａ，０）から接線を引いて、その接点をＰ（Ｐは第一象限）とするとき、楕円と接線とx軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。また、接点Ｐの座標も求めよ。

この問題も円からの写像で解決すると思います

準備で挙げた円ににおいてｘ軸上に

点Aを置き、計算すると求める面積は準備の円の場合

△AOPは正三角形を2等分線で割った直角三角形となるので、(0,0)とPを結ぶ線分とｘ軸のなす角は60°

a×√3a×1/2-πa²×1/6＝a²（3√3-π）/6

この面積は問題の楕円とb/aの比例関係があるので

A=(３√３-π）ab/６・・・・・・・・・・・・・・・回答

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