第１1話　「日本シリーズ」

(仕事が暇なので、次のような問題を考えました。)結構時期遅れかもしれませんが･･･

--- question start ---

ある2チーム(仮にH,D)が、7回勝負の試合を行うことになりました。それぞれのチームはホームグラウンドを持っています。

ある勝負を行うときに、そのチームのホームグラウンドで試合を行うといっぱい声援してもらえるので、選手の動きが良くなって 高い勝率を上げることが出来ます。(仮に、勝率を0.52とする)

一方のグラウンドのみで試合を行うと、そのグラウンドをホームグラウンドとするチームにあまりにも有利になってしまうので、ホームグラウンドで行う試合の回数を、(H*4, D*3)の割合ですることにしました。どういう順番で試合を行うと、最も公平になるのでしょうか？

--- question end ---

この問題をなぜ考え付いたか？勝率は、将棋や碁の先手番･後手番を参考にしました。これまた、面倒な問題なのでコンピュータで解いてあります。(答えは、次の問題の解答時に送ります:多分月曜)　　以上

ＮＯ２　＜sambaGREEN＞さんからです。７日受信　１１日更新

こんばんは，sambaGREENです。日本シリーズの追加問題の解答を送ります。

意外な結果になったので，勘違いしているかもしれません。吟味のほど宜しくお願いします。

問題文はＨとＤとなっていましたが，Ｈ（ホーム）とＶ（ビジター）に変えさせていただきました。その方が思考しやすいので・・・。

Ｈで４試合行うチームＡの優勝する確率を考えます。公平なＨ，Ｖの並びとは，出来るだけＡの優勝確率が１/２にちかい並びと解釈します。

結果の予想をたてるときの鉄則で，極端なケース　ｐ＝１（Ｈでは必ず勝つという）としてみると，

試合の順序に関係なく，必ず４勝３敗で優勝します。相手チームの勝つチャンスは０です。

意外にもＡの優勝確率が，Ｈ，Ｖの順序に関係しない可能性がでてきたので，それを期待して計算をはじめました。

もし，違えば，おそらくコンピュータにおまかせ・・ですから。

＜水の流れ＞さんが優勝パターン数を計算されたときのように，４試合でやめずに，７試合すべて戦うと考えます。

ただし，このケースでは，５戦目以降の勝敗も考えに入れます。２^7＝１２８通りの結果になります。

そのうち，Ａが優勝するのは７戦全勝・・１通り，６勝１敗・・７通り，５勝２敗・・２１通り，４勝３敗３５通りで，

Ｈ，Ｖの並べ方は，３５通りになります。

ＡがＨで勝つ確率をｐとすると，もちろんＶで勝つ確率は１−ｐですが，便宜上これをｑとします。

７戦全勝の確率はＨでもＶでも勝つわけですから，Ｈ，Ｖの順序に関係なく　ｐ^4＊ｑ^3　

６勝１敗の場合，７通りありますが，負ける試合がＨであるかＶであるかで確率が決まります。

Ｈで負ける場合（４通り）・・ｐ^3＊ｑ^4　　Ｖで負ける場合（３通り）・・ｐ^5＊ｑ^2

Ａが６勝１敗で優勝する確率　４＊ｐ^3＊ｑ^4＋３＊ｐ^5＊ｑ^2　はＨ，Ｖの順序には関係しないのです。

５勝２敗，４勝３敗の場合も，Ｈ，Ｖのどこで勝つか負けるかだけで確率がきまり，Ｈ，Ｖの順序には関係しません。

一応すべてを計算し，同類項をまとめると，Ａの優勝する確率は

ｐ^7＋３ｐ^6ｑ＋１５ｐ^5ｑ^2＋１３ｐ^4ｑ^3＋２２ｐ^3ｑ^4＋６ｐ^2ｑ^5＋４ｐｑ＾６となります。

ｑ＝１−ｐとして計算すればｐの７次式として表せるのですが，意欲が沸いてきませんでした。

【結論と感想】　Ａ（Ｈで４試合するチーム）の優勝確率を試合順序で変えることはできない。

実際の日本シリーズのデータ（Ａの優勝確率）はどうなっているのでしょう。結果から逆にｐが計算できますが・・・。どなたか，お願いします。

また，Ａが優勝するときの試合数の期待値は，ＨＨＨＨＤＤＤのとき最小，ＤＤＤＨＨＨＨのとき最大となりそうで，

相手チーム（ホームで３試合しかできないチーム）から見ると，反対になりそうです。

全体的に見た優勝チームが決定するまでの試合数の期待値は，現在のＨＨＤＤＤＨＨが一番大きいのでしょうか？これも，どなたか・・・。

ＮＯ３　＜ch3cooh＞さんからです。８日受信　１１日更新

"勝負"の解答です。結構意地の悪い問題です。

(ただ、考えること自身に意味があるとすると、どういう手順で考えるかを試す機会にはなると思います。)

すでに正答が UP されていましたが、問題提案時に答えはコンピュータで算出していました。

この問題については、ホームでの勝率 P と、試合数 N に対して、各々のチームの勝率も同時に計算しました。

結果としては、N が長くなるほど、勝率は0.5に近づき、公平な条件となります。

感想に書かれていた補題は、私の想定外でしたので、ある程度の解答をコンピュータで 求めました。

見方は、"ホームグラウンドの並び", 平均試合回数, 各々のホームでの平均試合回数です。

結果としては、

1)"平均試合回数"は最も長く、

2)"各々のホームでの試合回数"は、かなり公平な組合わせとなっているようです。

2)の条件は興行面などを考えると重要な点かもしれませんね？

(最も、'興行面'という考え方だ出てきた時点で'夢'はなくなってしまいますが･･･)

hhhhddd: 5.810999 4.000000 1.810999

hhhdhdd: 5.812199 3.875000 1.937199

hhdhhdd: 5.812199 3.875000 1.937199

hdhhhdd: 5.812199 3.875000 1.937199

dhhhhdd: 5.812199 3.875000 1.937199

hhhddhd: 5.813000 3.625400 2.187600

hhdhdhd: 5.813000 3.625400 2.187600

hdhhdhd: 5.813000 3.625400 2.187600

dhhhdhd: 5.813000 3.625400 2.187600

hhddhhd: 5.813400 3.500800 2.312600

hdhdhhd: 5.813400 3.500800 2.312600

dhhdhhd: 5.813400 3.500800 2.312600

hddhhhd: 5.813400 3.500800 2.312600

dhdhhhd: 5.813400 3.500800 2.312600

ddhhhhd: 5.813400 3.500800 2.312600

hhhdddh: 5.813201 3.312800 2.500401

hhdhddh: 5.813201 3.312800 2.500401

hdhhddh: 5.813201 3.312800 2.500401

dhhhddh: 5.813201 3.312800 2.500401

hhddhdh: 5.813600 3.188200 2.625400

hdhdhdh: 5.813600 3.188200 2.625400

dhhdhdh: 5.813600 3.188200 2.625400

hddhhdh: 5.813600 3.188200 2.625400

dhdhhdh: 5.813600 3.188200 2.625400

ddhhhdh: 5.813600 3.188200 2.625400

hhdddhh: 5.813600 2.938201 2.875400 << 手でマークしました

hdhddhh: 5.813600 2.938201 2.875400

dhhddhh: 5.813600 2.938201 2.875400

hddhdhh: 5.813600 2.938201 2.875400

dhdhdhh: 5.813600 2.938201 2.875400

ddhhdhh: 5.813600 2.938201 2.875400

hdddhhh: 5.813201 2.813201 3.000000

dhddhhh: 5.813201 2.813201 3.000000

ddhdhhh: 5.813201 2.813201 3.000000

dddhhhh: 5.813201 2.813201 3.000000　　　　　以上

ＮＯ４　＜Ｊｕｎ＞さんからです。８日受信　１１日更新

こんにちは。「sambaGREEN」さんの展開を「mathematica」でやってみました。

この式については自分では検証していませんが・・・。

Expand　[p^7＋３ p^6 (1-p)＋１５p^5(1-p)^2＋１３ p^4 (1-p)^3＋２２p^3 (1-p)^4＋６p^2 (1-p)^5＋４p (1-p)^6]

の結果です。

Ｐ（Ａ）＝４ p - １８ p^2 + ５２ p^3 - ９５ p^4 + １０８ p^5 - ７０ p＾6 + ２０ p^7

これにp=0.5を代入すると、確かにＰ（Ａ）＝0.5となります。

p=0.52を代入しましたら、Ｐ（Ａ）＝0.506256・・・となりました。

私の感想

試合数の期待値は、「ＨＨＶＶＶＨＨ」よりも、「ＨＶＨＶＨＶＨ」の方が高いよう

なきがします。ただ、これだと移動ばかりで現実には大変だと思います。

ＮＯ５　＜水の流れ：コメント＞　１１日記入

こんなに多くの方から問題や解答を頂きありがとうございました。

これからも、皆さんのお力添えで運営していきたいと思います。よろしくお願いします。

ＮＯ６　＜浜田＞　さんからです。１２日受信　１３日更新

日本シリーズの追加の問題について

　単にホームでの勝率をｐとしただけでは，試合の順番と関係ないので，ホーム，ビジターの順番と優勝の確率は無関係のはずです．関係を持たせる為には，例えばホームで連勝すると次の試合で勝つ確率が増え，ビジターでは連勝は関係ないとか，しなければいけないでしょう．

　私も日本シリーズの要領で，すなわちどちらかのチームが４勝した時点で終了するとして，乱数を使い優勝確率を求めるプログラムを組んでみました．今回はエクセルのマクロで作りました．

　このように結果はランダムで，あまり順番には関係ないようです．もう少し試行回数を増やせば，違ってくるかも知れませんが．したがって，移動日をなるべく少なくして，興行面を考慮して（２連戦，３連戦と集中すると，お客さんも集まるという事でしょうか？　徹夜でチケットを購入する覚悟も出来やすいという事でしょうか？），ＨＨＶＶＶＨＨとするのが，ベストなのでしょう．夢のない結果となったようです．

　その昔ロッテがパ・リーグで優勝する可能性が出て来たとき，仙台をフランチャイズにしていた頃なので，客が集まらないだろうという事で，東京ドームで日本シリーズの試合をしようという事になりました．実際は優勝しなかったので，実現しませんでしたが，もし優勝したとしたら，東京ドームでの試合がホームとして，我々が考えているように，ビジターより勝率が高いとしていいんでしょうか？　つまりこの年は日本シリーズがすべて東京ドームで行われる可能性があったのです．完璧に蛇足だとは思いますが．