平成11年１２月１３日
＜美しい数学の話＞
第１４話 「1000100010001,・・・・の因数分解」
ＮＯ７ ＜水の流れ＞ １１月２９日 １２月２日更新
さて、次の数列に現れるすべての数は合成数でしょうか、それとも素数でしょうか。考えてください。10001,100010001,1000100010001,・・・・・・
ＮＯ８ ＜清川（kiyo）＞さんから １２月１日受信 ２日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
数列の一般項をF(n)とする。まず第１８項が不明です。２５１項まで検索しました。
（第１６６項、２１０項）も不明ですが検索時間が１５秒間の条件のもとでのことです。
まずは第１８項の完全読切りでしょうが、十進ベーシックの１０００桁モードは速度が遅いです。
F(n)の性質
１） F(3n-1)は３で割り切れる。
２） F(11n-1)は１１で割り切れる。
３） F(2n-1)はF(n)で割り切れる。奇数番項は合成数である。
４） F(2n-1)はF(1)で割り割り切れる。
F(3n-1)はF(2)で割り割り切れる。
F(4n-1)はF(3)で割り割り切れる。
F(5n-1)はF(4)で割り割り切れる。
一般にF(kn)はF(k-1)で割り切れる。
F(3n)かつF(3n+1)が合成数であるか、F(2n)が合成数であることが証明されると、この数列の各項は合成数となるのですが。
検索の結果
1) = 73 * 137
2) = 3 * 7 * 13 * 37 * 9901
3) = 17 * 73 * 137 * 5882353
4) = 41 * 271 * 3541 * 9091 * 27961
5) = 3 * 7 * 13 * 37 * 73 * 137 * 9901 * 99990001
6) = 29 * 239 * 281 * 4649 * 909091 * 121499449
7) = 17 * 73 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 69857 * 5882353
8) = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 * 37 * 9901 * 52579 * 333667 * 999999000001
9) = 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961 * 1676321 * 5964848081
10) = 11 * 23 * 89 * 4093 * 8779 * 21649 * 513239 *
1112470797641561909(?)
11) = 3 * 7 * 13 * 17 * 37 * 73 * 137 * 9901 * 5882353 * 99990001
*9999999900000001
12) = 53 * 79 * 521 * 859 * 533715214846924226069439962768595868657(?)
13) = 29 * 73 * 137 * 239 *
281 * 4649 * 7841 * 909091 *15493852859325724104033927689(?)
14) = 3 * 7 * 13 * 31 * 37 *
41 * 61 * 211 * 241 * 271 * 2161 * 3541 * 9091* 9901 * 27961 *
481183553194557910201(?)
15) = 17 * 73 * 137 * 353 *
449 * 641 * 1409 * 19841 * 69857 * 5882353 *5040068544932211078070661761(?)
16) = 103 * 4013 * 2071723
*11678991964431032745841584158415842752057612284687433(?)
17) = 3 * 3 * 7 * 13 * 19 *
37 * 73 * 137 * 3169 * 9901 * 52579 *999999000001 * 31552540549037554433259734929(?)
18) = ?
19) = 17 * 41 * 73 * 137 *
271 * 3541 * 9091 * 27961 * 1676321 * 5964848081*
588235294117647058823529411764705882353(?)
以下は検索に１５秒間の条件を課したものです。偶数項の性質を見つけるために、参考として報告します。第２５１項で１０００桁をこえてしまいます。
19 = 17 * 41 * 73 * 137 * 271 * 3541 * 9091 * 27961
*5881764764700000588235294117647058823529999941182352353 (?)
20 = 3 * 7 * 7 * 13 * 29 *
37 * 43 * 127 * 239 * 281 * 1933 * 2689 * 4649 *9901 *
555834324445886010489004850300585949260658240814141 (?)
21 = 11 * 23 * 73 * 89 * 137
* 617 * 4093 * 8779 * 21649 *
9252938558830625731806900347242423245519856534761985667034203
(?)
22 = 47 * 139 * 1289 * 2531
*
469229935360571510991280627078200906912258332164075748377095948539772049526983
(?)
23 = 3 * 7 * 13 * 17 * 37 *
73 * 97 * 137 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 9901 *
423590145534081219011513462662314718436282599748333189816243178593
(?)
24 = 41 * 251 * 271 * 3541 *
5051 * 9091 * 21401 * 25601 * 27961 *
143965328777047809555147229044485277095551472290446292424243285201
(?)
25 = 53 * 73 * 79 * 137 *
521 * 859 *
533661848662058020267413221446451223534646535346465406830838400852337373206675609298657
(?)
26 = 3 * 3 * 3 * 7 * 13 * 19
* 37 * 109 * 757 * 9901 *
70873113526112454510978068102400025925384927826081348301451488452324684262051069322976787
(?)
27 = 17 * 29 * 73 * 113 *
137 * 239 * 281 * 4649 * 7841 *
733228640798400929279557905086970275897969807391983342016702406137291661557241180300219
(?)
28 = 59 * 349 * 3191 * 16763
* 38861 *
2336541353427122172616067885121989621985528686752654821152403239432899323494
64090444304498661447 (?)
29 = 3 * 7 * 13 * 31 * 37 *
41 * 61 * 73 * 137 * 211 * 241 * 271 * 2161 *3541 * 9091 * 9901 * 27961 *
48113543965059285091590840915908409159084091590840915908409207197635555900201
(?)
30＝2791*358330351128986062346829451845220351486958083124686528129702973880333214260157653171264815481906485166610534217162311
(?)
31 = 17 * 73 * 137 * 353 *
449 * 641 * 1409 * 19841 *
20710827756715891336122171261529363904810000000000000000000000002071082775671589133612217126152936390481
(?)
32 = 3 * 7 * 11 * 13 * 23 *
37 * 67 * 89 * 4093 * 8779 * 9901 * 21649 *
852098960255757347996061242273369195570631586671784114732739199845921916811786220424274557997484479153
(?)
33 = 73 * 103 * 137 * 4013 *
2419321694783216923638952530489525546827422527274222853420557944205603635272
74225272718059510474695104988883216947832167059
(?)
34 = 29 * 41 * 71 * 239 *
271 * 281 * 421 * 3541 * 4649 * 9091 * 27961 *
3694858324756612829985762607905299259293467455459133953454211650963978751832
558241768428152249692880738249
(?)
35 = 3 * 3 * 7 * 13 * 17 *
19 * 37 * 73 * 137 * 3169 * 8929 * 9901 *
3646764626604156211096899394266708410089344117148333585870231170080306737158
850164145413054297837513942846308411401129
(?)
36 = 149 * 3109 * 7253 *
2976588254419831342374150155973148567578615419099695113493929428381429070769
22081331275812536090630004657005168875962066775184943104037
(?)
37 = 73 * 137 * 457 *
2188183829321663238512037199124748358862363238514223194770240700437636763676
148818380744201312912472647724288840481400439824945317286652297593
(?)
38 = 3 * 7 * 13 * 13 * 37 *
53 * 79 * 157 * 521 * 859 * 3121 * 6397 * 9901
*1309643307249315061830775511287492722961465048790064780642292549588835935883
3068230799423808894649483020560511362141036773421
(?)
39 = 17 * 41 * 73 * 137 *
271 * 353 * 449 * 641 * 1409 * 3541 * 9091 *27961 *
4108824411676479000041088244116805878244527647231168058782445276883194121755
472352768831941217558832352099995891175588323521
(?)
40 = 83 * 1231 *
9788300333757451577324743328472394869487046577872824523210642734381979593435
6435653352656769401015933760386892828830513051403013516388879646286298738415237
(?)
ＮＯ９ ＜水の流れ＞ １２月１日記入 １２月２日更新
参った。こんなに、気が遠くなる桁数まで因数分解をしてあるのを見たのは、初めてです。したがって、全く申し訳ないですが、Ｗｅｂサイト上では、ここまでの桁数にさせてもらいます。めんなさい。この数列は、コンピューターを使わずにして、直接に合成数と証明できます。こちらの考え方でお願いします。
ＮＯ１０ ＜sambaGREEN＞さんからの解答 １２月２日午前３時受信 １２月３日更新
意外にあっさりいってしまったのですが，勘違いしていないか心配です。
それにしても，＜kiyo＞さんの因数分解にはビックリしました。
****************************
便宜上，１を加えて，１，10001,100010001,1000100010001,・・・・・・で考えます。
n番目の数は１＋10^4＋10^8＋・・・10^4(n-1)＝(10^4n−１)/(10^4−１)＝(10^2n＋１)(10^2n−１)/(10^2＋１)(10^2−１)＝(10^2n＋１)(10^2(n-1)＋・・・10^2＋１)/(10^2＋１) となる。
ｎ＝２のとき，10001＝73×137
ｎ≧３のとき，分子の因数10^2n＋１，10^2(n-1)＋・・・10^2＋１はともに分母10^2＋１より大きいから合成数である。
したがって，ｎ≧２において，すなわち数列：10001,100010001,1000100010001,・・・・・・はいつも合成数である。
ＮＯ１１ ＜ch3cooh＞さんからの解答 １２月２日午後２時受信 １２月３日更新
主に使っているのが C言語で、有効精度が少ないために多倍長計算を計算機で解くことは得意ではないのですが･･･
(多倍長ライブラリを作れば良いと言う話もある 汗;)
数列 10001,100010001,1000100010001,・・・・・・について
この数列をf(n)とすると
f(n+1)-f(n)= 10^(4*n) となります。
これは、差がべき乗の数列ですから
f(n)= ( 10^(4*n)- 1 )/( 10^4-1 )
上辺･下辺を因数分解して
f(n)= ( (10^n-1)*(10^n+1)*(100^n+1) )/( (10 -1)*(10 +1)*(100 +1) )
となります。この数列に対して、n!= 1の場合に約数が残れば素数でないことが証明できます。
(n==1の場合は、f(n)=1)
とりあえず、nが奇数の場合と偶数の場合に分類します。
* nが奇数の場合
10^n-1= (10-1)*(10^(n-1)+10^(n-2)+･･･+1)
= (10-1)*111111111･･･1
長さが偶数
= (10-1)*11*101010･･･101
= (10-1)*101*110011001100･･･110011
と変形できます。
上の式の分母の分に含まれる値を 10^n-1 のみで約分できるため、少なくとも(10^n+1)*(100^n+1)の約数が残る。 ゆえに素数ではない。
* nが偶数の場合
1) 10-1 については、同様に左記の説明と同様に分解して 1111･･･11が約数として残る
2) 10+1 については、10^n+1= (10+1)*(10^(n-1)-10^(n-2)+10^(n-3)-･･･ -1) と
２番目の項が分解できるため約分できる。(その上約数も残る)
3) 100+1 についても 2)と同様に約分できる。
全体として、約分した後に約数が残るため素数ではない。
両方の場合を総合すると、素数の解答は得られない。
これが、上記数列に対する解答です。
(以下は、愚痴に近いものがあるので読み飛ばして下さい)
なかなか、回答が得られない場合には、コンピュータで力任せにとりあえずの解答を作ることもありますが、それに頼っていると思考能力が衰えるので、基本的には最後の手段として残していますまたコンピュータで解く場合も、ある程度高速化することを前提としています。
今までに、計算して回答した結果は、(C言語で実行が早いせいでももありますが)大抵10秒以内に解答がでるものです。(理系の仕事をしているので、思考能力はそのまま飯の種です)算数への取り組みとしては以下のようなページもあります。
http://www.nikonet.or.jp/spring/index.html
ここで、説明されているコンクールの 1,2 回に出ていました。(年齢がばれるな〜)最近の新聞を見ていると、理数嫌いの高校生が増えているようですが、今の文明が科学技術によって成立していることを考えると憂慮すべき事態だと思います。
(芸術･文化は生活水準の向上による余暇としてしか成り立たない。)
算数･理科の教育については、高度な解析には抽象化が必要ですが、それ以前の段階として、実用的で面白い面に興味を持ってもらい、計算手順を楽にする道具として、より高度な数式を教えるようにしないと益々数学嫌いが増えるのではないかと思います。(興味よりも嫌悪感が先に立っては覚えてもらえない)
･･･最近はコンピュータによる力任せの解答をしていた 私が言ってもあまり説得力が無いような(反省)
ＮＯ１２ ＜水の流れ＞ １２月２日記入 １２月３日更新
「sambaGREEN」さんと「ch3cooh」さんありがとうございます。これで、落ち着いて、次の仕事にかかります。でも、コンピューターのおかげで と言う場合もありますので。
ＮＯ１３ ＜清川（kiyo）＞さんから １２月３日午前２時受信 ４日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
９が偶数個の場合は素数では？の予想について、１０個の場合は合成数でした。
9901 = 9901
99990001 = 99990001
999999000001 = 999999000001
9999999900000001 = 9999999900000001
99999999990000000001 = 61 * 9901 * 4188901 * 39526741
999999999999000000000001 = 3169 * 98641 * 3199044596370769
ID Number: A000682 (Formerly M1205 and N0464)
Sequence:
1,1,2,4,10,24,66,174,504,1406,4210,12198,37378,111278,
346846,1053874,3328188,10274466,32786630,102511418,
329903058,1042277722,3377919260,10765024432,35095839848,
112670468128,369192702554,1192724674590,3925446804750
Name: Folding a strip of n
labeled stamps (or semimeanders).
References A. Sade, Sur les
Chevauchements des Permutations, published by the author,
Marseille, 1949.
J. Touchard, Contributions a` l'e'tude
du proble`me des timbres
postes, Canad. J. Math., 2
(1950), 385-398.
J. E. Koehler, Folding a strip of stamps, J. Combin.
Theory, 5 (1968),135-152.
W. F. Lunnon, A map-folding problem, Math. Comp. 22
(1968),193-199.
Links: Index entries for sequences obtained by enumerating foldings
P. Di Francesco, O. Golinelli
and E. Guitter, Meander, folding and arch statistics.
P. Di
Francesco, O. Golinelli, E. Guitter,
Meanders: a direct
enumeration approach, Nucl. Phys. B 482 [ FS ] (1996)
497-535.
See also: Equals 2.A000560.
Keywords: nonn,hard,nice
Offset: 1
Author(s): njas
Extension: Sade gives the first 11 terms. (2/97) 5
new terms from Olivier
Golinelli
ＮＯ１４ ＜清川（kiyo）＞さんから １２月３日午後８時受信 ４日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
１，１０００１，１０００１，１０００１０００，．．．．，
一般項を等比数列の和として表わす。ここは問題ないと思います。
Ｆ（ｎ）＝（１０＾４ｎ−１）／（１０＾４−１）
これから分子、分母を因数分解して分子、分母の因数うんぬんが理解出来ません。約分すれば元に戻るだけのように思います。
私の思考力が落ちているせいかもしれませんが。
ｎ＝１ １
ｎ＝２ １＋１０＾４
ｎ＝３ １＋１０＾４＋１０＾８
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｎ＝ｋ １＋１０＾４＋１０＾８＋・・・・・・＋１０＾（４ｋ−４）
合成数だとすれＦ（１９）は具体的にどのように素因数分解されるのでしょうか。
「数学的に解ける」ということと「具体的に解を示す」との間には差があるとは思いますが。
「ぼやき」
アルゴリズムについて
数学的にあきらかになって公式等もアルゴリズムの一つです。
数学的に解明されていない場合、たとえば、ゲームの木の探索に代表される
アルゴリズムの研究は思考力を低下させるものなのでしょうか。
コンピュータによるチェスが人間のチャンピオンに勝ちましたが、あれは力技だから意味がないいえるのでしょうか。
理系、文系で論理的思考に差があるのでしょうか。
数学基礎論からの見直しで、ゲーデル等が三段論法を包括する形で量化理論に発展させ、現在プロローグ（コンピュータ言語）として具現化されていることを考えると、数学とコンピュータは無関係とはとても言えないと思います。
発見的プログラミング
この立場から数学の証明を考えると、AND-OR木の探索ということになります。成果の一部は商品にもなっています。
シュミレーション
人間の脳は複雑です。学習とは、記憶とは、論理的思考とは、などの解明のために脳をブラックボックスとして、コンピュータがで盛んに利用されています。
ネットワーク理論等で。コンピュータによる計算は数値計算より論理計算の方が多いいのではないでしょうか。 以上で、「ぼやき」を終わります。
ＮＯ１５ ＜水の流れ＞ １２月３日記入 １２月４日更新
私は、コンピュータを持っていませんが、数列：10001,100010001,1000100010001,・・・・・・を考えてみます。
まず、10001＝73*137 ですから、これは合成数。
次に、数列の中の任意な項Ｘを持ってきて、これが合成数であることを証明します。
このＸに１１１１を掛けてみると、４ｋ（ｋ＞２）桁の数となります。
1111*Ｘ＝1111…111(４ｋ桁)＝1000…001(2k+1桁)*111…11(2k桁) となります。
ここで、ｐ＝1000…001(2k+1桁)＝１０＾２ｋ＋１とおくと、
１１１１＜ｐ＜Ｘだから、ここで、ｐと１１１１の最大公約数を〔ｐ，１１１１〕と表します。
すると、任意な項Ｘは ｐ／〔ｐ，１１１１〕＞１で割り切れなければなりません。
すなわち、合成数です。
誰か 教えてください。
ＮＯ１６ ＜清川（kiyo）＞さんから １２月４日午前１時半受信 ５日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
先生の証明された方法で確かに第１８項が因数分解できました。ありがとうございました。
１０００１，１０００１０００１，・・・・，
18) =
990099009900990099009900990099009901 *
1010101010101010101010101010101010101
ｐ＝1000…001(2k+1桁)＝１０＾２ｋ＋１とおくと、
1111=11*101 ですから、もしｐが素数のとき ｐと1111の最大公約数は１となります。
この場合はどのように考えればよいのでしょうか。ｐで割り切れると考えるのでしょうか。
それともｐは常に合成数になるのでしょうか。この点が疑問として残ります。
ＮＯ１７ ＜水の流れ＞ １２月４日記入 ５日更新
ｐは常に合成数になるのでしょうかの疑問がありますが、このｐが第１３話に出てくる数です。
大きな桁数のときに、素数になっているかも知りませんが、何桁の数までは、合成数であると思っていますが、これでは、確証に乏しい気もします。
ＮＯ１８ ＜sambaGREEN＞さんから １２月４日午前４時受信 ５日更新
実は，私も最初は，1111をかけたり，101をかけたりして考えていました。
しかし，あと一歩がうまく説明できず（例の如く，素数の場合がなかなか・・・），
発想の転換をして，解答にたどりついたつもりだったのですが・・・。
私の解答の式を表記しなおすと次のようになります。
ｘ(k)＝(10^2k＋１)(10^2(k-1)＋・・・10^2＋１)/(10^2＋１)
＝(10^2k＋１)(1010・・・101)/101
1がk個
水の流れさんの式は以下のように変形できます。
1111*Ｘ＝1111…111(４ｋ桁)＝(10^2k＋１)*111…11(2k桁)
101*Ｘ＝(10^2k＋１)*101…101(1がk個)
任意なＸはｐ/［ｐ，101］＞１で割り切れる。
発想の転換をしたつもりだったのですが，結局同じところにたどりついていたようです。
蛇足ながら，10^n＋１の問題で示したように，
kが奇数のとき，［ｐ，101］＝101
kが偶数のとき，［ｐ，101］＝1 当然，101…101(1がk個)が101で割り切れます。
【コンピュータによる分析について】
10^n＋１の問題でも，＜kiyo＞さんの因数分解の結果はずいぶん参考になりました。
9999・・・0001についての予想ははずれましたが，それもコンピュータのおかげです。
そのうち，真剣に考えようと思っていたのですが，無駄骨をおらずに済みました。
（勿論，無駄骨の中から，新しい発見が生まれることもある（極稀に）でしょうが・・・・）
たしか，４色問題もコンピュータのおかげで，未解決問題から姿を消したのですよね。
この問題を人々が考えた延べ時間は，いったいどのくらいなんでしょうね。
私もコンピュータとして使いたいのですが，なかなか。
でも，昔はＰＣ6001（知ってる人少ない？＜kiyo>さんなら知ってそう）使ってたんですよ。
ＮＯ１９ ＜清川（kiyo）＞さんから １２月５日午前１時受信 ６日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
先生の証明をプログラムを組んで実行してみました。その結果を報告します。
偶数項の２〜２４までは成り立ちますがそれ以降は成り立ちません。奇数項は成り立ちませんでした。
2 ) 9901 * 10101
4 ) 99009901 * 101010101
6 ) 990099009901 *
1010101010101
8 ) 9900990099009901 *
10101010101010101
10 ) 99009900990099009901 *
101010101010101010101
12 )
990099009900990099009901 * 1010101010101010101010101
14 )
9900990099009900990099009901 * 10101010101010101010101010101
16 ) 99009900990099009900990099009901
* 101010101010101010101010101010101
18 )
990099009900990099009900990099009901 *1010101010101010101010101010101010101
20 )
9900990099009900990099009900990099009901
*10101010101010101010101010101010101010101
22 ) 99009900990099009900990099009900990099009901
*101010101010101010101010101010101010101010101
24 )
990099009900990099009900990099009900990099009901
*1010101010101010101010101010101010101010101010101
ＮＯ２０ ＜清川（kiyo）＞さんから一部追加訂正 １２月５日午前４時受信 ６日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo)です。
訂正 １０００桁まで検索しました。２〜２４８項までの偶数項は証明の通り成り立ちます。
奇数項は成り立ちません。奇数項は他の方法で証明出来るので、
ｐが素数でないところまでは合成数が保証されるということになりますね。
26 )
9900990099009900990099009900990099009900990099009901 *
10101010101010101010101010101010101010101010101010101
28 )
99009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
30 )
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
32 )
9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *
10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
34 )
99009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901 *
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
36 )990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901
*
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
38
)9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901*
10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
40
)99009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901
*
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
42 )990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901
*
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
44
)9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901
*
10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
46
)99009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901
*
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
48
)990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901
*
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
50 )9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009901
*
10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
＜水の流れ：コメント＞ この間は順に、因数分解されていましたが、紙面の上で勝手ながら、
とばしましたので、ご了承ください。
248 )
9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
9900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
9900990099009900990099009900990099009901
*
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
10101010101010101010101010101010101010101
今後とも宜しくお願いします。
ＮＯ２１ ＜水の流れ＞ １２月５日記入 １２月６日更新
しやがって、次の数列に現れるすべての数は合成数でしょうか、それとも素数でしょうか。考えてください。10001,100010001,1000100010001,・・・・・・
この結果は、 ＜清川（kiyo）＞さんによって、１０００桁まで検索され、２〜２４８項までの偶数項は証明の通り成り立ちますが、奇数項は成り立たないことになります。
奇数項は他の方法で証明出来るので、ｐが素数でないところまでは合成数が保証されるということになりますね。
ありがとうございました。また、進展したら、ご連絡ください。
ＮＯ２２ ＜ｋｉｙｏ（清川）＞さんから ５日午前５時受信 １２月６日更新
第１3話 「100…001の因数分解」の問題です。
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
V(n)=10^n+1
V(1)=11
V(2)=101
V(2n+1)==0 (mod 11)
V(4n+2)==0 (mod 101)
V(6n+3)==0 (mod
7*11*13=1001)
V(8n+4)==0 (mod
73*137=10001)
したがって、V(8n)の如何によると思われます。
<8n>
V(16n+8)==0 (mod 17)
V(32n+16)==0 (mod
353*449*641)
V(64n+32)==0 (mod 19841)
V(128n+64) ?
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
以上が予想されます。今後とも宜しくお願いします。
ＮＯ２３ ＜sambaGREEN ＞さんから ６日午前０時３０分受信 １２月７日更新
ところで，100010001・・・・10001が合成数であることの証明は完了しているつもりでしたが，
不十分なのでしょうか？
また，10^n＋１も，ｎが２の累乗以外のｎについては合成数であると示したつもりなんですが・・・。
ＮＯ２４ ＜ch3cooh＞さんから ６日午後１時受信 １２月７日更新
フォローとして･･･清川(kiyo)さんの＜ぼやき＞について
前述の答えの部分で、結構きつめの書き方をしたことについては反省しています。
ただ、道具(コンピュータ)の使い方について考えて欲しかったので、前のようなコメントをしました。
コンピュータは、計算や作文、製図などについての便利な道具です。
また、建てようとする家の部屋の配置等のソフトを買うと、おまけである程度の参考例がついてきます。
これらのツールを含めたソフトは、定規や筆のかわりです。
ただ、コンピュータを使う場合は、その他の道具よりも修正･訂正が楽であるために、
使っている本人が努力を行わなくてもきれいな作品が出来てしまいます。
これを突き詰めると、"コンピュータを使う"のではなく、"コンピュータに使われる"状態となり、
ほとんど努力を行わないで現在あるツールを使いこなすことのみが"技能"であると誤認識をしてしまうことがあります。
･･･話が混乱してきましたが、
＜ぼやき＞ で書いてあるような例については、結構ノウハウのいる"使っている"例だと思います。
(ゲーム理論による評価関数を利用した探索は、複雑な事象に対する解析手段として重要です。)
現在のコンピュータの使われ方としては、"数値計算"や"制御"という
計算よりも、"データベース"や"ネットワーク"に対しての方が頻度は高いことは事実です。
ただし、高速なデータベース検索手段や、通信コストを低減するためのネットワーク管理手段
(なんか、特許文書みたいになってきてしまった)は統計などを用いた広い意味での数学を用いて実装されています。
言いたいこととしては、論理計算に類似した使用目的であることは多いものの、それを裏付けるのは
(各アルゴリズムに対する)統計的な数字であり、それらのアルゴリズムは数学的な感性がある程度ないと
発案しにくいということです。そう考えると･･･ また同じことの主張になってしまいますね･･･
今後、ソフトウェア産業が重要になるとした場合、その品質確保にはやっぱり(広い意味での)
数学的考え方が重要なのではないでしょうか？
ＮＯ２５ ＜ｋｉｙｏ（清川）＞さんから ７日午前５時受信 １２月８日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。sambaGREENさんのコメントについて。
命題
「V(n)=10^n+1 n>2 のとき,V(n)がすべて合成数ならば
、
F(n)=(10^4n-1)/(10^4-1)
n>1 のとき 、F(n)はすべて合成数である。」となると思います。
p=V(n)が合成数であることが前提として証明されていると思うからです。
pが素数のときは証明されていないと私は考えています。
今後とも宜しくお願いします。
ＮＯ２６ ＜sambaGREEN ＞さんから ８日午前０時４０分受信 １２月９日更新
お忙しいところ，再度コメントです。よろしくお願いします。
******************************
Ｎ＝ａ＊ｂ/101でａ＞101，ｂ＞101であれば，ａ，ｂが素数であるかそうでないかに拘わらず，
Ｎは合成数であると思いますが，どうでしょう？（Ｎが整数であることは保証されていますから）
以前，「約分すれば元に戻るだけのように思います。」と疑問を投げかけておられましたが，
k=2のときは，たしかに10001＝10001*101/101＝10001と，元に戻ってしまいます。
しかし，元に戻るのはこのときだけです。
それゆえ，ｋ＝２のときと，ｋ≧3のときとを分けて証明したつもりですが・・・。
＜水の流れさん＞の証明をみて変形させた式の方（Ｎｏ18）がすっきりしていると思います。
ｐのもう一方の因数101010・・・・101（またはこれを101割った商）の存在を
忘れておられるだけのような気がしますが・・・。
ＮＯ２７ ＜ｋｉｙｏ（清川）＞さんから １１日午後２０時受信 １２月１２日更新
F(n)=(10^4n-1)/(10^4-1) の問題
10001=73*137
1,101,10101,1010101,・・・・,
(10^2n-1)/(10^2-1)
1,9901,99009901,990099009901,・・・・,
(10^2-1)*(10^(8*n-4)-1)/(10^4-1)/(10^(4*n-2)-1)
1,100000001,10000000100000001,1000000010000000100000001,・・・・,
(10^8n-1)/(10^8-1)
F(n) n>2 は奇数、偶数の場合分けで直接因数分解できますね。
議論を混乱させて申し訳ありません。
FOR I=3 TO 16
IF MOD( I , 2) =1 THEN
PRINT USING
"###":I;
PRINT
")";(10^(4*I)-1)/(10^4-1)/(10^(2*I)-1)*(10^2-1);"*";(10^(2*I)-1)/(10^2-1)
ELSE
PRINT USING
"###":I;
PRINT
")";1001;"*";(10^(4*I)-1)/(10^8-1)
END IF
NEXT I
END
3) 9901 * 10101
4) 1001 * 100000001
5) 99009901 * 101010101
6) 1001 * 10000000100000001
7) 990099009901 *
1010101010101
8) 1001 *
1000000010000000100000001
9) 9900990099009901 *
10101010101010101
10) 1001 *
100000001000000010000000100000001
11) 99009900990099009901 *
101010101010101010101
12) 1001 *
10000000100000001000000010000000100000001
13) 990099009900990099009901
* 1010101010101010101010101
14) 1001 *
1000000010000000100000001000000010000000100000001
15)
9900990099009900990099009901 * 10101010101010101010101010101
16) 1001 *
100000001000000010000000100000001000000010000000100000001
今後とも宜しくお願いします。
ＮＯ２８ ＜ｋｉｙｏ（清川）＞さんから １２日午後２時受信 １２月１３日更新
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
お忙しいところまことに申し訳ありませんが訂正をお願い出来ないでしょうか。
1,9901,99009901,990099009901,・・・・,
(10^2-1)*(10^(8*n-4)-1)/(10^4-1)/(10^(4*n-2)-1)
=(10^(4n-2)+1)/(10^2+1)．．．約分できます。
プログラムの部分を差し替えてもらえないでしょうか。
FOR I=3 TO 16
IF MOD( I , 2) =1 THEN
LET A=(10^(2*I)+1)/(10^2+1)
LET B=(10^I+1)*(10^I-1)/(10^2-1)
LET C=A*B
PRINT USING "###":I;
PRINT ")";C;"=";A;"*";B
ELSE
LET A=10001
LET B=(10^(4*I)-1)/(10^8-1)
LET C=A*B
PRINT USING "###":I;
PRINT ")";C;"=";A;"*";B
END IF
NEXT I
END
3) 100010001 = 9901 * 10101
4) 1000100010001 = 10001 * 100000001
5) 10001000100010001 = 99009901 * 101010101
6) 100010001000100010001 = 10001 * 10000000100000001
7) 1000100010001000100010001 = 990099009901 * 1010101010101
8) 10001000100010001000100010001 = 10001 * 1000000010000000100000001
9) 100010001000100010001000100010001 = 9900990099009901 *10101010101010101
ＮＯ２９ ＜watta＞さんから ２００１年１月２２日２０時５７分時受信 ２月９日更新
最近、素因数分解に興味をもって、このページにある合成数の分解を試みたので、
結果を一部記載します。まだ合成数がいっぱいのこってますが、参考までに。
（全部書こうとしたら文字数制限で書き込めなかったです。）
1112470797641561909 =
1056689261 * 1052788969
533715214846924226069439962768595868657 =
265371653 * 1058313049 * 1900381976777332243781
15493852859325724104033927689 =
121499449 * 127522001020150503761
481183553194557910201 =
2906161 * 4188901 * 39526741
5040068544932211078070661761 =
976193 * 6187457 * 834427406578561
11678991964431032745841584158415842752057612284687433 =
28559389 * 1491383821 * 5363222357 * 21993833369 * 2324557465671829
31552540549037554433259734929 =
98641 * 99990001 * 3199044596370769
588235294117647058823529411764705882353 =
5882353 * 5070721 * 19721061166646717498359681
5881764764700000588235294117647058823529999941182352353 =
1676321 * 5882353 * 5070721 * 5964848081 * 19721061166646717498359681
555834324445886010489004850300585949260658240814141 =
226549 * 909091 * 459691 * 121499449 * 10838689 * 4458192223320340849
9252938558830625731806900347242423245519856534761985667034203
=
513239 * 1056689261 * 1052788969 * 16205834846012967584927082656402106953
469229935360571510991280627078200906912258332164075748377095948539772049526983
=
18371524594609 *
25541153808120196576981782275419302715847752401845352648383044087(?)
423590145534081219011513462662314718436282599748333189816243178593 =
69857 * 206209 * 5882353 * 99990001 * 66554101249 * 9999999900000001 * 75118313082913
143965328777047809555147229044485277095551472290446292424243285201 =
60101 * 7019801 * 341233306557836423189042926585457900151074303303755301(?)
533661848662058020267413221446451223534646535346465406830838400852337373206675609298657
=
1580801 * 265371653 * 1058313049 *
1202043747177269046750579461756177809374030236799422516589268981(?)
70873113526112454510978068102400025925384927826081348301451488452324684262051069322976787
=
153469 * 52579 * 333667 * 70541929 * 14175966169 * 999999000001 *
26323019469887323242082320257150758321292311(?)
733228640798400929279557905086970275897969807391983342016702406137291661557241180300219
=
909091 * 121499449 * 5882353 *
1128513272079031029307034839673014435128262728363390415492425225697(?)
ＮＯ３０ ＜watta＞さんから ２００１年１月２２日２１時１１分時受信 ２月９日更新
233654135342712217261606788512198962198552868675265482115240323943289932349464090444304498661447
=
43037 * 62003 * 618049 * 77843839397 *
1820000982311531033694859127330783920946002983680554138268503342963309(?)
48113543965059285091590840915908409159084091590840915908409207197635555900201 =
2906161 * 4188901 * 1676321 * 39526741 * 99990001 * 5964848081 *
100009999999899989999000000010001
358330351128986062346829451845220351486958083124686528129702973880333214260157653171264815481906485166610534217162311
=
2049349 * 6943319 *
25182599133113309927181068651357635712265051302366973827076088539104314620360773789208384731666372271581(?)
20710827756715891336122171261529363904810000000000000000000000002071082775671589133612217126152936390481
=
976193 * 69857 * 6187457 * 5882353 * 1265011073 * 834427406578561 *
7905069144007405854541480365365940160430516642600171137(?)
852098960255757347996061242273369195570631586671784114732739199845921916811786220424274557997484479153
=
513239 * 5419170769 * 1056689261 * 599144041 * 1052788969 *
459639861075128142333566747789804817206275514684826226092307(?)
241932169478321692363895253048952554682742252727422285342055794420560363527274225272718059510474695104988883216947832167059
=
2071723 * 28559389 * 152533657 * 1491383821 * 5363222357 * 21993833369 *
152381125509140067938259782747568615529367973202234825538528753175360397(?)
3694858324756612829985762607905299259293467455459133953454211650963978751832558241768428152249692880738249
=
3471301 * 123551 * 909091 * 13489841 * 121499449 * 4147571 *
1394045425100632021396780466340029828101129575091664241771986704651(?)
ＮＯ３１ ＜八木＞さんから ２００１年２月２４日１６時５２分時受信 ２月２５日更新
W(1)=73*137
W(2)=3*7*13*37*9901
W(3)=17*73*137*5882353
W(4)=41*271*3541*9091*27961
W(5)=3*7*13*37*73*137*9901*99990001
W(6)=29*239*281*4649*909091*121499449
W(7)=17*73*137*353*449*641*1409*69857*5882353
W(8)=3*3*7*13*19*37*9901*52579*333667*999999000001
W(9)=41*73*137*271*3541*9091*27961*1676321*5964848081
W(10)=11*23*89*4093*8779*21649*513239*1052788969*1056689261
W(11)=3*7*13*17*37*73*137*9901*5882353*99990001*9999999900000001
W(12)=53*79*521*859*265371653*1058313049*1900381976777332243781
W(13)=29*73*137*239*281*4649*7841*909091*121499449*127522001020150503761
W(14)=3*7*13*31*37*41*61*211*241*271*2161*3541*9091*9901*27961*2906161*4188901*39526741
W(15)=17*73*137*353*449*641*1409*19841*69857*976193*5882353*6187457*834427406578561
W(16)=103*4013*2071723*28559389*1491383821*5363222357*21993833369*2324557465671829
W(17)=3*3*7*13*19*37*73*137*3169*9901*52579*98641*333667*99990001*999999000001*3199044596370769
W(18)=1111111111111111111*722817036322379041*909090909090909091*1369778187490592461
W(19)=17*41*73*137*271*3541*9091*27961*1676321*5070721*5882353*5964848081*19721061166646717498359681
W(20)=3*7*7*13*29*37*43*127*239*281*1933*2689*4649*9901*226549*459691*909091*10838689*121499449*
4458192223320340849
W(21)=11*23*73*89*137*617*4093*8779*21649*1056689261*513239*1052788969
*16205834846012967584927082656402106953
W(22)=47*139*1289*2531*549797184491917*18371524594609
*11111111111111111111111*4181003300071669867932658901
W(23)=3*7*13*17*37*73*97*137*353*449*641*1409*9901*69857*206209*5882353
*99990001*9999999900000001*66554101249*75118313082913
W(24)=41*251*271*3541*5051*9091*21401*25601*27961*60101*7019801
*78875943472201*182521213001*14103673319201*1680588011350901
W(25)=53*73*79*137*521*859*1580801*265371653*1058313049
*1900381976777332243781*632527440202150745090622412245443923049201
W(26)=3*3*3*7*13*19*37*109*757*9901*52579*333667*153469*440334654777631
*14175966169*70541929*999999000001*59779577156334533866654838281
W(27)=17*29*73*113*137*239*281*4649*7841*909091*121499449*5882353
*127522001020150503761
*8849557433628319469026539823008938053096460177
W(28)=59*349*3191*16763*38861*43037*62003*618049*77843839397
*11811806375201836408679635736258669583187541
*154083204930662557781201849
W(29)=3*7*13*31*37*41*61*73*137*211*241*271*2161*3541*9091*9901*27961
*2906161*99990001*4188901*39526741*1676321*5964848081
*100009999999899989999000000010001
W(30)=2791*6943319*2049349*57336415063790604359
*909090909090909090909090909091
*483128549554512237305554588359039822397307149685578249
W(31)=17*73*137*353*449*641*1409*19841*69857*5882353*6187457*976193
*1265011073*15343168188889137818369
*515217525265213267447869906815873*834427406578561
W(32)=3*7*11*13*23*37*67*89*4093*8779*9901*21649*513239*599144041
*1052788969*5419170769*183411838171*1056689261*2361000305507449
*789390798020221*1344628210313298373
W(33)=73*103*137*4013*21993833369*2071723*28559389*1491383821*5363222357
*152533657*2324557465671829
*65552746171882583264230070868884366877803237222654400793
W(34)=29*41*71*239*271*281*421*3541*4649*9091*27961*123551*909091
*13489841*4147571*3471301*60368344121*265212793249617641*121499449
*848654483879497562821*102598800232111471
W(35)=3*3*7*13*17*19*37*73*137*3169*8929*9901*52579*98641*99990001*333667
*5882353*999999000001*3199044596370769
*1119946231380893829096202262291421211781722477322208533979169
W(36)=149*3109*7253*111149*2028119*247629013*422650073734453*708840373781
*296557347313446299*669031686661427842829
*40548140514062774758071840361*2212394296770203368013
W(37)=73*137*457*1403417*722817036322379041*136977818749059246
*5240808656722481737*909090909090909091*1111111111111111111
*297478330786365628414805305290302483555043017
W(38)=3*7*13*13*37*53*79*157*521*859*3121*6397*9901*216451*1058313049
*265371653*388847808493*53397071018461*1900381976777332243781
*900900900900990990990991*6060517860310398033985611921721
W(39)=17*41*73*137*271*353*449*641*1409*3541*9091*27961*69857*1634881
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*19721061166646717498359681
*331458348174597454641015384625522036432755806292161
W(40)=83*1231*68389*538987*2670502781396266997*3404193829806058997303
*201763709900322803748657942361
*(1447745997018511893740076606031686237538345362413531560645573104006506749609
W(41)=73*137*7841*99990001*11189053009*127522001020150503761
*603812429055411913*148029423400750506553*29*281*9901*226549
*121499449*4458192223320340849*3*7*7*13*37*43*127*239*1933*2689*464
*459691*909091*10838689
W(42)=338669**57009401*2182600451*7306116556571817748755241*173*1527791
*1963506722254397*2140992015395526641
*（2923500556298303355222653948542706598448925085853709961673200056984872843366529）
W(43)=11*17*23*89*73*137*617*4093*8779*21649*5882353*10100113
*16205834846012967584927082656402106953*513239*1052788969*1056689261
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W(44)=3*3*7*13*19*31*37*41*61*211*241*271*2161*3541*9091*27961*9901
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*2906161*4185502830133110721
W(45)=47*73*137*139*1289*2393*2531
*4178437150016715837818641871709193476807772628503969494400330129962348520684914375257
*18371524594609*4181003300071669867932658901*549797184491917
*11111111111111111111111
W(46)=45121*6299*4855067598095567*297262705009139006771611927*35121409
316362908763458525001406154038726382279*
(2194319740034551758626584051991334192482655548194831894261875823007047496709068969883181)
括弧内は合成数素因数不明
W(47)=3*7*13*17*37*73*97*137*193*353*449*641*769*1409*9901*19841*69857*206209
*66554101249*75118313082913*5882353*99990001*9999999900000001*976193*6187457
*834427406578561*1253224535459902849*53763491189967221358575546107279034709697
W(48)=29*239*197*281*4649*121499449*909091
*5076141624365532994918781726395939035533*505885997
*1976730144598190963568023014679333
*999999999999990000000000000099999999999999000000000000009999999999999900000000000001
W(49)=41*73*137*251*271*401*1201*1601*3541*5051*9091*21401*25601*27961*1676321
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W(50)=3*7*13*37*103*409*613*3061*4013*9901*5969449*134703241*28559389*1491383821*225974065503889
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*5363222357
＜水の流れ：コメント＞Ｈ１３年２月２５日記入：「八木」さんといい「watta」といい、凄い計算の能力があるコンピュータをお持ちですね。この時間にどれだけ費やされたかに、敬意を称します。ありがとうございます。
ＮＯ３２ ＜八木＞さんから ２００１年１０月９日０時１８分時受信 １０月１２日更新
第１３話においてＮ＝９４の時の因数分解がわかりませんでしたが
三島久典 先生の「数学者の密室」 のなかの円分数の素因数分解のデータにありました。
このデータにより第１４話のＮ＝４６の時の因数分解もできました。
Ｗ（46）＝
45121*6299*4855067598095567*297262705009139006771611927*35121409 *316362908763458525001406154038726382279
*2144906157509411684424913774078958939881
*1023037643093214557651333120422980213172396059301
