第１７話　「特殊な三角形」

　　最近、気にしていることがあります。三角形において、２辺の長さが整数で、それをはさむ角が６０度、もしくは、１２０度のとき、他の辺長さも整数となる特殊な三角形を捜しています。（ただし、正三角形は明らかだから省くのと、相似な三角形の比も省いてください）したがって、最も簡単な整数比を知りたいのです。

　太郎さんの知っているのは、例えば、２辺が５と８でなす角６０度のとき、他の辺は７です。

それと、２辺が５と３でなす角１２０度のとき、他の辺は７ぐらいです。読者の皆さん！教えてください。

ＮＯ１＜清川(kiyo)＞さんからの解答です。３月７日２時１４分受信。更新３／７日

こんばんは。いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。プログラムを組んでさがしてみました。辺の長さを１００以下としました。結果は下記の通りです。今後とも宜しくお願いします。

1) 3 5 7

2) 3 7 8

3) 5 7 8

4) 5 16 19

5) 5 19 21

6) 7 8 13

7) 7 13 15

8) 7 33 37

9) 7 37 40

10) 8 13 15

11) 9 56 61

12) 9 61 65

13) 11 24 31

14) 11 31 35

15) 11 85 91

16) 11 91 96

17) 13 35 43

18) 13 43 48

19) 16 19 21

20) 16 39 49

21) 16 49 55

22) 17 63 73

23) 17 73 80

24) 19 80 91

25) 19 91 99

26) 24 31 35

27) 32 45 67

28) 32 67 77

29) 33 37 40

30) 35 43 48

31) 39 49 55

32) 40 51 79

33) 40 79 91

34) 45 67 77

35) 51 79 91

36) 55 57 97

37) 56 61 65

38) 63 73 80

39) 80 91 99

40) 85 91 96

REM 　辺の長さが１００以下で狭角に６０度または１２０度をもつ三角形　　REM 　ただし正三角形は除く

DIM Z(3)

LET KA=0

FOR A=1 TO 100

FOR B=A+1 TO 100

FOR C=1 TO 100

IF C<>A AND C<>B THEN

REM 条件を面積で表現

LET X1=3*(A^2)*(B^2)

LET X2=(A+B+C)*(B+C-A)*(C+A-B)*(A+B-C)

REM 判定

IF X1=X2 THEN

LET F=0

REM 相似形の排除

FOR I=2 TO 13

IF MOD( A , I) =0 AND MOD( B , I) =0 AND MOD( C , I) =0　　THEN

LET F=1

EXIT FOR

END IF

NEXT I

IF F=0 THEN

LET KA=KA+1

REM 並び替え

LET Z(1)=A

LET Z(2)=B

LET Z(3)=C

FOR J1=1 TO 2

FOR J2=J1+1 TO 3

IF Z(J1)>Z(J2) THEN

SWAP Z(J1),Z(J2)

END IF

NEXT J2

NEXT J1

PRINT USING "###":KA;

PRINT ")";

FOR I=1 TO 3

PRINT USING "####":Z(I);

NEXT I

PRINT

END IF

END IF

END IF

NEXT C

NEXT B

NEXT A

END

＜水の流れ＞清川さんには感謝します。実はこんな表が欲しかったのです。

これで、問題作成の折り、多いに利用させてもらいます。

ＮＯ２＜ch3cooh＞さんからの解答です。３月10日１４時０７分受信。更新３／１０日

”とくしゅなさんかくけい”についての解答です。

任意の整数 X,Yを用意した上で、　　A= X^2+2XY-3Y^2　，　B= 4XY　，　　C= X^2+3Y^2

とすると、好きなだけ交わる角度が60°の三角形が得られます。

　また、A= X^2-2XY-3Y^2　，　B= 4XY　，　C= X^2+3Y^2　とすると、120°になります。

この式の求めた順番について･･･　余弦定理により

A^2+B^2-2*ABcosθ=C^2　　　cos(60°)= 1/2　, 　cos(120°)= 1/2

代表として、60°の場合について

A^2+B^2-AB=C^2

(A-1/2B)^2+(3/4)B^2=C^2

α=A-1/2Bとして

4α^2+3B^2=4C^2

3B^2=4(C-α)(C+α)

C= x+ky, α=x-kyとすると･･･

3B^2= 4(2ky)(2x)

k=3とすると、

3B^2= 48xy

√は使いたくないので、x=X^2,y=Y^2とした上で、　B,　C,　α　を順次求め、A　を求めると

一般的な解答になります。（ここまで、結構遠回りしてしまった）

＜水の流れ＞１０日記入　１０日更新

帰宅後、メールを開いてみると、「ch3cooh」さんから、特殊な三角形の整数日が一般の形で求めてありました。太郎さんはこの解を覚えておこうと思っています。それは、試験問題の作問に多いに利用できるからです。「ch3cooh」さんに改めて感謝の気持ちを持ちました。「ありがとうございます。」

ＮＯ３＜ch3cooh＞さんからの問題です。。３月１３日１１時５１分受信。更新３／１６日

（もっと分かり易い説明方法があったら、教えて下さい。）

それと、この解答については一部分機能の修正が必要かもしれません。

それは、X,Yの双方が整数+1/2の場合もA,B,Cは整数になるというものです。

（計算結果の確認は実際に値を入れて確認して下さい。）

逆に、問題です。

"三角形の三辺がいずれも整数の場合、各頂点の角度について何らかの制約が考えられるか？"

＜水の流れ：コメント＞太郎さんは、この整数三角形の３辺の比について、角に制限はないと思っています。ただし、成り立つ個数には研究がされています。私の手元に「数学セミナー1999年１月号」がありまして、このことを題材にして、原稿があります。よろしけけば、ご覧ください。この時に、読んだ印象が頭の中に残っていました。

ＮＯ４＜清川(kiyo)＞さんからのコメントです。３月１４日０時５４分受信。更新３／１６日

こんばんは。いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

私は、制約があると思います。

たとえば、A,Bの狭角が θ＝arcsin(π/6)だとすると、

A,B,Cが整数となる三角形は不可能ではないでしょうか。

なにか勘違いしているのでしょうか。超越数の代表としてπを考えてみました。

ＮＯ５＜ch3cooh＞さんからのコメントです。。３月１４日１０時１３分受信。更新３／１６日

この問題に対する解答としては、

「cosθが有理数である場合のみ三辺が整数の三角形が存在しうる

（無理数の場合、三辺のいずれかが無理数であることになります）」

というのが、とりあえずの解答です。（元の題材の解法を参考にして下さい）

（正確には、「三辺が整数の場合、cosθは常に有理数である」は常に成立しますが、

「cosθが1以下の有理数の場合、それを頂点として持つ三角形は存在する」は常に成立する訳ではないと思います。）

このあたりを、数群について考察していくと、奥深いものがあります。

（整数のみではなく、幾何的手段によって生成可能な値を三辺に持たせた場合、ガウスが数学者になることを決意した問題になることでしょう。）

ＮＯ６＜ch3cooh＞さんからのコメントです。。３月２１日１３時３２分受信。更新３／２１日

"特殊な三角形"について修正です。

前のE-Mailで、cosθは自由な有理数が選べないのではないかと表現していましたが、実際には自由な絶対値が１未満の有理数に

対して、各辺が有理数解である三角形が存在することが分かりました。

a^2+b^2-2ab cosθ= c^2

cosθ= p/q

α= a-(p/q)b

α^2+(1-p^2/q^2)b^2= c^2

((q^2-p^2)/q^2)b^2= (c+α)(c-α)

c+α= ((q+p)/q)*r^2

c-α= ((q-p)/q)*s^2

b= rs

c= 1/2q(q(r^2+s^2)+p(r^2-s^2))

a= 1/2q(q(r^2-s^2)+p(r+s)^2)

となります。

r,s に好きな値を代入した場合でも、余弦定理が成立するため、有理数解を得ることが可能です。

（特に整数解としたい場合は、a,b,cを分母の最小公倍数 乗ずることで得ることができます。）

･･･

ここまで力技で解くと、あまり美しさが感じられないような気もします。(汗)

＜水の流れ＞でも、これだけ深く追求したのは「ch3cooh」さんの熱意の表れと意義ある成果です。

誠意に感謝します。