第２０話　「高度合整数」

ＮＯ１＜水の流れ＞６月７日の「私の一日」から　更新６月１１日

「太郎さんは、今、『放浪の天才エルデシュ』という本を読んでいます。ここの中に、独学で数学を学んだインド人ラマヌジャンの話がありました。紹介します。

　イギルスのケンブリッジ大学での学んだ最初の年、ラマヌジャンは素数でなく合整数を研究した。合整数とは素数を掛け合わせて「合成した」数のことです。

したがって、６＝２×３だから、合整数です。そして、「高度合整数」という概念を考案しました。素数にはふたつしか約数がない（１と数自身）が、合整数には約数が少なくとも３つ以上ある。

　高度合整数とは、その数未満の合整数より約数の個数が多いものである。

例えば、１２は高度合整数である。１２は６個の約数を持ち（１，２，３，４，６，１２）、１２未満の数には、６個以上を上回る約数をもつものはない。次ぎに２４もそうです。約数が８個あります。

　そこで、小さい順に、高度合整数を並べてみます。２，４，６，１２，２４，３６，・・・、

ラマヌジャンは５万までに２５個の高度合整数が含まれており、６兆７４６３億２８３８万８８００までの高度合整数を算出してリストを作成した。

　ここで、、皆さんにもラマヌジャンと同じように、この高度合整数を因数分解して、その素因数の指数に着目して、３６の次の高度合整数をみつけてください。さらに何かの性質みたいなものを発見して下さい。

ＮＯ２＜清川(kiyo)＞さんからの解答です。６月８日２１時３４分受信。更新６月１１日

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。プログラムを組んで検索しました。数列サイトの結果を報告します。

1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,

2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,

55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,

554400,665280,720720,1081080,1441440

LET MAX=2

FOR I=3 TO 50000

LET Z=2

FOR J=2 TO I-1

IF MOD( I , J) =0 THEN

LET Z=Z+1

END IF

NEXT J

IF Z>MAX THEN

PRINT I

LET MAX=Z

END IF

NEXT I

END

ＮＯ３＜清川(kiyo)＞さんからの報告です。６月８日２３時０７分受信と２３時０７分受信　更新６月１１日

いつもお世話にまっています。清川（kiyo）です。高度合成数を素因数分解して、その指数の数列に着目してみました。

この数列の漸化式を求めることが出来れば、、、。または高度合成数の約数の個数を求める漸化式が判れば、、、。

　　　　　2=2 (1)

4=2^2 (2)

6=2*3 (1,1)

12=(2^2)*3 (2,1)

24=(2^3)*3 (3,1)

36=(2^2)*(3^2) (2,2)

48=(2^4)*3 (4,1)

60=(2^2)*3*5 (2,1,1)

120=(2^3)*3*5 (3,1,1)

180=(2^2)*(3^2)*5 (2,2,1)

240=(2^4)*3*5 (4,1,1)

360=(2^3)*(3^2)*5 (3,2,1)

720=(2^4)*(3^2)*5 (4,2,1)

840=(2^3)*3*5*7 (3,1,1,1)

1260=(2^2)*(3^2)*5*7 (2,2,1,1)

1680=(2^4)*3*5*7 (4,1,1,1)

2520=(2^3)*(3^2)*5*7 (3,2,1,1)

5040=(2^4)*(3^2)*5*7 (4,2,1,1)

7560=(2^3)*(3^3)*5*7 (3,3,1,1)

10080=(2^5)*(3^2)*5*7 (5,2,1,1)

15120=(2^4)*(3^3)*5*7 (4,3,1,1)

20160=(2^6)*(3^2)*5*7 (6,2,1,1)

25200=(2^4)*(3^2)*(5^2)*7 (4,2,2,1)

27720=(2^3)*(3^2)*5*7*11 (3,2,1,1,1)

50400=(2^5)*(3^2)*(5^2)*7 (5,2,2,1)

55440=(2^4)*(3^2)*5*7*11 (4,2,1,1,1)

83160=(2^3)*(3^3)*5*7*11 (3,3,1,1,1)

110880=(2^5)*(3^2)*5*7*11 (5,2,1,1,1)

166320=(2^4)*(3^3)*5*7*11 (4,3,1,1,1)

221760=(2^6)*(3^2)*5*7*11 (6,2,1,1,1)

277200=(2^4)*(3^2)*(5^2)*7*11 (4,2,2,1,1)

332640=(2^5)*(3^3)*5*7*11 (5,3,1,1,1)

498960=(2^4)*(3^4)*5*7*11 (4,4,1,1,1)

554400=(2^5)*(3^3)*(5^2)*7*11 (5,3,2,1,1)

665280=(2^6)*(3^3)*5*7*11 (6,3,1,1,1)

720720=(2^4)*(3^2)*5*7*11*13 (4,2,1,1,1,1)

1081080=(2^3)*(3^3)*5*7*11*13 (3,3,1,1,1,1)

1441440=(2^5)*(3^2)*5*7*11*13 (5,2,1,1,1,1)

2162160=(2^4)*(3^3)*5*7*11*13 (4,3,1,1,1,1)

3603600=(2^4)*(3^2)*(5^2)*7*11*13 (4,2,2,1,1,1)

4324320=(2^5)*(3^3)*5*7*11*13 (5,3,1,1,1,1)

7207200=(2^5)*(3^2)*(5^2)*7*11*13 (5,2,2,1,1,1)

8648640=(2^6)*(3^3)*5*7*11*13 (6,3,1,1,1,1)

10810800=(2^4)*(3^3)*(5^2)*7*11*13 (4,3,2,1,1,1)

高度合整数の約数の個数

1,2,3,4,6,8,9,10,12,16,18,20,24,30,32,36,40,48,60,64,72,80,84,90,

96,100,108,120,128,144,160,168,180,192,200,216,224,240,256,288,320,336

今後とも宜しくお願いします。

ＮＯ4＜清川(kiyo)＞さんからの報告です。６月９日２２時２５分受信。更新６月１１日

こんばんは。いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

数列サイトを検索して謎の一部が解けました。高度合整数列の階差数列の漸化式から迫るのですね。

依然としてホットな話題なんですね。

ID Number: A054481

Sequence: 1,2,2,6,12,12,12,12,60,60,60,120,360,120,420,420,840,2520,

2520,2520,5040,5040,5040,2520,2520,5040,5040,27720,27720,

55440,55440,55440,55440,166320,55440,110880,55440,360360,

360360

Name: Highest common factor of successive highly composite numbers

(1).

Formula: a(n) =hcf(A002182(n-1),A002182(n)) =A002182(n)/A054483(n)

=A002182(n-1)/A054482(n)

Example: a(7)=12 because A002182(7)=36, A002182(6)=24 and hcf(36,24)=12

See also: Cf. A002182, A054482, A054483.

Keywords: easy,nonn

Offset: 2

Author(s): Henry Bottomley (se16@btinternet.com), Mar 31 2000

今後とも宜しくお願いします。