第２６話　「２円の共有点を通る直線？」

太郎さんが、数学Ⅱの平面図形で、２円の交点を通る問題が大変気になっています。ここに書きます。

問題１　２円：ｘ^２＋ｙ^２＝４ と ｘ^２＋ｙ^２－８ｘ－６ｙ＝０は２点で共有点を持つことを示して、この２交点を通る直線の方程式を求めよ。

問題２　２円：ｘ^２＋ｙ^２＝４ と ｘ^２＋ｙ^２－８ｘ－６ｙ＋２４＝０は２点で交わらないことを示してください。ところが、問題１と同じようにして、導いた直線　４ｘ＋３ｙ＝１０は一体どんな直線でしょうか。

（ここで、導いた直線は、４ｘ＋３ｙ＝１４に訂正ください。２７日記入）

　読者の皆さん！考えてくださいね。

問題１

　また中心間の距離は，ｄ＝５

　　８ｘ＋６ｙ＝４　　　∴４ｘ＋３ｙ＝２

問題２

　また中心間の距離は，ｄ＝５

　　８ｘ＋６ｙ－２４＝４　　　∴４ｘ＋３ｙ＝１４（４ｘ＋３ｙ＝１０ではないです）

　この直線はこう解釈するとよいのではないでしょうか．

　また中心間の距離は，ｄ＝５

のとき，共有点は存在する．

　このとき，ｐ≧９６／２５

　ｐ＝９６／２５のとき，２円の共通接線を表す．

「浜田」さんの件ですが、この２円の共有点は存在しない（２点で交わらない，ではなく，こう表現すべきです）。その通りですね。吟味せずに載せていました。異なる２曲線については、共有点があるか、共有点がないかを論ずるべきですね。この共有点の中に、交点と接点の２つがあって、交わらないという表現は適切でありませんでした。

次ぎに、うかうな重大なミスをしていました。問題２の最後の出る直線は、ご指摘のように、

∴４ｘ＋３ｙ＝１４（４ｘ＋３ｙ＝１０ではないです）が正しい表現でした。太郎さんの大きな計算ミスでした。お許しください。

もちろん、「浜田」さんのように、２円の半径を順に大きくしていき、外接するまでしたときの共通接線を表すことの１つの考察であります。

　他に、１考察として、２円の外部の点Ｐ（ｘ、ｙ）から、この２円の引いた接線ＰＡ，ＰＢ（ここで、２点Ａ，Ｂはそれぞれの円の接点とします）の長さを求めてください。

次ぎに、ＰＡ＝ＰＢとなる点Ｐの軌跡を考えてください。