toukou20

　　　　　　　　　　　　　平成１４年５月１９日

＜美しい数学の話＞

第４１話　「素数につて」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　「ＳＩＮ」氏から

　１．ｎ番目の素数を表すｎの計算可能な関数について

実は上のような関数は知られているそうですが、何となく書きたくなったので　僕の思いついたものを書いておきます。
π（ｘ）はｘ以下の素数を表す（すなわち、π（ｘ）は素数計算関数）。また、集合Ｘｎを次のように定義する。

Ｘｎ＝^def｛ｘ｜π（ｘ）＝ｎ，ｘは自然数｝
このとき，ｎ番目の素数Ｐｎは，Ｐｎ＝inf Ｘｎ＝min Ｘｎ　　と書ける。

任意の自然数ｎに関して，一意的にＰｎが定まり，かつ素数計算関数は（素数を数えずに）計算可能であるから、上の式のinf Ｘｎとmin Ｘｎ（と言うよりmin Ｘｎの方がしっくりくるが）はＰｎを表す計算可能な関数である。

＜水の流れ：コメント＞　ｎ番目の素数を表すｎの計算可能な関数については、未だ知られていないと思っていますが・・・

２．ｎ！の素因数分解について

ｎ！＝Ｐ_１^e_１・Ｐ_２^e_２・…・Ｐ_ｋ^e_ｋ（Ｐ_ｉはｉ番目の素数，e_iは０以上の整数）とする。
このとき、数列Ｓ（ｎ，ｊ）_ｍを；Ｓ（ｎ，ｊ）_i＝［ｎ／Ｐ_ｉ］，Ｓ（ｎ，ｊ）_ｍ＋１＝［Ｓ（ｎ，ｊ）_ｍ＋１／Ｐ_ｊ］と帰納的に定義する。
（［　　］はガウス記号である）

すると、e_ｊ＝Σ（ｍ＝１～∞）Ｓ（ｎ，ｊ）_ｍ＝Σ（ｍ＝１～L）Ｓ（ｎ，ｊ）　（　Ｓ（ｎ，ｊ）_ｍの値がｍ＞Ｌならば０　という最小のＬと書ける。１≦ｊ≦ｋ）
ｋはどれだけ大きくてもよい。

３．素因数分解について

自然数ｍのｎ乗根は　ｍ＝Ｐ_１^e_１・Ｐ_２^e_２・…・Ｐ_ｋ^e_ｋと書いたときe_１～e_ｋを有理数に限定するとただ一通りに定まる。
これは有理数のｎ乗根でも同じ。（だと思っているのですが・・・）

　しかし、１＋√２　のような数はどうなのでしょうか？　なんとなくおもしろそうな話だと思っています。

＜水の流れ：コメント＞　この原稿は、第９７回の応募問題の解答の後についていた　おまけ（本人いわく）の話です。