平成１４年９月１６日

＜美しい数学の話＞

第４５話　「コラッツ問題（角谷問題）」にゃんこ（二暗刻）　さんから
その２

　

コラッツの問題（数論の未解決問題）

　「正の数 ｎ をとり、これが奇数なら３倍して１を加える。偶数なら２で割る。

　　これを繰り返すとはじめにどんな ｎ を選んでも、いつかは 1 → 4 → 2 → 1 を繰り返す」

　　ｎ が 4兆まではコンピューターで確かめられている。

（富永裕久著　フェルマーの最終定理　1999-11-30 （株）ナツメ社）

Ａ-2． 2^p(1) < (3/2)^m(1)　で q₁ が n₀ より大きければこれまでと同じ作業を

繰り返すことにする。

K,q の添数字や、m,p の 括弧内数字は作業回数を示すものとする。

k₁,k₂,・・,m(1),m(2),・・ 等）

最初の奇数を n₀ とし 3 倍して 2 で割る処理を m(1) 回して初めて

偶数 n_m(1) となるものとすれば、

（これまでは「3 倍して 2 で割る処理」を２つの作業としてきたが、

今後は１つの作業として扱う）　

(1) n₀ = k₁2^m(1) - 1 のとき　n_m(1) = 3^m(1)k₁ - 1　となる。

q₁q₁ を奇数として n_m(1) = q₁2^p(1) とおけば

n_m(1)+p(1) = q₁　, k₁ = (q₁2^p(1) + 1)/3^m(1)

n₀ = 2^m(1)(q₁2^p(1) + 1)/3^m(1) - 1= (q₁2^m(1)+p(1) + 2^m(1))/3^m(1) - 1

q₁2^p(1) = 3^m(1)(n₀ + 1)/2^m(1) - 1 = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)- 1

q₁ = { (n₀ + 1)(3/2)^m(1) - 1}/2^p(1)

∴　n_m(1)+p(1) = { (n₀ + 1)(3/2)^m(1) - 1}/2^p(1) = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) -2^-p(1)

1回目の一連の作業が終わって q₁ が求められその増減数z₁ は

z₁ = q₁- n₀ = (n₀+1)(3/2)^m(1)2^-p(1) -2^-p(1) - n₀

=n₀ {(3/2)^m(1)2^-p(1) - 1} + (3/2)^m(1)2^-p(1) - 2^-p(1)

(2) n_m(1)+p(1) = k₂2^m(2) - 1 のとき　n_{m(1)+p(1)+m(2)} = 3^m(2)k₂ - 1　となる。

q₂ を奇数として n_{m(1)+p(1)+m(2)} = q₂2^p(2) とおけば

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} = q₂　, k₂ = (q₂2^p(2) + 1)/3^m(2)

n_m(1)+p(1) = 2^m(2)(q₂2^p(2) + 1)/3^m(2) - 1= (q₂2^m(2)+p(2) + 2^m(2))/3^m(2) - 1

q₂2^p(2) = 3^m(2)(n_m(1)+p(1) + 1)/2^m(2) - 1 = (n_m(1)+p(1) + 1)(3/2)^m(2) - 1

q₂ = (n_m(1)+p(1) + 1)(3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2)

= {(n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) - 2^-p(1) + 1}(3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2)

= (n₀ + 1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2)

2回目の一連の作業が終わって q₂ が求められその増減数z₂ は

　 z₂ = q₂ - q₁ = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2)

+ (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) - {(n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) -2^-p(1) }

= (n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) {(3/2)^m(2)2^-p(2) - 1}

- (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) + 2^-p(1)

= (n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) {(3/2)^m(2)2^-p(2) - 1}

+ (3/2)^m(2)2^-p(2) {1 - 2^-p(1)} - 2^-p(2) + 2^-p(1)

最初からの増減数z は

　　　z = q₂ - n₀ = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2)

- (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) - n₀

= n₀{(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - 1}

+ (3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2)- (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2)

= n₀{(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - 1}

+ (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2){ (3/2)^m(1)- 1} + 2^-p(2){(3/2)^m(2)- 1}

(3) 同様にして

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} = q₃　, k₃ = (q₃2^p(3) + 1)/3^m(3)

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} = 2^m(3)(q₃2^p(3) + 1)/3^m(3) - 1= (q₃2^m(3)+p(3) + 2^m(3))/3^m(3) - 1

q₃2^p(3) = 3^m(3)(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} + 1)/2^m(3) - 1 = (n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} + 1)(3/2)^m(3) - 1

q₃ = {(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} + 1)(3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)

= {(n₀+1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2)

- (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) + 1}(3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)} + (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)

- (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)

3回目の一連の作業が終わって q₃ が求められその増減数z₃ は

　 z₃ = q₃ - q₂ = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)}

+ (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)- (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)

- {(n₀+1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) }

　 = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)-p(1)-p(2)} {(3/2)^m(3)2^-p(3) -1}

- (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)} + (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3) - (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)

+(3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3) + (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) - (3/2)^m(2)2^-p(2) + 2^-p(2)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)-p(1)-p(2)} {(3/2)^m(3)2^-p(3) -1} - (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)(2^-p(1)- 1)

+ (3/2)^m(2)2^-p(2) (2^-p(1)- 1) - (3/2)^m(3)2^-p(3)(2^-p(2)- 1) - 2^-p(3) + 2^-p(2)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)-p(1)-p(2)} {(3/2)^m(3)2^-p(3) -1 }

+ (3/2)^m(2)2^-p(2){(3/2)^m(3)2^-p(3)- 1}(1 - 2^-p(1))

+ (3/2)^m(3)2^-p(3)(1 - 2^-p(2)) - 2^-p(3) + 2^-p(2)

最初からの増減数z は

z = q₃ - n₀ = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)}

+ (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)- (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3) - n₀

= n₀{(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - 1} + (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)}{(3/2)^m(1) - 1}

+ (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3){ (3/2)^m(2)- 1} + 2^-p(3){(3/2)^m(3)- 1}

= [n₀{ 3^{m(1)+m(2)+m(3)}- 2^{p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3)}} + 3^m(2)+m(3){ 3^m(1) - 2^m(1)}

+ 3^m(3)2^p(1)+m(1){ 3^m(2)- 2^m(2)} + 2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{ 3^m(3)- 2^m(3)}]/2^{p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3)}

(4) 同様にして

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+m(4)+p(4)} = q₄　, k₄ = (q₄2^p(4) + 1)/3^m(4)

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} = 2^m(4)(q₄2^p(4) + 1)/3^m(4) - 1= (q₄2^m(4)+p(4) + 2^m(4))/3^m(4) - 1

q₄2^p(4) = 3^m(4)(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} + 1)/2^m(4) – 1

= (n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} + 1)(3/2)^m(4) - 1

q₄ = {(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} + 1)(3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4)

=[(n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)} + (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)

- (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)](3/2)^m(4)2^-p(4)+ (3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^m(3)+m(4)2^{-p(2)-p(3)-p(4)}+ (3/2)^m(3)+m(4)2^-p(3)-p(4)

- (3/2)^m(4)2^-p(3)-p(4)+ (3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4)

4回目の一連の作業が終わって q₄ が求められその増減数z₄ は

z₄ = q₄ - q₃ = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^m(3)+m(4)2^{-p(2)-p(3)-p(4)}+ (3/2)^m(3)+m(4)2^-p(3)-p(4)

- (3/2)^m(4)2^-p(3)-p(4)+ (3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4)

- [(n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)}- (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)}

+ (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3) - (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)]

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)}{(3/2)^m(4)2^-p(4)-1}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)}{1-2^-p(1)}

+ (3/2)^m(3)+m(4)2^-p(3)-p(4){1 - 2^-p(2)}+ (3/2)^m(4)2^-p(4){ 1 - 2^-p(3)} - 2^-p(4)

- (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3){ 1 - 2^-p(1)} - (3/2)^m(3)2^-p(3){ 1 - 2^-p(2)} + 2^-p(3)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)}{(3/2)^m(4)2^-p(4)-1}

+ (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3){(3/2)^m(4)2^-p(4)- 1}{1-2^-p(1)}

+ (3/2)^m(3)2^-p(3){(3/2)^m(4)2^-p(4) - 1}{1 - 2^-p(2)}

+ (3/2)^m(4)2^-p(4){ 1 - 2^-p(3)} - 2^-p(4)+ 2^-p(3)

最初からの増減数z は

z = q₄ - n₀ = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^m(3)+m(4)2^{-p(2)-p(3)-p(4)}+ (3/2)^m(3)+m(4)2^-p(3)-p(4)

- (3/2)^m(4)2^-p(3)-p(4)+ (3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4) -n₀

= n₀{(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - 1}+(3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)}{(3/2)^m(1)- 1}

+ (3/2)^m(3)+m(4)2^{-p(2)-p(3)-p(4)}{(3/2)^m(2)- 1}+ (3/2)^m(4)2^-p(3)-p(4){(3/2)^m(3)- 1}

+ 2^-p(4){(3/2)^m(4) - 1}

= [n₀{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}-2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}} + 3^{m(2)+m(3)+m(4)}{3^m(1)- 2m⁽¹⁾}

+ 3^m(3)+m(4)2^p(1)+m(1){3^m(2)- 2^m(2)}+ 3^m(4)2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{3^m(3)- 2^m(3)}

+ 2^{p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3)}{3^m(4) - 2^m(4)}]/2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(5) 同様にしてこの作業を n 回繰り返せば

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+m(4)+p(4)+・・・+m(n)+p(n)} = qn　, k_n = (q_n2^p(n) + 1)/3^m(n)

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1)} = 2^m(n)(q_n2^p(n) + 1)/3^m(n) – 1

= (q_n2^m(n)+p(n) + 2^m(n))/3^m(n) - 1

q_n2^p(n) = 3^m(n)(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1)} + 1)/2^m(n) - 1

= (n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1)} + 1)(3/2)^m(n) - 1

q_n = { (n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1)} + 1)(3/2)^m(n)2^-p(n) - 2^-p(n)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)- ・・・-p(n)}

- (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+p(n)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2-^{p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)}

- (3/2)^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)}+ (3/2)^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^{-p(3)-p(4)-・・・-p(n)}

- (3/2)^{m(4)+m(5)+・・・+m(n)}2^{-p(3)-p(4)-p(5)-・・・-p(n)}+ (3/2)^{m(4)+m(5)+・・・+m(n)}2^{-p(4)-p(5)-・・・-p(n)}

　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

- (3/2)^m(n)2^-p(n-1)-p(n)+ (3/2)^m(n)2^-p(n) - 2^-p(n)

n回目の一連の作業が終わって q_n が求められその増減数　z_n は

z_n = q_n - q_n-1

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-・・・-p(n-1)}{(3/2)^m(n)2^-p(n)-1}

　　　　 + (3/2)^{m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}2^{-p(2)-p(3)-・・・-p(n-1)}{(3/2)^m(n)2^-p(n)- 1}{1 - 2^-p(1)}

+ (3/2)^{m(3)+m(4)+・・・+m(n-1)}2^{-p(3)-p(4)-・・・-p(n-1)}{(3/2)^m(n)2^-p(n) - 1}{1 - 2^-p(2)}

　　 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+ (3/2)^m(n-1)2^p(n-1){(3/2)^m(n)2^-p(n) - 1}{1 - 2^-p(n-2)}

+ (3/2)^m(n)2^-p(n){ 1 - 2^-p(n-1)}

- 2^-p(n)+ 2^-p(n-1)

最初からの増減数　z は

z = q_n - n₀

= [n₀{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}-2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}}

+ 3^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}{3^m(1)- 2m⁽¹⁾}

+ 3^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^p(1)+m(1){3^m(2)- 2^m(2)}

+ 3^{m(4)+・・・+m(n)}2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{3^m(3)- 2^m(3)}

　　 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+ 3^m(n)2^{p(1)+p(2)+・・・+p(n-2)+m(1)+m(2)+・・・+m(n-2)}{3^m(n-1)- 2^m(n-1)}

+ 3⁰2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n-1)+m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}{3^m(n) - 2^m(n)}]

/2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

此処に於いて分子の第１項のn₀ の係数となる

{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}-2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}} は

　　 p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)　の値が大きくなれば負となりうる。

　 分子の第２項以降は 3^p -2^p の形（p ≧ 1）の係数だから全て正となる。

　　 従って z < 0 となるには

　 3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} でなければならない。

　 ∴ (3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)}

従ってこれら一連の作業を n 回やって上記条件が満たされたとき、

奇数 n₀ はそれより小さい q_n に帰着する。

Ａ-3 以上の検討結果をまとめる

(1) n₀ = 1 のとき

n₁ = (3n₀ + 1)/2 = 4/2 = 2

n_m(1) = q₁2^p(1) ∴ m(1) = 1 , p(1) = 1 , q₁ = 1

n₂ = n_1/2 = 1 →　n_m(1)+p(1) = q₁ に相当する

(3/2)^m(1) = (3/2) , 2^p(1) = 2 ∴(3/2)^m(1) < 2^p(1) が成り立ち命題は成り立つ。

(2) n₀ = 2 のとき

n₁ = n₀/2 = 1

(1)で　成立することを確認済み

(3) n₀ = 3 のとき

n₁ = (3n₀ + 1)/2 = 10/2 = 5

n₂ = (3n₁ + 1)/2 = (3・5 + 1)/2 = 8 = 1・2³

n_m(1) = q₁2^p(1) ∴ m(1) = 2 , p(1) = 3 , q₁ = 1

n₃ = n2/2 = 4 , n₄ = n₃/2 = 2 , n₅ = n₄/2 = 1 , →　n_m(1)+p(1) = q₁ に相当する

(3/2)^m(1) = (3/2)² , 2^p(1) = 2³ ∴(3/2)^m(1) < 2^p(1) が成り立ち命題は成り立つ。

(4) n₀ = 4 のとき

n₁ = n₀/2 = 2

(2)で　成立することを確認済み

今後 n₀ を順次大きくしていくとすれば n₀ が偶数のときは、

それ以前に証明はすまされていることとなるので、以後は省略する。

n₀ = k の奇数のときも この命題は成り立つ

何故なら n 回の操作により

　 z = [k{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

- 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}}

　 + 3^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}{3^m(1)- 2^m(1)}

+ 3^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^p(1)+m(1){3^m(2)- 2^m(2)}

+ 3^{m(4)+・・・+m(n)}2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{3^m(3)- 2^m(3)}

　　 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+ 3^m(n)2^{p(1)+p(2)+・・・+p(n-2)+m(1)+m(2)+・・・+m(n-2)}{3^m(n-1)- 2^m(n-1)}

+ 3⁰2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n-1)+m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}{3^m(n) - 2^m(n)}]

/2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　 　が得られ、分子の第１項の k の係数となる

　 {3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　 -2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}} は

　 p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)　の値が大きくなれば負となるので

　 3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　 ∴ (3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)}

　　 となるまで n を増やせば、z < 0 となり、n₀ は n₀ よりも小さい q_n に帰着する。

このようにして n₀ はそれより小さい数に帰着していくから、

最終的には 1 → 4 → 2 → 1 を繰り返す　　　Q.E.D.

＜水の流れ：この続きはその３をご覧ください＞　

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