平成１４年９月１６日

＜美しい数学の話＞

第４５話　「コラッツ問題（角谷問題）」にゃんこ（二暗刻）　さんから

その４

　

コラッツの問題（数論の未解決問題）

　「正の数 ｎ をとり、これが奇数なら３倍して１を加える。偶数なら２で割る。

　　これを繰り返すとはじめにどんな ｎ を選んでも、いつかは 1 → 4 → 2 → 1 を繰り返す」

　　ｎ が 4兆まではコンピューターで確かめられている。

（富永裕久著　フェルマーの最終定理　1999-11-30 （株）ナツメ社）

Ａ-3 以上の検討結果をまとめる

(1) n₀ = 1 のとき

n₁ = (3n₀ + 1)/2 = 4/2 = 2

n_m(1) = q₁2^p(1) ∴ m(1) = 1 , p(1) = 1 , q₁ = 1

n₂ = n_1/2 = 1 →　n_m(1)+p(1) = q₁ に相当する

(3/2)^m(1) = (3/2) , 2^p(1) = 2 ∴(3/2)^m(1) < 2^p(1) が成り立ち命題は成り立つ。

(2) n₀ = 2 のとき

n₁ = n₀/2 = 1

(1)で　成立することを確認済み

(3) n₀ = 3 のとき

n₁ = (3n₀ + 1)/2 = 10/2 = 5

n₂ = (3n₁ + 1)/2 = (3・5 + 1)/2 = 8 = 1・2³

n_m(1) = q₁2^p(1) ∴ m(1) = 2 , p(1) = 3 , q₁ = 1

n₃ = n2/2 = 4 , n₄ = n₃/2 = 2 , n₅ = n₄/2 = 1 , →　n_m(1)+p(1) = q₁ に相当する

(3/2)^m(1) = (3/2)² , 2^p(1) = 2³ ∴(3/2)^m(1) < 2^p(1) が成り立ち命題は成り立つ。

(4) n₀ = 4 のとき

n₁ = n₀/2 = 2

(2)で　成立することを確認済み

今後 n₀ を順次大きくしていくとすれば n₀ が偶数のときは、

それ以前に証明はすまされていることとなるので、以後は省略する。

n₀ = k の奇数のときも この命題は成り立つ

何故なら n 回の操作により

　 z = [k{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

- 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}}

　 + 3^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}{3^m(1)- 2^m(1)}

+ 3^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^p(1)+m(1){3^m(2)- 2^m(2)}

+ 3^{m(4)+・・・+m(n)}2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{3^m(3)- 2^m(3)}

　　 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+ 3^m(n)2^{p(1)+p(2)+・・・+p(n-2)+m(1)+m(2)+・・・+m(n-2)}{3^m(n-1)- 2^m(n-1)}

+ 3⁰2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n-1)+m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}{3^m(n) - 2^m(n)}]

/2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　 　が得られ、分子の第１項の k の係数となる

　 {3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　 -2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}} は

　 p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)　の値が大きくなれば負となるので

　 3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　 ∴ (3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)}

　　 となるまで n を増やせば、z < 0 となり、n₀ は n₀ よりも小さい q_n に帰着する。

このようにして n₀ はそれより小さい数に帰着していくから、

最終的には 1 → 4 → 2 → 1 を繰り返す　　　Q.E.D.

＜例＞M(n) = (3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n) , P(n) = 2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)

n0 = 27 の場合
n	m(n)	p(n)	qn	(3・qn+1)/2の推移	��m(n)	��p(n)		M(n)	z の 正負	P(n)
0			27	41,62
1	2	1	31	47,71,107,161,242	2	1		2.25	＋	2
2	5	1	121	182	7		2	17.08593	＋	4
3	1	1	91	137,206	8		3	25.62890	＋	8
4	2	1	103	155,233,350	10	4		57.66503	＋	16
5	3	1	175	263,395,593,890	13	5		194.6195	＋	32
6	4	1	445	668	17		6	985.2612	＋	64
7	1	2	167	251,377,566	18		8	1477.891	＋	256
8	3	1	283	425,638	21	9		4987.885	＋	512
9	2	1	319	479,719,1079,1619, 2429,3644	23	10		11222.74	＋	1024
10	6	2	911	1397,2051,3077,4616	29		12	127834.0	＋	4096
11	4	3	577	866	33		15	647159.8	＋	32768
12	1	1	433	650	34	16		970739.7	＋	65536
13	1	1	325	488	35	17		1456109.61	＋	131072
14	1	3	61	92	36		20	2184164.41	＋	1048576
15	1	2	23	35,53,80	37		22	3276246.61	−	4194304
16	3	4	5	8	40		26	11057332.3	−	67108864
17	1	3	1		41		29	16585998.5	−	536870912

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