平成２４年１２月１６日
＜美しい数学の話＞
第５３話 「日本シリーズ（新）」
＜水の流れ＞今年のプロ野球日本シリーズはそれぞれCSを勝つ抜いたパリーグ１位の日本ハムとゼリーグ１位の巨人が対戦しました。結果は巨人からみて○○××○○の４勝２敗で日本一になりました。
過去のデータを載せておきます。日本シリーズ勝敗の起こり方資料室（先に４勝した場合優勝）
＊ もし７回戦を戦ったとして、何回戦の試合で４つ勝つかだから、組み合わせの記号から、Ｃ（７，４）＝７×６×５÷３×２×１＝３５通りあります。
ただし、引き分けは除外します。西暦で表し、下２桁で記述します。＊過去の引き分け・・・５３年の第３試合、５７年の第４試合、６２年第３試合、７５年の第１試合と第４試合、８６年の第１試合、１０年の第６試合
【４回戦で終了】
１．○○○○・・・・・・ ５７年西鉄（三原）：巨人（水原）○○○△○
＜７回＞ ５９年南海（鶴岡）：巨人（水原）
６０年大洋（三原）：大毎（西本）
７５年阪急（上田）：巨人（長嶋）△○○△○○
９０年西武（森） ： 巨人（藤田）
０２年巨人（原） ：西武（伊原）
０５年ロッテ（バレンタイン）：阪神（岡田）
【５回戦で終了】
２．○○○×○・・・・・・５１年巨人（水原）：南海（山本）
＜５回＞ ６５年巨人（川上）：南海（鶴岡）
７０年巨人（川上）：ロッテ（濃人）
９５年ヤクルト（野村）：オリックス（仰木）
９６年オリックス（仰木）：巨人（長嶋）
３．○○×○○・・・・・ ７２年巨人（川上）：阪急（西本）
＜２回＞ ７７年阪急（上田）：巨人（長嶋）
４．○×○○○・・・・・・７１年巨人（川上）：阪急（西本）
＜５回＞ ８８年西武（森） ：中日（星野）
９７年ヤクルト（野村）：西武（東尾）
９９年ダイエー（王） ：中日（星野）
０１年ヤクルト（若松）：近鉄（梨田）
５．×○○○○・・・・・・７３年巨人（川上）：南海（野村）
＜３回＞ ０６年日本ハム（ヒルマン）：中日（落合）
０７年中日（落合）：日本ハム（ヒルマン）：
【６回戦で終了】
６．○○○××○・・・・・６７年巨人（川上）：阪急（西本）
７．○○×○×○・・・・・５２年巨人（水原）：南海（山本）
８．○○××○○・・・・・５０年毎日（湯浅）：松竹（小西）
＜５回＞ ８２年西武（広岡）：中日（近藤）
８５年阪神（吉田）：西武（広岡）
９８年横浜（権藤）：西武（東尾）
１２年巨人（原） ：日本ハム（栗山）
９．○×○○×○・・・・・６６年巨人（川上）：南海（鶴岡）
＜２回＞ ６９年巨人（川上）：阪急（西本）
１０．○×○×○○・・・・０９年巨人（原）：日本ハム（梨田）
＜２回＞ １０年ロッテ（西村）：中日（落合）○×○×○△○
１１．○××○○○・・・・なし
１２．×○○○×○・・・・５３年巨人（水原）：南海（山本）×○△○○×○
＜４回＞ ５６年西鉄（三原）：巨人（水原）
６１年巨人（川上）：南海（鶴岡）
６８年巨人（川上）：阪急（西本）
１３．×○○×○○・・・・８７年西武（森）：巨人（王）
＜２回＞ ９４年巨人（長嶋）：西武（森）
１４．×○×○○○・・・・７４年ロッテ（金田）：中日（与那嶺）
＜２回＞ ８１年巨人（藤田）：日本ハム（大沢）
１５．××○○○○・・・・６２年東映（水原）：阪神（藤本）××△○○○○
＜２回＞ 2000年巨人（長嶋）：ダイエー（王）
【７回戦で終了】
１６．○○○×××○・・・７６年阪急（上田）：巨人（長嶋）
１７．○○×○××○・・・９３年ヤクルト（野村）：西武（森）
１８．○○××○×○・・・５４年中日（天知）：西鉄（三原）
１９．○○×××○○・・・０４年ダイエー（王）：阪神（星野）
２０．○×○○××○・・・８４年広島（古葉）：阪急（上田）
２１．○×○×○×○・・・なし
２２．○×○××○○・・・９１年西武（森）：広島（山本）
＜２回＞ ０４年西武（伊東）：中日（落合）
２３．○××○○×○・・・なし
２４．○××○×○○・・・６４年南海（鶴岡）：阪神（藤本）
８３年西武（広岡）：巨人（藤田）
＜３回＞ ０８年西武（渡辺）：巨人（原）
２５．○×××○○○・・・５５年巨人（水原）：南海（山本）
２６．×○○○××○・・・９２年西武（森）：ヤクルト（野村）
２７．×○○×○×○・・・６３年巨人（川上）：西鉄（中西）
２８．×○○××○○・・・なし
２９．×○×○○×○・・・７８年ヤクルト（広岡）：阪急（上田）
３０．×○×○×○○・・・なし
３１．×○××○○○・・・なし
３２．××○○○×○・・・７９年広島（古葉）：近鉄（西本）
＜２回＞ １１年ソフトバンク（秋山）：中日（落合）
３３．××○○×○○・・・８０年広島（古葉）：近鉄（西本）
３４．××○×○○○・・・なし
３５．×××○○○○・・・５８年西鉄（三原）：巨人（水原）
＜３回＞ ８６年西武（森）：広島（阿南）△×××○○○○
８９年巨人（藤田）：近鉄（仰木）
ＮＯ１ 「浜田明巳 」 さん 平成２４年１１月２９日 受信 更新１２月１６日
Ａが４勝０敗で優勝する場合，確率は，(１／２)４＝１／１６
Ｂが４勝０敗で優勝する場合の確率も同様なので，４勝０敗で終わる確率は，１／１６・２＝１／８
Ａが４勝１敗で優勝する場合，最初の４試合は，３勝１敗である．その４試合のうち，どれか１試合が負けで，残り３試合が勝ちである．そして５試合目にＡが勝つのであるから，確率は，
４Ｃ１・(１／２)４・１／２＝１／８
Ｂが４勝１敗で優勝する場合の確率も同様なので，４勝１敗で終わる確率は，１／８・２＝１／４
Ａが４勝２敗で優勝する場合，最初の５試合は，３勝２敗である．その５試合のうち，どれか２試合が負けで，残り３試合が勝ちである．そして６試合目にＡが勝つのであるから，確率は，
５Ｃ２・(１／２)５・１／２＝１０・１／２６＝５／３２
Ｂが４勝２敗で優勝する場合の確率も同様なので，４勝２敗で終わる確率は，５／３２・２＝５／１６
最後に，４勝３敗で終わる確率は，
１−１／８−１／４−５／１６＝(１６−２−４−５)／１６＝５／１６
これらが７番勝負において，４勝ｘ敗（ｘ＝０，１，２，３）で終わる確率である．
ところが，実際の７番勝負においては，このような理論値通りにいかないだろう．各試合において，どちらかが勝つ確率が１／２にぴったりと等しくなる場合はそんなにはない．
いくつかの有名な７番勝負の過去の記録を調べてみた．
日本シリーズの場合，１９５０年から２０１２年の記録は，
４勝０敗が７回，４勝１敗が１５回，４勝２敗が２１回，４勝３敗が２０回
となっている．
理論値との違いを，偏差
(実際の確率−理論値)２の総和のルート
で表してみると，約0.0282となる．
サレジオ学院高等学校のＯＢの森内名人が活躍する将棋名人戦の場合，
４勝０敗が１０回，４勝１敗が１８回，４勝２敗が２２回，４勝３敗が１６回
であり，偏差は，約0.0810
ＭＢＬのワールドシリーズの場合，
４勝０敗が２１回，４勝１敗が２４回，４勝２敗が２４回，４勝３敗が３８回
であり，偏差は，約0.1238
他の７番勝負も同様の計算をしてみたが，偏差は，ＮＢＡの場合を含めて，0.05から0.12の間くらいであった．日本シリーズの0.03が例外的に小さく，アイスホッケー・スタンレーカップの0.18が例外的に大きかった．もっと多くのデータを集めれば，もっと違うものになるかも知れない．
日本シリーズとワールドシリーズの偏差がこんなにも違うとは，興味深いことである．これが何に起因するのかは分からない．
日本シリーズの場合，セリーグとパリーグの実力が均衡しているのか，ワールドシリーズの場合，実力以外の要素が大きいのか．
識者の意見を聞きたい．
ＮＯ２ 「にいばりZ12 」 さん 平成２４年１２月１６日 受信 更新１２月１６日
にいばりＺ12です。
少し興味を持ったので私も考えてみました。
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野球の勝負の問題 |
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二項分布から考えてみました |
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N（Nは奇数）回戦で勝つにはk=(N+1)/2回勝たなければなりません。 |
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N回戦全て戦ったときのｋ回勝つ確率は、次のようになります。 |
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ただし、ｎは途中経過を表します。即ちｎ＝5は4連勝後の1敗を含みます。 |
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（二項分布そのものです） |
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N = |
7 |
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k = |
4 |
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p = |
1/2 |
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P[X=k]=nCkpk(1-p)n-k |
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n |
k |
p |
nCk |
pk |
(1-p)n-k |
P[X=k] |
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7 |
4 |
1/2 |
35 |
1/16 |
1/8 |
35/128 |
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6 |
4 |
1/2 |
15 |
1/16 |
1/4 |
15/64 |
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5 |
4 |
1/2 |
5 |
1/16 |
1/2 |
5/32 |
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4 |
4 |
1/2 |
1 |
1/16 |
1
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1/16 |
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次に、各場合の数からその1回戦前に勝ちが決まった場合の数を引きます |
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P'[X=k]=(nCk-n-1Ck)pk(1-p)n-k |
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nCk-n-1Ck=n!/(k!(n-k)!)-(n-1)!/(k!(n-1-k)!)=nCk・k/nなので |
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P'[X=k]=nCkpk(1-p)n-k・k/nとなります |
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負けた場合も考えるとちょうど確率は（p=1/2の場合）2倍になるので |
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次式でｎ回戦目で勝敗が決まる確率がわかります |
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結果やっと浜田さんと同じ結論を得ました。 |
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P"=2P'[X=k] |
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P"：勝敗が付く確率 |
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n |
k |
p |
nCk・k/n |
pk |
(1-p)n-k |
P'[X=k] |
P"=2P'[X=k] |
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7 |
4 |
1/2 |
20 |
1/16 |
1/8 |
5/32 |
5/16 |
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6 |
4 |
1/2 |
10 |
1/16 |
1/4 |
5/32 |
5/16 |
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5 |
4 |
1/2 |
4 |
1/16 |
1/2 |
1/8 |
1/4 |
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4 |
4 |
1/2 |
1 |
1/16 |
1 |
1/16 |
1/8 |
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1/2 |
1 |
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今度は、浜田さんのおっしゃるとおりp=1/2とはならない場合を考えてみます。 |
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上記において、「負けた場合も考えるとちょうど確率は（p=1/2の場合）2倍になる」 |
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というところで、p=1/2以外では2倍にならないわけでその確率を計算してみます。 |
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下表においてk’ は負け数、p ’は負ける確率とします。 |
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N = |
7 |
N = |
7 |
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k = |
4 |
k’ = |
4 |
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p = |
1/2 |
p ’= |
1/2 |
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P"=P'[X=k] |
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P"：勝敗が付く確率 |
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勝ちの場合 |
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n |
k |
p |
nCk・k/n |
pk |
(1-p)n-k |
P'[X=k] |
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7 |
4 |
1/2 |
20 |
1/16 |
1/8 |
5/32 |
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6 |
4 |
1/2 |
10 |
1/16 |
1/4 |
5/32 |
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5 |
4 |
1/2 |
4 |
1/16 |
1/2 |
1/8 |
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4 |
4 |
1/2 |
1 |
1/16 |
1 |
1/16 |
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1/2 |
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負けの場合 |
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n |
k’ |
p’ |
nCk'・k’/n |
p’k |
(1-p’)n-k’ |
P'[X=k’] |
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7 |
4 |
1/2 |
20 |
1/16 |
1/8 |
5/32 |
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6 |
4 |
1/2 |
10 |
1/16 |
1/4 |
5/32 |
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5 |
4 |
1/2 |
4 |
1/16 |
1/2 |
1/8 |
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|
4 |
4 |
1/2 |
1 |
1/16 |
1 |
1/16 |
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1/2 |
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勝負の付く回数の確率（k勝n-k敗または、k’敗n-k’勝） |
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||||
|
n |
k=k’ |
p+p’ |
nCk・k/n=nCk'・k’/n |
pk(1-p)n-k+p’k(1-p’)n-k’ |
P"[X=k"] |
k勝n-k敗または、n-k’勝k’敗 |
|
|
7 |
4 |
1 |
20 |
1/64 |
5/16 |
4勝3敗または3勝4敗 |
|
|
6 |
4 |
1 |
10 |
1/32 |
5/16 |
4勝2敗または2勝4敗 |
|
|
5 |
4 |
1 |
4 |
1/16 |
1/4 |
4勝1敗または1勝4敗 |
|
|
4 |
4 |
1 |
1 |
1/8 |
1/8 |
4勝0敗または0勝4敗 |
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1 |
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上記、1/2で確認できたので将棋の場合を考えて見ます |
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偏差が最小になるような勝率を計算すると下記のようになります。 |
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N = |
7 |
N = |
7 |
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k = |
4 |
k’ = |
4 |
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|
|
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|
p = |
61/100 |
p ’= |
39/100 |
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勝負の付く回数の確率（k勝n-k敗または、k’敗n-k’勝） |
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||||
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n |
k=k’ |
p+p’ |
nCk・k/n=nCk'・k’/n |
pk(1-p)n-k+p’k(1-p’)n-k’ |
P"[X=k"] |
k勝n-k敗または、n-k’勝k’敗 |
|
|
7 |
4 |
1 |
20 |
11/817 |
0.269 |
4勝3敗または3勝4敗 |
|
|
6 |
4 |
1 |
10 |
17/573 |
0.297 |
4勝2敗または2勝4敗 |
|
|
5 |
4 |
1 |
4 |
22/323 |
0.272 |
4勝1敗または1勝4敗 |
|
|
4 |
4 |
1 |
1 |
69/427 |
0.162 |
4勝0敗または0勝4敗 |
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|
|
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1 |
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将棋の場合 |
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４勝０敗が１０回，４勝１敗が１８回，４勝２敗が２２回，４勝３敗が１６回 |
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実際の回数 |
実際の確率 |
理論値 |
差の2乗 |
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4勝3敗または3勝4敗 |
16 |
0.242 |
0.269 |
0.000721538912 |
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||
|
4勝2敗または2勝4敗 |
22 |
0.333 |
0.297 |
0.001343585514 |
|
||
|
4勝1敗または1勝4敗 |
18 |
0.273 |
0.272 |
0.000000080766 |
|
||
|
4勝0敗または0勝4敗 |
10 |
0.152 |
0.162 |
0.000101559402 |
|
||
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|
|
|
|
|
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||
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||
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|
|
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||
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||
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66 |
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偏差（総和のルート） |
0.046548519 |
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ｐ |
偏差 |
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0.5 |
0.0810199 |
|
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|
|
|
|
|
0.51 |
0.0805741 |
|
|
|
|
|
|
|
0.52 |
0.0792454 |
|
|
|
|
|
|
|
0.53 |
0.0770610 |
|
|
|
|
|
|
|
0.54 |
0.0740702 |
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0.55 |
0.0703523 |
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0.56 |
0.0660293 |
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0.57 |
0.0612888 |
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0.58 |
0.0564204 |
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0.59 |
0.0518692 |
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0.6 |
0.0482922 |
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0.61 |
0.0465485 |
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0.62 |
0.0474967 |
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0.63 |
0.0516128 |
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0.64 |
0.0587943 |
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0.65 |
0.0685710 |
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0.66 |
0.0804210 |
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一方で実際の勝率を計算してみると |
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実際の回数 |
勝方の勝ち数 |
負け方の負け数 |
試合(対局)数計 |
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4勝3敗または3勝4敗 |
16 |
64 |
48 |
112 |
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4勝2敗または2勝4敗 |
22 |
88 |
44 |
132 |
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4勝1敗または1勝4敗 |
18 |
72 |
18 |
90 |
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4勝0敗または0勝4敗 |
10 |
40 |
0 |
40 |
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計 |
66 |
264 |
110 |
374 |
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実際の勝率 |
264/374= |
0.7059 |
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上記の通り、全く一致しません |
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このことは、全試合数における勝率が7番勝負における勝率と一致せず、所謂勝ち方によって左右されるということを意味しているようです。 |
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