平成２７年８月２日

[流れ星]

　　　　　第323回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：7月12日〜8月2日＞

［4桁・５桁の番号］

皆さん！日頃目にする４桁の番号には電話番号、自動車番号、ナンバース４があります。その中で好きな番号とか嫌いな番号があると思います。４桁の番号が素数であるのを個人的には好んでいます。ここで、問題です。

問題１：４桁の番号で、数字が３と７の両方とも少なくとも1個含む番号はいくつあるか。

問題２：５桁の番号で、数字が１と３と７の３つとも少なくとも1個含む番号はいくつあるか。

問題３：４桁の番号で、ちょうど３種類の数字で構成されている番号はいくつあるか。ただし、0000も番号とする。

問題４：５桁の番号で、ちょうど３種類の数字で構成されている番号はいくつあるか。ただし、00000も番号とする。

問題５：５桁の番号で、ちょうど４種類の数字で構成されている番号はいくつあるか。ただし、00000も番号とする。

追加問題：８桁の番号で、ちょうど何種類の数字で構成されている番号が一番多いか。調べてください。

なお、必要ならば「第２種スターリング数」をご覧ください。

ＮＯ１「uchinyan」 07/12 14時28分　受信 更新 8/2

問題１：

４桁の番号の総数は 10^4 個。

このうち，3 も 7 も含まないのは 8^4 個なので，3 と 7 の少なくとも一つを含むのは 10^4 - 8^4 個。

このうち，3 を含み 7 を含まないのは 9^4 - 8^4 個，7 を含み 3 を含まないのは 9^4 - 8^4 個，なので

結局，求めるものは，

10^4 - 8^4 - (9^4 - 8^4) * 2 = 10^4 - 2 * 9^4 + 8^4 = 10000 - 13122 + 4096 = 974 個。

問題２：

５桁の番号の総数は 10^5 個。

このうち，1 も 3 も 7 も含まないのは 7^5 個なので，1 と 3 と 7 の少なくとも一つを含むのは 10^5 - 7^5 個。

このうち，

1 を含み 3 と 7 を含まないのは 8^5 - 7^5 個，

3 を含み 7 と 1 を含まないのは 8^5 - 7^5 個，

7 を含み 1 と 3 を含まないのは 8^5 - 7^5 個，

で，さらに，問題１：と同様に考えて，

1 と 3 の両方を含み 7 を含まないのは 9^5 - 2 * 8^5 * 2 + 7^5 個，

3 と 7 の両方を含み 1 を含まないのは 9^5 - 2 * 8^5 * 2 + 7^5 個，

7 と 1 の両方を含み 3 を含まないのは 9^5 - 2 * 8^5 * 2 + 7^5 個，なので，

結局，求めるものは，

10^5 - 7^5 - (8^5 - 7^5) * 3 - (9^5 - 2 * 8^5 * 2 + 7^5) * 3

= 10^5 - 3 * 9^5 + 3 * 8^5 - 7^5

= 100000 - 177147 + 98304 - 16807

= 4350 個。

(別解)

問題２：は少しややこしくなっています。

ベン図を書いて次のように包除の原理を用いて考える方がよさそうです。

全体は 10^5 個。

1 を含まないのは 9^5 個，3 を含まないのは 9^5 個，7 を含まないのは 9^5 個，

なので，これらを引きます。しかしこれでは，

1 と 3 を含まないのは 8^5 個，3 と 7 を含まないのは 8^5 個，7 と 1 を含まないのは 8^5 個，

を引き過ぎているので，これらを足します。ところが今度は，

1 も 3 も 7 も含まないのは 7^5 個，

を足し過ぎているのでこれらを引きます。

そこで，結局，求めるものは，

10^5 - 3 * 9^5 + 3 * 8^5 - 7^5

= 100000 - 177147 + 98304 - 16807

= 4350 個。

問題３：

３種類の数字を選ぶのに 10C3 通り。

４桁の番号にはどれか１つが２つあるので，3C1 * 4!/2!1!1! 通り。

そこで，10C3 * 3C1 * 4!/2!1!1! = 120 * 3 * 12 = 4320 個。

問題４：

３種類の数字を選ぶのに 10C3 通り。

５桁の番号には，

どれか１つが３つある，3C1 * 5!/3!1!1! 通り，どれか２つが２つずつある，3C2 * 5!/2!2!1! 通り。

そこで，10C3 * (3C1 * 5!/3!1!1! + 3C2 * 5!/2!2!1!) = 120 * (3 * 20 + 3 * 30) = 18000 個。

問題５：

４種類の数字を選ぶのに 10C4 通り。

５桁の番号には，どれか１つが２つあるので，4C1 * 5!/2!1!1!1! 通り。

そこで，10C4 * 4C1 * 5!/2!1!1!1! = 210 * 4 * 60 = 50400 個。

追加問題(＝問題３：〜問題５：の別解)

k 種類の数字で構成される n 桁の番号が a(n,k) 個あるとします。

ただし，n は 10 以下，k は 0 以上 n 以下，としておきます。

n が 10 を超える場合も考えられますが，少し状況が変わるので後でちょっと触れます。

k 種類の数字で構成される n+1 桁の番号を考えます。

これは，n 桁の番号の後ろにもう１桁を追加すればいいですが，

n 桁の番号が k 種類の数字で構成されている場合は，a(n,k) * k 個，

n 桁の番号が k-1 種類の数字で構成されている場合は，a(n,k-1) * (11 - k) 個，

となるので，

a(n+1,k) = k * a(n,k) + (11 - k) * a(n,k-1)

ただし，a(n,0) = 0，a(n,1) = 10，a(n,n) = 10Pn，k > n は a(n,k) = 0，です。

これに基づいて計算すると．．．

10

10 90

10 270 720

10 630 4320 5040

10 1350 18000 50400 30240

10 2790 64800 327600 453600 151200

10 5670 216720 1764000 4233600 3175200 604800

10 11430 695520 8573040 31752000 40219200 16934400 1814400

10 22950 2178000 39160800 210198240 400075200 279417600 65318400 3628800

10 45990 6717600 171889200 1285956000 3451442400 3556224000 1360800000 163296000 3628800

これから，

問題３：a(4,3) = 4320，問題４：a(5,3) = 18000，問題５：a(5,4) = 50400，

が再現されています。

また，n = 8 を抜き出すと，

10 11430 695520 8573040 31752000 40219200 16934400 1814400

これより，k = 6 種類が一番多いことが分かります。

なお，n > 10 の場合は，漸化式自体はそのまま成立しますが，

k >= 11 では a(n,k) = 0 で，k >= 11 が切れたような感じになります。

(感想)

問題２：が少しややこしいですが，包除の原理をうまく使えば，形式的な計算でできますね。

問題３：〜問題５：は，この程度ならば直接に計算する方が楽でしょう。

しかし，追加問題のようになると，確かに漸化式が威力を発揮します。

使う数字が固定されているので，第２種スターリング数とは少し違いますが，

その仲間と思ってよさそうですね。

ＮＯ２「早起きのおじさん」 07/17 22時14分　受信 更新 8/2

323解答　早起きのおじさん

問題１

3と7をともに少なくとも1個含む番号を分類します。

3の入れ方、7の入れ方、残りの数の入れ方を考えて場合の数を数えます。

すると、次のようになります。

さて、0000から9999までの10000個の番号を次のように、分類します。

A：3を含むもの

B：7を含むもの

C：3と7をともに含むもの

D：3も7も含まないもの

すると、この図では、Cの部分の個数を数えていることになります。

ここでは、Aの補集合を¬Aで表すことにします。

以上から、10000−2×9⁴＋8⁴＝974個としても求まります。

問題２

さて、00000から99999までの100000個の番号を次のように、分類します。

A：1を含むもの

B：3を含むもの

C：7を含むもの

D：1と3を含むもの

E：3と7を含むもの

F：7と1を含むもの

G：1と3と7を含むもの

H：1も3も7も含まないもの

Gの部分の個数を数えます。

以上から、100000−3×9⁵＋3×8⁵−7⁵＝4350個と求まります。

問題３

4桁の番号で使われる数の種類は、次のNo1からNo4まで4通りあります。

それぞれ数の選び方、その並べ方を調べて場合の数を計算します。

表よりちょうど3種類の数字で構成されている番号は、4320個。

問題４

表よりちょうど3種類の数字で構成されている番号は、18000個。

追加問題

以上から6種類でできている番号が一番多くなります。

ＮＯ３「二度漬け白菜」 07/27 10時03分　受信 更新 8/2

(答)
問題1：974　
問題2：4350
問題3：4320
問題4：18000
問題5：50400
追加問題：ちょうど6種類の数字で構成されている番号が一番多い．

n個の文字を横一列に並べることを考える．
使用できる文字の種類は m 種類とする．
この m 種類の文字のうちの特定の r 種類の文字
については，どの文字も1回以上現れるような
n個の文字列の総数を a(n,m,r) とする．

xの関数 f(x) を級数展開したときのx^nの係数を
[x^n]f(x) と表すことにする．

a(n,m,r)
=(n!)*[x^n](((x/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+ … )^r)*((1+x/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+ … )^(m-r)))
=(n!)*[x^n](((exp(x)-1)^r)*(exp(x))^(m-r))
=(n!)*[x^n](Σ[j=0〜r]comb(r,j)*exp(j*x)*((-1)^(r-j))*exp((m-r)*x))
=(n!)*[x^n](Σ[j=0〜r]comb(r,j)*((-1)^(r-j))*exp((j+m-r)*x))
=(n!)*(Σ[j=0〜r]comb(r,j)*((-1)^(r-j))*(j+m-r)^n/(n!))
=Σ[j=0〜r]comb(r,j)*((-1)^(r-j))*(j+m-r)^n．

また，n個の文字から成る文字列のうち，ちょうど k 種類の文字から構成されているような
ものの総数をb(n,m,k)とすると，
b(n,m,k) = comb(m,k)*a(n,k,k) = Σ[j=0〜k]comb(m,k)*comb(k,j)*((-1)^(k-j))*(j)^n．

このようにして得られた a(n,m,r)，b(n,m,k) の計算式を使って計算したものが以下．

問題1：a(4,10,2)=974

問題2：a(5,10,3)=4350

問題3：b(4,10,3)=4320

問題4：b(5,10,3)=18000

問題5：b(5,10,4)=50400

追加問題：
b(8,10,1)=10,
b(8,10,2)=11430,
b(8,10,3)=695520,
b(8,10,4)=8573040,
b(8,10,5)=31752000,
b(8,10,6)=40219200,
b(8,10,7)=16934400,
b(8,10,8)=1814400
であるので，8桁の番号においては，ちょうど6種類の数字で構成されている番号が一番多い．

b(n,m,k)を求める別解：
m種類の文字のうちの特定の k 種類の文字を個定し，さらにそのうちの特定の p 種類の文字を固定し，
その p 種類の文字から構成されるn個の文字列の総数を d(n,p) とすると，
k^n = Σ[j=0〜k]comb(k,j)*d(n,j) が成り立っている．
この等式に，二項係数の反転公式を使って，
d(n,k)=Σ[j=0〜k]comb(k,j)*((-1)^(k-j))*(j^n)．
よって，b(n,m,k)=comb(m,k)*d(n,k)=Σ[j=0〜k]comb(m,k)*comb(k,j)*((-1)^(k-j))*(j^n)．

ＮＯ４「浜田明巳」 07/30 17時16分　受信 更新 8/2

ｎ桁の番号とは，数学におけるｎ桁の整数ではなく，最高位の数が０でもかまわない数と解釈します．
何故か問題３，４，５のみにそう説明があり，問題１，２，追加問題にはその説明がなかったのが気になりますが．

＜水の流れ：問題１、２、に関しては数字が、１、３、７ですから最高位に０があってもなくても影響ないと考えていました。追加問題は曖昧でから、誤解を招きやすいです。反省します。＞

問題１：９７４個
問題２：４３５０個
問題３：４３２０個
問題４：１８０００個
問題５：５０４００個
追加問題：６種類

（エクセル・マクロ，追加問題だけはVBscript）
問題１
Option Explicit : Dim a(4) As Integer
Sub Macro1()
     Cells(1, 1).Value = 0
     Call saiki1(1)
End Sub
Sub saiki1(ByVal n As Integer)
     Dim deta1 As Integer, deta2 As Integer
     Dim j As Integer
     a(n) = 0
     While a(n) <= 9
       If n < 4 Then
         Call saiki1(n + 1)
       Else
         deta1 = 0 : deta2 = 0
         For j = 1 To 4
           If a(j) = 3 Then
             deta1 = 1
           ElseIf a(j) = 7 Then
             deta2 = 1
           End If
         Next j
         If deta1 + deta2 = 2 Then
           Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
           For j = 1 To 4
             Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j)
           Next j
         End If
       End If
       a(n) = a(n) + 1
     Wend
End Sub

問題２
Option Explicit : Dim a(5) As Integer
Sub Macro2()
     Cells(1, 1).Value = 0
     Call saiki2(1)
End Sub
Sub saiki2(ByVal n As Integer)
     Dim deta1 As Integer, deta2 As Integer, deta3 As Integer
     Dim j As Integer
     a(n) = 0
     While a(n) <= 9
       If n < 5 Then
         Call saiki2(n + 1)
       Else
         deta1 = 0 : deta2 = 0 : deta3 = 0
         For j = 1 To 5
           If a(j) = 1 Then
             deta1 = 1
           ElseIf a(j) = 3 Then
             deta2 = 1
           ElseIf a(j) = 7 Then
             deta3 = 1
           End If
         Next j
         If deta1 + deta2 + deta3 = 3 Then
           Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
           For j = 1 To 5
             Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j)
           Next j
         End If
       End If
       a(n) = a(n) + 1
     Wend
End Sub

問題３
Option Explicit : Dim a(4) As Integer
Sub Macro3()
     Cells(1, 1).Value = 0
     Call saiki3(1)
End Sub
Sub saiki3(ByVal n As Integer)
     Dim b(9) As Integer, wa As Integer
     Dim j As Integer
     a(n) = 0
     While a(n) <= 9
       If n < 4 Then
         Call saiki3(n + 1)
       Else
         For j = 0 To 9
           b(j) = 0
         Next j
         For j = 1 To 4
           b(a(j)) = 1
         Next j
         wa = 0
         For j = 0 To 9
           wa = wa + b(j)
         Next j
         If wa = 3 Then
           Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
           For j = 1 To 4
             Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j)
           Next j
         End If
       End If
       a(n) = a(n) + 1
     Wend
End Sub

問題４
Option Explicit : Dim a(5) As Integer
Sub Macro4()
     Cells(1, 1).Value = 0
     Call saiki4(1)
End Sub
Sub saiki4(ByVal n As Integer)
     Dim b(9) As Integer, wa As Integer
     Dim j As Integer
     a(n) = 0
     While a(n) <= 9
       If n < 5 Then
         Call saiki4(n + 1)
       Else
         For j = 0 To 9
           b(j) = 0
         Next j
         For j = 1 To 5
           b(a(j)) = 1
         Next j
         wa = 0
         For j = 0 To 9
           wa = wa + b(j)
         Next j
         If wa = 3 Then
           Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
           For j = 1 To 5
             Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j)
           Next j
         End If
       End If
       a(n) = a(n) + 1
     Wend
End Sub

問題５
Option Explicit : Dim a(5) As Integer
Sub Macro5()
     Cells(1, 1).Value = 0
     Call saiki5(1)
End Sub
Sub saiki5(ByVal n As Integer)
     Dim b(9) As Integer, wa As Integer
     Dim j As Integer
     a(n) = 0
     While a(n) <= 9
       If n < 5 Then
         Call saiki5(n + 1)
       Else
         For j = 0 To 9
           b(j) = 0
         Next j
         For j = 1 To 5
           b(a(j)) = 1
         Next j
         wa = 0
         For j = 0 To 9
           wa = wa + b(j)
         Next j
         If wa = 4 Then
           Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
           For j = 1 To 5
             Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j)
           Next j
         End If
       End If
       a(n) = a(n) + 1
     Wend
End Sub

追加問題
dim a(8),b(8)
for j=1 to 8
     b(j)=0
next
call saiki6(1,a,b)
m=0
for j=1 to 8
   if b(j)>m then
     m=b(j)
     mm=j
   end if
next
msgbox mm
sub saiki6(n,a(),b())
   dim c(9)
   a(n)=0
   while a(n)<=9
     if n<8 then
       call saiki6(n+1,a,b)
     else
       for j=0 to 9
         c(j)=0
       next
       for j=1 to 8
         c(a(j))=1
       next
       wa=0
       for j=0 to 9
         wa=wa+c(j)
       next
       b(wa)=b(wa)+1
     end if
     a(n)=a(n)+1
   wend
end sub

ＮＯ４「浜田明巳」 08/01 12時58分　受信 更新 8/2

（別解）問題１
i). ３を１個，７を１個使うとき，
　３，７の位置は_４Ｐ_２通り．残りの２箇所の数は８通りずつ．
　全部で，_４Ｐ_２・８^２＝４・３・８^２＝７６８（通り）
ii). ３を２個，７を１個使うとき，
　３の位置は_４Ｃ_２通り，残りの２箇所で７の位置は_２Ｃ_１通り．残りの１箇所の数は８通り．
　全部で，_４Ｃ_２・_２Ｃ_１・８＝(４・３)／２・２・８＝９６（通り）
iii). ３を１個，７を２個使うとき，
　ii).と同様に，９６通り．
iv). ３を２個，７を２個使うとき，
　３の位置は_４Ｃ_２通り，残りの２箇所に７を入れる．
　全部で，_４Ｃ_２＝(４・３)／２＝６（通り）
v). ３を３個，７を１個使うとき，
　３の位置は_４Ｃ_３通り，残りの１箇所に７を入れる．
　全部で，_４Ｃ_３＝_４Ｃ_１＝４（通り）
vi). ３を１個，７を３個使うとき，
　v).と同様，４通り．

　i).〜vi).より，７６８＋９６・２＋６＋４・２＝９７４（通り）

問題２
i). １を１個，３を１個，７を１個使うとき，
　１の位置は_５Ｃ_１通り，残りの４箇所で３の位置は_４Ｃ_１通り，残りの３箇所で７の位置は_３Ｃ_１通り．残りの２箇所の数は７通りずつ．
　全部で，_５Ｃ_１・_４Ｃ_１・_３Ｃ_１・７^２＝５・４・３・７^２＝２９４０（通り）
ii). １を２個，３を１個，７を１個使うとき，
　１の位置は_５Ｃ_２通り，残りの３箇所で３の位置は_３Ｃ_１通り，残りの２箇所で７の位置は_２Ｃ_１通り．残りの１箇所の数は７通り．
　全部で，_５Ｃ_２・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１・７＝(５・４)／２・３・２・７＝４２０（通り）
iii). １を１個，３を２個，７を１個，または１を１個，３を１個，７を２個使うとき，
　ii).と同様に，４２０・２（通り）
iv). １を２個，３を２個，７を１個使うとき，
　１の位置は_５Ｃ_２通り，残りの３箇所で３の位置は_３Ｃ_２通り，残りの１箇所に７を入れる．
　全部で，_５Ｃ_２・_３Ｃ_２＝(５・４)／２・３＝３０（通り）
v). １を２個，３を１個，７を２個，または１を１個，３を２個，７を２個使うとき，
　iv).と同様に，３０・２（通り）
vi). １を３個，３を１個，７を１個使うとき，
　１の位置は_５Ｃ_３通り，残りの２箇所で３の位置は_２Ｃ_１通り，残りの１箇所に７を入れる．
　全部で，_５Ｃ_３・_２Ｃ_１＝(５・４)／２・２＝２０（通り）
vii). １を１個，３を３個，７を１個，または１を１個，３を１個，７を３個使うとき，
　vi).と同様に，２０・２（通り）

　i).〜vii).より，２９４０＋４２０・３＋３０・３＋２０・３＝４３５０（通り）

問題３
　４桁の数をａ，ａ，ｂ，ｃ（ａ≠ｂ≠ｃ≠ａ，{ａ，ｂ，ｃ}⊂{０，１，２，・・・，９}）で表す．
　ａ，ｂ，ｃを０〜９から選ぶ方法は，ｂ，ｃは同等であるので，_１０Ｐ_３／２！通り．
　ａ，ａ，ｂ，ｃの並び方は，ａが２個重複しているので，４！／２！通り．
　全部で，_１０Ｐ_３／２！・４！／２！＝(１０・９・８)／２・(４・３)＝４３２０（通り）

問題４
　ａ≠ｂ≠ｃ≠ａ，{ａ，ｂ，ｃ}⊂{０，１，２，・・・，９}とする．
i). ５桁の数をａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃで表すとき，
　ａ，ｂ，ｃを０〜９から選ぶ方法は，ａ，ｂは同等であるので，_１０Ｐ_３／２！通り．
　ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃの並び方は，ａ，ｂが２個ずつ重複しているので，５！／(２！・２！)通り．
　全部で，_１０Ｐ_３／２！・５！／(２！・２！)＝(１０・９・８)／２・(５・４・３)／２＝１０８００（通り）
ii). ５桁の数をａ，ａ，ａ，ｂ，ｃで表すとき，
　ａ，ｂ，ｃを０〜９から選ぶ方法は，ｂ，ｃは同等であるので，_１０Ｐ_３／２！通り．
　ａ，ａ，ａ，ｂ，ｃの並び方は，ａが３個重複しているので，５！／３！通り．
　全部で，_１０Ｐ_３／２！・５！／３！＝(１０・９・８)／２・(５・４)＝７２００（通り）

　i).，ii).より，１０８００＋７２００＝１８０００（通り）

問題５
　５桁の数をａ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ（ａ，ｂ，ｃ，ｄは互いに異なる，{ａ，ｂ，ｃ，ｄ}⊂{０，１，２，・・・，９}）で表す．
　ａ，ｂ，ｃ，ｄを０〜９から選ぶ方法は，ｂ，ｃ，ｄの区別をつけないので，_１０Ｐ_４／３！通り．
　ａ，ａ，ｂ，ｃ，ｄの並び方は，ａが２個重複しているので，５！／２！通り．
　全部で，_１０Ｐ_４／３！・５！／２！＝(１０・９・８・７)／(３・２)・(５・４・３)＝５０４００（通り）

問題６
　{ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ}⊂{０，１，２，・・・，９}，ａ〜ｈは互いに異なるとして，上記と同様に解く．
i). １種類のとき，ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ａとなり，１０通り．

ii). ２種類のとき，
　ア). ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ｂのとき，_１０Ｐ_２・_８Ｃ_７通り．
　イ). ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂのとき，_１０Ｐ_２・_８Ｃ_６通り．
　ウ). ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｂのとき，_１０Ｐ_２・_８Ｃ_５通り．
　エ). ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｂ，ｂのとき，_１０Ｐ_２／２！・_８Ｃ_４通り．
　ア).〜エ).より，
　　_１０Ｐ_２・_８Ｃ_７＋_１０Ｐ_２・_８Ｃ_６＋_１０Ｐ_２・_８Ｃ_５＋_１０Ｐ_２／２！・_８Ｃ_４
　＝１０・９・{８＋(８・７)／２＋(８・７・６)／(３・２)＋１／２・(８・７・６・５)／(４・３・２)}
　＝１１４３０（通り）

iii). ３種類のとき，
　ア). ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｃのとき，_１０Ｐ_３／２！・_８Ｃ_６・_２Ｃ_１通り．
　イ). ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃのとき，_１０Ｐ_３・_８Ｃ_５・_３Ｃ_２通り．
　ウ). ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｂ，ｃのとき，_１０Ｐ_３・_８Ｃ_４・_４Ｃ_３通り．
　エ). ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｃのとき，_１０Ｐ_３／２！・_８Ｃ_４・_４Ｃ_２通り．
　オ). ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｂ，ｃ，ｃのとき，_１０Ｐ_３／２！・_８Ｃ_３・_５Ｃ_３通り．
　ア).〜オ).より，
　　_１０Ｐ_３／２！・_８Ｃ_６・_２Ｃ_１＋_１０Ｐ_３・_８Ｃ_５・_３Ｃ_２＋_１０Ｐ_３・_８Ｃ_４・_４Ｃ_３＋_１０Ｐ_３／２！・_８Ｃ_４・_４Ｃ_２
　　　＋_１０Ｐ_３／２！・_８Ｃ_３・_５Ｃ_３
　＝１０・９・８・{１／２・(８・７)／２・２＋(８・７・６)／(３・２)・３＋(８・７・６・５)／(４・３・２)・４
　　　＋１／２・(８・７・６・５)／(４・３・２)・(４・３)／２＋１／２・(８・７・６)／(３・２)・(５・４)／２}
　＝６９５５２０（通り）

iv). ４種類のとき，
　ア). ａ，ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｃ，ｄのとき，_１０Ｐ_４／３！・_８Ｃ_５・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１通り．
　イ). ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｄのとき，_１０Ｐ_４／２！・_８Ｃ_４・_４Ｃ_２・_２Ｃ_１通り．
　ウ). ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｂ，ｃ，ｄのとき，_１０Ｐ_４／(２！・２！)・_８Ｃ_３・_５Ｃ_３・_２Ｃ_１通り．
　エ). ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｃ，ｄのとき，_１０Ｐ_４／２！・_８Ｃ_３・_５Ｃ_２・_３Ｃ_２通り．
　オ). ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｃ，ｄ，ｄのとき，_１０Ｐ_４／４！・_８Ｃ_２・_６Ｃ_２・_４Ｃ_２通り．
　ア).〜オ).より，
　　_１０Ｐ_４／３！・_８Ｃ_５・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１＋_１０Ｐ_４／２！・_８Ｃ_４・_４Ｃ_２・_２Ｃ_１
　　　＋_１０Ｐ_４／(２！・２！)・_８Ｃ_３・_５Ｃ_３・_２Ｃ_１＋_１０Ｐ_４／２！・_８Ｃ_３・_５Ｃ_２・_３Ｃ_２
　　　＋_１０Ｐ_４／４！・_８Ｃ_２・_６Ｃ_２・_４Ｃ_２
　＝１０・９・８・７・{１／(３・２)・(８・７・６)／(３・２)・３・２
　　　＋１／２・(８・７・６・５)／(４・３・２)・(４・３)／２・２
　　　＋１／(２・２)・(８・７・６)／(３・２)・(５・４)／２・２＋１／２・(８・７・６)／(３・２)・(５・４)／２・３
　　　＋１／(４・３・２)・(８・７)／２・(６・５)／２・(４・３)／２}
　＝８５７３０４０（通り）

v). ５種類のとき，
　ア). ａ，ａ，ａ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅのとき，_１０Ｐ_５／４！・_８Ｃ_４・_４Ｃ_１・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１通り．
　イ). ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅのとき，_１０Ｐ_５／３！・_８Ｃ_３・_５Ｃ_２・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１通り．
　ウ). ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｃ，ｄ，ｅのとき，_１０Ｐ_５／(３！・２！)・_８Ｃ_２・_６Ｃ_２・_４Ｃ_２・_２Ｃ_１通り．
　ア).〜ウ).より，
　　_１０Ｐ_５／４！・_８Ｃ_４・_４Ｃ_１・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１＋_１０Ｐ_５／３！・_８Ｃ_３・_５Ｃ_２・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１
　　　＋_１０Ｐ_５／(３！・２！)・_８Ｃ_２・_６Ｃ_２・_４Ｃ_２・_２Ｃ_１
　＝１０・９・８・７・６・{１／(４・３・２)・(８・７・６・５)／(４・３・２)・４・３・２
　　　＋１／(３・２)・(８・７・６)／(３・２)・(５・４)／２・３・２＋１／(３・２・２)・(８・７)／２・(６・５)／２・(４・３)／２・２}
　＝３１７５２０００（通り）

vi). ６種類のとき，
　ア). ａ，ａ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆのとき，_１０Ｐ_６／５！・_８Ｃ_３・_５Ｃ_１・_４Ｃ_１・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１通り．
　イ). ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆのとき，_１０Ｐ_６／(２！・４！)・_８Ｃ_２・_６Ｃ_２・_４Ｃ_１・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１通り．
　ア).，イ).より，
　　_１０Ｐ_６／５！・_８Ｃ_３・_５Ｃ_１・_４Ｃ_１・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１＋_１０Ｐ_６／(２！・４！)・_８Ｃ_２・_６Ｃ_２・_４Ｃ_１・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１
　＝１０・９・８・７・６・５・{１／(５・４・３・２)・(８・７・６)／(３・２)・５・４・３・２ｎ
　　　＋１／(２・４・３・２)・(８・７)／２・(６・５)／２・４・３・２}
　＝４０２１９２００（通り）

vii). ７種類のとき，
　ａ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇとなり，
　　_１０Ｐ_７／６！・_８Ｃ_２・_６Ｃ_１・_５Ｃ_１・_４Ｃ_１・_３Ｃ_１・_２Ｃ_１
　＝(１０・９・８・７・６・５・４)／(６・５・４・３・２)・(８・７)／２・６・５・４・３・２
　＝１６９３４４００（通り）

viii). ８種類のとき，
　ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈとなり，
　　_１０Ｐ_８＝１０・９・８・７・６・５・４・３＝１８１４４００（通り）

　i).〜viii).より，６種類が一番多い．

＜水の流れ：追加問題の解法例＞

8桁の８つの位をｋ種類に分ける方法の数が「第２種スターリング数」S(８,ｋ)で、そのｋ種類に０から９までの数字をあてはめるほうほうが

順列の_１０Ｐ_ｋです。

ｋ＝１のときS(８,１)×_１０Ｐ_１＝1×１０＝１０

ｋ＝２のときS(８,２)×_１０Ｐ_２＝１２７×１０×９＝１１，４３０

ｋ＝３のときS(８,３)×_１０Ｐ_３＝９６６×１０×９×８＝６９５，５２０

ｋ＝４のときS(８,４)×_１０Ｐ_４＝１７０１×１０×９×８×７＝８，５７３，０４０

ｋ＝５のときS(８,５)×_１０Ｐ_５＝１０５０×１０×９×８×７×６＝３１，７５２，０００

ｋ＝６のときS(８,６)×_１０Ｐ_６＝２６６×１０×９×８×７×６×５＝４０，２１９，２００

ｋ＝７のときS(８,７)×_１０Ｐ_７＝２８×１０×９×８×７×６×５×４＝１６，９３４，４００

ｋ＝８のときS(８,８)×_１０Ｐ_８＝１×１０×９×８×７×６×５×４×３＝１，８１４，４００

以上より、6種類のときが一番多い。

さらに、

問題３はS(４,３)×_１０Ｐ_３＝６×１０×９×８＝４，３２０

問題４はS(５,３)×_１０Ｐ_３＝２５×１０×９×８＝１８，０００

問題５はS(５,４)×_１０Ｐ_４＝１０×１０×９×８×７＝５０，４００

ここで、「第２種スターリング数」S(ｎ,ｋ)を表にします。ただし、１≦ｋ≦ｎ

S(ｎ,ｋ)	１	２	３	４	５	６	７	８	ビル数
１	１								１
２	１	１							２
３	１	３	１						５
４	１	７	６	１					１５
５	１	１５	２５	１０	１				５２
６	１	３１	９０	６５	１５	１			２０３
７	１	６３	３０１	３５０	１４０	２１	１		８７７
８	１	１２７	９６６	１７０１	１０５０	２６６	２８	１	４１４０

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。