令和２年３月１５日

[流れ星]

　　　　第383回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：2月16日〜3月15日＞

［ワクチン投与］

今、新型コロナウイルス肺炎で大変なことになっています。

ある肺炎の人にワクチンＡを投与して治療すれば、その人の症状が等しい確率で、「改善」、「変化なし」、「悪化」のいずれかに分類される状態になるとき、次の質問に答えよ。

問題１　３人に投与したとき、

（１）２人以上「改善」される確率を求めよ。

（２）３種類の状態になる確率を求めよ。

問題２　６人に投与したとき、

（１）４人以上「改善」される確率を求めよ。

（２）３種類の状態になる確率を求めよ。

（３）３人ずつが同じ状態になる確率を求めよ。

ここで、投与するワクチンをＢに変えます。このワクチンＢで治療すれば、「改善」、「変化なし」、「悪化」になる確率は、２分の１、3分の１、6分の１です。　　次の質問に答えよ。

問題３　５人に投与したとき、

（１）２人「改善」、２人「変化なし」、１人「悪化」となる確率を求めよ。

（２）３人以上「改善」される確率を求めよ。

（３）３種類の状態になる確率を求めよ。

　また、最後の確率は分数と小数第1位を四捨五入して何％の両方書いておいてください。

＜水の流れ：赤の最後の意図は、皆さんに誤解を招く言葉でした。

答えが分数の形では割合がピントこないと思い％でも書いてもらいたかったです。だから、問題１から問題３までのすべての質問を指しています。21日夜記入＞

NO1「早起きのおじさん」 02/16 16時39分　受信 更新 3/15

先ず、多項定理の確認をします。

を展開したときの項 の係数は、 です。(ただし、 )

ワクチンAを投与したとき、「改善」される確率をp、「変化なし」の確率をq、「悪化」する確率をrとします。

問題1

(1)

症状を「改善」と「その他(確率s)」とします。

下線部の確率を求めます。

(2)

を展開したときの項 を考えて、

問題2

を展開したとき、

(1)

4人以上「改善」の場合は、

・ を考えて、

・ を考えて、

・ を考えて、

これらを合計すると、

(2)

3種類の状態になるときは、

・ を考えて、

・ を考えて、

・ を考えて、

これらを合計すると、

(3)

3人ずつが同じ状態になるときは、

・ を考えて、

ワクチンBを投与したとき、「改善」される確率をp、「変化なし」の確率をq、「悪化」する確率をrとします。

問題3

を展開したとき、

(1)

2人「改善」、2人「変化なし」、1人「悪化」となるときは、

・ を考えて、

(2)

3人以上改善となるときは、

・ を考えて、

・ を考えて、

・ を考えて、

これらを合計すると、

(3)

3種類の状態になるときは、

・ を考えて、

・ を考えて、

これらを合計すると、

NO2「スモークマン」 02/17 22時38分　受信 更新 3/15

問題１　３人に投与したとき、

（１）２人以上「改善」される確率を求めよ。

2人…3通り…残り一人は変化なしか悪化の2通り・・・so…3*2=6通り

3人…1通り

結局…(6+1)/3^3=7/27

（２）３種類の状態になる確率を求めよ。

3!/3^3=6/27＝2/9

問題２　６人に投与したとき、

（１）４人以上「改善」される確率を求めよ。

４人・・・6C4=15…残り2人が2^2・・・15*2^2=60

５人・・・6*2=12

６人・・・1

結局…(60+12+1)/3^6=73/729

「スモークマン」 02/18 18時41分　受信 更新 3/15

問題2

（２）３種類の状態になる確率を求めよ。

(3^6-3-3*(2^6-2))/3^6=540/729=20/27 　

（３）３人ずつが同じ状態になる確率を求めよ。

3人の選び方…6C3=20

2種類の状態の組み合わせ…3C2=3

so…

20*3*(2^2-2)/2!=60

結局…60/3^6=20/243 　　

ここで、投与するワクチンをＢに変えます。このワクチンＢで治療すれば、「改善」、「変化なし」、「悪化」になる確率は、２分の１、3分の１、6分の１です。　　次の質問に答えよ。

問題３　５人に投与したとき、

（１）２人「改善」、２人「変化なし」、１人「悪化」となる確率を求めよ。

5*4!/(2!2!)*(1/2)^2*(1/3)^2*(1/6)=5/36

（２）３人以上「改善」される確率を求めよ。

5C3*(1/2)^3*(2*(1/3)(1/6)+(1/3)^2+(1/6)^2)

+5C4*(1/2)^4*(1/3+1/6)

+(1/2)^5

=1/2

（３）３種類の状態になる確率を求めよ。

12311,12322,12333

12312,12313,12323

so…

11123・・・(5!/3!)*(1/2)^3*(1/3)(1/6)=5/36

11223,11233・・・5!/(2!2!)*(1/2)^2*((1/3)^2*(1/6)+(1/3)(1/6)^2)=5/24

12223,12233,12333・・・(5!/3!)(1/2)((1/3)^3*(1/6)+(1/3)(1/6)^3)+5!/(2!2!)*(1/2)*(1/3)^2*(1/6)^2=10/81

合計=5/36+5/24+10/81=305/648

=0.4706…

so…47%

NO3「浜田明巳」 02/19 11時24分　受信 更新 3/15

問題１．３人投与

（１）３人とも改善される確率は，(１／３)３＝１／２７

　特定の２人のみが改善される確率は，(１／３)２・(１−１／３)＝２／２７

　２人のみが改善される確率は，３Ｃ２・２／２７＝６／２７

　求める確率は，１／２７＋６／２７＝７／２７・・・（答）

（別解）排反事象の確率を求める．

　全員が変化なし，または悪化する確率は，(２／３)３＝８／２７

　１人のみが改善される確率は，３Ｃ１・１／３・(２／３)２＝１２／２７

　求める確率は，１−(８／２７＋１２／２７)＝１−２０／２７＝７／２７

（２）特定の１人が改善，１人が変化なし，１人が悪化のとき，(１／３)３＝１／２７

　３人が３種類の状態になるとき，

　　３！・１／２７＝２／９・・・（答）

問題２．６人投与

（１）６人全員が改善される確率は，(１／３)６＝１／３６

　５人のみが改善される確率は，６Ｃ５・(１／３)５・２／３＝１２／３６

　４人のみが改善される確率は，６Ｃ４・(１／３)４・(２／３)２＝６０／３６

　求める確率は，１／３６＋１２／３６＋６０／３６＝７３／７２９・・・（答）

（別解）排反事象の確率を求める．

　６人全員が変化なし，または悪化する確率は，(２／３)６＝６４／３６

　１人のみが改善される確率は，６Ｃ１・１／３・(２／３)５＝１９２／３６

　２人のみが改善される確率は，６Ｃ２・(１／３)２・(２／３)４＝２４０／３６

　３人のみが改善される確率は，６Ｃ３・(１／３)３・(２／３)３＝１６０／３６

　求める確率は，

　　１−(６４／３６＋１９２／３６＋２４０／３６＋１６０／３６)＝１−６５６／３６＝７３／７２９

（２）投与後の状態をＡ，Ｂ，Ｃで表す．

　Ａ４人，Ｂ，Ｃ１人ずつの場合，Ａの選び方が３Ｐ１通りあるので，確率は，

　　６Ｃ４・２Ｃ１・１Ｃ１・(１／３)４・１／３・１／３・３Ｐ１＝９０／３６＝１０／３４

　Ａ３人，Ｂ２人，Ｃ１人の場合，Ａ，Ｂ，Ｃの選び方が３Ｐ３通りあるので，確率は，

　　６Ｃ３・３Ｃ２・１Ｃ１・(１／３)３・(１／３)２・１／３・３Ｐ３＝３６０／３６＝４０／３４

　Ａ，Ｂ，Ｃ２人ずつの場合，確率は，

　　６Ｃ２・４Ｃ２・２Ｃ２・(１／３)２・(１／３)２・(１／３)２＝９０／３６＝１０／３４

　求める確率は，

　　１０／３４＋４０／３４＋１０／３４＝６０／３４＝２０／２７・・・（答）

（３）投与後の状態をＡ，Ｂで表す．

　Ａ３人、Ｂ３人の場合，Ａ，Ｂの選び方は，３Ｃ２通りあるので，確率は，

　　６Ｃ３・(１／３)３・(１／３)３・３Ｃ２＝２０／２４３・・・（答）

問題３．５人投与

（１）２人改善，２人変化なし，１人悪化の確率は，

　　５Ｃ２・３Ｃ２・１Ｃ１・(１／２)２・(１／３)２・１／６＝５／３６（１４％）・・・（答）

（２）５人全員が改善される確率は，(１／２)５＝１／３２

　４人のみが改善される確率は，５Ｃ４・(１／２)４・(１−１／２)＝５／３２

　３人のみが改善される確率は，５Ｃ３・(１／２)３・(１／２)２＝５／１６

　故に確率は，１／３２＋５／３２＋５／１６＝３／１６＋５／１６＝１／２（５０％）・・・（答）

（別解）排反事象の確率を求める．

　５人全員が変化なし，または悪化する確率は，(１／２)５＝１／３２

　１人のみが改善される確率は，５Ｃ１・１／２・(１／２)４＝５／３２

　２人のみが改善される確率は，５Ｃ２・(１／２)２・(１／２)３＝５／１６

　・・・

（３）Ａを改善，Ｂを変化なし，Ｃを悪化とする．

　Ａ３人，Ｂ，Ｃ１人ずつのとき，５Ｃ３・２Ｃ１・１Ｃ１・(１／２)３・１／３・１／６

　Ｂ３人，Ａ，Ｃ１人ずつのとき，５Ｃ３・２Ｃ１・１Ｃ１・(１／３)３・１／２・１／６

　Ｃ３人，Ａ，Ｂ１人ずつのとき，５Ｃ３・２Ｃ１・１Ｃ１・(１／６)３・１／２・１／３

　以上をまとめると，

　　５Ｃ３・２Ｃ１・１Ｃ１・１／２・１／３・１／６・{(１／２)２＋(１／３)２＋(１／６)２}＝３５／１６２

　Ａ，Ｂ２人ずつ，Ｃ１人，または，Ａ，Ｃ２人ずつ，Ｂ１人，または，Ｂ，Ｃ２人ずつ，Ｃ１人のとき，

　　５Ｃ２・３Ｃ２・１Ｃ１・１／２・１／３・１／６・(１／２・１／３＋１／２・１／６＋１／３・１／６)

　　＝５５／２１６

　求める確率は，

　　３５／１６２＋５５／２１６＝３０５／６４８（４７％）・・・（答）

VBSCRIPTで解いた．

プログラムで解けば，複雑な場合分けを一切考える必要がない．

dim a(6),b(3)

for j=0 to 2:b(j)=0:next

call saiki1(1,a,b)

kotae=""

for j=1 to 2 g=gcd(b(0),b(j))

if j=2 then kotae=kotae&chr(13)

kotae=kotae&"1("&j&")"&(b(j)/g)&"/"&(b(0)/g)

next

for j=0 to 3:b(j)=0:next

call saiki2(1,a,b)

for j=1 to 3

g=gcd(b(0),b(j))

kotae=kotae&chr(13)&"2("&j&")"&(b(j)/g)&"/"&(b(0)/g)

next

for j=0 to 3:b(j)=0:next

call saiki3(1,a,b)

for j=1 to 3

g=gcd(b(0),b(j))

kotae=kotae&chr(13)&"3("&j&")"&(b(j)/g)&"/"&(b(0)/g)&"("&int(b(j)/b(0)*100+.5)&"%)"

next

msgbox kotae

sub saiki1(n,a(),b())

dim c(3)

a(n)=1

while 3>=a(n)'1:改善,2:変化なし,3:悪化

if 3>n then

call saiki1(n+1,a,b)

else

for j=1 to 3:c(j)=0:next

for j=1 to 3:c(a(j))=c(a(j))+1:next

b(0)=b(0)+1

b(1)=b(1)-(c(1)>=2)

b(2)=b(2)-(c(1)=1 and c(2)=1)

end if

a(n)=a(n)+1

wend

end sub

sub saiki2(n,a(),b())

dim c(3)

a(n)=1

while 3>=a(n)

if 6>n then

call saiki2(n+1,a,b)

else

for j=1 to 3:c(j)=0:next

for j=1 to 6:c(a(j))=c(a(j))+1:next

b(0)=b(0)+1

b(1)=b(1)-(c(1)>=4)

b(2)=b(2)-(c(1)>0 and c(2)>0 and c(3)>0)

b(3)=b(3)-((c(1)=3 and c(2)=3) or (c(2)=3 and c(3)=3) or (c(3)=3 and c(1)=3))

end if

a(n)=a(n)+1

wend

end sub

sub saiki3(n,a(),b())

dim c(3)

a(n)=1

while 6>=a(n)'1,2,3:改善,4,5:変化なし,6:悪化

if 5>n then

call saiki3(n+1,a,b)

else

for j=1 to 3:c(j)=0:next

for j=1 to 5

jj=-(3>=a(j))-2*(a(j)=4 or a(j)=5)-3*(a(j)=6)

c(jj)=c(jj)+1

next

b(0)=b(0)+1

b(1)=b(1)-(c(1)=2 and c(2)=2)

b(2)=b(2)-(c(1)>=3)

b(3)=b(3)-(c(1)>0 and c(2)>0 and c(3)>0)

end if

a(n)=a(n)+1

wend

end sub

function gcd(x,y)

if y=0 then gcd=x else gcd=gcd(y,x mod y)

end function

NO4「ジョーカー」 　 02/22 22時40分　受信 更新 3/15

寄せられた解答です

また、3次関数に関する問題です。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。