平成１９年１月１４日
[流れ星]
第1８４回数学的な応募問題解答NO2
＜解答募集期間：１２月２４日〜１月１４日
［自然数の分割］
皆さん、今までのご愛顧に深く感謝しつつ、引き続き平成１９年もよろしくお願いします。
自然数ｎをいくつかの自然数の和として、ｎ＝ｎ１＋ｎ２＋・・・＋ｎｒ（ｒ≧１）
の形に表すことを考える。この分割の総数をＱ（ｎ）とする。
例えばｎ＝３のとき、１＋１＋１、１＋２、２＋１、３ の４通りに表されるから、Ｑ（３）＝４となる。
次に、項の順序を考えた１≦ｎ１≦ｎ２≦・・・≦ｎｒ のときの総数をＰ（ｎ）とする。
例えばｎ＝３のとき、１＋１＋１，１＋２，３の３通りになるからＰ（３）＝３となる。
さらに、ここで、ｎをこのような和で表すすべての表し方について、項の積 ｎ１×ｎ２×・・・×ｎｒ を考え、その最大値をＭ（ｎ） とする。例えばｎ＝３のとき、項の積は１×１×１＝１，１×２＝２，３となるから、Ｍ（３）＝３となる。
ここから、問題です。
問題１：Ｑ（ｎ）を求めよ。最初に、ｎ＝１，２，３，４，５，６と具体的に求めてから、考えてください。答えは指数の形でも良い。
問題２：Ｐ（ｎ）をｎで表したいのですが、未解決問題でして、そこで、ｎ＝１，２，３，４，５，６、７，８，と具体的に求めてから、ｎ＝20までのＰ（ｎ）を知りたい。ここは、オイラーの５角数定理を用いて、次の漸化式を利用してください。
Ｐ（ｎ）＝Ｐ（ｎ―１）＋Ｐ（ｎ―２）―Ｐ（ｎ―５）―Ｐ（ｎ―７）
＋Ｐ（ｎ―１２）＋Ｐ（ｎ―１５）―Ｐ（ｎ―２２）―Ｐ（ｎ―２６）＋・・・
ただし、Ｐ（０）＝１とする
問題３：Ｍ（ｎ）を求めよ。最初に、ｎ＝１，２，３，４，５，６、７、８と具体的に求めてから、考えてください。
＜参考文献１：数学の知性（ｗ・ダンハム著中村由子訳）「現代数学社」
２：オイラーの無限解析（高瀬正仁訳）「海鳴社」
３：整数の分割（佐藤文広訳）「数学書房」＞
＜水の流れコメント：参考文献の記述は平成１９年１月７日である＞
ＮＯ１「kashiwagi｣12/28 08時12分受信
更新1/14
ＮＯ２「Toru」 12/28 12時54分受信 更新1/14
ＮＯ３「uchinyan」12/29 17時21分受信
更新1/14
ＮＯ４「浜田明巳」01/04 12時01分受信 更新1/14
以上は解答ＮＯ１をご覧下さい。
ＮＯ５「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 01/09 01時56分受信 更新1/14
遅ればせながら、、、謹賀新年 今年もよろしくお願いします〜Orz〜
れいによって、、、久しぶりに分かるものだけチャレンジします。
問題１：Ｑ（ｎ）を求めよ。最初に、ｎ＝１，２，３，４，５，６と具体的に求めてから、考えてください。答えは指数の形でも良い。
解答
111・・・111 と n 個の1の間の区切り方に対応するから、
Q(n)=nC0+nC1+・・・+nCn=2^n
問題２：Ｐ（ｎ）をｎで表したいのですが、未解決問題でして、そこで、ｎ＝１，２
，３，４，５，６、７，８，と具体的に求めてから、ｎ＝20までのＰ（ｎ）を知りた
い。
解答
P(20) は、
20,19-1,18-2,18-1-1,17-3,17-2-1,17-1-1-1,16-4,16-3-1,16-2-2,16-2-1-1,16-1-1-1-1,15-5,15-4-1,15-3-2,15-3-1-1,15-2-2-1,15-2-1-1-1,15-1-1-1-1-1,14-6,14-5-1,14-4-2,14-4-1-1,14-3-3,14-3-2-1,14-3-1-1-1,14-2-2-2,14-2-2-1-1,14-2-1-1-1-1,14-1-1-1-1-1-1,13-7,13-6-1,13-5-2,13-5-1-1,13-4-3,13-4-2-1,13-4-1-1-1
,13-3-3-1,13-3-2-1-1,13-3-1-1-1-1,13-2-1-1-1-1-1,13-1-1-1-1-1-1-1-1,12-8,12-7-1,12-6-2,12-6-1-1,12-5-3,12-5-2-1,12-5-1-1-1,12-4-4,12-4-3-1,12-4-2-2,12-4-2-1-1-,12-4-1-1-1-1,12-3-3-2,12-3-3-1-1,12-3-2-2-1,12-3-2-1-1-1,12-3-1-1-1-1-1,12-2-2-2-2,12-2-2-2-1-1,12-2-2-1-1-1-1,12-2-1-1-1-1-1-1,12-1-1-1-1
-1-1-1-1,11-9,11-8-1,11-7-2,11-7-1-1,11-6-3,11-6-2-1,11-6-1-1-1,11-5-4,11-5-3-1,11-5-2-2,11-5-2-1-1,11-5-1-1-1-1,11-4-4-1,11-4-3-2,11-4-3-1-1,11-4-2-2-1,11-4-2-1-1-1,11-4-1-1-1-1-1,11-3-3-3,11-3-3-2-1,11-3-3-1-1-1,11-3-2-2-2,11-3-2-2-1-1,11-3-2-1-1-1-1,11-3-1-1-1-1-1-1,11-2-2-2-2-1,11-2-2-2-1-1-1,
11-2-2-1-1-1-1,11-2-1-1-1-1-1-1-1,11-1-1-1-1-1-1-1-1-1,10-10,10-9-1,10-8-2,
・・・
9-9-2,9-9-1-1,9-8-3,9-8-2-1,9-8-1-1-1,9-7-4,9-7-3-1,9-7-2-2,9-7-2-1-1,9-7-1-1-1-1,9-6-5,9-6-4-1,9-6-3-2,9-6-3-1-1,9-6-2-2-1,9-6-2-1-1-1,9-6-1-1-1-1-1,9-5-4-2,9-5-4-1-1,9-5-3-3,9-5-3-2-1,9-5-3-1-1-1,9-5-2-2-2,9-5-2-2-1-1,9-5-2-1-1-1-1,9-5-1-1-1-1-1-1,9-4-4-3,9-4-4-2-1,9-4-4-1-1-1,9-4-3-3-1,9-4-3-2-
1-1,9-4-3-1-1-1-1,9-4-2-2-2-1,9-4-2-2-1-1-1,9-4-2-1-1-1-1-1,9-4-1-1-1-1-1-1-1,9-3-3-3-2,9-3-3-3-1-1,9-3-3-2-2-1,9-3-3-2-1-1-1,9-3-3-1-1-1-1-1,9-3-2-2-2-2,9-3-2-2-2-1-1,9-3-2-2-1-1-1-1,9-3-2-1-1-1-1-1-1,9-3-1-1-1-1-1-1-1-1,9-2-2-2-2-2-1,9-2-2-2-2-1-1-1,9-2-2-2-1-1-1-1-1,9-2-2-1-1-1-1-1-1-1,9-2-1-1-
1-1-1-1-1-1-1,9-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1,
・・・
つまり、
20・・・1
19・・・P(1)=1
18・・・P(2)
17・・・P(3)
・
・
・
10・・・P(10)
9・・・P(9)*9
8・・・P(8)*8
・
・
・
1・・・P(1)*1
合計で、
P(20)=P(10)+10*P(9)+9*P(8)+・・・+2*P(1)+1
これを漸化式みたいにすればいいのかなあ・・・(^^;
＜水の流れコメント：こちらで考えていた答えとあっていないけど、漸化式を利用していただければ＞
問題３：Ｍ（ｎ）を求めよ。最初に、ｎ＝１，２，３，４，５，６、７、８と具体的
に求めてから、考えてください。
回答
1*2<3,1*3<2^2,1*4<2*3,2^3<3^2 なので、
n=3m のとき、M(n)=3^m
n=3m+1 のとき、M(n)=3^(m-1)*2^2
n=3m+2 のとき、M(n)=3^m*2
＜水の流れ：この問題解答は参考に次のサイトをご覧下さい。
