平成２０年６月１５日

[流れ星]

　　　　　第２０８回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：５月１８日〜６月１５日

［奇数乗和］

皆さん、累乗和（奇数乗）の公式を導き方法をご存知ですか。

過去の大学入試問題を見ていたら、北見工業大学の2002年に下のような問題がでていました。

一部改題しています。生徒には教えたい解法です。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。

NO1「uchinyan」 5/18 12時22分受信 更新6/15

第２０８回数学的な応募問題
［奇数乗和］

とにかく，指示に従って計算していきます。

(1)
a(n) = {n(n-1)}^2
b(n) = a(n+1) - a(n)
= {(n+1)n}^2 - {n(n-1)}^2
= n^2 * {(n+1)^2 - (n-1)^2}
= n^2 * {(n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)}
= n^2 * {4n}
= 4n^3

(2)
�納k=1,n]b(k) = a(n+1) - a(1)
�納k=1,n]{4k^3} = {(n+1)n}^2 - 0
�納k=1,n]{k^3} = 1/4 * {n(n+1)}^2

(3)
a(n) = {n(n-1)}^3
b(n) = a(n+1) - a(n)
= {(n+1)n}^3 - {n(n-1)}^3
= n^3 * {(n+1)^3 - (n-1)^3}
= n^3 * {(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)}
= n^3 * {6n^2 + 2}
= 6n^5 + 2n^3

(4)
�納k=1,n]b(k) = a(n+1) - a(1)
�納k=1,n]{6k^5 + 2k^3} = {(n+1)n}^3 - 0
�納k=1,n]{k^5} = 1/6 * [{n(n+1)}^3 - 2 * �納k=1,n]{k^3}]
= 1/6 * [{n(n+1)}^3 - 2 * 1/4 * {n(n+1)}^2]
= 1/12 * n^2 * (n+1)^2 * (2n^2 + 2n - 1)

(5)
a(n) = {n(n-1)}^4
b(n) = a(n+1) - a(n)
= {(n+1)n}^4 - {n(n-1)}^4
= n^4 * {(n+1)^4 - (n-1)^4}
= n^4 * {(n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1) - (n^4 - 4n^3 + 6n^2 - 4n + 1)}
= n^4 * {8n^3 + 8n}
= 8n^7 + 8n^5

(6)
�納k=1,n]b(k) = a(n+1) - a(1)
�納k=1,n]{8k^7 + 8k^5} = {(n+1)n}^4 - 0
�納k=1,n]{k^7} = 1/8 * [{n(n+1)}^4 - 8 * �納k=1,n]{k^5}]
= 1/8 * [{n(n+1)}^4 - 8 * 1/12 * n^2 * (n+1)^2 * (2n^2 + 2n - 1)]
= 1/24 * n^2 * (n+1)^2 * {(3n^4 + 6n^3 + 3n^2) - (4n^2 + 4n - 2)}
= 1/24 * n^2 * (n+1)^2 * (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2)

(7)
a(n) = {n(n-1)}^5
b(n) = a(n+1) - a(n)
= {(n+1)n}^5 - {n(n-1)}^5
= n^5 * {(n+1)^5 - (n-1)^5}
= n^5 * {(n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1) - (n^5 - 5n^4 + 10n^3 - 10n^2 + 5n - 1)}
= n^5 * {10n^4 + 20n^2 + 2}
= 10n^9 + 20n^7 + 2n^5

(8)
�納k=1,n]b(k) = a(n+1) - a(1)
�納k=1,n]{10k^9 + 20k^7 + 2k^5} = {(n+1)n}^5 - 0
�納k=1,n]{k^9} = 1/10 * [{n(n+1)}^5 - 20 * �納k=1,n]{k^7} - 2 * �納k=1,n]{k^5}]
= 1/10 * [{n(n+1)}^5 - 20 * 1/24 * n^2 * (n+1)^2 * (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2)
- 2 * 1/12 * n^2 * (n+1)^2 * (2n^2 + 2n - 1)]
= 1/60 * n^2 * (n+1)^2 * {6n^3 * (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 5 * (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2) - (2n^2 + 2n - 1)}
= 1/60 * n^2 * (n+1)^2 * (6n^6 + 18n^5 + 3n^4 - 24n^3 + 3n^2 + 18n - 9)
= 1/20 * n^2 * (n+1)^2 * (2n^6 + 6n^5 + n^4 - 8n^3 + n^2 + 6n - 3)
= 1/20 * n^2 * (n+1)^2 * (n^2 + n - 1)(2n^4 + 4n^3 - n^2 - 3n + 3)
最後の因数分解は，Webで調べて答え合わせをして可能なことを知りました (^^;

(感想)
省略しますが，一般に a(n) = {n(n-1)}^m を使えば，順次，奇数乗和が求められるようです。
なかなかうまい方法だと思いました。
なお，一般の場合は，第１６２回で検討しました。

NO2「kashiwagi」 5/20 20時13分受信 更新6/15

階差数列からこのような素晴らしい式の展開が出来るとは・・・・、正に目から鱗です。 この方式は絶対に記憶しておく価値がありますね。

208回解答

（1）

（2）　であるから、（1）を利用して、

　　因って、　

（3）以降も全て（1）、（2）と同様の計算をすれば良いので、途中の過程を飛ばして解答のみ掲げる。

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

NO3「bear56」 5/20 20時14分受信 更新6/15

問題に手順が示されているので，根気を試されているような問題でした．(^_^;)

寄せられた解答です。

NO4「kasama」 6/12 15時57分受信 更新6/15

こんにちは、いつも、問題作成お疲れ様です。
階差をうまく利用すると、等差数列の和を次々に求めることができるのですね。勉強になりました。

(1)	bn=an+1-an={(n+1)n}^2-{n(n-1)}^2=4n^3
(2)	bk=an+1-a1より、
	bk=4k^3={(n+1)n}^2 ⇒k^3={(n+1)n/2}^2
(3)	bn=an+1-an={(n+1)n}^3-{n(n-1)}^3=2n^3+6n^5
(4)	同様にして、
	bk=2k^3+6k^5={(n+1)n}^3 ⇒k^5=[{(n+1)n}^3-2k^3]/6=[{(n+1)n}^3-2･{(n+1)n/2}^2]/6={n(n+1)}^2(2n^2+2n-1)/12
(5)	bn=an+1-an={(n+1)n}^4-{n(n-1)}^4=8n^5+8n^7
(6)	同様にして、
	bk=8k^5+8k^7={(n+1)n}^4 ⇒k^7=[{(n+1)n}^4-8k^5]/8=[{(n+1)n}^4-8･{n(n+1)}^2(2n^2+2n-1)/12]/8 ={n(n+1)}^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)/24
(7)	bn=an+1-an={(n+1)n}^5-{n(n-1)}^5=2n^5+20n^7+10n^9
(8)	同様にして、
	bk=2k^5+20k^7+10k^9={(n+1)n}^5 ⇒k^9=[{(n+1)n}^5-2k^5-20k^7]=[{(n+1)n}^5-2･{n(n+1)}^2(2n^2+2n-1)/12-20･{n(n+1)}^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)/24] ={n(n+1)}^2(n^2+n-1)(2n^4+4n^3-n^2-3n+3)/20