平成２２年１２月１９日

[流れ星]

　　　　　第２５１回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：11月28日〜12月19日

［変曲点を通る直線］

　　　　題意通りに解いていくと計算が複雑になりますが、綺麗な解法もあります。

　

NO1「uchinyan」 11/28 14時04分受信

「uchinyan」 11/29 11時42分受信 更新12/19

一般に，曲線 y = f(x) に対して，次のことがいえます。

変曲点の x 座標は，f''(x) = 0 の実数解αとして与えられます。

つまり，αを実数として，f''(α) = 0 で，変曲点は (α,f(α)) です。

そこで，変曲点を通る曲線を y = g(x) とすると，g(α) = f(α) です。

これより，

f(x) = q(x) * f''(x) + g(x)，ただし q(x) は f''(x) = 0 となる実数 x で有限

と変形できれば，この g(x) が求めるものになります。

特に，二つの異なる変曲点 (α,f(α))，(β,f(β)) を通る曲線は直線なので，

g(x) を x の一次式として，

f(x) = q(x) * f''(x) + g(x)，ただし q(x) は f''(x) = 0 となる実数 x で有限

と変形できれば，

g(α) = f(α)，g(β) = f(β)

となって，しかも g(x) は x の一次式なので完全に決定し，

y = g(x) が求める直線の式になります。

以上のことを踏まえて，解いていきます。

問題１：

y = f(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 3

f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x + 12

f''(x) = 12x^2 - 24x - 4 = 4(3x^2 - 6x - 1)

ここで，f''(x) = 0，3x^2 - 6x - 1 = 0，は，

x = (3 - 2 * sqrt(3))/3，(3 + 2 * sqrt(3))/3

の二つの異なる実数解をもつので，最初の議論が使えて，

x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 3 = (x^2/12 - x/6 - 17/36)(12x^2 - 24x - 4) + 10/9

(一応，検算。

(x^2/12 - x/6 - 17/36)(12x^2 - 24x - 4) + 10/9

= x^4 - 2x^3 - 17/3 * x^2 - 2x^3 + 4x^2 + 34/3 * x - 1/3 * x^2 + 2/3 * x + 17/9 + 10/9

= x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 3

OK みたい (^^; )

f(x) = q(x) * f''(x) + 10/9，q(x) = (x^2/12 - x/6 - 17/36)

ここで明らかに，q(x) は，f''(x) = 0 となる実数 x で有限，です。

そこで，求める直線の式は，y = 10/9 になります。

問題２：

y = f(x) = (x - 1)/(x^2 - 2x + 2)

f'(x) = (1 * (x^2 - 2x + 2) - (x - 1)(2x - 2))/(x^2 - 2x + 2)^2

= (- x^2 + 2x)/(x^2 - 2x + 2)^2

f''(x) = ((- 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)^2 - (- x^2 + 2x) * 2(x^2 - 2x + 2)(2x - 2))/(x^2 - 2x + 2)^4

= 2(x - 1)(- (x^2 - 2x + 2) - 2(- x^2 + 2x))/(x^2 - 2x + 2)^3

= 2(x - 1)(x^2 - 2x - 2)/(x^2 - 2x + 2)^3

ここで，f''(x) = 0，(x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0，は，

x = 1，1 - sqrt(3)，1 + sqrt(3)

で，x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x - 2) + 4 = 4 より，

分母を 0 にしない三つの異なる実数解をもつので，最初の議論が使えます。

そこで，q(x) を f''(x) = 0 となる実数 x で有限，と仮定して，

f(x) = q(x) * f''(x) + (ax + b)

(x - 1)/(x^2 - 2x + 2) = q(x) * 2(x - 1)(x^2 - 2x - 2)/(x^2 - 2x + 2)^3 + (ax + b)

となるような一次式 ax + b を探します。

x = 1 で，a + b = 0

x = 1 - sqrt(3) で，a(1 - sqrt(3)) + b = - sqrt(3)/4

x = 1 + sqrt(3) で，a(1 + sqrt(3)) + b = + sqrt(3)/4

これらより，

a = 1/4，b = - 1/4，q(x) = - 1/8 * (x^2 - 2x + 2)^2

f(x) = - 1/8 * (x^2 - 2x + 2)^2 * f''(x) + (1/4 * x - 1/4)

つまり，a，b についての三つの方程式が矛盾なく一つの解をもち，

また明らかに，q(x) は，f''(x) = 0 となる実数 x で有限，で，

f(x) = q(x) * f''(x) + (1/4 * x - 1/4)，q(x) = - 1/8 * (x^2 - 2x + 2)^2

と変形できることになります。

そこで，三つの変曲点は，一つの直線 y = 1/4 * x - 1/4 上にあることが分かります。

(若干の計算簡便法)

水の流れさんからのコメントを考慮した計算法です。

y = f(x) = (x - 1)/(x^2 - 2x + 2)

y(x^2 - 2x + 2) = x - 1

y' * (x^2 - 2x + 2) + y * 2(x - 1) = 1

y'' * (x^2 - 2x + 2) + y' * 4(x - 1) + 2y = 0

y'' * (x^2 - 2x + 2)^2 + y' * (x^2 - 2x + 2) * 4(x - 1) + 2y * (x^2 - 2x + 2) = 0

y'' * (x^2 - 2x + 2)^2 + (1 - y * 2(x - 1)) * 4(x - 1) + 2y * (x^2 - 2x + 2) = 0

y'' * (x^2 - 2x + 2)^2 + 4(x - 1) - y * (6x^2 - 12x + 4) = 0

y'' * (x^2 - 2x + 2)^2 + 4(x - 1) - 6 * y(x^2 - 2x + 2) + 8y = 0

y'' * (x^2 - 2x + 2)^2 + 4(x - 1) - 6(x - 1) + 8y = 0

y'' * (x^2 - 2x + 2)^2 - 2(x - 1) + 8y = 0

y = - 1/8 * (x^2 - 2x + 2)^2 * y'' + 1/4 * (x - 1)

つまり，

f(x) = - 1/8 * (x^2 - 2x + 2)^2 * f''(x) + (1/4 * x - 1/4)

と変形できます。

後は同じです。

(感想)

真面目に変曲点の y 座標も求めそれらを通る直線を一つずつ求めてもできますが，

少し計算が大変かも。

ただ，計算を楽にしようと工夫すると，似たような解法になりそうですね。

NO2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 12/01 23時14分受信

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 12/03 23時35分受信 更新12/19

(1)
変曲点a,b を通る直線は…(a+b)/2 も通る…
傾きは…g(a,b)={f(a)-f(b)}/(a-b)
f’(x)=4x^3-12x^2-4x+12
f”(x)=12x^2-24x-4=3x^2-6x-1=0 の解がa,b なので…
求める直線は...((a+b)/2, (f(a)+f(b))/2) を通る。
a>b とすれば…
   f(a)=a^4-4a^3-2a^2+12a+3
   f(b)=b^4-4b^3-2b^2+12b+3
   f(a)-f(b)=(a^4-b^4)-4(a^3-b^3)-2(a^2-b^2)+12(a-b)
   g(a,b)=(a^2+b^2)(a+b)-4(a^2+ab+b^2)-2(a+b)+12
        ={(a+b)^2-2ab}(a+b)-4{(a+b)^2-ab}-2(a+b)+12
        =(2^2+2/3)*2-4(2^2+1/3)-2*2+12
        =8+4/3-16-4/3-4+12
        =0
f(a)+f(b)=(a^4+b^4)-4(a^3+b^3)-2(a^2+b^2)+12(a+b)+6

={(a+b)^2-2ab}^2-2a^2b^2-4(a+b){(a+b)^2-3ab}-2{(a+b)^2-2ab}+12(a+b)+6
             =(2^2+2/3)^2-2/9-4*2*(2^2+3/3)-2(2^2+2/3)+12*2+6
             =(14/3)^2-2/9-32-24/3-8-4/3+30
             =196/9-2/9-72/9-12/9-10
             =110/9-10
つまり...(1, 10/9) を通る傾き０の直線：y=10/9

NO3　「MVH」 12/19 00時10分受信 更新12/19

＜水の流れ：この解法は第222回の「多項式の余り」と同じ考え方でも解けます。＞

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。