平成２５年12月22日

[流れ星]

　　　　　第300回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：11月24日〜12月22日＞

［立体の埋め込み］

「大学への数学」１対１対応の演習（数学A）に立体の埋め込み問題がありましたので、紹介します。

問題１：一辺の長さが２の立方体がある。この立方体の６つの面の中心（対角線の交点）を頂点とする正八面体の表面積と内接球の半径を求めよ。

問題２：３辺の長さがＢＣ＝２ａ，ＣＡ＝２ｂ，ＡＢ＝２ｃである鋭角三角形△ＡＢＣの３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点をそれぞれＬ，Ｍ，Ｎとする。線分ＬＭ，ＭＮ，ＮＬに沿って三角形を折り曲げ、四面体を作る。その際、線分ＢＬとＣＬ，ＣＭとＡＭ、ＡＮとＢＮはそれぞれ同一視されて、長さがa、ｂ、ｃの辺になるものとする。この四面体Ａ-ＬＭＮの体積を求めよ。

NO1「uchinyan」 11/24 15時08分受信 更新12/22

問題１：

正八面体の面は一辺 √2 の正三角形になるので，

表面積 = (√3/4 * (√2)^2) * 8 = 4√3

内接球の半径を r とすると，

表面積 * r * 1/3 = 正八面体の体積

4√3 * r * 1/3 = (2 * 2 * 1/2) * 2 * 1/3

r = 1/√3 = √3/3

問題２：

四面体A-LMN において，ベクトルAL = va，ベクトルAM = vb，ベクトルAN = vc とします。

MN = BL = CL = a，NL = CM = AM = b，LM = AN = BN = c なので，

|vc - vb| = a = |va|，|va - vc| = b = |vb|，|vb - va| = c = |vc|

vc・vc - 2(vc・vb) + vb・vb = va・va

va・va - 2(va・vc) + vc・vc = vb・vb

vb・vb - 2(vb・va) + va・va = vc・vc

上式を二つずつ足すと，

(va + vb - vc)・vc = 0，(vb + vc - va)・va = 0，(vc + va - vb)・vb = 0

ここで，ベクトルAD = vd = (va + vb + vc)/4 となる点 D を考え，

D に対して A，L，M，N の対称な点 A'，L'，M'，N' を取ると，

ベクトルAA' = (va + vb + vc)/4 * 2 = (va + vb + vc)/2

ベクトルAL' = ((va + vb + vc)/4 - va) * 2 + va = (vb + vc - va)/2

ベクトルAM' = ((va + vb + vc)/4 - vb) * 2 + vb = (vc + va - vb)/2

ベクトルAN' = ((va + vb + vc)/4 - va) * 2 + vc = (va + vb - vc)/2

そこで，AL⊥AL'，AM⊥AM'，AN⊥AN' がいえます。

さらに，

ベクトルM'N = ベクトルAN - ベクトルAM' = vc - (vc + va - vb)/2 = (vb + vc - va)/2 = ベクトルAL'ベクトルAL'・ベクトルAM' = (vb + vc - va)/2・(vc + va - vb)/2 = (|vc|^2 - |vb - va|^2)/4 = 0

なので，□AL'NM' は長方形です。

同様にして，□AN'LM'，□AN'ML' も長方形になるので，結局，

立体AL'NM'-N'MA'L は直方体になり，

AL，AM，AN は □AN'LM'，□AN'ML'，□AL'NM' の対角線，

LM，MN，NL は □N'MA'L，□ML'NA'，□LM'NA' の対角線，

になります。

そこで，AL' = x，AM' = y，AN' = z とすると，

y^2 + z^2 = a^2，z^2 + x^2 = b^2，x^2 + y^2 = c^2

x^2 + y^2 + z^2 = (a^2 + b^2 + c^2)/2

x = √((b^2 + c^2 - a^2)/2)，y = √((c^2 + a^2 - b^2)/2)，x = √((a^2 + b^2 - c^2)/2)

四面体A-LMN

= 直方体AL'NM'-N'MA'L - 四面体A-LMN' - 四面体A-LN'M - 四面体A-ML'N - 四面体A'-LMN

= xyz - xyz/6 * 4

= xyz/3

= √(2(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2))/12

になります。

(感想)

問題１：は簡単でしたが，問題２：は少し苦労しました。

ただ，［立体の埋め込み］とあったので，

そういえば大分前に似たような問題を考えたことがあったな，と思い出し，何とか。

全くの初見だとかなり苦労しそうな感じですね。

NO2「浜田明巳」　11/27 13時14分受信 更新12/22

問題１
　正六面体ＡＢＣＤＥＦＧＨにおいて，面ＡＢＣＤ，ＡＢＦＥ，ＢＣＧＦ，ＣＤＨＧ，ＤＡＥＨ，ＥＦＧＨの対角線の交点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓ，Ｔ，Ｕとする．

　座標系を導入し，Ｅ(０，０，０)，Ｐ(１，１，２)，Ｕ(１，１，０)，Ｑ(１，０，１)，Ｔ(０，１，１)とする．
　　ＵＱ＝(０^２＋１^２＋１^２)^１／２＝√２
　から,正八面体ＰＱＲＳＴＵの１面は，１辺の長さが√２の正三角形である．
　故に表面積は，
　　√３／４・(√２)^２・８＝４√３

　次に面ＵＱＴの方程式を求める．
　原点Ｅを通らないので，その方程式をａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝１として，Ｕ，Ｑ，Ｔの座標を代入する．
　　ａ＋ｂ＝１………(1)
　　ａ＋ｃ＝１………(2)
　　ｂ＋ｃ＝１………(3)
　{(1)＋(2)＋(3)}÷２から，
　　ａ＋ｂ＋ｃ＝３／２………(4)
　(4)−(3)，(4)−(2)，(4)−(1)から，
　　ａ＝１／２，ｂ＝１／２，ｃ＝１／２
　故に面ＵＱＴの方程式は，
　　１／２・ｘ＋１／２・ｙ＋１／２・ｚ＝１
　　∴ｘ＋ｙ＋ｚ−２＝０
　この平面と，正八面体の中心であるＰＵの中点Ｏ(１，１，１)の距離が，内接球の半径なので，半径は，
　　｜１＋１＋１−２｜／(１^２＋１^２＋１^２)^１／２＝１／√３

問題２
　ＮＬ＝ｂ，ＬＭ＝ｃ，ＭＮ＝ａとなる．
　ｓ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)／２とすると，ヘロンの公式から，
　　△ＬＭＮ＝{ｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)}^１／２
　　　　　　＝{(ａ＋ｂ＋ｃ)／２・(−ａ＋ｂ＋ｃ)／２・(ａ−ｂ＋ｃ)／２・(ａ＋ｂ−ｃ)／２}^１／２
　　　　　　＝１／４・{(ａ＋ｂ＋ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)}^１／２

　∠ＬＮＭ＝θ，Ｎ(０，０，０)，Ｍ(ａ，０，０)，Ｌ(ｂcosθ，ｂsinθ，０)，Ａ(ｘ，ｙ，ｚ)（ｚ＞０）とすると，


　　ＡＮ^２＝ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝ｃ^２………(1)
　　ＡＭ^２＝(ｘ−ａ)^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝ｂ^２………(2)
　　ＡＬ^２＝(ｘ−ｂcosθ)^２＋(ｙ−ｂsinθ)^２＋ｚ^２＝ａ^２………(3)
　(1)−(2)から，
　　２ａｘ−ａ^２＝ｃ^２−ｂ^２
　　∴ｘ＝(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)／(２ａ)
　(1)−(3)から，
　　２ｂcosθ・ｘ＋２ｂsinθ・ｙ−ｂ^２＝ｃ^２−ａ^２
　　∴２ｂsinθ・ｙ＝−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２−２ｂcosθ・ｘ
　　　　　　　　　＝−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２−２ｂ・(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)／(２ａｂ)・(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)／(２ａ)
　　　　　　　　　＝−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２−(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)／(２ａ^２)
　　　　　　　　　＝{(−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２)・２ａ^２−(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)}／(２ａ^２)
　　　　　　　　　＝[{(−２ａ^４＋２ａ^２ｂ^２＋２ａ^２ｃ^２)−{(ａ^２)^２−(ｂ^２−ｃ^２)^２}]／(２ａ^２)
　　　　　　　　　＝{−２ａ^４＋２ａ^２ｂ^２＋２ａ^２ｃ^２−ａ^４＋(ｂ^４−２ｂ^２ｃ^２＋ｃ^４)}／(２ａ^２)
　　　　　　　　　＝(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ａ^２ｃ^２)／(２ａ^２)
　　∴ｙ＝(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)／(４ａ^２ｂsinθ)
　(1)から，
　　ｚ^２＝ｃ^２−ｘ^２−ｙ^２
　　　＝ｃ^２−{(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)／(２ａ)}^２
　　　　　−{(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)／(４ａ^２ｂsinθ)}^２
　　∴４ａ^２ｚ^２＝４ａ^２ｃ^２−(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)^２
　　　　　　　　　−(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)^２／{４ａ^２ｂ^２(１−cos^２θ)}
　　　　　　　＝{２ａｃ＋(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)}{２ａｃ−(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)}
　　　　　　　　　−(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)^２／[４ａ^２ｂ^２{１−(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)^２／(２ａｂ)^２}]
　　　　　　　＝{(ａ＋ｃ)^２−ｂ^２}{ｂ^２−(ａ−ｃ)^２)}
　　　　　　　　　−(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)^２／{４ａ^２ｂ^２−(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)^２}
　　　　　　　＝(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)
　　　　　　　　　−(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)^２／[{２ａｂ＋(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)}{２ａｂ−(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)}]
　　　　　　　＝(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)
　　　　　　　　　−(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)^２／[{(ａ＋ｂ)^２−ｃ^２)}{ｃ^２−(ａ−ｂ)^２}]
　　　　　　　＝(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)
　　　　　　　　　−(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)^２／{(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)}
　　∴４ａ^２(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)ｚ^２
　　　　　　　＝(ａ＋ｂ＋ｃ)^２(ａ−ｂ＋ｃ)^２(ａ＋ｂ−ｃ)^２(−ａ＋ｂ＋ｃ)^２
　　　　　　　　　−(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)^２
　　　　　　　＝{(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)＋(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)}
　　　　　　　　　{(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)−(−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２)}
　　　　　　　＝[{(ａ＋ｃ)^２−ｂ^２}{ｂ^２−(ａ−ｃ)^２}−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２]
　　　　　　　　　[{(ａ＋ｃ)^２−ｂ^２}{ｂ^２−(ａ−ｃ)^２}＋３ａ^４−ｂ^４−ｃ^４−２ａ^２ｂ^２＋２ｂ^２ｃ^２−２ｃ^２ａ^２}
　　　　　　　＝{(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２＋２ａｃ)(−ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２＋２ａｃ)−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２}
　　　　　　　　　{(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２＋２ａｃ)(−ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２＋２ａｃ)＋３ａ^４−ｂ^４−ｃ^４−２ａ^２ｂ^２＋２ｂ^２ｃ^２−２ｃ^２ａ^２}
　　　　　　　＝{(−ａ^４＋ａ^２ｂ^２−ａ^２ｃ^２＋２ａ^３ｃ＋ａ^２ｂ^２−ｂ^４＋ｂ^２ｃ^２−２ａｂ^２ｃ−ａ^２ｃ^２＋ｂ^２ｃ^２−ｃ^４＋２ａｃ^３−２ａ^３ｃ＋２ａｂ^２ｃ−２ａｃ^３＋４ａ^２ｃ^２)−３ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋２ａ^２ｂ^２−２ｂ^２ｃ^２＋２ｃ^２ａ^２}
　　　　　　　　　{(−ａ^４＋ａ^２ｂ^２−ａ^２ｃ^２＋２ａ^３ｃ＋ａ^２ｂ^２−ｂ^４＋ｂ^２ｃ^２−２ａｂ^２ｃ−ａ^２ｃ^２＋ｂ^２ｃ^２−ｃ^４＋２ａｃ^３−２ａ^３ｃ＋２ａｂ^２ｃ−２ａｃ^３＋４ａ^２ｃ^２)＋３ａ^４−ｂ^４−ｃ^４−２ａ^２ｂ^２＋２ｂ^２ｃ^２−２ｃ^２ａ^２}
　　　　　　　＝(−４ａ^４＋４ａ^２ｂ^２＋４ａ^２ｃ^２)(２ａ^４−２ｂ^４−２ｃ^４＋４ｂ^２ｃ^２)
　　　　　　　＝８ａ^２(−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^４−ｂ^４−ｃ^４＋２ｂ^２ｃ^２)
　　　　　　　＝８ａ^２(−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２){ａ^４−(ｂ^２−ｃ^２)^２}
　　　　　　　＝８ａ^２(−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)
　　∴ｚ^２＝２(−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)
　　　　　　　　　／{(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)}
　故に体積は，
　　１／３・△ＬＭＮ・ｚ＝１／３・１／４・{(ａ＋ｂ＋ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)}^１／２
　　　　　　　　　　　　　　・[２(−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)／{(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂ−ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)(−ａ＋ｂ＋ｃ)}]^１／２
　　　　　　　　　　　　＝{(−ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^２−ｂ^２＋ｃ^２)(ａ^２＋ｂ^２−ｃ^２)}^１／２／(６√２)

NO3「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 12/08 22時20分受信 更新12/22

問題１：
図を描けば…

正八面体の体積=(2^2/2)*1*(1/3)*2=4/3
１面が√2の正三角形の面積=(√2)^2*√3/4=√3/2　したがって、８面があるから８倍して　４/√3　　
内接球の半径=r
８*(√3/2)*r/3=4/3　から　　　 r=√3/３
問題２：
これは、等面四面体が直方体に埋め込まれることを知っていれば求められますね ^^
対角線がa,b,cなる直方体の中にできるんですねぇ☆

直方体の辺をx,y,zとすると…
x^2+y^2=a^2
y^2+z^2=b^2
z^2+x^2=c^2

x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/2
x^2=(b^2+c^2-a^2)/2
y^2=(a^2+c^2-b^2)/2
z^2=(a^2+b^2-c^2)/2

けっきょく…
四面体Ａ-ＬＭＮ=xyz-((xyz/2)/3)*4=xyz/3
                     =(√2/12)*√{(b^2+c^2-a^2)*(a^2+c^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)}

なんだか...ヘロンの公式にも似た奇麗な式ね…☆
じっさいに…
1辺1の立方体のときの中では…(√2/12)*(√2)^3=1/3  ^^

NO4「にいばりZ12」12/10 22時35分受信

「にいばりZ12」12/11 22時07分受信 更新12/2

寄せられた解答です。

「にいばりZ12」12/22 02時20分受信 更新12/22

問題2の別解です。

等面四面体の頂点が平面図では折り曲げる前の三角形の垂心になることから解きます。

図1＜寄せられた解答を参照＞

（2ｂ）＾2−ｈａ＾2＝ａ1＾2

（2ｃ）＾2−ｈａ＾2＝（2ａ−ａ1）＾2＝ａ2＾2

ａ1＝（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）／ａ

ａ2＝（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）／ａ

同様にして

ｂ1＝（−ａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２）／ｂ

ｂ2＝（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）／ｂ

ｃ1＝（ａ＾２−ｂ＾２−ｃ＾２）／ｃ

ｃ2＝（−ａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２）／ｃ

△ＢＢ’Ｃ∽△ＢＡ’Ｏから

ｈｂ：ｂ２＝ａ2：ｈａ1

ｈａ1＝ａ2ｂ2／ｈｂ

△ＡＢＣの面積をＳとすると

Ｓ＝２ａｈａ／2

ｈａ＝Ｓ／ａ

ｈｂ＝Ｓ／ｂ

ｈａ1＝ｂ2ａ2／（Ｓ／ｂ）＝ｂｂ2ａ2／Ｓ

四面体の高さをＨとすると

図から

Ｈ＝（（ｈａ／２）＾２−（ｈａ1−ｈａ／）＾2）＾（1/2）＝（ｈａ1（ｈａ−ｈａ1））＾（1/2）

　＝（ｂｂ2ａ2／Ｓ（Ｓ／ａ−ｂｂ2ａ2／Ｓ））＾（1/2）

　＝（ｂｂ2ａ2（Ｓ＾2−ａｂｂ2ａ2）／ａ）＾（1/2）／Ｓ

　ここで

　　ａｂｂ2ａ2＝ａｂ（（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）／ａ）（（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）／ｂ）

＝（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）

=ａ＾4−ｂ＾4−ｃ＾4＋2（ｂｃ）＾2

　　　ｂｂ2ａ2＝（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）／ａ

　　　　Ｓ＾2はヘロンの公式から

　　　　Ｓ＾2＝2（（ａｂ）＾2+（ｂｃ）＾2+（ａｃ）＾2）−（ａ＾4+ｂ＾4+ｃ＾
4）

Ｓ＾2−ａｂｂ2ａ2＝2ａ＾２（−ａ＾２＋ｂ＾２+ｃ＾２）

よって

Ｈ＝（（（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）／ａ）（2ａ＾２
（−ａ＾２＋ｂ＾２+ｃ＾２）／ａ））＾（1/2）／Ｓ

　＝（2（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）（−ａ＾２＋ｂ＾２+ｃ＾２））＾（1/2）／Ｓ

四面体の体積をＶとすると

Ｖ＝（Ｓ/4）Ｈ／3

　＝（Ｓ/12）（2（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）（−ａ＾２＋ｂ＾２+ｃ＾２））＾（1/2）／Ｓ

　＝（1/6）（（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）（−ａ＾２＋ｂ＾２+ｃ＾２）／2）＾（1/2）

・・・・回答（本解に一致）

　＝（1/12）（2（ａ＾２−ｂ＾２＋ｃ＾２）（ａ＾２＋ｂ＾２−ｃ＾２）（−ａ＾２＋ｂ＾２+ｃ＾２））＾（1/2）

と、一応、答にたどり着きましたが、やはり立体の埋め込みという題意に沿った本解
のほうがはるかにすっきりしているようです。

NO5「二度漬け白菜」12/11 11時12分受信 更新12/22

問題 1：

題意の正八面体の1辺の長さは √2
その表面積は、8*(1/2)*√2*√2*sin(π/3)=4√3 (答).

正四面体の各辺の中点を結ぶと、正八面体ができる。
そのさいの正四面体の1辺の長さは正八面体のそれの2倍。
よって、1辺の長さが 2√2 の正四面体 T の各辺の中点を結ぶと、
題意の正八面体ができる。
題意の正八面体の内接球の直径は、Tの高さの1/2.
Tの高さ h は h^2 = (2√2)^2-(2√2/√3)^2 =16/3 より、h=4/√3.
求める内接球の半径は、T/2*(1/2)=1/√3 (答).

問題 2 ：

この四面体は4つの面が合同だから、ある直方体に埋め込むことができる。
その直方体の3辺の長さ x,y,z を
x^2+y^2=c^2,
y^2+z^2=a^2,
z^2+x^2=b^2
となるようにとる。
この3式より、
x=√((b^2+c^2-a^2)/2),
y=√((c^2+a^2-b^2)/2),
z=√((a^2+b^2-c^2)/2).
この直方体の4隅を切り落とす。
そのさい、切り口が埋め込まれた四面体の各面になるように
切り落とす。このような方法で四面体の体積を計算する。
求める体積は、
x*y*z-4*((1/6)*x*y*z)
=(1/3)*x*y*z
=√((a^2+b^2-c^2)*(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2))/(6√2) (答).

「各面が合同な鋭角三角形であるような四面体を、
直方体に埋め込むことができる」というのは私にとって新鮮でした。
勉強になりました。

添付されていた参考本「みえる数学の世界２」（大竹出版）山崎昇鑑訳