＜解答募集期間：６月１９日〜７月３日＞

います。入れ方にもいろいろな場合があることに太郎さんは気がつきました。

＜1＞本でみると、異なる本なのか、見分けのつかない本なのかが問題になります。

＜2＞本棚においても同じことで、異なる棚か、同じ棚かを考えなければなりません。

　　これで、この組み合わせによって、４つの場合に分かれます。まだあります。

＜３＞どの本棚にも必ず本を入れて空がないように入れるか、それとも本をいれない棚を

許すかにもよります。

結局８つの場合を考えて、整理することにしました。 前回の続きになります。

問題５：５冊の異なる本を、３個の同じ棚に入れる方法は何通りでしょうか？

　　　ただし、空の本棚があってはいけないとする。　

問題Ｅ：一般に、ｍ冊の異なる本を、ｎ個の同じ棚に入れる方法は何通りでしょうか？

　　　ただし、空の本棚があってはいけないとし、ｍ≧ｎとする。

問題６：５冊の異なる本を、３個の同じ棚に入れる方法は何通りでしょうか？

　　　ただし、空の本棚があっても良いとする。

問題Ｆ：　一般に、ｍ冊の異なる本を、ｎ個の同じ棚に入れる方法は何通りでしょうか？

　　　ただし、空の本棚があっても良いとし、ｍ≧ｎとする。

ここからは、本も棚も区別しない場合である。本を区別しないと、その冊数だけが問題になってくる。

したがって、この入れ方は自然数をいくつかの整数に分割することと同じになります。

問題７：ｍ冊の同じ本を、前に入れた冊数を越えないようにして、上の棚から順に入れていく方法は何通りでしょうか？

　　　まず、ｍ＝１，２，３，４，５，６のときを考えてください。

問題Ｇ：ｍ冊の同じ本を、前に入れた冊数を越えないようにして、上の棚から順に入れていく方法をＳ（ｍ）

　　　とし、棚の数をｋとしたとき、その入れ方をＴ（ｍ，ｋ）とします。ただし、ｍ≧ｋとする。

　　　次の設問に答えてください。

＜１＞　Ｔ（ｍ，ｍ），Ｔ（ｍ，ｍ―１），Ｔ（ｍ，１）の値を求めよ。

＜２＞　Ｔ（ｍ，２）の値をｍが奇数、偶数によって場合分けして、答えてください。

　　　ここからは、次の等式が成り立つことを証明してください。

＜３＞　ｋ＞ｍ／２のとき、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｔ（ｍ−１，ｋ−１）

＜４＞　ｋ≦ｍ／２のとき、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｔ（ｍ−１，ｋ−１）＋Ｔ（ｍ−ｋ，ｋ）

＜５＞　ｋ≧ｍ／２のとき、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｓ（ｍ−ｋ）

＜６＞　特に、Ｓ（ｍ）＝Ｔ（２ｍ，ｍ）

［問題Ｇについての参考文献：数学ランド・おもしろ探検（寺田文行監修）：森北出版］