ヨッシーです。６，７月と海外出張してました。ご無沙汰してます。

では、解答です。

弧ＡＢの円周角を（ＡＢ）で表すことにします。

問題１：

∠ＳＲＱ＝∠ＳＰＡを示せればよい。

「アルハゼンの定理」より、

∠ＳＰＡ＝（ＡＳ）＋（ＭＢ）

一方、弧ＡＭ＝弧ＭＢ　より、（ＭＢ）＝（ＡＭ）

よって、

∠ＳＰＡ＝（ＡＳ）＋（ＭＢ）＝（ＡＳ）＋（ＡＭ）＝（ＳＭ）

　　　　＝∠ＳＲＱ

以上より、∠ＳＲＱ＝∠ＳＰＡ　となり、

四角形ＰＱＲＳは円に内接する。

問題２：

「アルハゼンの定理」より、

∠ＰＱＲ＝（ＰＢ）＋（ＡＣ）

∠ＰＲＱ＝（ＡＰ）＋（ＢＤ）

今、（ＡＰ）＝（ＡＣ）、（ＰＢ）＝（ＢＤ）より、

∠ＰＱＲ＝（ＰＢ）＋（ＡＣ）＝（ＢＤ）＋（ＡＰ）＝∠ＰＲＱ

よって、三角形ＰＱＲはＰＱ＝ＰＲの二等辺三角形となる。

問題３：

問題１の結果より、四角形ＤＥＧＦは円に内接する。

つまり、∠ＤＦＧ＋∠ＤＥＧ＝１８０°

△ＡＤＥにおいて、

∠ＤＥＧ＝１８０°−６０°−４５°＝７５°

よって、

∠ＤＦＧ＝１８０°−∠ＤＥＧ＝１８０°−７５°＝１０５°

答え：∠ＤＦＧ＝１０５°

問題４：

△ＡＦＤと△ＥＧＡにおいて、

問題２の結果より、∠ＡＦＤ＝∠ＡＧＥ

弧ＤＢ＝弧ＤＡより、その円周角も等しく、

∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＧ

以上より△ＡＦＤと△ＥＧＡは相似。

よって、

ＤＦ：ＦＡ＝ＡＧ：ＧＥ

ＦＡ＝ＡＧより、

ＦＡ^2＝ＤＦ×ＧＥ＝８×２＝１６

よって、ＡＦ＝４・・・答え

＜水の流れ：コメント＞８月２４日

いつも、ありがとうございます。太郎さんも５年前、シンガポール・マレーシヤのジョホールバル（宝石たくさんの意味です）へ行ってきました。テレマカシ（ありがとう）の連発を思い出します。