平成１３年９月30日
[流れ星]
第８３回数学的な応募問題解答NO2
＜解答募集期間：９月１６日～９月３０日＞
［最大雨量］
太郎さんは、８月20・21日に行われた「県教育課程講習会」に出席してきましたが、県教委の方が次のような身近な問題を出され、解説されました。紹介します。
問題：幅ａの細長い鉄板を折り曲げて、といを作ります。対称に２カ所で同じ角度に折り曲げて、切り口を等脚台形にします。（下の図）
どこでどのように折り曲げたら、雨を最も多量に流すことができるでしょうか。
ＮＯ５＜浜田＞さんからの解答 9/17：16時57分受信 更新9/30
折り曲げる部分の長さをｘ，角をｔ（０＜ｘ≦ａ／２，０＜ｔ≦π／２）とする．
このくいの断面である等脚台形の面積Ｓが最大になるように，ｘ，ｔを選べばよい．
Ｓ＝{(ａ－２ｘ)＋(ａ－２ｘ＋２ｘcosｔ)}×ｘsinｔ／２
＝sinｔ×{ａ－(２－cosｔ)ｘ}ｘ
＝sinｔ(２－cosｔ)×{ａ／(２－cosｔ)－ｘ}ｘ………①
０≦cosｔ＜１であるから，０＜ａ／{２(２－cosｔ)}＜ａ／２となるので，ｘの２次関数 {ａ／(２－cosｔ)－ｘ}ｘ が最大になるのは，
ｘ＝ａ／{２(２－cosｔ)}………②
のときである．
①から，さらにこのとき，
Ｔ＝sinｔ(２－cosｔ)
が最大になれば，Ｓは最大となる．
Ｔ＞０であるから，Ｘ＝cosｔとするとき，
ｆ(Ｘ)＝Ｔ^2＝(sinｔ)^2(２－cosｔ)^2＝(１－Ｘ^2)(２－Ｘ)^2
が最大になればよい．
ｆ'(Ｘ)＝－２Ｘ(２－Ｘ)^2＋(１－Ｘ^2){－２(２－Ｘ)}
＝－２(２－Ｘ){Ｘ(２－Ｘ)＋(１－Ｘ^2)}
＝２(２－Ｘ)(２Ｘ^2－２Ｘ－１)
０≦Ｘ＝cosｔ＜１であるから，
２Ｘ^2－２Ｘ－１＝２(Ｘ－１／２)^2－３／２＜０
∴ｆ'(Ｘ)＜０
故にｆ(Ｘ)は減少関数である．
０≦Ｘ＜１であるので，
Ｘ＝cosｔ＝０
のとき，ｆ(Ｘ)が最大になる．
このとき，
ｔ＝π／２
であり，②に代入して，
ｘ＝ａ／４
である．
この答を実際にチェックする為に，ＵＢＡＳＩＣとエクセルのプログラムを作って走らせてみた．しかしまったく違う答が出て来てしまったことに驚いた．それらのプログラムでの答は，ａ＝１としたとき，
ｘ＝０.３３３３３３，ｔ＝６０.００００（°），Ｓ＝０.１４４３３８
であった．
確かにｘ＝１／４，ｔ＝９０（°）としたとき，Ｓ＝１／８＝０.１２５となり，上記の場合よりも小さい．またＧＲＡＰＥＳを使い，作図してみると，確かに上の２つの場合の面積の違いがはっきり分かる．
10 'asave "83.ub"
20 Pi=4*atan(1):Rad=Pi/180:Max=0:X_kizami=1/10:T_kizami=90/10
30 X_min0=X_kizami:X_max0=1/2:T_min0=T_kizami:T_max0=90
40 for J=1 to 15
50 if J=1 then X_min=X_min0:X_max=X_max0:T_min=T_min0:T_max=T_max0:goto
110
60 X_min=Xx-X_kizami:if X_min<X_min0 then X_min=X_min0
70 X_max=Xx+X_kizami:if X_max>X_max0
then X_max=X_max0
80 T_min=Tt-T_kizami:if T_min<T_min0
then T_min=T_min0
90 T_max=Tt+T_kizami:if T_max>T_max0
then T_max=T_max0
100 X_kizami*=0.1:T_kizami*=0.1
110 X=X_min
120 while X<=X_max:T=T_min
130 while T<=T_max
140 S=((1-2*X)+(1-2*X+2*X*cos(T*Rad)))*(X*sin(T*Rad))/2
150 if Max<S then Max=S:Xx=X:Tt=T:print
X;T;S
160 T+=T_kizami
170 wend:X+=X_kizami
180 wend
190 next J:end
（エクセルのマクロ）
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim pi As Double
Dim x As Double
Dim t As Double
Dim S As Double
Dim xx As Double
Dim tt As Double
Dim x_min As Double
Dim x_max As Double
Dim t_min As Double
Dim t_max As Double
Dim x_min0 As Double
Dim x_max0 As Double
Dim t_min0 As Double
Dim t_max0 As Double
Dim max As Double
Dim x_kizami As Double
Dim t_kizami As Double
Dim j As Integer
pi = 4 * Atn(1)
max = 0
x_kizami = 1 / 10
t_kizami = 90 / 10
x_min0 = x_kizami
x_max0 = 1 / 2
t_min0 = t_kizami
t_max0 = 90
Cells(1, 1).Value = "x"
Cells(1, 2).Value = "t"
Cells(1, 3).Value = "S"
For j = 1 To 14
If j = 1 Then
x_min =
x_min0
x_max =
x_max0
t_min =
t_min0
t_max =
t_max0
Else
x_min = xx
- x_kizami
If x_min
< x_min0 Then
x_min
= x_min0
End If
x_max = xx
+ x_kizami
If x_max
> x_max0 Then
x_max
= x_max0
End If
t_min = tt - t_kizami
If t_min
< t_min0 Then
t_min
= t_min0
End If
t_max = tt + t_kizami
If t_max
> t_max0 Then
t_max
= t_max0
End If
x_kizami =
x_kizami * 0.1
t_kizami =
t_kizami * 0.1
End If
For x = x_min To x_max Step x_kizami
For t = t_min
To t_max Step t_kizami
S = menseki(x,
t)
If max < S Then
max = S
xx = x
tt = t
Cells(2,
1).Value = x
Cells(2,
2).Value = t
Cells(2,
3).Value = S
End If
Next t
Next x
Next j
End Sub
Private Function menseki(ByVal
x As Double, ByVal t As Double) As Double
Dim pi As Double
Dim rad As Double
pi = 4 * Atn(1)
rad = pi / 180
menseki = ((1 - 2 * x) + (1 - 2 *
x + 2 * x * Cos(t * rad)))
* (x * Sin(t * rad)) / 2
End Function
なぜこのような違いが出て来たか，考察してみた．おそらくこういうことであろう．最初の解答では，ｘとｔを別々に考え，Ｓが最大となるのは，
ｘ＝ａ／{２(２－cosｔ)} であり，かつ
Ｔ＝sinｔ(２－cosｔ)
が最大になるとき，とした．
ところがこのときｘとｔは独立ではなく従属しているのである．したがってそれぞれの最大になる場合は，微妙に絡み合っており，別個には考えられないのである．
この問題の答は，プログラムの解答通り，
ａ＝１，ｘ＝０.３３３３３３，ｔ＝６０.００００（°），Ｓ＝０.１４４３３８ となるので，
「左右の板の端から，それぞれａ／３の長さの箇所から，６０°の角度で折り曲げれば，断面積が，√３ａ^2／１２となり最大となる．このときに雨を最も多量に流すことができる．」であろう．
これを偏微分で解いてみる（高校数学の範囲を逸脱するが・・・）．
Ｓ＝sinｔ{ａ－(２－cosｔ)ｘ}ｘ において，
Ｓx＝Ｓt＝０
を満たすｘ，ｔの値において極値をとる．この問題の場合，このときにＳは最大となる．
Ｓx＝sinｔ[－(２－cosｔ)ｘ＋{ａ－(２－cosｔ)ｘ}]
＝sinｔ{ａ－２(２－cosｔ)ｘ}＝０ から，
ｘ＝ａ／{２(２－cosｔ)}（∵sinｔ≠０，cosｔ≠２）………②
また，
Ｓt＝[cosｔ{ａ－(２－cosｔ)ｘ}＋sinｔ(－sinｔｘ)]ｘ
＝{ａcosｔ－２ｘcosｔ＋ｘ(cosｔ)^2－ｘ(sinｔ)^2}ｘ
＝(ａcosｔ－２ｘcosｔ＋ｘcos２ｔ)ｘ＝０ から，
ａcosｔ－２ｘcosｔ＋ｘcos２ｔ＝０（∵ｘ≠０）
②を代入すると，
ａcosｔ－ａcosｔ／(２－cosｔ)＋ａcos２ｔ／{２(２－cosｔ)}＝０
ａ≠０から，
２cosｔ(２－cosｔ)－２cosｔ＋cos２ｔ＝０
∴４cosｔ－２(cosｔ)^2－２cosｔ＋２(cosｔ)^2－１＝０
∴cosｔ＝１／２
０＜ｔ≦π／２から，ｔ＝π／３
②に代入すると，ｘ＝ａ／３ ・・・
ＰＳ．前回の問題の間違いは，私の勘違いでした．長さと長さの比を混同した為の計算間違いでした．まことに申し訳ないですが，今後このような間違いを犯さない戒めとして，その間違いはそのまま残しておいてもらえないでしょうか．ご迷惑な話で，わがままなお願いですが，お願いします．
ＰＳ２．前回の問題で，∠Ａ～∠Ｃを使っていいとは思いませんでした．てっきりｐ～ｒのみを使って解くのだとばかり思っていたのです．
＜水の流れ：誤解を招くような文章で、申し訳ありませんでした。＞
ＮＯ６＜kashiwagit＞さんからの解答 9/19：８時40分受信 更新9/30
おはようございます。解答を送付致します。微分を使いましたが、中学生にはわかりませんし－－－。
二次式を平方式にしてやるのが、オーソドックスな解答なのでしょうが、面倒なのでお許し下さい。
両端から折る長さをｘ、残った長さを２ｙ、折り曲げる角度をθとする。
２ｘ＋２ｙ＝a－－－① 題意より a/２＞ｘ，ｙ＞０ π/２＞θ＞０－－－②
といの面積Ｓは、 Ｓ＝（2y＋xcosθ）xsinθ ここで①の関係からｙを消去すると、
＝sinθ（cosθ－2）ｘ(superscript:
２) ＋asinθx
ところで、条件②よりｘ(superscript: ２) の係数は０にならず、必ずであるから、最大値を持つ。
因って、Ｓをｘの関数として微分すると、
ｘ＝a/2（2-cosθ）で最大値をとる。この値はa/4とa/2の間にあるので題意を満たしている。
この値をＳに代入すると、a(superscript: 2)sinθ/4（2-cosθ）となる。
そこで、この値をθの関数とみなし、同様にθで微分し、計算すると、cosθ＝1/2で最大値をとる。
即ち、θ＝π/3、ｘ＝a/3である。これらは②の条件を満たすので求めるものである。
両端から1/3のところで60°折り曲げれば良い。
以上よろしくお願い申し上げます。
＜水の流れ：コメント＞ ええー！中学生でしたか、以前話題になったけ。記憶になーい。いや、どんな解法でも制約をしていませんから、自由な発想で結構です。ええー、この微分が理解できているんですか。驚きです。もう少し、丁寧に書いてもらえると、ありがたいです。
ＮＯ７＜kashiwagit＞さんからの解答 9/20：7時54分受信 更新9/30
ご返信どうも有難うございました。おっしゃるように少々簡単に書きすぎまし
た。以下に赤字で補足させて頂きます。
両端から折る長さをｘ、残った長さを２ｙ、折り曲げる角度をθとする。
２ｘ＋２ｙ＝a－－－① 題意より a/２＞ｘ，ｙ＞０ π/２＞θ＞０－－－②
といの面積Ｓは、 Ｓ＝（2y＋xcosθ）xsinθ ここで①の関係からｙを消去すると、
＝sinθ（cosθ－2）ｘ(superscript:
２) ＋asinθx
ところで、条件②よりｘ(superscript: ２) の係数は０にならず、必ず負であるから、最大値を持つ。
因って、Ｓをｘの関数として微分すると、
S’＝2sinθ（cosθ－2）ｘ＋asinθ
,因って ｘ＝a/2（2-cosθ）で最大値をとる。この値はa/4とa/2の間にあるので題意を満たし
ている。 この値をＳに代入すると、a(superscript: 2)sinθ/4（2-cosθ）となる。
そこで、この値をθの関数とみなし、関数をFとし、同様にθで微分し、計算すると、
F’＝（2cosθ－１）／（2－cosθ）(superscript:
2) より、θの増加に伴い、値を正
から負に変えるので、cosθ＝1/2で最大値をとる。
即ち、θ＝π/3、ｘ＝a/3である。これらは②の条件を満たすので求めるものである。
因って、両端から1/3のところで60°折り曲げれば良い。
以上よろしくお願い申し上げます。
ＮＯ８＜やぎ＞さんからの解答 9/22：1時13分受信 更新9/30
ＮＯ９＜やぎ＞さんが出された問題でＮ＝４のときの解答 9/24：1時45分受信 更新9/30
いずれも「やぎ」さんから寄せられたものです。ここをクリックください。
＜水の流れ：コメント＞ 最大値はといの断面が正六角形の半分になる場合である。よく見かける蜂の巣と同じ形になるのです。
