平成３０年６月１０日

[流れ星]

　　　　第360回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：5月13日〜6月10日＞

［名古屋市熱田神宮の算額］

3月に岐阜県養老郡養老町高田にある田代神社に奉納されている算額を見せてもらいたと思って訪れたとき、本堂にその算額を発見することはできませんでした。でも、そこにあった掲示板に以前の中日新聞の記事が貼ってあり、その中にあった算額の問題がこれです。皆さん、チャレンジしてみてはどうですか。

文化3年は1806年です。　さらに、調べていくとこの算額は名古屋市にある熱田神宮に奉納されていたものと分かりました。

写真は田代神社です。

　

「早起きのおじさん」 05/22 17時22分　受信 更新 6/10

360解答　早起きのおじさん

二等辺三角形ABCの辺AC上に、

CB＝CDとなるように、点Dをとります。

すると、三角形CDBは、二等辺三角形です。

頂点Cから底辺DBに垂線CMを下します。

すると、△CDMと△CBMに内接する円は、

等しくなります。

以後は、△ABD、△CDMに内接する円が等しくなることを考えます。

●AB＝c、BC＝a、BD＝2dとしたとき、

長さの関係を、調べておきます。

・△ABCは、ヘロンの公式から、

・△ABDは、ヘロンの公式から、

・

よって、

2乗して、

2乗してdで整理すると、

因数分解すると、

この式を、d²について解くと、

解について、a＝c＝1としても矛盾はありませんが、a＝1、c＝2とすると、

となり、(2)はおかしくなります。

よって、(1)で考えることにします。

●三角形に内接する円の半径をしらべます。

図の三角形XYZの面積は、内接円の半径をrと

すると、

一方ヘロンの公式では、

比較すると、

よって、三角形に内接する円の直径2rは、

さて、図1の△ABDの内接円の直径の2乗は、

△CDMの内接円の直径の2乗は、

よって、

(a＋d)で整理すると、

アンダーラインのところは、

オーバーラインのところは、

2乗してcで整理すると、

・cの2乗の係数は、

・cの係数は、

・定数項は、

各係数の共通因数として、d、a＋dがありますが、d＝0、a＝−dは適さないので、

というcの2次方程式を考えます。

●さて、式(1)のcについて解くと、

これを(3)に入れます。

となりますが、

は、上のcの分母を0にするので、省きます。

を考えます。

上の

・1行目は、

・2行目は、

・3行目は、

まとめて、

−4で割ると、

因数分解すると、

1つ目の因数より、 です。

2つ目の因数からは、 です。

この解は、不適当です。

ここで、3つ目の因数について考えます。

両辺をdで割ると、

ここで、 を考えます。

は、 で極値をとります。

極大値は、

以上から、2次方程式 は、2と3の間に実数解xをもちます。

xは、aとdの比の値です。

△ABCが、正三角形のとき、aとdの比の値は2になります。

図1の二等辺三角形ABCは、等しい二辺が底辺より長くなるので、2より小さくなければなりません。

よって、この場合も不適当です。

●問題を解く要素がそろったので調べていきます。

今までのことから、

斜線乙の長さは、

△CDMの内接円の直径は、

よって、斜線乙の半分なので、一寸となります。

「Kasama」 05/26 20時45分　受信 更新 6/10

＜解法の方針＞

三角関数やベクトルなどで代数学的にやると、扱う式があまりに複雑になり、とても素手では扱えなくなります。無理矢理に数式ソフトで捻じ伏せることもできなくはないのですが、算額の主旨にそぐわないでしょう。できるだけ図を正確に描き、補助線を入れたときに現れる相似や合同の三角形を拾い上げ、関係式を導いて、中学レベルの知識で解くのがよいと思います。

今回は答えが予めわかっていので、AutoCADなどで図を正確に描くことができます。問題文で水野先生が述べている記号を付与して、角の二等分線を足していくと、右図のように解法の手掛かりになる三角形が浮き上がってきます。

おおよそ次の手順でアプローチします。

(1)	△BCDで辺の長さと面積の関係式を導く
(2)	△ABDの長さの関係式を導く
(3)	上記(1)(2)から答えを導く

(1)△BCDについて

円の外にある1点からその円に引いた2本の接線の長さは等しいです。

Cから円O₁、O₂に引いた接線の長さは等しいので、

CP = CS および CP = CT

です。円O₁、O₂の半径は等しいので、

∠PCS = ∠PCT

です。問題文にあるように、斜線甲CMと斜線乙BDは直交するので、

△CBM ≡ △CDM

よって、△CDMだけに着目すればよいです。

次に、O₂からCMに垂直に下ろした点をPとします。

BDとO₂Pは平行で∠ODMと∠OO₂Pは錯角だから等しく、

△ODM ∽ △OO₂P … �@

それぞれの辺の比をとって、

MD:MO = PO₂:PO ⇒ y/2:R = r:R-r ⇒ ry-Ry+2Rr=0 … �A

です。

O₂からDMに垂直に下ろした点をUとします。

△MCDは□MPO₂Uと△PO₂C×2、△DO₂U×2を合わせた図形なので、それぞれの面積の関係を考えて、

xy/4 = r²+(x-r)r+(y/2-r)r ⇒ xy-2ry-4rx+4r² = 0 … �B

です。�A�BをR、yについて解くと、

R = 2r(x-r)/x … �C

y = 4r(x-r)/(x-2r) … �D

(2)△ABDについて

O₃からBD、ACに垂直に下ろした点をE、Fとすると、∠O₃ED=∠O₃FD=90ﾟです。ここで、DO₃は∠ADBの二等分線なので、∠O₃DE=∠O₃DFです。だから、

△O₃DE ≡ △O₃DF

となり、

DE = DF

です。また、円の外にある1点からその円に引いた2本の接線の長さは等しいので、

BG = BE および AG = AF

△ABCは二等辺三角形でAB=ACなので、

BG = CF ⇒ CF = BE

すると、

CD = CF-DF = BE-DF = BD-DE-DF = BD-2DE … �E

(3)△BCDと△ABDについて

DO₂とDO₃はそれぞれ∠BDCと∠ADBの二等分線で、∠BDC+∠ADB=180ﾟなので、∠O₂DO₃=90ﾟです。また、∠OMD=DEO₃=90ﾟだから、∠ODM=∠DO₃Eです。ゆえに、

△ODM ∽ △DO₃E

これに、�@を適用させると、

△DO₃E ∽ △OO₂P

O₂PとO₃Eはそれぞれ円O₂とO₃の半径で等しいので、

△DO₃E ≡ △OO₂P

すると、DE=OP=R-rなので、�E式を書き直すと、

CD = y-2(R-r) … �F

となります。

一方、△CDMに三平方の定理を適用すると、

CD = √(CM²+DM²) = √(x²+(y/2)²) … �G

�F�G式は等しいので、

y-2(R-r) = √(x²+(y/2)²)

�C�Dを代入すると

2r(x²+2rx-4r²)/x(x-2r) = (x²-2rx+2r²)/(x-2r)

⇒ (x-4r)(x-2r)(2r²-x²) = 0

ここで、x>2rでないと、図形が成り立たないので、上式を満足するのは、x=4rです。

よって、斜線乙が二寸のとき、円の直径は一寸です。

「二度漬け白菜」 05/27 13時54分　受信 更新 6/10

3つの内接円の半径を r とし，CM=k とおく．
まず，△CMB≡△CMD であることを示す．

(△CMBの面積)
=(1/2)*(△CMDの内接円の半径)*(CM+MB+BC)
=(1/2)*r*(CM+MB+BC)
=(r/2)*(k+MB+(k^2+(MB)^2)^(1/2)) ---(1)

また，
(△CMBの面積)=(1/2)*CM*MB=(k/2)*MB ---(2)

(1)，(2)より，
r=k*MB/(k+MB+(k^2+(MB)^2)^(1/2))=k/((k/MB)+1+((k/MB)^2+1)^(1/2))．---(3)

同様に，(△CMDの面積)に着目することによって，
r=k/((k/MD)+1+((k/MD)^2+1)^(1/2))
を得る．

MB＞MDであるとすると，
r=k/((k/MB)+1+((k/MB)^2+1)^(1/2)) ＞ k/((k/MD)+1+((k/MD)^2+1)^(1/2))=r
となるので，矛盾．
また，MB＜MDであるとすると，
r=k/((k/MB)+1+((k/MB)^2+1)^(1/2)) ＜ k/((k/MD)+1+((k/MD)^2+1)^(1/2))=r
となるので，やはり矛盾．
よって，MB=MDである．
ゆえに，△CMB≡△CMD．

MB=t*k (t は正の実数) とおける．
いまから，t=3/4 であることを示す．

(3)より，
r=k/((k/MB)+1+((k/MB)^2+1)^(1/2))=(t*k)/(1+t+(1+t^2)^(1/2)) ---(4)

Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする．
∠BCM=θとおく．

cos(θ)=CM/BC=k/(k*(1+t^2)^(1/2))=(1+t^2)^(-1/2)．

AC=CH/cos(2*θ)=(BC/2)/(2*(cos(θ))^2-1)
=(k/(2*(1-t^2)))*(1+t^2)^(3/2)．

AD=AC-DC=AC-BC
=(k/(2*(1-t^2)))*(1+t^2)^(3/2)-k*(1+t^2)^(1/2)
=(k*(3*t^2-1)*(1+t^2)^(1/2))/(2*(1-t^2))   ---(5)

(△ABDの面積)：(△DBCの面積)
=AD：DC
=AD：BC
=(k*(3*t^2-1)*(1+t^2)^(1/2))/(2*(1-t^2)):(k*(1+t^2)^(1/2))
=(3*t^2-1)/(2*(1-t^2))：1．

よって，
(△ABDの面積)=(△DBCの面積)*(3*t^2-1)/(2*(1-t^2))
=CM*MB*(3*t^2-1)/(2*(1-t^2))
=(t*k^2)*(3*t^2-1)/(2*(1-t^2)) ---(6)

また，(△ABDの面積)を内接円の半径を使って表すと，
(△ABDの面積)=(r/2)*(AB+BD+DA)=(r/2)*(AC+2*MB+DA)
=(r/2)*((k/(2*(1-t^2)))*(1+t^2)^(3/2)+2*t*k+(k*(3*t^2-1)*(1+t^2)^(1/2))/(2*(1-t^2)))
=(r*k*t)*((1-t^2)+t*(1+t^2)^(1/2))/(1-t^2) ---(7)

(6)，(7)より，
r=(k/2)*(3*t^2-1)/((1-t^2)+t*(1+t^2)^(1/2)) ---(8)

(4)，(8)より，
(t*k)/(1+t+(1+t^2)^(1/2))=(k/2)*(3*t^2-1)/((1-t^2)+t*(1+t^2)^(1/2))．

両辺をkで割って，さらに両辺の分母を払って，
2*t((1-t^2)+t*(1+t^2)^(1/2))=(1+t+(1+t^2)^(1/2))*(3*t^2-1)．
∴((1+t^2)^(1/2))*(t-1)*(t+1)=(-5*t^2+2*t+1)*(t+1)．
両辺を(t+1)で割って，さらに両辺を2乗して整理すると，
2*t*(4*t-3)*(3*t^2-1)=0．
ここで，3*t^2-1≠0 である．
(なぜなら，3*t^2-1=0だとすると，(5)より，AD=0となって不合理．)
よって，(4*t-3)=0．
よって，t=3/4．

t=3/4 を (4) に代入して，r=k/4 を得る．

元の中日新聞の記事において，斜線乙が二寸のとき，円の半径は (2/4)寸 になる．
つまり，斜線乙が二寸のとき，円の直径は 一寸 になる．

(解答終)

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今回の問題を，三角形BCDの外接円を用いて解くやり方が，「聖なる数学：算額」(森北出版)
という本に載っています．(第6章　p 204〜)
この本によれば、「北川猛虎」という和算家による解法だそうです．答えに至るまでの過程が丁寧に解説されてあり，読みやすいのですが，この解法はかなり巧妙な方法だと思いました．

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以上．

「ジョカー」令和3年　07/05 15時06分　受信 更新 令和3年7/05

「ジョカー」令和3年　07/06 14時35分　受信 更新 令和3年7/06

頂いた2通りの解法をまとめた解答です。

。

＜水の流れの解法＞

図のように、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｍとする。また、辺ＣＭ、ＢＤの長さをそれぞれｘ、ｙとし、3つの半径の等しいの内接円の半径をｒとして、Ｏ_１(ｒ)，Ｏ_２(ｒ)，Ｏ_３(ｒ)とする。

また、△ＢＣＤの内接円の半径をＲとする。