令和２年１月19日
[流れ星]
第381回数学的な応募解答
＜解答募集期間：12月22日～1月19日＞
［祝2020年］
2019年も残り1週間。今までのご応募に深く感謝申し上げます。
東京オリンピックの2020年（令和2年）も引き続きご愛顧賜りますようよろしくお願いいたします。
太郎さんの孫は、ときどき絵本を見ながら遊んでいます。
問題１ 1枚だけページが破れた絵本がでてきました。破れていないページ番号を合計すると2020になりました。破れた１枚目の表は何ページでしょうか。
追加訂正 この絵本は1枚の裏表にページが書いてありまして、最初のページは奇数番号が書いてある絵本で作問したものです。ところが、これでは1枚だけ破れたとすると、不合理になります。したがって、２枚続けて破って、残りの破れていないページを合計すると2020と訂正します。23日夜記入 申し訳ありません ２枚続けて25日夜修正
問題２ 連続したページにいたずら書きの絵本が見つかりました。このいたずらした絵本のページ番号を合計すると2020になりました。いたずら書きのページは何ページ目から何ページ目まででしょうか。
＜水の流れ：問題文を一部訂正しました。22日朝記入＞
問題３ ｘ、ｙは自然数とする。34≦x+y≦72を満たすｘ、ｙの組の総数は幾つでしょうか。
追加
３の類似問題 ｘ、ｙは自然数とする。32≦ｘ＋ｙ≦71を満たすｘ、ｙの組の総数は幾つでしょうか。
問題４ ｘ、ｙ、ｚは自然数とする。５≦ｘ＋ｙ＋ｚ≦２１を満たすｘ、ｙ、ｚの組の総数は幾つでしょか。
＜水の流れ：上の問題で ５≦ｘ＋ｙ＋ｚ≦２４に訂正ください。26日午前記入＞
＜言い訳：手元の紙には ５≦ｘ＋ｙ＋ｚ≦２４ でしたが、入力ミスでした＞
「ジョーカー」さんの追加問題
前回の380回の問題２からの発見された問題です。
正三角形ABC内に点Pをとり，あらたに△LMNを，MN＝PA，NL＝PB，LM＝PCとなるようにつくる。ABを1辺とする正三角形の面積をS(AB)で表す。
このとき， 2S(AB)＝3△LMN＋S(PA)＋S(PB)＋S(PC) を証明せよ。
＜水の流れ：今回の訂正等で皆さんにご迷惑をおかけしたことを衷心よりお詫びします。23日夜記入＞
NO1「スモークマン」 12/22 12時40分 受信
更新 1/19
回答
前回の図から即言えますね^^
周りの頂角120°の二等辺三角形を半分にしてくっつけると…
S(PA)＋S(PB)＋S(PC)ですし、
真ん中の青の△は△LMNの1辺が√3倍なので…面積は3倍
この図は正三角形の2倍なので…
2S(AB)＝3△LMN＋S(PA)＋S(PB)＋S(PC) になっていますね^
「スモークマン」 12/24 21時51分 受信
更新 1/19
問題１について
*途中の1枚が破れたら、ページの合計は奇数。本のページはその1枚を破っても、残りの合計ページを偶数になるようにページの振り分けは可能なので、最初の問題のままでいいかと思いますが？
問題２
n(n+1)-m(m+1)=4040・・・じっさいは、m+1〜nページ
n^2-m^2+n-m=(n-m)(n+m+1)=4040=2^3*5*101
n-mとn+m+1との偶奇は異なる
so…
n-m=8,40
n+m+1=505, 101
n=256,m=248
n=70,m=30
or
n+m+1=808, n-m=5
n=406,m=401
結局…
31〜70ページ
249〜256ページ
402〜406ページ
のときですね^^
問題としては、最初のときの残ったページ数の和が2020の方が面白いと思うなぁ…？
問題３ ｘ、ｙは自然数とする。34≦x+y≦72を満たすｘ、ｙの組の総数は幾つでしょうか。
2H32+2H33+…+2H70
=33C32+34C33+…+71C70
=33+34+…+71
=(71+33)(71-32)/2
=2028
追加
３の類似問題 ｘ、ｙは自然数とする。32≦ｘ＋ｙ≦71を満たすｘ、ｙの組の総数は幾つでしょうか。
追加の意図がわからないわたしです...^^;...
31+32+…+70
=2028-71+31+32
=2020
問題４ ｘ、ｙ、ｚは自然数とする。５≦ｘ＋ｙ＋ｚ≦２１を満たすｘ、ｙ、ｚの組の総数は幾つでしょ(う)か。
3H2+3H3+…+3H18
=4C2+5C2+…+20C2
=Σ[k=4〜20]k(k-1)/2
=n(n-1)(2n+1)/12-n(n+1)/4
=n(n+1)(2n+1-3)/12
=n(n+1)(n-2)/6
=(20*21*18-3*4*1)/6
=1260-2
=1258
NO2「ジョーカー」
12/23 21時44分 受信 更新 1/19
「ジョーカー」
12/25 04時58分 受信 更新 1/19
＜水の流れ：2020年に関する問題が送られてきました。この問題の解答をお寄せください。
NO3「浜田明巳」
12/26 09時31分 受信 更新 1/19
問題１（訂正後）
全ｎページ（ｎは正整数，奇数の場合は，最後は白紙）で，ｍ，(ｍ＋１)，(ｍ＋２)，(ｍ＋３)ページ目（ｍは正奇数）が破れているとすると，
(１＋２＋３＋・・・＋ｎ)－{ｍ＋(ｍ＋１)＋(ｍ＋２)＋(ｍ＋３)}
＝ｎ(ｎ＋１)／２－(４ｍ＋６)
＝２０２０
∴ｎ(ｎ＋１)／２－２０２０＝２(２ｍ＋３)＞０
∴ｎ(ｎ＋１)／２＞２０２０
ここで，
ｎ(ｎ＋１)／２は，ｎ＞０で，単調増加関数
６３・６４／２＝２０１６＜２０２０
６４・６５／２＝２０８０＞２０２０
より，ｎ≧６４・・・(1)
また，１≦ｍ，ｍ＋３≦ｎ，すなわち，１≦ｍ≦ｎ－３である．
２(２ｍ＋３)≦４ｎ－６より，
ｎ(ｎ＋１)／２－２０２０≦４ｎ－６
∴ｎ(ｎ－７)≦４０２８
ｎ(ｎ－７)は，ｎ≧６４で単調増加関数，６７・６０＝４０２０，６８・６１＝４１４８より，
ｎ≦６７・・・(2)
(1)，(2)から，ｎ＝６４，６５，６６，６７
i). ｎ＝６４のとき，
２(２ｍ＋３)＝６４・６５／２－２０２０＝６０
∴２ｍ＋３＝３０
２ｍ＋３は奇数なので，矛盾する．
ii). ｎ＝６５のとき，
２(２ｍ＋３)＝６５・６６／２－２０２０＝１２５
２(２ｍ＋３)は偶数なので，矛盾する．
iii). ｎ＝６６のとき，
２(２ｍ＋３)＝６６・６７／２－２０２０＝１９１
２(２ｍ＋３)は偶数なので，矛盾する．
iv). ｎ＝６７のとき，
２(２ｍ＋３)＝６７・６８／２－２０２０＝２５８
∴ｍ＝６３
これは，条件を満たす．
故に全６７ページで，６３～６６ページ目が破れている．
（参考）訂正前の問題では，全６５ページで，最後の６４，６５ページ目が破れている，が答でした．
私が作るテキストでは，表紙を１ページ目，０ページ目と選べるので，ページ数が奇数であることに抵抗はありませんでした．
商業ベースの本では，１枚が奇数，偶数という順番ですね．
問題２
ｍ～ｎページ目にいたずら書きがあるとすると，ｍ≦ｎであり，
ｍ＋(ｍ＋１)＋(ｍ＋２)＋・・・＋{ｍ＋(ｎ－ｍ)}＝(ｎ－ｍ＋１)(ｍ＋ｎ)／２＝２０２０
∴(ｎ－ｍ＋１)(ｍ＋ｎ)＝２・２０２０＝２３・５・１０１
ここで，(ｎ－ｍ＋１)＋(ｍ＋ｎ)＝２ｎ＋１は奇数なので，ｎ－ｍ＋１，ｍ＋ｎの偶奇は一致しない．
∴{ｎ－ｍ＋１，ｍ＋ｎ}＝{１，２３・５・１０１}，{５，２３・１０１}，{２３，５・１０１}，{２３・５，１０１}
＝{１，４０４０}，{５，８０８}，{８，５０５}，{４０，１０１}
∴(ｎ－ｍ＋１)＋(ｍ＋ｎ)＝２ｎ＋１＝４０４１，８１３，５１３，１４１
∴ｎ＝２０２０，４０６，２５６，７０
i). ｎ＝２０２０のとき，{２０２１－ｍ，ｍ＋２０２０}＝{１，４０４０}
ｍは正整数，ｍ≦ｎより，ｍ＝２０２０
ii). ｎ＝４０６のとき，{４０７－ｍ，ｍ＋４０６}＝{５，８０８}
同様に，ｍ＝４０２
iii). ｎ＝２５６のとき，{２５７－ｍ，ｍ＋２５６}＝{８，５０５}
同様に，ｍ＝２４９
iv). ｎ＝７０のとき，{７１－ｍ，ｍ＋７０}＝{４０，１０１}
同様に，ｍ＝３１
故に，２０２０～２０２０，４０２～４０６，２４９～２５６，３１～７０各ページ目の４通りの答がある．
（参考）２０２０（辞典並の厚さ？）は，１ページしかないので，連続する何ページという条件に合うかどうかは，微妙であるが，数学の問題の解としては，大丈夫なのだろう．
他の答では，何といたずら書きが多いのだろうか，と感じる．けしからん．
問題３
ｘ，ｙを正整数として，
{(ｘ，ｙ)｜３４≦ｘ＋ｙ≦７２}＝{(ｘ，ｙ)｜ｘ＋ｙ≦７２}－{(ｘ，ｙ)｜ｘ＋ｙ≦３３}
ここで，ｘ＋ｙ＝ｎ（ｎ≧２）とすると，
(ｘ，ｙ)＝(１，ｎ－１)，(２，ｎ－２)，(３，ｎ－３)，・・・，(ｎ－１，１)
故に(ｎ－１)組ある．
故にｘ＋ｙ≦ｎ（ｎ≧２）のとき，
１＋２＋３＋・・・＋(ｎ－１)＝(ｎ－１)ｎ／２（組）
故に求める総組数は，
７１・７２／２－３２・３３／２＝２５５６－５２８＝２０２８（通り）
問題３追加
ｘ，ｙを正整数として，
{(ｘ，ｙ)｜３２≦ｘ＋ｙ≦７１}＝{(ｘ，ｙ)｜ｘ＋ｙ≦７１}－{(ｘ，ｙ)｜ｘ＋ｙ≦３１}
上記と同様に，求める総組数は，
７０・７１／２－３０・３１／２＝２４８５－４６５＝２０２０（通り）
（参考）この数字を出したかったのですね
「浜田明巳」
12/26 12時41分 受信 更新 1/19
問題４（訂正）ｘ，ｙ，ｚを正整数，５≦ｘ＋ｙ＋ｚ≦２４
ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｎ≧３，ｉ＝ｘ－１，ｊ＝ｙ－１，ｋ＝ｚ－１，ｘ，ｙ，ｚは正整数
とすると，
ｉ＋ｊ＋ｋ＝ｎ－３，ｉ，ｊ，ｋは非負整数
となる．
０≦ｉ≦ｎ－３，０≦ｊ≦ｎ－３，０≦ｋ≦ｎ－３であり，
ａ１，ａ２，ａ３，・・・，ａｉ，０，ｂ１，ｂ２，ｂ３，・・・，ｂｊ，０，ｃ１，ｃ２，ｃ３，・・・，ｃｋ
（ａ１＝ａ２＝ａ３＝・・・＝ａｉ＝ｂ１＝ｂ２＝ｂ３＝・・・＝ｂｊ＝ｃ１＝ｃ２＝ｃ３＝・・・＝ｃｋ＝１）
として，(ｎ－３)個の１と，２個の０の並び方を考えればよい．
それは，ｎ－１Ｃ２＝(ｎ－１)(ｎ－２)／２（通り）．
故にｘ＋ｙ＋ｚ≦ｎの場合，
Σ３≦ｋ≦ｎ(ｋ－１)(ｋ－２)／２
＝Σ１≦ｋ≦ｎ－１ｋ(ｋ－１)／２
＝１／２・Σ１≦ｋ≦ｎ－１(ｋ２－ｋ)
＝１／２・{１／６・(ｎ－１)ｎ(２ｎ－１)－１／２・(ｎ－１)ｎ}
＝１／１２・ｎ(ｎ－１){(２ｎ－１)－３}
＝ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)／６（通り）
ここで，
{(ｘ，ｙ，ｚ)｜５≦ｘ＋ｙ＋ｚ≦２４}＝{(ｘ，ｙ，ｚ)｜ｘ＋ｙ＋ｚ≦２４}－{(ｘ，ｙ，ｚ)｜ｘ＋ｙ＋ｚ≦４}
であるから，求める総数は，
２４・２３・２２／６－４・３・２／６＝２０２４－４＝２０２０（通り）
NO4「早起きおじさん」 12/26 09時51分 受信
更新 1/19
はじめ、解答を導くために
・「ページ」の定義を、A：紙1枚全部、B：ページを示す数の近辺
・「ページ」のふり方を、C：表紙から1ページ、D：表紙の裏から1ページ
・「ページ」の数字の位置、E：裏表同じ位置、F：裏表で異なる位置
の場合分けをして、この場合に解があるとやりましたが、訂正が入りやり直しました。
個人的には訂正が入らない方が面白いと思いました。
問題1
絵本について1枚ずつページ数を調べていくと、（1，2）、（3，4）、（5，6）、（7，8）、････
合計は、それぞれ3、7、11、15、･･･です。
初項3で、公差4の等差数列になっています。
この数列の2項を加えると、(3＋4x)＋(3＋4y)＝2＋4(x＋y＋1) となり4の倍数でない偶数です。
です。
n＝63 なら2016、
n＝64 なら2080、
n＝65 なら2145、
n＝66 なら2211、
n＝67 なら2278、
n＝68 なら2346です。
2016は2020より少ないので省きます。
2346は、2346－2020＝326＞67＋66＋65＋64＝262なので省きます。
・n＝64のとき、2080－2020＝60＝4×15 となり適しません。（4の倍数）
・n＝65のとき、2145－2020＝125 となり適しません。（奇数）
・n＝66のとき、2211－2020＝191 となり適しません。（奇数）
・n＝67のとき、2278－2020＝258＝2＋4×64＝127＋131＝(63＋64)＋(65＋66)
破れた1枚目の表は63ページです。
これは適しますが、p67の裏にp68とは書かれていない絵本です。
問題2
2020＝4×505＝4×奇数 です。
{3＋4k}＋{3＋4(k＋1)}＋{3＋4(k＋2)}＋{3＋4(k＋3)}＝12＋4(4k＋6)＝4(4k＋9)
つまり4枚の紙にいたずら書きをすると、ページの和が4の倍数になります。
8枚だと、4×奇数＋4×奇数＝4×偶数 となるので不適です。
12枚だと、4×奇数＋4×奇数＋4×奇数＝4×奇数 となるので適します。
・4枚の紙のとき
{3＋4k}＋{3＋4(k＋1)}＋{3＋4(k＋2)}＋{3＋4(k＋3)}＝12＋4(4k＋6)＝4(4k＋9)＝2020 とすると、k＝124です。
3＋4×124＝499＝249＋250
(249＋250)＋(251＋252)＋(253＋254)＋(255＋256)
つまり、249ページ目から256ページ目です。
・12枚の紙のとき
{3＋4k}＋{3＋4(k＋1)}＋{3＋4(k＋2)}＋･･･＋{3＋4(k＋11)}＝36＋4(12k＋66)＝4(12k＋75)＝2020 とすると、k＝35.833････ となり不適です。
・20枚の紙のとき
{3＋4k}＋{3＋4(k＋1)}＋{3＋4(k＋2)}＋･･･＋{3＋4(k＋19)}＝60＋4(20k＋190)＝4(20k＋205)＝2020 とすると、k＝15 です。
3＋4×15＝63＝31＋32
(31＋32)＋(33＋34)＋･･･＋(69＋70)
つまり、31ページ目から70ページ目です。
・28枚の紙のとき
{3＋4k}＋{3＋4(k＋1)}＋{3＋4(k＋2)}＋･･･＋{3＋4(k＋27)}＝84＋4(28k＋378)＝4(28k＋399) ＝2020 とすると、k＝3.78････となり不適です。
・36枚の紙のとき
{3＋4k}＋{3＋4(k＋1)}＋{3＋4(k＋2)}＋･･･＋{3＋4(k＋35)}＝108＋4(36k＋630)＝4(36k＋657) ＝2020 とすると、k＝－4.22････となり不適です。
これ以上は、不適です。
問題3
34≦x＋y≦72 に当てはまる数を地道に数えます。
問題3の類題
32≦x＋y≦71 に当てはまる数を地道に数えます。
380回の問題２からの発見された問題
△ABCをC中心に60度回転すると、AはD、PはQの位置にきます。
△ABC＝△ABP＋△APQ＋△QPC です。（なぜなら、△PBC≡△QAC）
△ABCをA中心に60度回転すると、BはE、PはRの位置にきます。
△BCA＝△BCP＋△BPR＋△RPA です。（なぜなら、△PCA≡△RBA）
△ABCをB中心に60度回転すると、CはF、PはSの位置にきます。
△CAB＝△CAP＋△CPS＋△SPB です。（なぜなら、△PAB≡△SCB）
ここで枠の3式を辺々加えますが、次のことに注意します。
・△APQ≡△BPR≡△CPS （表し方は、対応する順ではありません）
・△ABC＝△ABP＋△BCP＋△CAP
△ABC＋△BCA＋△CAB
＝(△ABP＋△APQ＋△QPC)＋(△BCP＋△BPR＋△RPA)＋(△CAP＋△CPS＋△SPB)
3×△ABC＝(△ABP＋△BCP＋△CAP)＋3×△APQ＋△QPC＋△RPA＋△SPB
3×△ABC＝△ABC＋3×△APQ＋△QPC＋△RPA＋△SPB
∴ 2×△ABC＝3×△APQ＋△QPC＋△RPA＋△SPB
「早起きおじさん」 01/03 17時47分 受信
更新 1/19
問題2
連続した数の和が2020と考えます。
2020＝2×2×5×101 です。
●いたずらしたページが奇数のとき
奇数には、中央があります。
・1ページの場合
分厚い絵本の2020ページ目だけいたずらされたとして、
2020ページ目から2020ページ目まで。
・5ページの場合
2020＝5×404なので、(5－1)／2＝2より、
404－2＝402ページ目から、404＋2＝406ページ目まで。
・101ページの場合
2020＝101×20なので、(101－1)／2＝50より、
20－50＝－30ページ目から、20＋50＝70ページ目までとなりますが、
負のページは打たないのでこの場合はありません。
・505ページ以上の場合も、上と同様の理由でありません。
●いたずらしたページが偶数のとき
始まりが奇数でも偶数でも連続する2数の和は、奇数です。
連続する4数の和は、連続する2組の2数の和なので、奇数と奇数の和となり偶数です。
連続する8数の和は、連続する2組の4数の和なので、偶数と偶数の和となり4の倍数です。
和が2020になるには、連続するページが8の倍数であることが必要です。
2020＝4×505＝4×奇数 です。
1＋2＋3＋･･･＋8＝36＝4×9、･･･
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＝136＝4×34、･･･
のように、8ページ、24(8+16)ページ、40(24+16)ページ、56(40+16)ページ、72(56+16)ページ、･･･などを調べます。
連続が始まる直前のページをkとします。
・8ページのとき
ページ数の和は、8k＋(1＋2＋3＋･･･＋8）＝8k＋36＝4×(2k＋9)＝2020として、
2k＋9＝505より、k＝248なので、248＋1＝249ページ目から248＋8＝256ページ目です。
・24ページのとき
ページ数の和は、24k＋(1＋2＋3＋･･･＋24）＝24k＋300＝4×(6k＋75)＝2020として、
6k＋75＝505より、k＝71.66･･･なので、不適です。
・40ページのとき
ページ数の和は、40k＋(1＋2＋3＋･･･＋40）＝40k＋820＝4×(10k＋205)＝2020として、
10k＋205＝505より、k＝30なので、30＋1＝31ページ目から30＋40＝70ページ目です。
・56ページのとき
ページ数の和は、56k＋(1＋2＋3＋･･･＋56）＝56k＋1596＝4×(14k＋399)＝2020として、
14k＋399＝505より、k＝7.57･･･なので、不適です。
・72ページのとき
ページ数の和は、72k＋(1＋2＋3＋･･･＋72）＝72k＋2628＝4×(18k＋657)＝2020として、
18k＋657＝505より、k＝－8.44･･･なので、不適です。
これ以上は、不適です。
問題4
5≦x＋y＋z≦24
例えば、x＋y＋z＝5の自然数の組は、(1,1,3)、(1,2,2)、(1,3,1)、(2,1,2)、(2,2,1)、(3,1,1)です。(6通り)
あらかじめx、y、zに1を割り振っておきます。･･･(1,1,1)
(1,1,1)の和は3です。
あと2の分をどこかに割り振るわけです。
割り振り方は、(0,0,2)、(0,1,1)、(0,2,0)、(1,0,1)、(1,1,0)、(2,0,0)の6通りです。
これは、重複を許して、{x,y,z}から2個組み合わせる場合の数に対応します。
それぞれ、{zz}、{yz}、{yy}、{xz}、{xy}、{xx}に対応します。
3H2＝4C2＝6です。
同様に、x＋y＋z＝6の自然数の組は、3H3＝5C3＝10通りです。
･･･
同様に、x＋y＋z＝24の自然数の組は、3H21＝23C21＝253通りです。
よって、
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
