令和２年１１月１５日

[流れ星]

　　第392回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：10月15日〜11月15日＞

［大垣八幡宮奉納算額２］

　　　　　岐阜県大垣市にある八幡神社

江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。
彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。
この算額は残念ながら先の太平洋戦争で神社ごと焼失したことを知り、奉納された算額は復元をし、後世に残しておきたいと熱望した次第です。

以下の奉納された問題の解法をお願いします。応募解答は後日、奉納算額の解答冊子に利用させていただきます。

第六問

正三角形内に等しい２斜線を作り、甲乙５個の円を入れる（甲円は三角形の1辺と斜線に接し、乙円はそれぞれの小三角形に内接している）。甲径を知って乙径を求めよ。

術文　（答）　乙径＝｛１÷（３の3乗根＋１）｝×（３の3乗根）甲径　　注　15日訂正

第七問

球を上中下の三段に切り、その上段に甲球を、下段に乙球を入れる。甲乙球はその段矢が等しい。そして上下段に等球を以って甲、乙球をそれぞれ囲む（等球は互いに外接している）。外球径、

甲球径、乙球径を知って囲んだ球の個数を求めよ。

術文　（答）不明　

解答　共に　　未解決

第八問

半円内に４個の円、貞享元利を入れる。その隙間に３円、天地人を入れる。地径、人径を知って天径を求めよ。

術文　（答）　天＝８・地・人÷（２√（地・人）＋地＋人）

第九問

円に等弧を書き、天地人円を入れる。天円は等弧上で互いに外接している。天径を知って人径を求めよ。　赤字の人　20日追加修正

術文　（答）　人径＝｛15−√（12.5）｝÷17×（天径）　　23日追加修正

注：下の図と題意の補足はジョーカーから頂きました。

等弧の半径は，天地人を含む円の半径と同じとして作図しました。　20日追加

＜題意の補足：天地人を含む円を大とし、同じ径の等弧をもつ大の中心が正三角形をなす場合を考える＞　　　　　　　　21日追加

第十問

曲尺に東西南北の４個の円が接している。斜線を引く（東円の最も左の点から北円の最上の点を結ぶようにする）東西南の３円の径を知って北径を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　注：赤字10月18日訂正

術文　（答）　北径＝（西径×南径）÷（４東径）

「ジョーカー」 　 10/27 21時36分　受信 更新 11/15

寄せられた解答です

上の中には第六問の類題があります。

「よふかしのつらいおじさん」 11/07 18時34分　受信 更新 11/15

第六問

●中央の円乙の中心をA、右の円乙の中心をBとします。

円乙の半径をrとします。

斜線を図のようにℓ、mとします。

斜線ℓは、

斜線mは、

円乙の中心を、 とします。

●点Aからmまでの距離はrなので、

点Bからℓまでの距離がrなので、

点bからmまでの距離はrなので、

この式に上の値を代入し整理すると、

下線部より、

2乗して整理すると、

下線部の3次方程式を解きます。

表記を簡単にするために、aを省きます。

ここで、 とおきます。

虚数解を捨てて、rに戻して、aを考慮して

●次に甲について調べます。

甲は、直線ACとBDの交点を中心とします。

ACは、点C(−t, 0)と点A(0, r)を通るので、

BDは、点D (a, 0)と点E を通るので、

（正三角形なので、DEは角の二等分線になっています）

(*)と(**)を連立させてyを求めます。

（yが円甲の半径です。）

(*)×(√3/3)−(**)×r より、

一方rは、

ゆえに、乙／甲は、

第八問

●接する2円が共通接線を持つとき、図左のSTの長さを調べます。

半径をそれぞれp、qとします。

△PQUの辺QUの長さの平方を求めて、

よって、

つまり、半径の相乗平均の2倍です。

●図右の円PとQの間に円Rを入れます。

この円Rの半径は、STの長さを2つに分けて考えると、

よって、

●次に半円に内接している円の半径の関係を調べます。

半円の半径をr、円の半径を小文字のa、b、c、dとします。

必要な長さを書きだします。

・先ず、aとbの関係を調べます。

OE＋OG＝EGより、

2乗し整理して、

ここで一旦止めます。

・次に、aとcの関係を調べます。

OF-−OE＝EFより、

2乗し整理して、

ここで一旦止めます。

・(*)と(**)とは、2乗して整理すると、bをcに変えただけで同じです。

よって、(*)を進めます。

2乗して整理すると、

両辺をで割って整理すると、

1／rについて解くと、

rは正なので、複合は＋の方をとり整理します。

aとbは、

aとcは、(1)のbをcにして、

bとdは、aとcの関係と同じなので、

●半円に内接する円と直線に内接する円の半径の関係を調べます。

円X、Y、Zの半径を小文字のx、y、zとします。

●解答を目指します。

(1)、(2)、(3)に、それぞれ(4)、(5)、(6)を代入します

(7)−(8)より、

(7)−(9)より、

(10)＋(11)より、

ゆえに、

第九問

この問題は、最後までできていません。

経過を書きます。

●もとの図を右に90°回した状態で考えます。

円の中心を原点Oとします。

各円の半径を、円：r、天：t、等弧：u、地：s、人：wとします。

円天2の中心を(x₁，y₁)、等弧の中心を(x₂，y₂)、円人の中心を(p，q)とします。

すると、円の方程式は、

円：　

天1：

天2：

天3：

等弧1：

地：

人1：

●等弧の中心、原点、x軸でできる角をαとします。

図の△OTHで、TH＝OT sinαなので、

天2の中心は、 なので、

天3の中心は、

等弧1の中心は、 と天1と天3の中心を通る直線との交点なので、

より、

天1と天3の接点は、それぞれの中心の中点なので、

等弧の半径uは、

より、

等弧の中心から、地の中心までの距離は、u＋sです。

計算して、

●人1の中心を、(p，q)とすると、

地の中心まではw＋s、等弧の中心まではw＋u、原点まではr−wなので、

これより、

これを(3)に代入して、wの2次方程式を解き、解をtで表せばよいのですが、

＜よふかしのつらいおじさん：11月13日のメールより＜題意の補足：天地人を含む円を大とし、同じ径の等弧をもつ大の中心が正三角形をなす場合を考える＞21日追加

自分は、この追加を入れずにやっていましたが送った解答のαを30°とすると解答に至りました。計算の間違いはなかったようでよかったです。＞

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。