令和３年８月２２日
[流れ星]
第403回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：7月25日～8月22日＞
［田代神社の算額(1)］
岐阜県養老郡養老町高田 田代神社
現存する算額（養老町指定文化財） 縦６５ｃｍチ横９９ｃｍ
上の写真は、天保１２年（１８４１）８月に関流和算家谷松茂門人・土屋信義門人が奉献した年次算額である。
今回の三問は11歳から13歳までの児童の問題です。答えは当時の漢文を解読して、確かめてください。もちろん現代風の解答で答えとします。
第一問題
訓読
今図の如く方田あり、其［積をもって］円田を製せんと欲す。ただに云う、方面若干径を得る術如何と問う。
答えて曰く、方面を置き、定法一一二を乗じて得る。
関流土屋信義門人 十二歳童 土屋房吉 謹考
題意 与えられた正方形に等しい面積を持つ円の直径を求めよ。
参考：円周率πを３．１４としています。
第二問題
訓読
今図の如く平方有り、内に四等の円を容れて、黒積を設く。その黒積若干、等径を得る術を問う如何。
答えて曰く、一箇を置き、内より円積率を減じ、余を以て黒積を除く平方これを開きこれを半ばして等径を得る。
同門 十三歳童 井口百一郎 謹考
参考 円積率とは円の面積を求めるときの定数。直径１の円の面積の定数π/4
題意 与えられた正方形の中に四個の等円を入れる。黒い部分の面積を知って等円の直径を求めよ。
第三問題
訓読
今図の如く平方内に二斜を隔てて、甲方三箇及び乙方一箇有り。ただ、甲方面の若干を云て、乙方面を得る術を問うに如何。
答えて曰く、五箇を置き平方これを開き、内より一箇を減じ、余りこれを半ばして甲方面を乗じて乙方面を得る。
同門 十一歳童 日比野平之丞 謹考
題意
正方形の内に二個の斜線を作り甲の正方形三個と乙の正方形一個を入れる。甲の正方形の一辺の長さを知って乙の正方形の一辺の長さを求めよ。
参考文献
１ 「岐阜県の算額の解説」 髙木重治 著
２ 養老・上石津神社の棟札・絵馬・古文書資料集
岐阜県神社庁養老上石津支部 発行 2018年発行
追加問題（提供者 ジョーカーさん）
ヒント：補題の利用。
「ジョーカー」 7/25 15時56分 受信 更新 8/22
「ジョーカー」 8/20 08時02分 受信 更新 8/22
寄せられた追加問題の解答です。
また、ここには、「二度漬け白菜」からの質問の「AG=(一定) という結果は興味深いです． 点Gには，なにか特別な名称がついているのでしょうか？」
回答があります。
「二度漬け白菜」
8/12 16時16分 受信 更新 8/22
追加問題の解答：
新たに次の17個の点を，問題図に追加する．
J_i : 直線ABと円O_iとの接点 (i=1,3)
K_i : 直線ADと円O_iとの接点 (i=1,2,3,4)
L_i : 直線ACと円O_iとの接点 (i=2,4)
M_i : 直線BCと円O_iとの接点 (i=1,2)
N_i : 直線EFと円O_iとの接点 (i=1,2,3,4)
J : 直線ABと円Oとの接点
L : 直線ACと円Oとの接点
M : 直線BCと円Oとの接点
[問1]
△CM_2O_2 ∽ △CMO より，
CM_2=(r_2/r)*CM.
ここで，
CM
=(1/2)*(2*CM+2*BJ+2*AL)-(BJ+AL)
=(1/2)*(a+b+c)-(c)
=s-c
であるから，
CM_2=(r_2/r)*(s-c) --- (0)
DA=BC+CA-BD-2*CM_2 ---(1) である．
なぜなら，
DK_2=DM_2=DC-CM_2=BC-BD-CM_2 および
K_2A=L_2A=CA-CL_2=CA-CM_2 とから，
DA=DK_2+K_2A=BC+CA-BD-2*CM_2.
よって，
(△ABDの面積)
=(r_1/2)*(AB+BD+DA)
=(r_1/2)*(AB+BC+CA-2*CM_2) (∵(1))
=(r_1/2)*(a+b+c-2*CM_2)
=(r_1/2)*(2*s-2*(r_2/r)*(s-c)) (∵(0))
=s*(r_1)-(r_1)*(r_2)*(s-c)/r.
また，対称性により，
(△ACDの面積)
=s*(r_2)-(r_1)*(r_2)*(s-b)/r.
(△ABCの面積)=(△ABDの面積)+(△ACDの面積)
であるから，
s*r=s*(r_1)-(r_1)*(r_2)*(s-c)/r + s*(r_2)-(r_1)*(r_2)*(s-b)/r.
よって，
s*(r_1+r_2-r)=(r_1)*(r_2)*(2*s-b-c)/r.
よって，
s*r=a*(r_1)*(r_2)/(r_1+r_2-r) ---(2)
つまり，
S=a*(r_1)*(r_2)/(r_1+r_2-r)
が示せた．
[問2]
AJ_1
=AK_1
=AD-DK_1
=AD-DM_1
=AK_2+K_2D-DM_1
=AL_2+DM_2-DM_1
よって，
AB
=AJ_1+J_1B
=(AL_2+DM_2-DM_1)+BM_1 ---(3)
AC
=AL_2+L_2C
=AL_2+M_2C ---(4)
BC=BM_1+M_1D+DM_2+M_2C ---(5)
s-c
=(1/2)*(a+b-c)
=(1/2)*(BC+CA-AB)
=(1/2)*(2*M_1D+2*M_2C) (∵(3),(4),(5))
=DM_1+CM_2.
よって，
DM_1
=(s-c)-CM_2
=(s-c)-(r_2/r)*(s-c)
=(s-c)*(1-r_2/r)
対称性により，
DM_2=(s-b)*(1-r_1/r) ---(6)
△O_2M_2D ∽ △DM_1O_1 より，
DM_2
=(r_1)*(r_2)/DM_1
=(r_1)*(r_2)/((s-c)*(1-r_2/r)) ---(7)
(6),(7) より，
1/((s-c)*(1-r_2/r))=(s-b)*(1-r_1/r)/((r_1)*(r_2)) ---(8)
△AL_4O_4 ∽ △AL_2O_2 より，
AL_4
=((r_4)/(r_2))*AL_2
=((r_4)/(r_2))*(CA-CL_2)
=((r_4)/(r_2))*(CA-CM_2)
=((r_4)/(r_2))*(b-(r_2/r)*(s-c))
=((r_4)/(r_2))*(b)-((r_4)/r)*(s-c) ---(9)
L_4F
=GN_2
=DM_1
=(s-c)*(1-r_2/r) ---(10)
△FL_2O_2 ∽ △O_4L_4F より，
FL_2
=(r_2)*(r_4)/(L_4F)
=(r_2)*(r_4)/((s-c)*(1-r_2/r)) (∵(10))
=((r_4)/(r_1))*(s-b)*(1-r_1/r) (∵(8)) ---(11)
L_2C=CM_2=(r_2/r)*(s-c) ---(12)
b=AC=AL_4+L_4F+FL_2+L_2C であるので，
これと，(9),(10),(11),(12) とから，
b=((r_4)/(r_2))*(b)-((r_4)/r)*(s-c)+(s-c)*(1-r_2/r)
+((r_4)/(r_1))*(s-b)*(1-r_1/r)+(r_2/r)*(s-c).
この等式から，
(a/r)+(s-a)/(r_4)=(b)/(r_2)+(s-b)/(r_1) ---(13)
を得る．
また，対称性により，
(a/r)+(s-a)/(r_3)=(c)/(r_1)+(s-c)/(r_2)
となる．
[問3]
AD
=AK_2+K_2D
=AL_2+DM_2
=AC-CL_2+DM_2
=AC-CM_2+DM_2
=b-(r_2/r)*(s-c)+(s-b)*(1-r_1/r)
=b*(r_1/r)+c*(r_2/r)-s*((r_1+r_2-r)/r)
=b*(r_1/r)+c*(r_2/r)-(a*(r_1)*(r_2)/(r*(r_1+r_2-r)))*((r_1+r_2-r)/r) (∵(2))
=b*(r_1/r)+c*(r_2/r)-a*(r_1)*(r_2)/(r*r).
[問4]
AG=(s-a) であることを示す．
K_4G=GN_4=N_2F=FL_2 であるので，
AG
=AK_4+K_4G
=AL_4+FL_2
=((r_4)/(r_2))*(b)-((r_4)/r)*(s-c)+((r_4)/(r_1))*(s-b)*(1-r_1/r) (∵(9),(11))
=(r_4)*(b/r_2 + (s-b)/r_1 - a/r)
=(r_4)*((s-a)/(r_4)) (∵(13))
=(s-a).
よって，点Gの軌跡は 点Aを中心とした半径(s-a)の円の劣弧 JL である．
ただし，端点 J, L は除く．
--------------------------------------
AG=(一定) という結果は興味深いです．
点Gには，なにか特別な名称がついているのでしょうか？
(以上)
「よふかしのつらいおじさん」 8/19 20時52分 受信 更新 8/22
第一問題
正方形の一辺をa、円の半径をｒとします。
正方形と円の面積が等しいので、
第二問題
円の半径をｒとします。
すると、正方形の一辺は4ｒです。
黒い部分の面積をｓとすると、
第三問題
正方形甲の一辺をa、乙の一辺をｂとします。
直線ＡＣの傾きを、二通りで考えて、
この2次方程式をｂについて解き正の値を調べると、
「スモークマン」
8/19 21時52分 受信 更新 8/22
ジョーカー様の問題はいつも難しすぎてbeyond me です...
とりあえず、以下の問題だけでも ^^;v
第三問題
題意
正方形の内に二個の斜線を作り甲の正方形三個と乙の正方形一個を入れる。甲の正方形の一辺の長さを知って乙の正方形の一辺の長さを求めよ。
解答
甲の1辺の長さをy,乙の1辺の長さをxとすると...
△の相似比から...
(x+2y)/(x+y)=(x+y)/y
x^2+2xy+y^2=xy+2y^2
x^2+xy=y^2
(x+y/2)^2=5y^2/4=(√5/2)y
so...
甲の1辺=x=((√5-1)/2)*y・・・答え
黄金比=φ=(√5+1)/2 なので...
x=(φ-1)*y
so...
x+y=φ*y
x+2y=1 のとき...
y=1/(φ+1)=(3-√5)/2=0.3819...
x=1-2/(φ+1)=(φ-1)/(φ+1)=√5-2=0.236...
このような関係になる図柄は一位に決まるわけですのねぇ ^^
図の直線が引けることで束縛・収斂するんですね ^^
