平成１６年６月６日

[流れ星]

　　　　　第１３９回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：６月６日〜６月２７日＞
［素因数の積］

太郎さんは平成１５年２月２５日には大阪大学の吹田キャンパスで前期の入試問題にチャレンジしていました。
今回は文系の問題を出題します。良く考えると裏にはオイラーが1734年に発見した事実が隠されていました。

NO1「H7K」 6/06: 09時41分受信 更新6/27更新

(1)
f(m)は，mの素因数をかけ合わせたもの，f(n)は，nの素因数をかけ合わせたもの．
よって，f(m)f(n)は，m,nどちらか一方にしかない素因数の積と，（m,n両方にある素因数の積の平方）
を掛け合わせたものであり，これは(m,nの少なくとも一方にある素因数の積)と(m,n両方にある素因数の積)との積である．
これは，それぞれ，明らかにf(n)f(m)とf(d)に等しい．　よって，f(d)f(mn)=f(m)f(n).

(2)
p_1: d=1ならば良い．
 Aから1を取り出す：Bから1--10を出せば良い．10通り
 Aから2：Bから1,3,5,7,9．5通り
 Aから3：Bから1,2,4,5,7,8,10. 7通り
 Aから4：Bから1,3,5,7,9 5通り．
 Aから5：1,2,3,4,6,7,8,9. 8通り．
 Aから6：1,5,7. 3通り．
 Aから7：1,2,3,4,5,6,8,9,10 9通り．
 Aから8：5通り．
 Aから9：7通り．
 Aから10:1,3,7,9. 4通り．
 よって，p_1=(10+5+7+5+8+3+9+5+7+4)/100=0.63.

＜1--100までなら，0.6087, 1--500までなら，0.608924ですから．Eulerから思い浮かぶのは，やはりζ関数……．＞
p_2: d=2ならば良い．
 Aから2を取り出す：2,4,6,8,10. 5通り
 Aから4を取り出す；2,6,10. 3通り．
 Aから6：4通り．
 Aから8：3通り．
 Aから10:4通り．
 よって，p_2=0.19.

以下は余談
p_3:
 Aから3:3,6,9
 Aから6:3,9
 Aから9:3,6
 p_3=0.07
p_4:
 Aから4:4,8
 Aから8:4
 p_4=0.03
p_5:
 (5,5)(5,10)(10,5) 0.03
p_6:0.01
p_7:0.01
p_8:0.01
p_9:0.01
p_10:0.01

NO2「toru」　　 6/08: 13時57分受信 更新6/27更新
(1)m、nを素因数分解して、共通の素因数の積をC、mのみに含まれる素因数の積をM、
nのみに含まれる素因数の積をNとすれば　　　f(m)=MC,f(n)=NC,f(mn)=MNC,f(d)=Cとなって、f(d)f(mn)=f(m)f(n)が成立する。

(2) f(mn)=f(m)f(n)よりf(d)=1 すなわちd=1,
m,nの最大公約数１となる組み合わせを数え出す。
m=1 の時n=1,2,----,10 の１０通り
m=2 の時n=1,3,5,7,9の５通り
m=3の時n=1,2,4,5,7,8,10の７通り
m=4の時n=1,3,5,7,9,の５通り
m=5の時n=1,2,3,4,6,7,8,9,の８通り
m=6の時n=1,5,7の３通り
m=7の時n=1,2,3,4,5,6,8,9,10の９通り
m=8の時n=1,3,5,7,9の５通り
m=9の時n=1,2,4,5,7,8,10の７通り
m=10の時n=1,3,7,9の４通り　で計６３通り　よって p1=63/100

同様にf(d)=2とするとd=2^k (k=1,2,3---)
m=2の時n=2,4,6,8,10の５通り
m=4の時n=2,4,6,,8,10の５通り
m=6の時n=2,4,8,10の４通り
m=8の時n=2,4,6,8,10の５通り
m=10の時n=2,4,6,8の４通り　で計２３通り　よってp2=23/100

＜オイラーが1734年に発見した事実って、ゼーター関数のことですね。p１について、
１から１０のかわりに、任意の自然数から２つとって互いに素である確率とすれば、1／ζ(2)となるというわけです。
Weekend Mathematicsのゼーター関数物語、楽しく読ませていただきました。
最初に読んだ時には、sinX/Xを無限積表示したり、それを展開したりというところが本当にこんなことしていいの?!、
という感想をもった覚えがありますが、ここらのところはあとから「解析概論」を読んで少し納得？、
この機会にまた読みなおしてみたいと思います。　　　　ペンネーム　Toru＞

N０3「kashiwagi」6/09: 07時57分受信 更新6/26更新
139回 解答

(1)

題意より　ｍ＝ｄM_１^αM_２^β・・M_ｎ^ω　と書け、同様にして

　　　　　ｎ＝ｄN_１^αN_２^β・・N_ｎ^ω　　

ｄ＝D_１^αD_２^β・・D_ｎ^ω　　

但し、D、M、Nは異なる素数である。

これらよりｆ(ｄ)＝D_１D_２・・D_ｎ

ｆ(ｍ)＝D_１D_２・・D_ｎM_１M_２・・M_ｎ

ｆ(ｎ)＝D_１D_２・・D_ｎN_１N_２・・N_ｎ

ｆ(ｍｎ)＝D_１D_２・・D_ｎM_１M_２・・M_ｎN_１N_２・・N_ｎ

この関係より明らかに

ｆ(ｄ) ｆ(ｍｎ)＝D_１D_２・・D_ｎD_１D_２・・D_ｎM_１M_２・・M_ｎN_１N_２・・N_ｎ

＝(D_１D_２・・D_ｎ)^２M_１M_２・・M_ｎN_１N_２・・N_ｎ

又、ｆ(ｍ) ｆ(ｎ)＝D_１D_２・・D_ｎM_１M_２・・M_ｎD_１D_２・・D_ｎN_１N_２・・N_ｎ

因って、ｆ(ｄ) ｆ(ｍｎ)＝ｆ(ｍ) ｆ(ｎ)である。

(2)

(1) よりｆ(ｍｎ)＝ｆ(ｍ) ｆ(ｎ)となるのはｆ(ｄ)＝１が成立する場合である。

即ち、取り出し方100通りのうち、最大公約数が１となる場合を考えればよく、

数え上げると63通りある。因って、求める確率　P_１＝63／100である。

全く同様にして、

２ｆ(ｍｎ)＝ｆ(ｍ) ｆ(ｎ)となるのはｆ(ｄ)＝２が成立する場合である。

即ち、最大公約数が2，4，8となる場合を考えればよく、

数え上げると23通りある。因って、求める確率P_２＝23／100である。

N０4「kasama」　 6/23: 18時14分受信 更新6/26更新
【問題(1)】
自然数m、nは適当な素数a₁,a₂,･･･,a_p、b₁,b₂,･･･,b_q、c₁,c₂,･･･,c_rと自然数i₁,i₂,･･･,i_p、j₁,j₂,･･･,j_q、k₁,k₂,･･･,k_p、l₁,l₂,･･･,l_rに対して、
　m=a₁ⁱ₁a₂ⁱ₂･･･a_pⁱ_pb₁^j₁b₂^j₂･･･b_q^j_q
　n=a₁^k₁a₂^k₂･･･a_p^k_pc₁^l₁c₂^l₂･･･c_q^l_r
と表すことができます。すると、
　f(m)=a₁a₂･･･a_pb₁b₂･･･b_q
　f(n)=a₁a₂･･･a_pc₁c₂･･･c_r
　f(d)=a₁a₂･･･a_p
　f(mn)=a₁a₂･･･a_pb₁b₂･･･b_qc₁c₂･･･c_r
よって、
　f(d)f(mn)=f(m)f(n)
です。

【問題(2)】
確率p₁、p₂は
　p₁･･･f(mn)=f(m)f(n)⇒f(d)=1になるのはm、nが互いに素の場合の確率
　p₂･･･2f(mn)=f(m)f(n)⇒f(d)=2になるのは、m、nの最大公約数が2のべき乗となる場合の確率
です。コツコツ調べていけば良いのですが、面倒なので簡単なプログラム(PARI/GP)にやらせました。
　(16:30) gp > read("dai139.gp")
　(16:31) gp > dai139
　確率p1=63/100
　確率p2=23/100

＜【オイラーの発見】
オイラーが発見したこととは、m、nを限りなく大きくしていったとき、m、nが互いに素である確率p₁の極限がゼーター関数ζ(2)に関係するということでしょうか？ゼータ関数物語（３）(http://www.junko-k.com/cthema/15zeta3.htm)によると、
2つの自然数を任意にとるとき、それらが互いに素である確率は
　p₁=Π{1-(1/p)²}
^p∈素数
ですが、この値はゼーター関数ζ(2)の逆数で、
　p₁=1/ζ(2)=6/π²=0.60792710185･･･
となるようです。ゼーター関数がこのようなところに関係しているとはビックリです。＞

［参考］
参考までに、プログラムを添付します。
dai139()=
{
    local(m, n, d, count);
    count = 0;
    for (m = 1, 10,
        for (n = 1, 10,
            if (gcd(m, n) == 1, count++);
        );
    );
    print("確率p1=", count/100);
    count = 0;
    for (m = 1, 10,
        for (n = 1, 10,
            if (gcd(m, n) == 2 || gcd(m, n) == 4 || gcd(m, n) == 8, count++);
        );
    );
    print("確率p2=", count/100);
}

N０5「中川幸一」 6/25: 05時32分受信 更新6/26更新

　

＜以前も紹介した事があると思いますが, この
http://www.junko-k.com/collo/collo157.htm#1329 の問題についての考察がオイラーが1734年に発見した事実ですよね？
一応私が投稿した解答は http://www.junko-k.com/collo/collo157.htm#1332 にあります。
の Ｎ０7：2002年11月25日（月） にも付いていましたね…。＞

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