平成２５年１月２０日

[流れ星]

　　　　　第２８５回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：12月30日〜1月20日＞

皆さんのご愛顧に深く感謝しつつ、引き続き平成２５年もよろしくお願いします。

［自然数の和］

２００１年の東京工業大学の入試問題です。

＜水の流れ：類似問題として、「自然数の分割」があります。参考にしてください＞

ＮＯ１「uchinyan」 12/30 14時09分受信 更新1/20

j 回目に取り出したカードに書かれた番号を xj とします。

まず，明らかに，Xj は狭義に単調増加なので Xj = k となる j は一意的で，

j に関して重複なく場合分けができます。

(1)

PN(1)

k = 1 なので，

x1 = 1，これは 1 通りで，確率は 1/N。

これですべてなので，

PN(1) = 1/N

になります。

PN(2)

k = 2 なので，

x1 = 2，これは 1 通りで，確率は 1/N，

x1 + x2 = 2，これは 1 通りで，確率は 1/N^2。

これですべてなので，

PN(2) = 1/N + 1/N^2 = (1 + N)/N^2

になります。

PN(3)

k = 3 なので，

x1 = 3，これは 1 通りで，確率は 1/N，

x1 + x2 = 3，これは 2 通りで，確率は 2/N^2，

x1 + x2 + x3 = 3，これは 1 通りで，確率は 1/N^3。

これですべてなので，

PN(3) = 1/N + 2/N^2 + 1/N^3 = (1 + N)^2/N^3

になります。

(2)

P3(4)

N = 3，k = 4 なので，

x1 = 4，これは 0 通りで，確率は 0/3 = 0，

x1 + x2 = 4，これは 3 通りで，確率は 3/3^2 = 1/3，

x1 + x2 + x3 = 4，これは 3 通りで，確率は 3/3^3 = 1/9，

x1 + x2 + x3 + x4 = 4，これは 1 通りで，確率は 1/3^4 = 1/81。

これですべてなので，

P3(4) = 0 + 1/3 + 1/9 + 1/81 = 37/81

になります。

P3(5)

N = 3，k = 5 なので，

x1 = 5，これは 0 通りで，確率は 0/3 = 0，

x1 + x2 = 5，これは 3 通りで，確率は 2/3^2 = 2/9，

x1 + x2 + x3 = 5，これは 6 通りで，確率は 6/3^3 = 2/9，

x1 + x2 + x3 + x4 = 5，これは 4 通りで，確率は 4/3^4 = 4/81，

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5，これは 1 通りで，確率は 1/3^5 = 1/243。

これですべてなので，

P3(4) = 0 + 2/9 + 2/9 + 4/81 + 1/243 = 121/243

になります。

(3)

PN(k)，k <= N

k <= N なので，j 回目に k となる

Xj = x1 + x2 + … + xj = k

の解の個数は，区別しないボール k 個を区別する箱 j 個に各箱に 1 個以上入れる場合の数に等しく，

これは，区別しない k-j 個のボールと区別しない j-1 個の仕切りを並べることと同じなので，

((k-j)+(j-1))C(j-1) = (k-1)C(j-1) 通り。

そこで，Xj = k となる確率は (k-1)C(j-1)/N^j です。そこで，

PN(k) = Σ[j=1,k]{(k-1)C(j-1)/N^j}

= Σ[j=1,k]{(k-1)C(j-1) * N^(k-j)}/N^k

= Σ[i=0,k-1]{(k-1)Ci * N^((k-1)-i)}/N^k

= (1 + N)^(k-1)/N^k

になります。

(感想)

一般の大学入試としては，標準的かやや難，だと思いますが，

東工大としては，標準的かやや易，のような気がします。

k > N の場合は，考え方は容易に一般化できそうですが，式としてまとめるのは難しそうですね．．．

なお，

＞類似問題として、「自然数の分割」があります。参考にしてください。

とありますが，この問題では各回ごとに 1/N 倍の重みがかかるので微妙に違うような気がしますが。

今年はいろいろとありがとうございました。来年も宜しくお願い致します。

ＮＯ２「ｽﾓｰｸﾏﾝ」　　12/31 19時05分受信 更新1/20

今回の問題は勘違いしてなければできたと思います♪

(1) P(1)=1/N
P(2)={2,1+1}=1/N+1/N^2
　 P(3)={3,1+2,2+1,1+1+1}=1/N+2/N^2+1/N^3

(2) P3(4)={1+3,1+1+2,2+2,1+1+1+1}
　　　　　=3/3^2+3/3^3+1/3^4=(3*3^2+3*3+1)/3^4=37/81

　　　　P3(5)={2+3,1+1+3,1+2+2,1+1+1+2,1+1+1+1+1}
　　　　　 =2/3^2+6/3^3+4/3^4+1/3^5=(2*3^3+6*3^2+4*3+1)/3^5=121/243

(3)　 k個の間にバーを入れる数だけ分割できる…k≦N だから…
　　　バーの入れ方は、(k-1)C0+(k-1)C1+…+(k-1)C(k-1)=2^(k-1)
　　　つまり…
　　　PN(k)=Σ[n=0~(k-1)] (k-1)Cn/N^(n+1)

ＮＯ３「浜田明巳」　01/25 13時41分受信 更新1/20

ｊ番目に取り出したカードの番号をａ_ｊとする．
　（３），（１），（２）の順で解く．
（３）ｋ≦Ｎ
　ｊ≦ｋ≦Ｎのとき，ｊ回の試行でＸ_ｊ＝ｋとなる場合は，ｋ個の１を一列に並べ，その間にｊ−１個の仕切りを入れる場合である．ただし両端は仕切らない．
　　∴Ｐ(Ｘ_ｊ＝ｋ)＝_ｋ−１Ｃ_ｊ−１／Ｎ^ｊ
　Ｘ_ｊ＝ｋ（１≦ｊ≦ｋ）は互いに排反事象であるから，
　　Ｐ_Ｎ(ｋ)＝Ｐ(Ｘ_１＝ｋ)＋Ｐ(Ｘ_２＝ｋ)＋Ｐ(Ｘ_３＝ｋ)＋………＋Ｐ(Ｘ_ｋ)＝ｋ)
　　　＝_ｋ−１Ｃ_０／Ｎ＋_ｋ−１Ｃ_１／Ｎ^２＋_ｋ−１Ｃ_２／Ｎ^３＋………＋_ｋ−１Ｃ_ｋ−１／Ｎ^ｋ
　　　＝１／Ｎ^ｋ・(_ｋ−１Ｃ_０Ｎ^ｋ−１＋_ｋ−１Ｃ_１Ｎ^ｋ−２＋_ｋ−１Ｃ_２Ｎ^ｋ−３＋………＋_ｋ−１ Ｃ_ｋ−１)
　　　＝１／Ｎ^ｋ・Σ_{(０≦ｉ≦ｋ−１　)ｋ−１}Ｃ_ｉＮ^{ｋ−１−ｉ}・１^ｉ
_＝１／Ｎ^ｋ・(Ｎ＋１)^ｋ−１
_＝(Ｎ＋１)^ｋ−１_／Ｎ^ｋ………(答)
（１）（３）から，
　Ｐ_Ｎ(１)＝１／Ｎ………(答)
　 Ｐ_Ｎ(２)＝(Ｎ＋１)／Ｎ^２………(答)
　 Ｐ_Ｎ(３)＝(Ｎ＋１)^２／Ｎ^３………(答)
（２） Ｐ_３(４)を求める．
　Ｘ_１≦３であり，Ｘ_２＝４，Ｘ_３＝４，Ｘ_４＝４は互いに排反事象であるから，
　Ｐ_３(４)＝Ｐ(Ｘ_２＝４)＋Ｐ(Ｘ_３＝４)＋Ｐ(Ｘ_４＝４)
　故に
　(ａ_１，ａ_２)＝(１，３)，(２，２)，(３，１)
　または，
　　(ａ_１，ａ_２，ａ_３)＝(１，１，２)，(１，２，１)，(２，１，１)
　または，
　　ａ_１＝ａ_２＝ａ_３＝ａ_４＝１
となる．
Ｐ_３(４)＝３／３^２＋３／３^３＋１／３^４＝(２７＋９＋１)／８１＝３７／８１………(答)
次にＰ_３(５)を求める．
　Ｘ_１≦３であり，Ｘ_２＝５，Ｘ_３＝５，Ｘ_４＝５，Ｘ_５＝５は互いに排反事象であるから，
　　Ｐ_３(５)＝Ｐ(Ｘ_２＝５)＋Ｐ(Ｘ_３＝５)＋Ｐ(Ｘ_４＝５)＋Ｐ(Ｘ_５＝５)
　故に
　　{ａ_１，ａ_２}＝{２，３}
　または，
　　(ａ_１，ａ_２，ａ_３)＝(１，１，３)，(１，３，１)，(３，１，１)，(１，２，２)，(２，１，２)，(２，２，１)
　または，
　　(ａ_１，ａ_２，ａ_３，ａ_４)＝(１，１，１，２)，(１，１，２，１)，(１，２，１，１)，(２，１，１，１)
　または，
　　ａ_１＝ａ_２＝ａ_３＝ａ_４＝ａ_５＝１
となる．
∴Ｐ_３(５)＝２／３^２＋６／３^３＋４／３^４＋１／３^５＝(５４＋５４＋１２＋１)／２４３＝１２１／２４３…・(答)

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、

メールで送ってください。待っています。