Ｎ０6：2001年5月31日(木）先月、遠足に愛知県犬山市にある「明治村」に行って来ましたが、「文武芸に思いっきり青春！思いっきりチャレンジ」と教育目標を掲げています。
このとき、生徒に明治村への旅と称して、詩・短歌・俳句等を作りましたが、今回優秀作品がまとまりましたので、披露します。【俳句の部】１．明治村　東京名古屋　約伍分　２．過去の華　想いしのばす　明治村　３．坐漁荘の　畳が香る　春の白波　
　明日は、短歌の部を紹介します。さて、夕方に、第７６回応募問題の「√ｎに近い整数」を作成しました。今夜にでも更新します。多くの方からのご応募をお待ちしています。

Ｎ０5：2001年5月30日(水）昨日の「驚きべき大家族」の解答が「清川(kiyo)」さんから寄せられました。早速、プリントして生徒に渡しました。ありがとうございます。以下、寄せられた答えを載せます。
『いつもお世話になっています。kiyoです。娘の人数をＸ人とする。孫は、Ｘ*（Ｘ-１）人。ひ孫は、Ｘ*（Ｘ−１）*（Ｘ-２）人。　合計　Ｘ*（Ｘ＾２-２*Ｘ+２）人
　　　　　Ｘ＝１　のとき　　　１歳
　　　　　Ｘ＝２　のとき　　　４歳
　　　　　Ｘ＝３　のとき　　１５歳
　　　　　Ｘ＝４　のとき　　４０歳
　　　　　Ｘ＝５　のとき　　８５歳
　　　　　Ｘ＝６　のとき　１５６歳　常識的および生物学的には８５歳でしょうね。』
ここで、太郎さんは疑問に思うことがあります。【自分の姉妹の数と同じだけの息子】の考え方ですが、「あなたの兄弟は何人いますか」と尋ねられたとき、上に兄、下に弟がいた場合：「３人います」と普通答えますが、この考え方は、自分自身を除いて２人と扱っています。
　また、一人っ子の場合は、「いません」と答えて、自分自身を除いて答えます。ちょうと不思議な気がしますね。皆さんは、どう思われますか？
　　

Ｎ０4：2001年5月29日(火）学校で、生徒からこんな質問を受けました。ブルバキの「数学パズル・パンドラの箱」より、１番目の問題でした。太郎さんは、家で考えたのですが、８４歳となって、本に書いてある答の８５歳には現在、なりませんでした。読者の皆さんに尋ねます。教えてください。
驚きべき大家族「パウンティフルおばあさんには娘だけで息子はいなかった。どの娘にも、娘はなく、自分の姉妹の数と同じだけの息子がいた。つぎに、どの孫にも、兄弟の数と同じだけの娘がいた。おばあさんは、友達の前で、この人数を繰り返し数えるのが好きだった。特に喜んだのは、子と孫とひ孫の人数の合計が自分の年と一致したとき！さて、、彼女は何歳？」
　定期考査の問題は現在作成中。第７６回の問題を６月１日に発信しなければと思いつつ、過ぎていく・・・。

Ｎ０3：2001年5月28日(月）昨日、言及しておいた第７５回応募問題「無限級数の値」の「解答」を更新しました。６月１日から前期中間考査が始まります。考査問題を作成しなければと思いつつ過ぎていきそう。

Ｎ０2：2001年5月27日(日）午前中、農作業をして、田植えができるように準備を進めています。終わってから県庁まで、以前申請していたパスポートを受け取りに行って来ました。午後、昨日寄せられた「kiyo」さんからの解答を更新したく時間を作っていましたが、今日は更新できませんでした。

Ｎ０1：2001年5月26日(土）学校を８時半で出発して、バスケット会場（県立東濃実業高校）に、９時５０分に着きました。この会場はすべて女子でして、第１試合は、県下で一番強いと言われている岐阜女子高校（２月の東海地区の新人戦では、桜花学園についで、堂々の準優勝校）が戦っていました。148：26（益田高校）、関高校72：50土岐商高、第２試合は、長良87：54郡上、県岐阜商業110：38大垣南高校、第３試合は、鴬谷高校90：53揖斐高校、関商工67：58大垣東高校という結果でした。第４試合は、会場を後にしたので、不明です。さらに、他の会場が３つあり、４試合づつ行われていました。
残念ながら、相手チームが強くて歯が立ちませんでした。３年生最後の試合となりました。キャプテンの４番を含めて、３人が引退していきます。これからの１年生（６人），２年生（６人）の活躍を期待したいです。
　さて、県大会にいくと、それぞれチームの顧問に会うことができます。太郎さんは、２０年バスケの顧問をしていますから、顔なじみの方にもお会いできて、懐かしいです。中には、新任校で、バスケ部員だったのが、今では、顧問をしている人もいました。学校着は４時４５分でした。
帰宅後、第７５回の応募問題の答が「清川（kiyo)」さんから、計３回来ていました。ご覧ください。
１回目『いつもお世話になっています。kiyoです。係数がパスカルの三角形になっているのですね。
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　×2 ×2
ΣN^1 　 　　2 　　　　 4 　　　 　 8　　　　　　　　　　　　 1 1
ΣN^2 　 　 　6 　　　　 12 　　　　24 　 1 2 1
ΣN^3 　　 　26　　　　 52 　　 　104 　　 1 3 3 1
ΣN^4 　　　 150 　　　 300　　 　 600 　　　 1 4 6 4 1
ΣN^5 　　 1082 　　　2164　 　 4328 　　　　1 5 10 10 5 1
ΣN^6 　　 9366 　　 18732 　　37464 　　　　　1 6 15 20 15 6 1
2
2*4-2=6
3*12-3*4+2=26
4*52-6*12+4*4-2=150
5*300-10*52+10*12-5*4+2=1082
6*2164-15*300+20*52-15*12+6*4+2=9366
プログラムを組んで点検してみました。
　REM 無限級数の値
　DIM S(1000)
　REM 問題1
　FOR I=1 TO 1000
　 LET S(I)=1
　NEXT I
　LET SS=0
　FOR I=1 TO 1000
　 LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
　NEXT I
　PRINT ROUND(SS)
　REM 問題2
　FOR I=1 TO 1000
　 LET S(I)=I
　NEXT I
　LET SS=0
　FOR I=1 TO 1000
　 LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
　NEXT I
　PRINT ROUND(SS)
　REM 問題3
　FOR I=1 TO 1000
　 LET S(I)=I*(I+1)/2
　NEXT I
　LET SS=0
　FOR I=1 TO 1000
　 LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
　NEXT I
　PRINT ROUND(SS)
　REM 問題4
　FOR I=1 TO 1000
　 LET S(I)=I*(I+1)*(2*I+1)/6
　NEXT I
　LET SS=0
　FOR I=1 TO 1000
　 LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
　NEXT I
　PRINT ROUND(SS)
　REM 問題5
　FOR I=1 TO 1000
　 LET S(I)=((I^2)*(I+1)^2)/4
　NEXT I
　LET SS=0
　FOR I=1 TO 1000
　 LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
　NEXT I
　PRINT ROUND(SS)
　REM 問題6
　FOR I=1 TO 1000
　 LET S(I)=I*(I+1)*(2*I+1)*(3*I^2+3*I-1)/30
　NEXT I
　LET SS=0
　FOR I=1 TO 1000
　 LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
　NEXT I
　PRINT ROUND(SS)
　REM 問題7
　FOR I=1 TO 1000
　 LET S(I)=(I^2)*((I+1)^2)*(2*I^2+2*I-1)/12
　NEXT I
　LET SS=0
　FOR I=1 TO 1000
　 LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
　NEXT I
　PRINT ROUND(SS)
　REM 問題8
　FOR I=1 TO 1000 　 LET S(I)=I*(I+1)*(2*I+1)*(3*I^4+6*I^3-3*I+1)/42
　NEXT I
　LET SS=0
　FOR I=1 TO 1000
　 LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
　NEXT I
　PRINT ROUND(SS)
　END
出力
2
4
8
24
104
600
4328
37464』
２回目『いつもお世話になっています。kiyoです。漸化式をプログラムしてみました。今後とも宜しくお願いします。
　 REM 無限級数の値Ｓを求める。Ver.2
　 　OPTION BASE 0
　DIM T(30)
　LET T(0)=1
　LET T(1)=2
　FOR I=2 TO 30
　 LET Z=0
　FOR J=I-1 TO 0 STEP -1
　 LET Z=Z+1
　IF MOD( Z , 2) =1 THEN
　 LET F=1
　ELSE
　 LET F=-1
　END IF
　LET T(I)=T(I)+2*T(J)*COMB(I,J)*F
　NEXT J
　NEXT I
　FOR N=1 TO 30
　 LET T(N)=T(N)*4
　 PRINT " ΣN";"^";N
　PRINT " S=";T(N)
　PRINT
　NEXT N
　END
　出力
ΣN^ 1
S= 8
ΣN^ 2
S= 24
ΣN^ 3
S= 104
ΣN^ 4
S= 600
ΣN^ 5
S= 4328
ΣN^ 6
S= 37464
ΣN^ 7
S= 378344
ΣN^ 8
S= 4366680
ΣN^ 9
S= 56698088
ΣN^ 10
S= 817980504
ΣN^ 11
S= 12981060584
ΣN^ 12
S= 224732540760
ΣN^ 13
S= 4214866787048
ΣN^ 14
S= 85130743763544
ΣN^ 15
S= 1842265527822824
ΣN^ 16
S= 42525237455850840
ΣN^ 17
S= 1042966136233087208
ΣN^ 18
S= 27084277306054762584
ΣN^ 19
S= 742412698554627289064
ΣN^ 20
S= 21421502369955073624920
ΣN^ 21
S= 648998599988032591054568
ΣN^ 22
S= 20598755358425523076353624
ΣN^ 23
S= 683507610693965674356643304
ΣN^ 24
S= 23666232968593163781205191000
ΣN^ 25
S= 853578923507806206604667985128
ΣN^ 26
S= 32017806078753347939889020312664
ΣN^ 27
S= 1247182111348972985994209810029544
ΣN^ 28
S= 50380496519600528268146991482677080
ΣN^ 29
S= 2107827082104189520167146632356614888
ΣN^ 30
S= 91228550352095043869939713569479215704 』
３回目『いつもお世話になっています。kiyoです。数列サイトで検索してみました。またプログラムを一部修正しました。いつもお世話になっています。kiyoです。
数列サイトで検索してみました。またプログラムを一部修正しました。
　REM 無限級数の値Ｓ求める。Ver.2
　 　OPTION BASE 0
　DIM T(30)
　LET T(0)=1
　FOR I=1 TO 30
　 LET Z=0
　 FOR J=I-1 TO 0 STEP -1
　 LET Z=Z+1
　 IF MOD( Z , 2) =1 THEN
　 LET F=1
　ELSE
　 LET F=-1
　END IF
　LET T(I)=T(I)+2*T(J)*COMB(I,J)*F
　NEXT J
　NEXT I
　FOR N=1 TO 30
　 LET T(N)=T(N)*4
　 PRINT " ΣN";"^";N
　 PRINT " S=";T(N);" ";T(N)/8
　PRINT
　NEXT N
　END
出力
ΣN^ 1
S= 8 1
ΣN^ 2
S= 24 3
ΣN^ 3
S= 104 13
ΣN^ 4
S= 600 75
ΣN^ 5
S= 4328 541
ΣN^ 6
S= 37464 4683
ΣN^ 7
S= 378344 47293
ΣN^ 8
S= 4366680 545835
ΣN^ 9
S= 56698088 7087261
ΣN^ 10
S= 817980504 102247563
ΣN^ 11
S= 12981060584 1622632573
ΣN^ 12
S= 224732540760 28091567595
ΣN^ 13
S= 4214866787048 526858348381
ΣN^ 14
S= 85130743763544 10641342970443
ΣN^ 15
S= 1842265527822824 230283190977853
ΣN^ 16
S= 42525237455850840 5315654681981355
ΣN^ 17
S= 1042966136233087208 130370767029135901 ΣN^ 18
S= 27084277306054762584 3385534663256845323
ΣN^ 19
S= 742412698554627289064 92801587319328411133
ΣN^ 20
S= 21421502369955073624920 2677687796244384203115
ΣN^ 21
S= 648998599988032591054568 81124824998504073881821
ΣN^ 22
S= 20598755358425523076353624 2574844419803190384544203
ΣN^ 23
S= 683507610693965674356643304 85438451336745709294580413
ΣN^ 24
S= 23666232968593163781205191000 2958279121074145472650648875
ΣN^ 25
S= 853578923507806206604667985128 106697365438475775825583498141
ΣN^ 26
S= 32017806078753347939889020312664 4002225759844168492486127539083
ΣN^ 27
S= 1247182111348972985994209810029544 155897763918621623249276226253693
ΣN^ 28
S= 50380496519600528268146991482677080 6297562064950066033518373935334635
ΣN^ 29
S= 2107827082104189520167146632356614888 263478385263023690020893329044576861
ΣN^ 30
S= 91228550352095043869939713569479215704 11403568794011880483742464196184901963
ID Number: A000670 (Formerly M2952 and N1191)
Sequence: 1,1,3,13,75,541,4683,47293,545835,7087261,102247563,
　　 1622632573,28091567595,526858348381,10641342970443,
230283190977853,5315654681981355,130370767029135901,
3385534663256845323
Name: Preferential arrangements of n elements.
Comments: Also asymmetric generalized weak orders on n points.
References N. L. Biggs et al., Graph Theory 1736-1936, Oxford, 1976, p. 44 (P(x)).
A. Cayley, On the theory of the analytical forms called trees II, Phil.
Mag. 18 (1859), 374-378 = Math. Papers Vol. 4, pp. 112-115.
J. L. Chandon, J. LeMaire and J. Pouget, Denombrement des quasi-ordres
sur un ensemble fini, Math. Sci. Humaines, No. 62 (1978), 61-80.
S. Getu et al., How to guess a generating function, SIAM J. Discrete
Math., 5 (1992), 497-499.
M. Goebel, On the number of special permutation-invariant orbits and
terms, in Applicable Algebra in Engin., Comm. Comp. (AAECC 8), Lect.
Notes Comp. Sci., 1997.
I. P. Goulden and D. M. Jackson, Combinatorial Enumeration, John Wiley
and Sons, N.Y., 1983.
O. A. Gross, Preferential arrangements, Amer. Math. Monthly, 69(1962), 4-8.
P. A. MacMahon, Yoke-trains and multipartite compositions in
connexion with the analytical forms called "trees", Proc. London
Math. Soc. 22 (1891), 330-346; reprinted in Coll. Papers I, pp.600-616.
E. Mendelsohn, Races with ties, Math. Mag. 55 (1982), 170-175.
M. Mor and A. S. Fraenkel, Cayley permutations, Discrete Math., 48
(1984), 101-112.
T. S. Motzkin, Sorting numbers for cylinders and other classification
numbers, in Combinatorics, Proc. Symp. Pure Math. 19, AMS, 1971, pp.167-176.
R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Wadsworth, Vol. 1, 1986;
see Example 3.15.10, p. 146.
D. J. Velleman and G. S. Call, Permutations and combination locks,
Math. Mag., 68 (1944), 243-253.
C. G. Wagner, Enumeration of generalized weak orders. Arch. Math.
(Basel) 39 (1982), no. 2, 147-152.
H. S. Wilf, Generatingfunctionology, Academic Press, NY, 1990, p.147.
Links: P. J. Cameron, Sequences realized by oligomorphic permutation groups,
J. Integ. Seqs. Vol. 3(2000), #00.1.5.
INRIA Algorithms Project, Encyclopedia of Combinatorial Structures 41
E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
Index entries for "core" sequences
Formula: a(0) = 1, a(n) = Sum from k=1 to n of C(n,k)*a(n-k); e.g.f.: 1/(2-e^x).
For n>=1, a(n) = n!/2 * Sum from k=-infinity to infinity of (log(2) + 2
pi i k)^(-n-1) - from Dean Hickerson (dean@math.ucdavis.edu)
Maple: A000670:=proc(n) option remember; local k; if n <=1 then 1 else
add(binomial(n,k)*A000670(n-k),k=1..n); fi; end;
spec:=[ B, {B=Sequence(Set(Z,card>=1))}, labelled ];
[seq(combstruct[count](spec, size=n), n=0..30)];
Mma: Table[ PolyLog[ -z,1/2 ] /2,{z,1,11} ] (from Wouter Meeussen,
eu000949@pophost.eunet.be)
See also: Binomial transform of A052841.
Inverse binomial transform of A000629 - Joe Keane (jgk@jgk.org).
Asymptotic to A034172. Cf. A053525, A002869, A004121, A004122.
Keywords: easy,huge,core,nonn,nice
Offset: 0
Author(s): njas

<自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

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