初め、田圃の中に入るのを拒んでいあｔ生徒もいましたが、いざ１歩入ってみると後は何事もなかったように、苗を植えていました。土にふれることは大変貴重なことです。苗の列がまちまちで、不揃えです。まあー、しかたがないか。
さて、「中川幸一」さんから、相談事と尋ね事が入っています。どなたか教えてください。
『下記の問題について相談したいことがあります。
n を 2 以上の整数として, 凸 2n 角形について考えます。と 2n 角形には辺が全部で 2n 本あります。
また対角線も何本か存在しますが, その対角線の中にはどの辺とも平行でないようなものが引けそうです。
実はこのような「どの辺とも平行でない対角線」は少なくとも n 本存在するのです。このことを証明してください。』
『度々すみませんが, ディリクレの定理についての論文または証明がついているサイトを知っていますか？もし知っているのでしたURLを教えてください。』
NO6：2003年6月7日（土）皆さん！ご心配をおかけしています。私ごとですが、言い訳を書きます。
１．田植えが５月３１日（あの台風４号のとき） 雨の中３反（１０アール×３）明くる日 強風の中また、３反（１０アール×３）の田植え
２．中間テスト（６月３日から６日まで、採点に従事）
３．出張が６月２日午後（３時間通しての授業をして）、５日午後にあった。
４．７日今日 ６反の植え直し（一人で）足がだるくてだるくて
５．ジャイアンツが逆転負けで 腹立たしくて・・・
６．ＨＰを更新する気力が湧いてこない・・・
皆さんからのメールで我にもどり、今更新中。さて、次のようなメールが届きました。私の明らかな入力ミスです。お詫びします。早速明日にでも訂正したいです。
『インターネットで偶然フェルマーの最終定理の講義を読ませていただきました。哲学者シモーヌ・ベイユがブルバキのアンドレ・ベイユの姉だったか妹だったかを確認したくて
ヤフーで「ブルバキ」と検索したのですが、すぐに妹と分かりましたがいろいろサーフィンすることになりました。
そこで気が付いたのですが「谷山ー志村」の予想が所々で「谷村ー志村」に化けています。
別のサイトでも「谷山ーベイユ」がどうして「谷村ー志村」に変わったのかという記事も見たことがあり一瞬もしかして谷村というひともいるのかなと思いましたが、先生の講義ではあきらかにミスプリのようです。』
また、第１２０回の応募問題は
『多桁計算が簡単に出来るＵＢＡＳＩＣで解きました．ピラミッドが１０００００段以下での答は次の４通り．
10 'asave "120.ub"
20 MAX=100000
30 Kotae=0
40 Wa1=0:Wa2=0
50 M=1
60 for N=1 to MAX
70 Wa1+=N*N
80 Owari=0
90 while Owari=0
100 Wa2+=M
110 if Wa1=Wa2 then Kotae+=1:print "球:";Wa1;"個, ピラミッド:";N;"段, 正三角形の辺:";M:Owari=1
120 if Wa1
140 wend
150 next N
160 print "段数が";MAX;"以下での答は，以上の";Kotae;"通りです．"
170 end』
NO5：2003年5月27日（火）第１２０回応募問題の
「ピラミッド問題２」の考え方を「Ｈ７Ｋ」さん、「kashiwagi」さん、「Toru」さんから寄せられました。いつも感謝しています。今回も初等的な解法では解決していません。「エクセル」で帰納的に発見されています。
NO4：2003年5月26日（月）今夜、何とか苦労して「ウィルス」を撃退できました。皆さんに、ご心配やご迷惑をおかけしました。受信可能になっています。これからもよろしくお願いします。
そこで、
また、第１２０回の応募問題は「ピラミッド問題２」を「中尾」さんから、頂いていたのを更新しました。皆さんからのご応募を待っています。
NO3：2003年5月25日（日）昨日から、メールの受信が不能になっています。どうもまた、「ウィルス名: W32.Nimda.enc」に汚染されたようです。駆除に苦労をしています。多くの方に迷惑をおかけしています。
何とか、第119回の応募問題で寄せられた
しかし、太郎さんのPCにはこの画面がはっきりとでてきません。皆さんのPCには完全にでているか不安です。さらに、、第120回の応募問題はメール受信が不完全のようですから、更新は見合わせていただきます。お許しください。
窮余の策として、ここで、ご覧下さい。
ＮＯ１「toru」さん 5/06: 14時12分 受信更新5/25
問題１ x=tanθ(-π/2≦θ≦π/2)とするとdx=1/(cosθ)^2, 1/(1+x^2)=(cosθ)^2
より ∫1/(1+x^2)dx =∫dθ=θ+C=tan-1
x+C
問題２ ∫1/(1-x^2)dx=∫(1/(1+x)+1/(1-x))/2dx= 1/2 log｜(1+x)/(1-x)｜+C
問題３ x=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)とするとdx=cosθdθ 1/√(1-x^2)=1/cosθより
∫1/√(1-x^2)dx=∫dθ=θ+C=sin-1 x+C
問題４ t=x+√(1+x^2)とするとt>0で、t+1/t=2√(1+x^2), 2dx= (1+1/t^2)dtから
∫1/√(1+x^2)dx =∫(1/t )dt=log
t+C=log(x+√(1+x^2))+C
問題５ (x√(1-x^2))’=√(1-x^2)-x^2/√(1-x^2)=2√(1-x^2)-1/√(1-x^2)、よっ
て
∫√(1-x^2)dx=1/2(x√(1-x^2)+∫1/√(1-x^2)dx)=1/2(x√(1-x^2)+ sin-1 x)+C
問題６ (x√(1+x^2))’=√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)=2√(1+x^2)-1/√(1+x^2)、よっ
て∫√(1+x^2)dx=1/2(x√(1+x^2)+∫1/√(1+x^2)dx)=1/2(x√(1+x^2)+
log(x+
√(1+x^2)))+C
問題４はカンニングしました。 MACを使っているせいかところどころ文字化けする
ようですが、善意に解読して下さいますように。 ペンネーム Toru
ところで問題６３について
ベキ級数（1+x+x^2+x^3+------）は収束半径｜x｜<1 内では絶対収束するので、この
積については分配律が成り立つとしてよく、（1+x+x^2+x^3+------）^nはn個のカッ
コ内からそれぞれx＾m (m=0,1,2,----------)のどれかを選んでかけたもののあらゆ
る組み合わせの和としてよい。あるカッコからx^mを選んだ時は、そこからm個選んだ
ものと考えれば、x＾kの係数はn個から重複を許して、k個を選ぶ重複組み合わせで
nＨk=n+k-1Ｃk=(n+k-1)!／(n-1)!k!
｜x｜<1で1+x+x^2+x^3+------=1/(1-x)、（1+x+x^2+x^3+----）^n=(1-x)^(-n)=F(x)
とすると、これは同じ範囲で（？）マクローリン展開できて、x＾kの係数は
F(k) (0)／k！=n(n+1)------(n+k-1)／k! 、 (F(k) はFのk回微分です)
分配律が成り立つだの、マクローリン展開できるだののところは「解析概論」なんぞ
を引っぱりだして、この機会にちょこっと勉強しました。
ＮＯ２「浜田」さん 5/07: 17時50分 受信更新5/25
グラフ作成ソフトＧＲＡＰＥＳを使って解いてみました．
ｆ'(ｘ)＝lim(h->0) {ｆ(ｘ＋ｈ)−ｆ(ｘ)}／ｈ から，ｈ≒０のとき，
ｆ'(ｘ)≒{ｆ(ｘ＋ｈ)−ｆ(ｘ)}／ｈ
∴ｆ(ｘ＋ｈ)≒ｆ(ｘ)＋ｆ'(ｘ)ｈ
ｆ(ｘ)の不定積分の１つをＦ(ｘ)とすると，
Ｆ(ｘ＋ｈ)≒Ｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ)ｈ
Ｆ(０)＝０，ｈ＝０.０５として，
(1) ｆ(ｘ)＝１／(１＋ｘ^2)
(2) ｆ(ｘ)＝１／(１−ｘ^2)
(3) ｆ(ｘ)＝１／sqr(１−ｘ^2)
(4) ｆ(ｘ)＝１／sqr(１＋ｘ^2)
(5) ｆ(ｘ)＝sqr(１−ｘ^2)
(6) ｆ(ｘ)＝sqr(１＋ｘ^2)
とすると，答のＦ(ｘ)のグラフが表示されます．
∫dx/(1+x^2)=?
# //Clickで作図開始
# clraimg
# k:=.05
# a:=0
# b:=0
# c:=0
# draw
# for a:=k to 5 step k
# b:=b+f(a)*k
# draw
# next
# b:=0
# for a:=-k to -5 step -k
# b:=b+f(a)*(-k)
# draw
# next
# c:=1
# draw
# ---
ＮＯ３「Kashiwagi」さん 5/10: 19時20分 受信更新5/25
問題を見つけトライ致しました。問４と６が問題ですね。これらの積分は大学の教養課程で解いておりましたので思い出しながら解きましたが、問４は中々思い出さず、数時間かかりました。
問４が解ければ、６は利用することと部分積分を使うことを記憶しておりま
したので何とか解けました。しかし、この様な技巧でしか解けないのでしょうか？高校生には少々酷な問題ですね。それとも今時の高校生は簡単に解くのでしょうか？
ＮＯ４「三角定規」さん 5/11: 12時51分 受信更新5/25
第119回解答送ります。
４半世紀ぶりに受験生になった気分です。よく忘れないでいるもんだな〜と、我ながら驚いています。世界史の人名や年号などはあらかた忘れているのですけどね〜、やはり気合いの入れ方が違っていたのかしら！？
ＮＯ５「UnderBird」さん 5/11: 17時26分 受信更新5/25
お願いします。
個人的に好きな定積分の問題があるのですが、
今、どこにメモしたか忘れてしまい検索中です。もし見つけたら後日紹介させていた
だきます。
（たいした問題ではないのですが、なぜか気になるものでしたので・・・）
ＮＯ６「中川幸一」さん 5/23: 21時22分 受信更新5/25
今回も結構ギリギリになってしまいました。
迷惑をかけてすみません。
NO2：2003年5月19日（月）「中尾」さんから、メールが入っていました。お知らせします。 NO1：2003年5月18日（日）昨日、「浜田」さんから、「中尾」さんの課題研究について、次のような報告がありました。
『以前報告したDiophantus方程式 C: U^4-64V^4=6577W^2 ただし、U,V,Wは有理整数かつW!=0 について、不十分な点があった(全ての解が求まっていなかった)ので、訂正します。
楕円曲線 E2: y^2=x^3+2^4*6577^2*x のMordell-Weil群E2(Q)のrankは1ではなく、2であることが確認できました。
E2は E3: y^2=x^3+6577^2*x とQ-同型なので、E3のMordell-Weil群E3(Q)の生成元を求めると、
Q1(26308/81, 86513858/729),
Q2(1128192557133425240304183955743582762876355178378582639290998595946064723003792769/17209534046584172489951442984437012949979792174994736003865738759153113365904,
38084615452164770926096667668794151428316247311268071637285024401174943079659759026657370425245088233085859001237366377665/2257634679975946694348164094801882397081683916761332382578078496433317131136368647245728682369256601586004627609792)
となります。よって、E3(Q)=Z×Z×Z/2Zであり、E3の有理点を元にして、Cの整点をいくつか求めると、以下のようになります。
簡単のため、U,V,Wは正整数とします。
[20363903417612421139, 1610510408687359833, 5106975486965454582435003602977739281]
[261031490364366200807, 8347128996462993282, 840151008514666587975087863083976062841]
[10500084257375984596799, 1980407963453953023564, 1303262616226128053329966805106514807822601]
[22024320179993071755613051, 3142409344984909594388037, 5901385341993913838054270690158581108823795906369]
[36606813611953714355803800619, 10471651630946395112621335767, 12491144679033292704213072342442888838102695627474225249]
[12418043845210301269321859904314639, 3073561806037628478232364555924976, 1657479267800678635216636276520356298349727092661754715780090788201]
[893518619979461298331886634127130613527, 309360188437717624610366678747672936058, 2790502596802312246656414260803001564454655568905728301480108993281761261081]
[48273767173093056198726858071546801912817751651, 15797004167976728353240100515262739320357387523, 14822951570289795857291935505107619869377446390481621406893606054643709944706578388400418801]
[156993831817301309432817426912920193372526858632630211,
53933706887247289002497363767396577509328732700246837,
100136407002679564406491365037290830811532690467810589324904025471920726781756648149854874571273932471759]
[1338407126942132345192801402122400597345355578106626844658717367,
472579018406488608815149954435029354478258562252004571708411902,
1596672681249582679139037567396252569663811808967453153796337903271006682700205346035179109861600788879433390924234386151719]
[198298258165000516964736423191831816429111640453405822847697034555607919,
55388703410024210373993704480609422677029083462105586136373400305785864,
378826753799955368215899581994176865464287031837927831154371004299848219756621806733518227750201046882037055999444909157692056864226707224919]
[268041000843561295732613180315355513363540095363861323956085708592012515127121115339,
83797502294925786091267410106672558508883639807010394733175676748343959421190393313,
552281454369384332940245741877842721012087616869199488475202771487189802832660566696358368125257240300076161371796324307841767247289356168390350314023660439298304991]
[1748642850410443657943334116224633913439282395572444676176764412485229081520609108070898412251,
315063377309738043058289390645748447550361904359913912347804899329133206652553790159553649523,
36410354620389367897595800232351727001579834341865727793150300460099056810963147813087186475751340577701155562199267957547426879953377942803941165672894897984560233035157180439421057151]
[193178346586308027065666087254130619805806411299652215465672776639543708084831023964513545479570885002877569062006704086275689852186273023788848090316829799473387521912644783,
24346292117015809755585265648778574474396204368879028551432751183824401106719883311673782829006018387721517267967177289868606534753493271416645782267360949220138209015501352,
456423706092573445096913469608640443387434912635011393492509172786981682107485292422987231971284085983029166348887592717385098731021753351448065843831133358285052129631893274026305236953667294523501743440300917387589167637527184672746552403742142625613710411091612783437855895169614661507451257657743478661689474868002696035072335137101058582569]
[611247176238966139286520845776010980491268360369960338704752339377522596300680803211959131370666665581603735537942615257281447099529382419536666424835085999337640684049616883,
142164747933104993776597104019353889954972526854466655691026937502444721934070797786409169986610778824807715242625139165530275832401974476866583975274768386428774292694741739,
4153283495712559523422555078776302918828182728534751030745341448821431672823632155628312152911978593622228049046427119276176933558131518706604564501311095785831110080000576657687701964248520855084042321371455400974216394949992342201020355107416588594893347375321711878792873502841000334848250247618692076582104101133558050561884677665967164025169]
....となりました。』
【X+Y,X^2+Y^2,X^3+Y^3が全て平方数であるような正整数(X,Y)を求めよ。】
(ｘ，ｙ)を１つの解とすると，(ｘｎ^2，ｙｎ^2)（ｎは自然数）も解となることは明らか．したがって，そういう解を除いて考える．
ＵＢＡＳＩＣで解を求めてみると，ｘ＋ｙ≦１０００^2，ｘ≦ｙでは，(184，345)＝(23×８，23×15) のみであることが分かる．
ちなみにこのとき，
ｘ＋ｙ＝529＝23^2，
ｘ^2＋ｙ^2＝152881＝391^2＝(23×17)^2，
ｘ^3＋ｙ^3＝47293129＝6877^2＝23^4×13^2 である．
10 'asave "nakao.ub"
20 dim X(100),Y(100):Kotae=0
30 Max=1000
40 open "nakao.dat" for output as #1
50 for N=2 to Max
60 for X=1 to int(N*N/2)
70 Y=N*N-X
80 M1=sqrt(X*X+Y*Y)
90 if int(M1)
110 if int(M2)
130 while Dame=0 and J<=Kotae
140 P1=sqrt(X/X(J)):P2=sqrt(Y/Y(J))
150 if and{P1=P2,int(P1)=P1} then Dame=1:else J+=1
160 wend
170 if Dame=0 then Kotae+=1:X(Kotae)=X:Y(Kotae)=Y:else 200
180 print X;Y;X+Y;N;X*X+Y*Y;M1;X*X*X+Y*Y*Y;M2
190 print #1,X,Y,X+Y,N,X*X+Y*Y,M1,X*X*X+Y*Y*Y,M2
200 next X
210 next N
220 close #1
230 end
さて、第８５回全国算数・算数教育研究（愛知）大会の高校部会（９分科会：総合的な学習の時間）に発表することになっている太郎さんは、その実践内容をこの＜水の流れ＞のホームページの中でも
ＮＯ1〜ＮＯ56までは過去の日記
