平成３０年５月１３日

[流れ星]

　　　　第359回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：4月15日〜5月13日＞

［大垣市明星輪寺の算額］

わが国古来の数学で江戸時代に発達した和算の問題を記載した絵馬は「算額」と呼ばれ、数学史研究の貴重な資料として世界的にも関心を寄せられ内外共に注目を集めているものである。元祖関考和の流れを汲む大垣藩領内の安八郡外野郷算光堂塾主天極斉浅野孝光（五藤治）の門人たち２７人が奉納したこの算額絵馬は、初段から１０段まで１２問が、円形、三角形、菱形などを多角的に組み合わせ、赤、白、黄、青の彩色された幾何学模様の難問が「問う曰く何々」「答えて曰く何々」と問題毎に、いわゆる一問一答形式で表現してあり、これを神仏に奉納し、感謝を捧げると共に、学習成果を世にアピールしさらに和算研究の振興発達を期するものであって、これは恐らく的な卒業論文集のようなものではないかと推察されて微笑ましい。

上の文章は岐阜県大垣市赤坂町明星輪寺の岐阜県指定文化財から引用した。

下図は1865年に掲げられた算額です。また、答えの分母は問題番号でして、粋な計らいがしてある。

ここでは、第1問題、第4問題、第8問題の原作は以下ですが、分かりやすくして出題します。答えに至る過程を考えてください。

参考までに明星輪寺に奉納した算額の図の下書きが浅野家で所蔵されています。

問題１．いま図のように、扇の内に赤円・緑円・白円と5個の円が接している。扇の半径を与えて白円が最大になるとき、赤円と白円の直径の和を求めよ。

　ただし、扇形と白円と緑円の中心は一直線上にあるのとは既知します。

答えて曰く。赤円と白円の直径の和＝扇の半径

問題２．いま図のように、長方形の中に青い半円（青い円の直径は長方形の縦に同じ）があり、その間に赤・白・浅青・緑・黒・薄紅と10個の円が接している。青色の円の直径が与えられたとき浅青の円の直径を求めよ。

ここで、円の中心を下記のようにします。

答えて曰く。浅青円の直径＝青円の直径／４

問題３．いま図のように、円の中に青・緑・赤・白の12個の円をそれぞれが接するように容れる。外側の円の直径が与えられたとき白円の直径を求めよ。

参考：円や球の接触問題を簡単に解くためによく使われる方法に反転法という半径の逆数を使う方法がある。和算にはこの方法がなく、三平方の定理のような基本的な方法を使って得られたもので、その解答は長くなる。しかし、反転法を使うと極端に短くなる。

ここで、円の中心を下記のようにします。

答えて曰く。白円の直径＝外側の円の直径／８

参考文献：｢日本の幾何−何題解けますか？」 （深川英俊、ダン・ぺドリー 共著）　森北出版　
　｢日本の幾何−何題解けますか？[上][下]」 （深川英俊、ダン・ぺドリー 共著）　森北出版　

　　　　　算額の資料は明星輪寺住職の厚意で頂きました。

NO1「二度漬け白菜」 04/28 10時03分　受信 更新 5/13

[問題1]
問題図は扇の要(かなめ)と赤円の中心を通る直線に関して左右対称なので，
この直線の右半分だけを考える．

扇の半径を 1 とする．　
xy直交座標を以下のように設定する．
問題図において，扇の要を原点 O とし，赤円の中心 R はy軸上
にあり，Rのy座標が正となるようにする．
白円の中心 W と，緑円の中心 G のx座標は，共に正となるようにする．
赤円，白円，緑円の半径をそれぞれ　r，w，g とする．
赤円とy軸との2つの交点のうち，Oに近い方を A とする．
OA=1-2*r である．

いま，1-2*r=t*w (t は 正の実数)とおく．
白円と緑円の3本の共通接線のうち，Oを通過するものは2本ある．
この2本のうちの任意の1本を L とする．
W，G からLに下ろした垂線の足をそれぞれ B，C とする．
△OWB ∽ △OGC であるから，OW:WB=OG:GC．
よって，(1-2*r+w):w=(1-g):g．
よって，(t+1)*w:w=(1-g):g．
よって，(t+1):1=(1-g):g．
これより，g=1/(t+2)．

(1-2*r)+2*w+2*g=1 であるから，
t*w+2*w+2*(1/(t+2))=1．
よって，w=(t+4/t+4)^(-1)．

いま，t が t>0 なる全ての範囲を動き得るものとして，
w=(t+4/t+4)^(-1)
の最大値を考えてみる．
w=(t+4/t+4)^(-1)
≦(2*(t*(4/t))^(1/2)+4)^(-1)  (∵ (相加平均)≧(相乗平均)，等号は t=2 のとき成立)
=1/8．

つまり，tがt>0なる全ての範囲を動き得るものとすれば，
t=2のとき wは最大値 1/8 をとる．
さらにこのとき，
1-2*r=t*w，g=1/(t+2) より，r=3/8，g=1/4 となる．

(w,g,r)=(1/8,1/4,3/8) となるような 白円，緑円，赤円 が実在することを以下に示す．
白円，緑円，赤円の方程式を次のように設定すればよい．

白円：(x-3/10)^2+(y-9/40)^2=(1/8)^2
緑円：(x-3/5)^2+(y-9/20)^2=(1/4)^2
赤円： x^2+(y-5/8)^2=(3/8)^2

図↓

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%5E2%2By%5E2%3D1,x%5E2%2By%5E2%3D(1%2F4)%5E2,(x-3%2F10)%5E2%2B(y-9%2F40)%5E2%3D(1%2F8)%5E2,+(x-3%2F5)%5E2%2B(y-9%2F20)%5E2%3D(1%2F4)%5E2,+x%5E2%2B(y-5%2F8)%5E2%3D(3%2F8)%5E2,y%3D0,x%3D0%7D

以上より，
扇の半径を 1 としたとき， 白円の半径の最大値は 1/8 であることがわかった．
このとき，(赤円の直径)+(白円の直径)=2*(3/8)+2*(1/8)=1=(扇の半径)
となっている．

つまり，扇の半径を与えて白円が最大になるとき，
(赤円と白円の直径の和)=(扇の半径)
が成り立つ．

[問題2]
点 O を中心とする円の半径を R とする．
点 O_i (i=1,2,3) を中心とする円の半径を r_i とする．
2点 O_1，O_3 を通る直線を N とする．
N は直線 l，m と直交する．
点 O から m に下ろした垂線の足を H
点 O から N に下ろした垂線の足を A ，
点 O_2 から N に下ろした垂線の足を B，
点 O_2 から 直線 OH に下ろした垂線の足を C
とする．

2*r_1 + 2*r_3 = 2*R  ----(1) である．

三平方の定理より，
(BO_2)^2
=(O_2O_3)^2-(BO_3)^2
=(r_2+r_3)^2-(r_2-r_3)^2
=4*r_2*r_3．
よって，
(BO_2)=2*(r_2*r_3)^(1/2)．
　
同様に考えて，
(CO_2)=2*(R*r_2)^(1/2)，
(AO)=2*(R*r_1)^(1/2)．

(AB)^2+(BO_2)^2=(O_1O_2)^2 であるので，
(2*R-r_1-r_2)^2+4*(r_2*r_3)=(r_1+r_2)^2．
展開して整理すると，
(R-r_3)*r_2=R*(R-r_1) ---(2)

AO=BO_2+CO_2 であるので，
2*(R*r_1)^(1/2)=2*(r_2*r_3)^(1/2)+2*(R*r_2)^(1/2) ---(3)

いま，r_3=(1-t)*R ---(4) (t は 0<t<1 なる実数) とおける．

(1)，(2)，(4)より，
r_1=t*R  ---(5)
r_2= (1-t)*R/t ---(6)
となる．

(4)，(5)，(6) を (3) に代入し，式変形すると，
(1-t)^(1/2)=2*t-1．
これより t=3/4 を得る．よって，r_3=(1-3/4)*R．
よって，2*r_3=(2*R)/4．
つまり，(浅青円の直径)=(青円の直径)/4 である．

[問題3]　
xy直交座標を以下のように設定する．
問題図において，最大の半径を持つ円を C とし，C の半径を 1 とする．
Cの中心がxy直交座標の原点 O に一致するするように設定する．
また，点O_1の座標がx軸上の正の部分になるようにする．

Cを反転の円として，問題図を反転させたものを考える．

Cの反転は，C 自身 である．
問題図において O' を中心とする円の反転は，直線 y=1 である．
問題図において O'' を中心とする円の反転は，直線 y=-1 である．

問題図において O_i (i=1,2,3) を中心とする円を C_i とし，
C_iの半径を s_i とする．

C_i (i=1,2,3) の反転を G_i とする．
G_i (i=1,2,3) は，いずれも円である．
G_i の中心 および 半径をそれぞれ　E_i，r_i とする．

G_1の中心はx軸上の正の部分にあり，2直線 y=1,y=-1の両方に接する．
よって r_1=1 である．G_1はCと交点を持たない．

E_2，E_3はともに第一象限にある．
G_2,G_3は互いに接しており，さらに共に，CとG_1の両方に接する．
G_3はx軸に接しており，G_2はy=1に接している．

直線E_2E_3はx軸と直交する．

以上を考慮すると，反転された図形の接触関係は以下の図のようになる．

図↓
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7By%3D1,y%3D-1,x%5E2%2By%5E2%3D1,(x-2*3%5E(-1%2F2))%5E2%2B(y-2%2F3)%5E2%3D(1%2F3)%5E2,(x-2*3%5E(-1%2F2))%5E2%2B(y-1%2F6)%5E2%3D(1%2F6)%5E2,(x-4*3%5E(-1%2F2))%5E2%2By%5E2%3D1%7D

図より，2*(r_2 + r_3)=1 --- (1)
E_2，E_3 から y軸に下ろした垂線の足を H_2，H_3 とする．
三平方の定理より，
(E_2H_2)^2=(OE_2)^2-(OH_2)^2=(1+r_2)^2-(1-r_2)^2=4*r_2.
(E_3H_3)^2=(OE_3)^2-(OH_2)^2=(1+r_3)^2-(r_3)^2=1+2*r_3．

(E_2H_2)^2=(E_3H_3)^2 であるから，4*r_2=1+2*r_3 --- (2)

(1)，(2)より，r_2=1/3，r_3=1/6 を得る．

半直線 OE_3 と G_3 との2つの交点を，Oに近い方から M'，N' とする．
OM'=1，ON'=1+2*r_3 である．
反転によって，M が M'に，N が N'に それぞれ 変換されたとする．
(C_3の直径)=NM=OM-ON=1/OM'-1/ON' である．
よって，
s_3
=(1/2)*(1/OM'-1/ON')
=(1/2)*(1-1/(1+2*r_3))
=(1/2)*(1-1/(1+2*(1/6)))
=1/8.
よって，(白円の半径)=(外側の円の半径)/8．
つまり，(白円の直径)=(外側の円の直径)/8 となっている．

同様に考えて，s_2，s_1 も計算できる．

s_2
=(1/2)*(1-1/(1+2*r_2))
=(1/2)*(1-1/(1+2*(1/3)))
=1/5．

s_1
=(1/2)*(1/(2*(E_2H_2)-1)-1/(2*(E_2H_2)+1))
=(1/2)*(1/(4*3^(-1/2)-1)-1/(4*3^(-1/2)+1))
=3/13．

以上．

NO2「早起きのおじさん」 05/05 16時02分　受信 更新 5/13

359解答　早起きのおじさん

問題1

図のように、扇形の中心を原点、赤円の中心をx軸上にとります。

扇形の半径をRとします。

赤円、緑円、白円の半径をそれぞれ、a、b、cとします。

緑円、白円の中心は、直線y＝(tanα) xの上にあるとします。

半径Rの扇形に接するので、

赤円の中心を(R−a，0)、

緑円の中心を((R−b) cosα，(R−b) sinα)

とします。

緑円に接するので、

白円の中心を((R−2b−c) cosα，(R−2b−c) sinα)

とします。

赤円と緑円が接するので、

赤円と白円が接するので、

(1)、(2)を比較して、

白円が半径R−2aの扇形に接するとすると、

これを(3)に入れると、

として、c について解くと、

これをaの関数cと考えます。(0＜2a＜R)

とすると、4(R−2a)＝R より、

	0	･･･		･･･
		＋	0	−
		増加	最大	減少

増減表より、 のとき、cが最大なので、(4) に代入すると、

よって、赤円と白円の直径の和は、

赤円と白円の直径の和は、扇形の半径と等しくなります。

問題2

図のように、直線ｍとx軸を重ね、赤円の中心を

y軸上にとります。

青円の半径をRとします。

赤円、緑円、浅青円の半径をそれぞれ、a、b、cとします。

青円の中心を(p，R)とします。

赤円は、直線lに接するので、中心を(0，2R−a)、

浅青円は、直線ｍに接するので、中心を(0，c)

とします。

緑円の中心を(q，b)とします。

青円と赤円が接するので、

赤円が直線ｌと浅青円に接し、浅青円が直線ｍに接するので、

緑円が青円と接するので、

緑円が赤円と接するので、

緑円が浅青円と接するので、

・aの消去

(2)より、

(1)に入れて、

(4)に入れて、

・pの消去

(1.1)より、

(3)に入れて、

・qの消去

(5)より、

(3.1)に入れて、

(4.1)に入れて、

・bの消去

(4.11)より、

(3.11)に入れて、

整理すると、

つまり、浅青円の直径は、青円の4分の1です。

●問題3で使うので、pの値も計算しておきます。

cの値を(2)に入れて、 、これを(1)に入れて、 です。

問題3

図のように、2つの青円の接点を原点に、2つの

白円の接点をx軸上にとります。

外円の半径をRとします。

青円の半径はR/2です。

緑円、赤円、白円の半径をそれぞれ、a、b、cとします。

青円の中心を(0，R/2)とします。

緑円の中心を(p，0)とします。

赤円が外円に接するので、中心を

((R−b)cosα，(R−b)sinα)とします。

白円が外円に接するので、中心を

((R−c)cosβ，(R−c)sinβ)とします。

緑円と青円が接するので、

赤円が青円と接するので、

赤円が緑円と接するので、

白円が緑円と接するので、

白円がx軸と接するので、

白円が赤円と接するので、

・pの消去

(1)より、、

(3)に入れて、

(4)に入れて、

・αの消去

(2)、(3.1)より、

より、

・βの消去

(5)と(4.1)より、

より、

・(6)に各三角関数の値を代入して、

より、

(8)より、

なので、

(7)より、

(8.1)を入れて、

なので、

(9)より、

なので、

これに、(8.1)、(7.1)を入れて、

なので、

白円の直径は、外円の直径の8分の1です。

●基本的な方法での解答は、大変なことがわかったので、反転法をやってみます。

次の図のように、外円と青円1との接点を反転の中心とします。

反転の中心からの距離の逆数の値を記していくと、青円1と外円の円周は直線になります。

反転の中心を通らない円は、反転の中心を通らない円になります。

青円2と赤円1の二つは、青円1と外円に接しているので、右の図のように2直線に接する円です。

赤円1・白円1・白円2・赤円2は、いずれも外円に接し、順番に互いに接するので、右の図のようになります。

緑円は、赤円1・白円1・白円2・赤円2に接し、かつ青円1・青円2に接するので、右の図のようになります。

ここで分かるのは、反転した図は、問題2の図と同じだということです。

さて、反転の図の肝心なところを書きます。

反転の中心をO、白円2の中心をQ、

反転後の白円2の中心をQ’とします。

白円2上で反転の中心を通る直線上の2点A、Bが

それぞれA’、B’に反転されるとします。

とすると、

より、 なので、

です。

△OQA∽△OQ'B'なので、方べきの定理より、

半径の長さの比の値は、

よって、

これを踏まえて、計算します。

もともとの外円の半径をRとすると、外円の直径は2Rです。

青円1の直径は、Rです。

すると、反転の中心から反転後の外円を示す直線、青円1を示す直線までの距離はそれぞれ、1/2R、1/Rです。

反転後の青円1の半径は、 です。

この値をもとに、問題2の結果を用いると、反転後の白円1の半径は、 。

図のHQ'の距離はpの長さにあたるので、 。

以上から、

ゆえに、

白円の半径は、外円の半径の8分の1になります。

つまり、白円の直径は、外円の直径の8分の1です。

●反転法は、中心が円周上にあれば、その円が直線に反転されるのでその部分はやりやすくなります。

しかし、中心を通らない直線は、円に反転されるのでその部分はやりにくくなることもあります。

＜水の流れ：明星輪寺住職かた頂いた資料の解答です。＞

問題１

問題２

問題３

問題２＜水の流れの解法＞

定理　半径がa、ｂの2個の円ＡとＢが互いに外接し、定直線ｍにそれぞれ点ＰとＱで接している。

このとき、（ＰＱ）^２＝４ａｂである。

証明　２つの円の接点を通る中心線ＡＢを斜辺とする直角三角形に三平方の定理を用いると、

（ＰＱ）^２＋（a―ｂ）^２＝（a＋ｂ）^２　より

　　（ＰＱ）^２＝４ａｂ　　を得る。

下図のように4つの円をＯ(ｒ)、Ｏ_１(a)、Ｏ_２(ｂ)、Ｏ_３(ｃ)とし、

２つの直角三角形Ｏ_１Ｏ_２ＰとＯＯ_１Ｑを作る。

明らかにａ＋ｃ＝ｒである。

直角三角形Ｏ_１Ｏ_２Ｐで三平方の定理を用いると、

（a＋ｂ）^２―{２√(ｂｃ)}^２＝（２ｒ−a―ｂ）^２＝（a＋２ｃ―ｂ）^２

　故に　ｂ＝（ｃ^２＋ａｃ）／ａ・・・・�@

また、直角三角形ＯＯ_１Ｑで三平方の定理と前述の定理から

（a＋ｒ）^２＝（ｒ―a）^２＋{２√(ｂｃ)＋２√(ｂｒ)}^２

展開後　�@を代入し　ａ＝ｒ―ｃを用いて　ｒとｃの方程式を作り、それを因数分解して

ｒ＝４ｃ得る。

問題３＜水の流れの解法＞

　2つの円Ｏ’とＯ“の接点をＴとし、ここで半径１の円に反転すると、このとき、問題で与えられた図は下図のようになる。円Ｏ(ｒ)の反転をＣ(ｔ)、円Ｏ’(ｒ)をＣ‘、円Ｏ”(ｒ)をＣ“、

円Ｏ_i(ｒ_i)の反転をＣ_i(ｒ_i)　（i＝１，２，３）と表している。反転された図から、

ｔ＝２ｔ_２＋２ｔ_３

直角三角形ＣＣ_３Ｈで三平方定理と問題２で述べた定理から

２√(ｔｔ_２)＝√{（ｔ＋ｔ_３）^２−ｔ_３^２}＝√{（ｔ＋ｔ_２）^２−（ｔ_２＋２ｔ_３）^２}

これを解いて、ｔ_２＝ｔ／３，ｔ_３＝ｔ／６　得る。ただし、ｔ＝１／ｒ

次に、反転の中心である点Ｔから円Ｃ_３(ｔ_３)に至る接線の長さＬは問題２で述べた定理から

Ｌ＝２√(ｔｔ_２)である。

ここで、反転法の中にある【定理D】
　反転の中心 T を通らない半径 r の円 C が半径 ｒ' の円 C' に反転されるとき、点 T から円 C' への接線の長さを L とすると、次の等式が成り立つ。
 r = r' k² / L²
を用いて、この場合は半径１の円で反転しているから、Ｋ＝１である。

ｔ_３／ｒ_３＝Ｌ^２　　故に　ｒ_３＝１／(８ｔ)＝ｒ／８　終わり

追加、同じように【定理D】を用いて、

反転の中心である点Ｔから円Ｃ_２(ｔ_２)に至る接線の長さＬ^２は三平方の定理から

Ｌ^２＝（ｔ＋ｔ_２）^２−ｔ_２^２＝ｔ^２＋２ｔ_２ｔ　より、

ｔ_２／ｒ_２＝Ｌ^２＝ｔ^２＋２ｔ_２ｔ　

よって、ｒ_２＝１／(５ｔ)＝ｒ／５　

また、反転の中心である点Ｔから円Ｃ_１(ｔ_１)に至る接線の長さＬ^２は三平方の定と理問題２で述べた定理から、また図からｔ＝ｔ_１から

Ｌ^２＝（２√(ｔｔ_２)＋２√(ｔ_１ｔ_２)）^２−ｔ_１^２＝１６ｔ_１ｔ_２−ｔ_１^２

ｔ_１／ｒ_１＝１６ｔ_１ｔ_２−ｔ_１^２

よって、ｒ_２＝３／(１３ｔ)＝（３／１３）ｒ　　

NO3「ジョカー」 令和3年03/26 15時07分　受信 更新　令和3年 3/27

いつもお世話になっています「ジョカー」さんから寄せられた問題２の解答です。

「ジョカー」 令和3年04/13 19時06分　受信 更新　令和3年 4/15

「ジョカー」さんから寄せられた問題1と問題３の解答です。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。