令和２年7月5日

[流れ星]

　第387回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：6月7日〜7月5日＞

［一定な値］

1981年同志社大学の入試問題を参考にして、出題します。

１から２ｋ（ｋは自然数）までの連続する自然数をｋ個ずつＡ組、Ｂ組の２組に分け、Ａ組の数をａ_１，ａ_２，・・・，ａ_ｋとし、

Ｂ組の数をｂ_１，ｂ_２，・・・，ｂ_ｋとする。

ｂ_１，ｂ_２，・・・，ｂ_ｋのうちａ_１より小さいものの個数をｍ_１とする。

同様にＢ組の数のうちａ_２，ａ_３・・・，ａ_ｋより小さいものの個数をそれぞれｍ_２，ｍ_３，・・・，ｍ_ｋとするとき_、

（ａ_１＋ａ_２＋・・・＋ａ_ｋ）−（ｍ_１＋ｍ_２＋・・・＋ｍ_ｋ）はＡ組、Ｂ組の２組の分け方に関係せず一定な値を取ります。この一定値を求めよ。

追加問題（提供者　ジョーカーさん）

１1個の正方形が図のように配置されている。

赤，青，黄の面積がそれぞれ2，3，4のとき，緑の面積を求めよ。

　図はここをクリックください。

（中3〜高1程度の知識を使います。答えは16です。）

NO1「スモークマン」 06/11 23時10分　受信 更新 7/5

a₁<a₂<…<ａ_ｋ

b₁<b₂<…<ｂ_ｋ

と考えてもいいので...

so...

a₁より小さいもののAの中の個数=0=n₁

a₁より小さいもののBの中の個数=a₁―1＝m₁

n₂＝1,　m₂＝a₂―2

…

ｎ_ｋ=k―1

ｍ_ｋ=ａ_ｋ―k

so…

Σ(ａ_ｋ―ｍ_ｋ)=1+2+…+k=(k+1)k/2

♪

NO2「ジョーカー」 　 06/13 10時47分　受信 更新 7/5

追加問題の解答です

「ジョーカー」 　 06/25 10時40分　受信 更新 7/5

寄せられた解答です

NO3「よふかしのつらいおじさん」 06/13 17時30分　受信 更新 7/5

●わかりやすい例を調べます。

・A組が、小さい方からk個の場合

A組の数の合計は、1からkまでの自然数の和なので、

B組の中にA組の数より小さい数はありません。

・A組が、大きい方からk個の場合

A組の数の合計は、k＋1から2kまでの自然数の和なので、

B組の中の数は、A組のどの数よりも小さいので、mの値はすべてkです。

よって、

●一般の場合を考えます。

A組の数の順番は、結果に影響しないので、 とします。

考え方は、1から2kまでの数の中から小さい順にA組の数として抜いていき、残った数をB組と考えます。

を抜くと、それより小さな数は、個残っています。

を抜くと、それより小さな数は、個残っています。

すでに抜けたより大きな数からを抜くので、より小さな数の個数に変化はありません。

・・・

を抜くと、それより小さな数は、個残っています。

・・・

を抜くと、それより小さな数は、個残っています。

A組の数の和は、

mの値の和は、

よって、

追加問題の解答

●赤、青、黄の正方形の面積が、それぞれ2、3、4なので、各正方形の一片の長さは、それぞれ です。

この3辺をもつ三角形を△ABCとします。

・△ABCとBのところで向き合う白の三角形の長い辺をpとします。

下の内角をDとします。

B＋B’＝180°です。

△ABCより、よって

、よって

、よって

・下の白い三角形の長い辺をqとします。

下の三角形の右の角の大きさをαとします。

、よって

･･････（あ）

●△ABCとCのところで向き合う白の三角形の長い辺をrとします。

下の内角をβとします。

△ABCより、よって

、よって

･･････（い）

・qとrを2辺にもち挟角がα＋βの三角形の上の辺をsとします。

左の内角をEとします。

（あ）、（い）より、、

よって、、

よって

・、よって、

●qとsを2辺とし挟角をE’とする三角形の長い辺をt、左の内角をγとします。

、よって

、よって、

●qとtを2辺とし挟角を(90°−γ)とする三角形の長い辺の長さをvとします。

上の右の内角をδとします。

よって

、よって、

・qとvを2辺とし、挟角を(90°−δ)とする三角形の左の辺をwとします。

よって

・tとwを2辺とし、挟角をθとする三角形を考えます。

赤の長い辺は、です。

、よって、

●tとwを2辺とし、挟角がθ’の三角形の上の辺の長さをxとします。

よってx