令和２年８月２日
[流れ星]
第388回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：7月5日〜8月2日＞
［取り出した自然数の和］
2001年東京工業大学の入試問題です。
追加問題（提供者 ジョーカーさん）
円に内接する四角形と弧の中点を頂点とする四角形の面積比の問題です。図はここをクリックください。
NO1「スモークマン」 07/07
01時07分 受信 更新 8/2
ジョーカーさんの問題の方を先に...Orz
辺aの中心角:2α
辺b：2β
辺c：2γ
辺d：2δ
とすると...
題意に対応する辺をそれぞれp,q,r,s とするとき、
辺pの中心角：α+β
辺q：β+γ
辺r：γ+δ
辺s：δ+α
円の半径を1として考えてもいい...
a^2=2(1-cos(2α))
b^2=...
...
これらから、
2(cos(α))^2-1=(2-a^2)/2
1-2(sin(α))^2=1-a^2
から、
cos(α)=√((4-a^2)/4)=√(4-a^2)/2
sin(α)=a/2
2*(a,b,c,dでできる□の面積)=sin(2α)+sin(2β)+sin(2γ)+sin(2δ)
2*(p,q,r,sでできる□の面積)=sin(α+β)+sin(β+γ)+sin(γ+δ)+sin(δ+α)
so...
□PQRS/□ABCD
=(sinα*cosβ+sinβ*cosα+sinβ*cosγ+sinγ*cosβ+sinγ*cosδ+sinδ*cosγ+sinδ*cosα+sinα*cosδ)
/ (2(sinα*cosα+sinβ*cosβ+sinγ*cosγ+sinδ*cosδ))
=(a√|4-b^2|+b√|4-a^2|+b√|4-c^2|+c√|4-b^2|+c√|4-d^2|+d√|4-c^2|+d√|4-a^2|+a√|4-d^2|)
/(2(a√|4-a^2|+b√|4-b^2|+c√|4-c^2|+d√|4-d^2|))
NO2「ジョーカー」 07/11 06時38分 受信 更新 8/2
NO3「よふかしのつらいおじさん」 07/23 06時04分 受信 更新 8/2
388問題解答
(1)
・PN(1)はN枚のカードから1回抜いたとき、そのカードが1である確率なので、
・PN(2)はN枚のカードから2回抜いたとき、
(1,1)
(2,*)
となる確率なので、
・PN(3)はN枚のカードから3回抜いたとき、
(1,1,1)
(1,2,*),(2,1,*)
(3,*,*)
となる確率なので、
(2)
・P3(4)は3枚のカードから4回抜いたとき、
(1,1,1,1)
(1,1,2,*),(1,2,1,*),(2,1,1,*)
(1,3,*,*),(3,1,*,*),(2,2,*,*)
となる確率なので、
・P3(5)は3枚のカードから5回抜いたとき、
(1,1,1,1,1)
(1,1,1,2,*),(1,1,2,1,*),(1,2,1,1,*),(2,1,1,1,*)
(1,1,3,*,*),(1,3,1,*,*),(3,1,1,*,*),(1,2,2,*,*),(2,1,2,*,*),(2,2,1,*,*)
(2,3,*,*,*),(3,2,*,*,*)
となる確率なので、
(3)
PN(k)を調べます。(ｋ≦N)
重複組み合わせで考えます。
Xjがkとなる確率を考えます。(j≦k)
先ず、初めのj回に1を割り振ります。
次に、j回に重複を許して(k−j)を割り振る場合の数を数えます。
これを整理すると、Xjの場合が揃います。→ jHk−j＝k−1Ck−j
これに(1／N)のj乗を掛ければ、確率が求まります。
よって、
円に内接する四角形と中点を頂点とする四角形の面積解答 さん
●円の中心をO、半径をｔ、∠AOB＝α、∠BOC＝β、∠COD＝γ、∠DOA＝δとします。
□ABCDの面積SABCDは、
ここで、
・ 
なので、
ここで、
・ 
なので、
□PQRSの面積SPQRSは、
なので、
以上から、
●円に内接する四角形の対角線の長さを調べます。
ここで、∠B＋∠D＝πです。
左の図で考えます。
△ABCより、
△CDAより、
ゆえに、
右の図でyは左の図で、「a→b→c→d→a」のように文字をずらせばよいので、
●
、
について調べます。
・左の図で、
です。
角の大きさを変えずにDを移動します。
・右の図で、
です。
角の大きさを変えずにAを移動します。
●
について調べます。
上の図で、BC＝DC’となるようにCを動かします。
すると、bとcが入れ替わります。
●四角形に外接する円の半径を調べます。
△ABCの面積Sは、
です。
正弦定理で、
です。（半径をtであらわしています）
よって、
下の図で△ABCのACを上で調べたxを使います。
△ABCの面積は、ヘロンの公式から
●以上から、
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
