令和２年８月３０日

[流れ星]

　　第389回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：8月2日〜8月30日＞

［二項係数］

二項係数とは(1 + x)ⁿ の展開における x^k の項の係数のことです。これを_ｎC_ｋ（０≦ｋ≦ｎ）（ｎ，ｋは整数）と表します。

問題１　係数_ｎC_ｋがすべて奇数のときは、ｎはどんな整数か。

問題２　係数_３８３C_ｋが初めて偶数となるｋを求めよ。

問題３　ｎ＋１を２進法で表したとき、

係数_ｎC_ｋが初めて偶数となるｋを考察してください。

追加問題（提供者　ジョーカーさん）

四角形ABCDは円に外接し，図のように接点をE，F，
G，Hとし，AE=a，BF＝b，CG=c，DH＝dとする。
図のように，四角形の辺あるいはその延長に接する
4つの円の中心をそれぞれP，Q，R，Sとするとき，
(四角形PQRS)/(四角形ABCD)の値を求めよ。

図はここをクリックください。

解答のとき、この図を利用してください

NO1「スモークマン」 08/06 20時53分　受信 更新 8/30

問題１　係数_ｎC_ｋがすべて奇数のときは、ｎはどんな整数か。

nCk

=n*(n-1)*(n-2)*…*(n-(k-1))/{k(*k-1)*(k-2)*…*2*1}

分母、分子にはそれぞれk個の数があり、偶数は交互に並ぶ

どのkでもnCkは奇数なので…

分母と分子の2の個数が同じであればいい…

どの偶数になる項も2が一つだけになれば満たす…

そうでないと、n>=kなので、分子に2^2とか2^3とか余分に残る可能性が出てくるから。

so…

n=2^m-1 であればいい。

問題２　係数_３８３C_ｋが初めて偶数となるｋを求めよ。

分子の方が分母より2の個数が初めて大きくなるとき…

kが2^xで、2kつまり2^(x+1)が383-k+1となるとき…

256=2^8<382<2^9=512

so…(383-k+1)=256=2^8 

so…k=2^7=128

実際に、384-256=128=2^7=k

問題３　ｎ＋１を２進法で表したとき、

係数_ｎC_ｋが初めて偶数となるｋを考察してください。

意味がよくわかりませんが、

問題1から、n≠2^m-1

問題2から、

・2^x<=n<2^(x+1)のとき…

　k=1

・2^x<n<2^(x+1)のとき...

k=2^x/2=2^(x-1)

NO2「ジョーカー」 　 08/26 09時33分　受信 更新 8/30

追加問題の解答です

「ジョーカー」 　 08/26 09時33分　受信 更新 8/30

寄せられた解答です

「よふかしのつらいおじさん」 08/26 16時11分　受信 更新 8/30

問題1

●先ずパスカルの三角形を書き出します。

これは、(1＋x)ⁿの展開の項の係数を表しています。

これを見て、

�@ nが2^kのとき、最初と最後の以外の係数が偶数

�A nが2^k−1のとき、すべての係数が奇数

となりそうです。

●先ず�@を確かめます。

・k＝1のとき、つまり のとき、

最初と最後以外の項の係数が偶数です。

・kのとき、の展開の係数は、最初と最後以外が偶数とします。

　偶数をで表すと、

　　（()個の偶数）

　さて、k＋1のときは、

　

となり、最初と最後の以外の係数が偶数となります。

●次に�Aを確かめます。

・k＝1のとき、つまり のとき、

すべての係数が奇数です。

・kのとき、 の展開の係数が、すべて奇数とします。

　奇数をdで表すと、

　　（個の奇数）

　さて、k＋1のときは、

　

　つまり、とかければ良いわけです。

となり、すべての係数が奇数となります。

nが2^k−1のとき、係数_nC_iがすべて奇数となります。

問題2

●例えば、k＝6としてみます。

奇数番目のところは、分子・分母ともに奇数です。

分子をそこの分母の奇数で約しても奇数のままです。

分子を他のところの分母の奇数で約しても奇数のままです。

●偶数番目は、分子・分母ともに偶数です。

分子・分母の和は、384です。

偶数番目の分子・分母の数を2進法で表してみます。

384(10)＝1,1000,0000(2)

382 (10)＝1,0111,1110(2)　　2(10)＝10(2)

380(10)＝1,0111,1100(2)　　4(10)＝100(2)

378(10)＝1,0111,1010(2)　　6(10)＝110(2)

････････････

258(10)＝1,0000,0010(2)　　126(10)＝111,1110(2)

――――――

256(10)＝1,0000,0000(2)　　128(10)＝1000,0000(2)

2進法で数を表したとき、下の0の桁数が2の因数の個数を示します。

382は1個、380は2個、378は1個それぞれ2を因数にもちます。

2は1個、4は2個、6は1個それぞれ2を因数にもちます。

●分子・分母の和が384です。

384(10)は、2進法で表すと、下7桁が0です。

つまり分子と分母の数は、2進法で表したとき下の桁の0の個数が同じでないと0が並びません。

下の桁からみていって、0でない最初の位は、分子、分母ともに1です。

それより上の位は、分子、分母の一方が1で他方は0です。

そうすると、たすと次々繰上り0が並ぶことになります。

分母が126のところまでは分子と分母の2の因数の個数が同じです。

しかし、その先で事情が変わります。

256(10)＝1,0000,0000(2)　　128(10)＝1000,0000(2)

2を因数として分子の256は8個、分母の128は7個もちます。

約したときに、分子の方に2の因数が残ります。

よってk＝128のとき、 が初めて偶数となります。

問題3

●nが偶数のとき、_nC_kが初めて偶数になるのは、k＝1のときです。

これは分かりやすいので、nが奇数のときを考えます。

そうすると、n＋1は偶数となります。

・下1桁が0のとき

n＋1は、6(10)＝110(2)、10(10)＝1010(2)、14(10)＝1110(2)、･･･

分数を2進法で表してみると、

のように、k＝2＝2¹のとき偶数となります。

・下2桁が0のとき

n＋1は、12(10)＝1100(2)、20(10)＝10100(2)、28(10)＝11100(2)、･･･

分数を10進法と2進法で表してみると、

のように、k＝4＝2²のとき偶数となります。

・下m桁が0のとき

　いままで見てきたように、2進法の分数にしたとき、水色の部分の分母は、

となります。

n＋1を2進法で表したとき、下の位の0の並びの個数をmで表せば、

_nC_k は、 のとき、はじめて偶数となります。

円に外接する四角形ABCDに関する面積問題　　解答　よふかしのつらいおじさん

●まず、□ABCDの面積Sを求めます。

●次に、円Oの半径OF（r）と円Qの半径OF'を求めます。

△QBCの内角は図に示した通りです。

・△OBCについて正弦定理より、

より、

よって、

・△QBCについて正弦定理より、

より、

よって、

よって、

ゆえに、

同様に、

●問題の比を求めます。

ここで、いろいろ調べてみます。

●その1

左の図は、ある円に□ABCDが、外接している様子です。

右の図は、その円をはずして、辺の長さを変えずに、四角形をつぶした様子です。

すると、今度は別の円に□A'B'CDが外接します。

これを確かめます。

辺ABが最短の辺とします。

AB'＝AXとなるように、A'D上にXをとります。

DX＝DYとなるように、DC上にYをとります。

△A'B'X、△DXY、△CYB'は二等辺三角形です。

円に外接する四角形は、向かい合う2辺の和が等しくなります。

変形後も向かい合う2辺の和が等しいので、CB'＝CYとなります。

各二等辺三角形の頂点から底辺に垂線を下ろします。

すると、各底辺は垂直に2等分されます。

交点は、△B'XYの外心です。

（3つの垂線が1点で交わります）

各垂線は、各二等辺三角形の頂角を2等分しているので、

交点からA'B'まで、ADまで、CDまで、CB'までの距離が等しくなります。

交点を中心とし、各辺までの距離を半径とする円が、別の円になります。

四角形の4辺の長さが決まっても内接円の大きさは決まりません。

●その2

四角形の4辺の長さが頂点から内接円の接点までと分割されて与えられると、事情が変わります。

下の図で、内接円の中心Oは、頂角の2等分線と接点からの垂線上にあります。

四角形の2辺BC＝BF＋FC＝b＋c、CD＝CG＋GD＝c＋d．

内接円の半径OF＝rとします。

r＝OF＝GX−GY＝GC sinC−OG cosC＝c sinC−r cosC

ゆえに、

（この式は、半角で表して整理すると、 となります）

つまり、頂角の大きさが決まれば、内接円の半径が決まります。

先ず、底辺CDを固定します。

次に∠Cを決め、CBを固定します。

式(A)により、内接円の半径が決まります。

点Bから接線を引いて、辺BAが決まります。

最後に頂点Aから接線を引くのですが、うまくDと重なるかは、分かりません。

（最初の∠Cをうまく調整すれば、Dと重ねることができるはずです）

●その3

下の図で、OA＝a、OB＝bとします。

Oに垂線をたてて、垂線上の点とAO上の点を結んでできる∠OPP'が

∠Aと∠Bの平均でしかも45°になることを考えます。

OP=OP'＝rとおきます。

AP'：P'B=AP：PB ならPP'で ∠AP'Bが2等分されます。

　 より、

逆数をとって、

分母を払い2乗すると、

整理して、

●その4

下の図で、OA＝a、OB＝b、OC＝c、OD＝dとします。

Oに垂線をたてて、垂線上の点とAO上の点を結んでできる∠OPP'が

∠A、∠B、∠C、∠Dの平均でしかも45°になることを考えます。

・ad＝bcの特別な場合は、 となります。

　この値が、内接円の半径になります。

　∠Aと∠Dの平均は、 のところです。（その点をXとします）

　∠Bと∠Cの平均は、 のところです。（その点をYとします）

　∠Xと∠Yの平均は、 のところです。

　ad=bc なので、点X、Yは、実はPです。

よって、この場合は、

・さて、ad≠bcのとき（一般のとき）は、まだ分かりません。

NO4　水の流れ　08/30

問題１の解答がここにありました。参考にしてください。

　　　ここにも解答があります。

問題２は　このサイトの解答を参考にして　出題しました。

問題３は　このサイトにあります。

　お詫び：いずれも数字が違っていますが、この点はご容赦ください。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。