令和２年9月27日
[流れ星]
第390回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：８月30日〜９月27日＞
［円と直線の共有点］
ｘｙ平面上でx座標、ｙ座標がともに整数であるような点（ｘ、ｙ）を格子点という。各格子点を中心として半径ｒの円が描かれており、傾き３/４の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという。このような性質をもつ実数ｒの最小値を求めよ。
注：東京大学 入試問題を改題しました。
9月2日にジョーカーさんから追加問題を提供されました。
6個の正方形が図のように配置されている。
3個の三角形赤，青，黄の面積がそれぞれ1，3，5であるとき，緑の正方形の面積を求めよ。
図はここをクリックください。
この図を利用してください。
ヒント： 第３８７回追加問題の解答にある定理４を利用
NO1「スモークマン」 08/30
23時52分 受信 更新 9/27
解答
傾き3/4の直線と講師点上の円と接するとき、少しだけ上に直線を動かすと、
最初の円の一つ上の円と接することを考えればいいと思われる。
(遠方の円と接するとしても、その円を直線に沿って近づければ、一つ上の円まで移動できるので…)
２つの円の間隔=1
直角三角形3:4:5の相似な△の5の辺が1/2
so…円の半径rは4に当たるので…
r=(1/2)*(4/5)=1/5
「スモークマン」 09/01 00時12分 受信
更新 9/27
最小ではなかったです...^^;
傾き3/4の直線と講師点上の円と接するとき、少しだけ上に直線を動かすと、
最初の円の一つ上の円と接することを考えればいいと思われる。
3と4とは互いに素なので、x軸方向に4動いて上に3上がった時の円に接しているときが
半径は最小になるのでした...
そうでないと...その半径よりも小さいと、隙間ができて、永遠に接しなくなることになりますから...
つまり...
1-3/4=1/4
が3:4:5の5にあたり、この半分の(4/5)が半径の時ですね...
so...
(1/4)*(4/5)*(1/2)=1/10
「スモークマン」 09/13 20時14分 受信
更新 9/27
友人から届いたものを送ります。
「直線を3x-4y+c=0 格子点の1つを(a,b) とする
(a,b)より直線への距離はd=|3a-4b+c|/5 で条件は d<=r
問題はどのような実数cが与えられても適当に整数a,bを選べば不等式が満たされるということ。
(3,4)=1だから 適当に整数a,bを選べば
3a-4bは すべての整数Nをとる
例えばc=2.5とすれば| | は1/2が最小
Nとして[c] または[c]+1 をとれば任意の実数cに対して1/2より小さく出来る
よって限界は1/2で このときr=1/10 で不等式は満たされている。」
今は昔、等価な問題(一般化されてたはず)を算数というかピタゴラスの定理くらいだけで解けたことを思い出すのですが...
NO2「ジョーカー」 09/02 07時45分 受信 更新 9/27
「ジョーカー」
09/01 10時00分 受信 更新 9/27
NO3「よふかしのつらいおじさん」 09/03 21時11分 受信 更新 9/27
●図は、格子点（赤）を結ぶ傾き3/4の直線pです。
直線q、rは、pの近くにある格子点（青）を通る傾き3/4の直線です。
赤線と赤線の間には、格子点はありません。
●図は、上の図の緑の枠の部分の拡大図です。
点A、B、C、Dは格子点です。
赤線と赤線の真ん中に緑の直線を引きます。
●上の図で、△HGD∽△AFEです。
HD＝2/3、DG＝1/2なので、
です。
AF＝1/4です。
よって、
より、
以上から、
r＝1/10
●おまけ
原点を通る傾き
の直線を引くと、原点以外のどの格子点も通りません。
不思議な気がします。
「よふかしのつらいおじさん」 09/22 15時24分 受信
更新 9/27
390追加問題解答 よふかしのつらいおじさん
●問題のヒントを利用します。
その1：2つの正方形が頂点を重ねているとき、
それぞれの正方形の辺を2辺とする2つの三角形の面積は等しい。
なぜなら、
その2：三角形の各辺（a、b、c）を1辺とする正方形が3個ある。
2つの正方形の各辺を1辺とする三角形の残りの辺dを1辺とする正方形の面積は、
なぜなら、△BDIと△BACに余弦定理を用いると、
辺々加え整理すると、
その3：下図のようであるとき、KL＝4a
なぜなら、△ABC＝Sとすると、「その1」より、
□BIHAと□BCEDをみて、△BDI＝S
□CAGFと□CEDB をみて、△CFE＝S
□DBCEと□DKJIをみて、△DEK＝△DIB＝S
□EDBCと□EFMLをみて、△ELD＝△ECF＝S
ゆえに、△DEK＝△ELD＝S
よって、DEを底辺とみると、DD1＝EE1
「その2」より、
、
ヘロンの公式より、
よって、
同様に、
ゆえに、
●以上から、緑の正方形の面積は、
です。
●BCの長さを調べます。
そのために、五角形AIBCFを調べます。
よって、
整理して、
これは、
を示します。
以上から、緑の正方形の面積は、
です。
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
