令和２年１０月２５日

[流れ星]

　　第391回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：9月27日〜10月25日＞

［大垣八幡宮奉納算額１］

　　　　　岐阜県大垣市にある八幡神社

江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。
彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。
この算額は残念ながら先の太平洋戦争で神社ごと消失したことを知り、奉納された算額は復元をし、後世に残しておきたいと熱望した次第です。

以下の奉納された問題の解法をお願いします。

第一問

等脚台形に甲乙2円を入れる。その隙間に丙丁・・・（仮に黒円で止める）を入れる。甲径と黒径とを知って台形内にある最も多い円の数を求めよ。

注：「等脚台形に甲乙2円を入れる。その隙間に丙丁・・・（仮に黒円で止める）を入れる。甲径と黒径とを用いて円の個数を表せ」という意味です　

10月19日記入

術文　（答）　　求める円の個数＝[√（甲径÷黒径）]　　　10月2日訂正

ただし、[　　]はガウス記号

注：ジョーカーさんから頂いた図です。10月4日記入

第二問

法馬（左右の等弧はすべての円に外接している）内に甲乙2円を描き、その隙間に丙円を入れる。乙径を知って丙径を求めよ。

術文　（答）　丙円径＝（６÷２３）×（乙円径）

注：ジョーカーさんからご指摘がありました。10月4日記入

「左右の弧は半円で，その直径は，2つの甲円の中心距離と等しい」

下図はこれを考慮してあります。

第三問

４個の正方形、甲乙丙丁で2個の正方形戊己を囲む。戊正方形の左の上下と己正方形の右の上下は甲乙正方形の一辺に接する。丙丁戊の一辺をそれぞれ知って己辺を求めよ。

術文　（答）　　己＝丁÷｛（丁÷丙）^２（丙―戊）÷戊＋１｝

参考　 十干は甲・乙・丙・丁・戊（ボ）・己・庚・辛・壬・癸の10種類

第四問

円と二等辺三角形が交わり（円は底辺に接する）その中へ甲乙の２円を入れる。その間に丙円４個を入れる。甲径を知って乙径を求めよ。

術文　（答）　乙径＝（√３＋１）×甲径

第五問

長方形内に２個の斜線を作りその上下に甲乙丙丁の９個の円を入れる。長方形の縦の長さを知って横の長さを求めよ。

術文　（答）　横＝√（３．９２）×縦

「ジョーカー」 　 10/14 10時14分　受信 更新 10/25

寄せられた解答です

「ジョーカー」 　 10/14 12時50分　受信 更新 10/25

第１問の補足（３）についてです。

「よふかしのつらいおじさん」 10/16 21時01分　受信 更新 10/25

第二問

●図のように、円甲の半径をs、弧の半径をt、円乙の半径をa、円丙の半径をbとします。

●円甲乙丙と弧が互いに接しているので、デカルトの円定理を使います。

両辺に を掛けます。

●図の直角三角形から、

また、問題文の追加のヒント「左右の弧は半円で，その直径は，2つの甲円の中心距離と等しい」より、

これを上の式に代入すると、

sは正なので、s＝2a

よって、t＝3a

この結果を(*)に代入すると、

a、bは正なので、6a＝23b

つまり、23×丙＝6×甲

第三問

●先ず、縦b横aの直角三角形の中に正方形をつくることを考えます。

図のように、x切片a、y切片bの直線とy＝xとの交点を調べます。

より、

三角形の底辺と高さが分かれば、正方形の一辺の長さが決まります。

●図のように、点と正方形の一辺の長さを決めます。

△OABの底辺をABとしたときの高さをpとすると、

△OCDの底辺をCDとしたときの高さをqとすると、正方形「己」の一辺kは、

なので、△OABと△OCDの面積は等しくなるので、

(32)に(33)、(31)を入れると、

第四問

●円の中心をQ（半径r）、円甲の中心をS（半径s）、円乙の中心をT（半径t）、右上の円丙の中心をH1（半径h）、右下の円丙の中心をH2（半径h）とします。

二等辺三角形の右の辺をABとします。

●円乙の中心は、∠BAOの二等分線上にあります。

OA＝a、OB＝bとします。

角の二等分線の定理より、

円甲の中心Sの座標は、（0，2t＋s）、半径sなので、

直線ABのx切片はa、y切片はbなので、

これを円の式に入れて、判別式を調べると、

ついでに、円の半径も調べておきます。

●ここで、乙と甲の大きさを比べます。

つまり、aとbの比の値が分かればよいことになります。

●次に円丙が上下で同じ大きさであることを考えます。

△BQC∽△BAOなので、BQ：QC＝BA：AOより、

よって、右上の円丙の直径2hは、

次に右下の円丙について考えます。

直線TAは、

y＝hとして、中心H2を調べます。

よって、

TH2＝r＋h なので、

ゆえに、

両辺2乗して整理すると、

rをa、bで表した式を代入して整理すると、

両辺をで割って整理すると、

ここで、 とおくと、

正の平方根をとって、

展開して整理すると、

ゆえに、

●この値を(*)に入れると、

第五問

●図で円Aの半径をa、円Bの半径をbとし、△ABHに三平方の定理を用いて、

つまり、二円が互いに接っし、共通の直線に接するとき、接点間の距離は、半径の相乗平均の2倍となります。

●図左で甲、乙、丙、丁、・・・の円は互いに相似の関係にあります。

甲、乙の円の半径をそれぞれa、bとすると、相似の比は、b／aです。

よって、｛甲、乙、丙、丁、・・・｝の半径は、それぞれ｛a、b、b²／a、b³／a²、b⁴／a³、・・・｝です。

また、接点間の距離は、相似の比を考えて、

これは、初項 、公比 の無限等比級数なので、和Wは、 。

よって、長方形の横は、 。

図右で、円甲の上の円丁の直径は 、その上の円戊の直径は、です。

それらの和Xは、初項2a、公比 の無限等比級数なので、 。

円丙の直径は 、下の円己の直径は 、その下の円壬の直径は、です。

それらの和Yは、初項、公比 の無限等比級数なので、 。

よって、縦は、 。

以上から、横／縦は、

よって、aとbの比の値が分かればよいことになります。

●円甲、乙、丙、丁、・・・の接線を考えます。

接線は傾きm、x切片pとします。

pは、 ですが、表記を簡単にするために用います。

円甲は、。

ここで、pを代入します。

●この接線が、甲の上の円丁に接するように考えます。

円丁の中心は、 です。

接線は、

円丁の中心から接線までの距離は、半径と同じなので、

mとpを代入して、

ゆえに、

両辺をb⁴で割って整理すると、

これから、 。

これを(*)に代入すると、

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。