令和３年３月７日
[流れ星]
第397回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：２月７日〜３月７日＞
［球面上の三角形の面積］
半径ｒの球面上に△ABC（球面三角形）があり、その３つの内角をそれぞれＡ,Ｂ,Ｃとする。次の設問のとき、図のような△ＡＢＣの面積を求めよ。
設問１ 内角の和がＡ＋Ｂ＋Ｃ＝２１０°のとき。
設問２ Ａ＝α，Ｂ＝β，Ｃ＝γのとき。
ただし、α、β、γは弧度法とする。
下図の参考にして考えてください。図の提供は「ジーカー」さんから
追加問題（提供者 ジョーカーさん）
図のように△ABCの外側に正方形ADEB,BFGC,CHIAを作る。
BHとCEの交点をP,CDとAGの交点をQ,AFとBIの交点をRとする。
△PQRの面積を、BC=a、CA=ｂ、AB=ｃ、△ABC＝Sを用いて表せ。
NO1「スモークマン」
2/10 0時15分 受信 更新 3/7
2番目の一般の方から…
設問２ Ａ＝α，Ｂ＝β，Ｃ＝γのとき。
ただし、α、β、γは弧度法とする。
球面三角形とは、大円で囲まれた三角形なので…
半球で考えると、2つの大円が交わる角の2倍分が面積であることがわかる。
3回重なってるので、球の面積を引いてx1/2にすればいい。
so…半球で…
(2(α+β+γ)-2π)/(2π)*2πr^2/2
=(α+β+γ-π)*r^2
設問１ 内角の和がＡ＋Ｂ＋Ｃ＝２１０°のとき。
上のことから...
(210-180)/180*r^2
=r^2/6
NO2「ジョーカー」 2/10
9時16分 受信 更新 3/7
ジョーカーさんの解答です。
こちらは ジョーカーさんの追加問題の解答です。
NO3「よふかしのつらいおじさん」 2/24 17時31分 受信 更新 3/7
●中心を通る平面で球を切ったときにできるのが大円です。
大円で球の表面は、2つの部分に分かれ面積は等しくなります。
図[A]の赤と白とは面積が同じです。
異なる2つの大円で球の表面は4つの部分に分かれ、向かい合う部分の面積は等しくなります。
図[B]の赤と青とは面積が同じです。
白同士も同じ面積です。
半径rの球の表面積は、
です。
半径rの半球の表面積は、
です。(図[A]の赤(白)の部分)
半径rの球の2つの大円のなす角がθの部分の面積は、
です。(図[B]の赤(青)の部分)
●球面三角形は、球面上の異なる3つの大円に囲まれた部分です。
球の中心を対称の中心として球面三角形ABCとその裏側に球面三角形A’B’C’があります。（図[C]）
△ABCと△A’B’C’は合同の関係にあります。
球面三角形の面積を考えます。
2つの大円に囲まれた部分を二角形ということにします。
スイカの皮のような形です。(図[F]が分かりやすいです)
点Aを頂点とする二角形(図[Ｄ]の赤の部分)、点Bを頂点とする二角形(図[Ｅ]青の部分)を合わせて考えます。
次に点Cを頂点とする二角形を対頂角の方の図形で考えます。(図[F]の緑の部分)
これらの3つの部分を合わせると点A、Bを通る大円の右側と裏側の△A’B’C’になります。
手前側の△ABCは青と赤の部分が重なっています。
よって、SA、SB、SCをそれぞれ赤、青、緑の部分の面積とすると、
半球の面積＝SA＋SB＋SC−2△ABC です。
設問1
210°は、210／180･π＝7／6･π[ラジアン]なので、
設問2
追加問題
●図のように点Bが原点、点Cがx軸にのるように座標軸をとります。
すると各点の座標は、
点Pの座標を求めます。
。
また、A＋B＋C＝πです。
直線BHは、
直線CEは、
ゆえに、
より、
式 (*) は、AP⊥BCを示し、点Pが垂心上にあることを示します。
●垂心Jの座標を求めます。
です。
直線CAの傾きが 
より、直線BJは、
よって、JPの長さは、
●同様に、JQ、JRを求めます。
・点Cが原点、ACがx軸にのるように座標軸をとったとすると、上の結果に、
a → b → c → a → ･･･、A → B → C → A → ･･･ の置き換えをすればよいので、
⇒
⇒
●△JPQの面積を求めます。
図の四辺形JKCLは、円に内接します。
∠KJL＝π−Cです。
●△JQR、△JRPの面積を求めます。
文字の置き換えをして、
⇒
⇒
●△PQRの面積を求めます。
「よふかしのつらいおじさん」 2/26 12時08分 受信 更新 3/7
397追加
●ヘロンの公式で三辺a、b、cの三角形の面積Sは、
これを答えに代入すると、
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
