平成１５年５月５日
[流れ星]
第１１８回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：４月１６日〜５月５日＞
［ピラミッド問題］＋４問
太郎さんは、最近、「中尾」さんから、次のような問題をもらいました。皆さん！考えてください。
＜中尾さんのコメント＞次のような問題を解きました。面白いでしょうか？
＜出典： Michael A. Bennett,
"Lucas' square pyramid Problem revisited", 2002によると、Lucas(1975)は、Lucas(1875)と訂正します。（4月16日記入）＞
「問題１」
同じ大きさの球をピラミッド形に（月見だんごのように、最上部に1個、次の段に4個、3段目に9個というように）積み上げたものを、
平面上に並べ直すと正方形になった。球は全部で何個あるか？
＜水の流れ＞さて、今回の問題の平面バージョンが下記にあります。参考してくだされば幸いです。
第22回応募問題
または、次の問題を考えても良いです。
「問題２」次の数列の第ｎ項を、ｎの式で表せ。
（１）０，−１，０，−１，０，−１、０，−１，・・・
（２）１，１，３，３，５，５、７，７，・・・
（３）０，−１，−２，０，−１，−２，０，−１，−２，・・・・
（４）１，１，１，４，４，４，７，７，７，１０，１０，１０，・・・
ＮＯ「中尾」さんから問題１についての解説が 4/13：18時13分 受信 更新5/5
:Diophantus方程式n(n+1)(2n+1)/6=m^2の整数解について
[定式化]
ピラミッド形の段数をn,平面上の正方形の１辺の球の個数をmとすると、
1^2+2^2+3^2+....+n^2 = m^2
つまり、
n(n+1)(2n+1)/6 = m^2 -------- (*)
となり、この２元３次不定方程式(*)の正整数解(m,n)を求めればよい。
[解答]
X=12n+6, Y=72nとおくと、X,Yは正整数であり、
Y^2 = X^3-36X
となる。よって、この楕円曲線E:Y^2=X^3-36Xの整点を全て決定すれば、十分である。
実際に、Eの整点(X,Y)は、以下の13個に限る。
(±6, 0), (-3, ±9), (-2, ±8), (0, 0), (12,±36),
(18, ±72), (294,±5040)
従って、(*)の正整数解(m,n)は、以下の2個に限る。
(1, 1), (70, 24)
最初の問題に戻ると、球の個数m^2は、
1個 または 4900個 である。
NO1「RARA」さん 4/16：12時09分 受信更新5/5
問題１：４９００個
EXCELで足し算してからSQRT関数を使用して平方数になるの（端数のでない数）を調べたら、
２４段目の４９００個になりました。
（まだ数学デビューして日が浅いのでよくわからないのですが、＾は乗数でいいのですよね）
問題２：の解答
（１）｛（−１）＾（n-1) -１｝/2
数列の各項をおのおの２倍ー＞さらに１を足してみたら、１、−１、１、−１の繰り返しになりました。
その反対に数式をひもといていったら上記のようになりました。
（２）n-｛（−１）＾n＋１｝/2
数列の各項からnをひいてー＞さらに２倍してー＞さらに１を引いてみたら、−１、１、−１、１の繰り返しになりました。その反対に数式をひもといていったら上記のようになりました。
NO2「H7K」さん 4/16: 19時25分
問題2
以下，[n]:=(nを超えない最大の整数)とします．
(1) a_n=2*[(n+1)/2]-(n+1)
(2) b_n=n+a_n=2*[(n+1)/2]-1
(3) c_n=3*[(n+2)/3]-(n+2)
(4) d_n=c_n+n=3*[(n+2)/3]-2
4/17: 19時12分 4/18: 20時00分 4/19:
21時20分 4/21: 19時53分
問題１は過去５回分をＰＤＦにまとめて報告がありました。
ここで、出題者の「中尾」さんに依頼して、コメントをもらいました。
結論から言うと、H7Kさんの解答は誤りです。
全部をチェックする必要もないので、指摘は１点のみとします。
(d),(f)の場合が完全に誤りです。
Pell方程式に関するよく知られている事実に反するからです。
方程式
2q^2-p^2 = 1 --------- (1)
の正整数解(q,p)は無数に存在する。
n=0,1,2,....に対して、有理数q_n,p_nを
q_n*sqrt(2)+p_n=(sqrt(2)+1)^(2n+1)
で定義すると、実際にはq_n,p_nは正整数であり、
2*q_n^2-p_n^2 = 1
となること、数列{q_n}, {p_n}が単調増加であることが容易に分かる。
同じく、
p''(p''+1)=2q''(q''+1) ------- (2)
の正整数解(p'',q'')も無数に存在することが容易に分かる。
なぜなら、(2)の両辺に4を掛けて、2を加えると、
(2p''+1)^2+1=2(2q''+1)^2
p=2p''+1, q=2q''+1とおくと、
p^2+1=2q^2
2q^2-p^2 = 1
となり、(1)と同じ方程式になる。(1)の正整数解(q,p)は共に奇数なので、
p''=(p-1)/2, q''=(q-1)/2も共に(負でない)整数となる。
実際に解をいくつか計算すると、以下のようになる。
n q_n
p_n q'' p''
0
1 1
0 0
1
5 7
2 3
2
29 41
14 20
3 169
239 84 119
4 985
1393 492 696
5 5741
8119 2870 4059
..................................
H7Kさんへのアドバイス:
どの推論が誤りだったのか再検討してみましょう。こんな証明を書く前に、数論の入門書をきちんと読んで理解することから初めましょう。
G.H.Hardy, E.M.Wright,
"An Introduction to the Thoery of Numbers 5th
edition", Oxford University Press, 1979, ISBN0-19-853171-0
がお勧めです。英語が読めない場合は、翻訳本も出版されています。
4/24: 16時26分
> 同じく、
> p''(p''+1)=2q''(q''+1) ------- (2)
> の正整数解(p'',q'')も無数に存在することが容易に分かる。
これもPell方程式に書き換えられるとは,気がつきませんでした．
完全にはやとちりをしてしまっていたようです．
(d)について：
γ(γ+1)=2β(β+1)=12α^2.
であるので，β(β+1)=6α^2に注目する．
1. β=3d^2，β+1=2e^2のとき．
β+1 mod 3=1.だが，★よりβ+1 mod 3=0,2.矛盾．
2. β+1=6e^2，β=d^2のとき．
★より，β+1 mod 3=1,2.矛盾
β=2d^2 β+1=3e^2のとき．
β=6d^2 β+1=e^2のとき．
が可能性として残る．
γ(γ+1)=3(2α)^2に注目すると，
γ=3f^2 γ+1=g^2とかけることがわかる．
やはり，恐れていたように「Pell方程式の共通解」の話になってしまうのかなあ...
(f)について：
8(p''^2+p'')=3(r'^2+2r')
より，r' mod 2=0.r'':=r'/2とおくと
2(p''^2+p'')=4(q''^2+q'')=3(r''^2+r'').
4/24: 20時39分 受信更新5/5
> 同じく、
> p''(p''+1)=2q''(q''+1) ------- (2)
> の正整数解(p'',q'')も無数に存在することが容易に分かる。
これもPell方程式に書き換えられるとは,気がつきませんでした．
完全にはやとちりをしてしまっていたようです．
気づいていたら(Pell方程式については知っていたので)ミスらなかったかも．
(d)について：
γ(γ+1)=2β(β+1)=12α^2.
より，Pell方程式の形に変形し，
(2γ+1)^2-3(4α)^2=1
(2γ+1)^2-2(2β+1)^2=-1
それぞれN+内の最小解は(2,1)(1,1)であるから
Pell方程式の一般解の式を用いて
2γ+1=1/2((1+sqrt 2)^m+(1-sqrt 2)^m)=1/2((2+sqrt 3)^n+(2-sqrt 3)^n)
これを変形し，
(1+sqrt 2)^m-(2+sqrt 3)^n=-((1-sqrt 2)^m-(2-sqrt 3)^n).
よって，(1+sqrt 2)^m-(2+sqrt 3)^nはa*sqrt 2+b*sqrt 3の形になっていなければならない．
しかし，そうなるm,n∈N+は存在しないので，先の2式を満たす2γ+1,4α,2β+1はN+の範囲では存在しない．
ということは，2γ+1,2β+1>=1より，α=0の場合しかありえず，このときγ=β=0.
以上より，(略)．
(f)について：
8(p''^2+p'')=3(r'^2+2r')
より，r' mod 2=0.r'':=r'/2とおくと
2(p''^2+p'')=3(r''^2+r'').
2 (2p''+1)^2 +1=3 (2r''+1)^2.
d:=2p''+1,e:=2r''+1とおくと
2d^2+1=3e^2.
これの整数解はどうやら(0,0)のみみたいですが(Excelで確かめました)，証明はまだです．
これで合ってますでしょうか？
NO3「toru」さん
4/19: 18時12分 受信更新5/5
第１１８回解答
Σ(k=1〜n)k^2=n(n+1)(2n+1)／6 =F(n)とする。
６の剰余系で分けて考えると、n=6m: F(n)=m(6m+1)(12m+1),
n=6m-1:F(n)=m(6m-1)(12m-1), n=6m-2:F(n)=(3m-1)(4m-1)(6m-1),
n=6m-3:F(n)=(2m-1)(3m-1)(12m-5), n=6m-4:F(n)=(2m-1)(3m-2)(12m-7),
n=6m-5:F(n)=(3m-2)(4m-3)(6m-5), (m=1,2,----)
それぞれの各項（たとえばm,(6m+1),(12m+1)）は互いに素なので、これがある整数の平方になるためには、
それぞれの項がある整数の平方の形にならなければならない。
整数の平方は6m-1,3m-1, 12m-7 の形にはならないので、（1から11までの平方を考えれば十分）これらを含むものを除けば、
１）n=6mの場合と、２）n=6m-5の場合が残る。
１） n=6mの時 m=a^2, 6m+1=b^2, 12m+1=c^2 （a,b,c:正の整数）からb^2-6a^2=1,c^2-12a^2=1と２つのベル方程式ができる
、a=1,2,--としてみると、a=2の時b=5,c=7が題意をみたす。この時、n=24 で球の総数は４９００個(=70^2)。
それぞれのベル方程式は無数に解があってそれぞれの一般解を求めてみたりしましたが、
連立させると？ これ以外の解はなさそうですが、証明は？
２） こちらも同様に、n=6m-5の時、3m-2=a^2,4m-3=b^2,6m-5=c^2から、c^2-2a^2=-1,(2a)^2-3b^3=1 、a=b=c=1はこれらをみたし、
この時m=1,n=1 それ以外に解があるかは？
ということでとりあえず、１個と４９００個、それ以外にあるかないか証明は初等的には難しい（＝私には無理）とのことですぐに諦めてしまいました。
この機会にベル方程式の復習をさせて頂きました。解答解説を楽しみにしています。
問題２
（１） (((-1)^(n-1))-1)／2 （(3)と同じにするなら(-1)^(n-1)のかわりにsin
((2n-1)π／2)とすることもできます。）
（２） n+(((-1)^(n-1))-1)／2
（３） 周期関数ということで三角関数を使うことにします、sin ((2n-1)π／3)を考
えるとこれは√3／2,0,-√3／2, √3／2,0,-√3／2,----、これから (2／√3)(sin
((2n-1)π／3))-1 ------答え
（４） n+(2／√3)(sin ((2n-1)π／3))-1
NO4「Kashiwagi」さん
4/20: 15時04分 受信更新5/5
＜コメント＞お世話になります。今回の問１はExcellを使うしか方法がないのでしょうか？
又、問２も考えに考えたのですが、これしか思い付きません。良い勉強になりました。
第118回解答
問1.
題意より積み上げた球の個数は、
１２＋２２＋３２＋…・・＋ｎ２＝ｎ(ｎ+1)(２ｎ＋１)／６
＝ｎ(ｎ+1)(ｎ+ｎ+1)／６＝Ｎ２
因ってｎ、ｎ+1、２ｎ＋１のどれかが６の倍数である事が必要条件である。又、ｎが２の倍数、ｎ＋１が３の倍数であっても良い。
そこで表を作り、計算してみると以下の様になる。Excellでやればよいのでしょうが、勘弁して下さい。
|
ｎ |
ｎ+1 |
ｎ+ｎ+1 |
Ｎ(整数のみ) |
|
6 |
7 |
13 |
|
|
12 |
13 |
25 |
|
|
18 |
19 |
37 |
|
|
24 |
25 |
49 |
70 |
|
30 |
31 |
61 |
|
|
36 |
37 |
73 |
|
|
42 |
43 |
85 |
|
これより解の一つは4900である。 又、後者の条件より、
|
ｎ |
ｎ+1 |
ｎ+ｎ+1 |
Ｎ(整数のみ) |
|
2 |
3 |
5 |
|
|
4 |
5 |
9 |
|
|
6 |
7 |
13 |
|
|
8 |
9 |
17 |
|
|
10 |
11 |
21 |
|
|
12 |
13 |
25 |
|
|
14 |
15 |
29 |
|
|
16 |
17 |
33 |
|
これもExcellでやればよいのでしょうが、勘弁して下さい。
問２.
題意に沿って素直に解きましたが…・、何か自信が持てません。
(1)ｎが奇数；an＝０
偶数；an＝−１
(2)ｎが奇数；an＝ｎ
偶数；an＝ｎ−１
(3)ｎ＝３ｋ−２；an＝０
ｎ＝３ｋ−1；an＝−１
ｎ＝３ｋ ；an＝−２
(4)ｎ＝３ｋ−２；an＝n
ｎ＝３ｋ−1；an＝n−１
ｎ＝３ｋ ；an＝n−２
NO5「UnderBird」さん
4/21: 08時03分 受信更新5/5
問題１
答えが２個しかないことを仮定するならば、コンピュータを用いて
（段数，球の数）＝（１，１），（２４，４９００）は求められますが・・・・。
問題２
（１）周期が２であることから
を基本に、振幅や番号
を調整して
（２）2つの数列 ０，−１，０，−１，０，−１，０，−１，・・・・
１，２，３，４，５，６，７，８，・・・・
の和が １，１，３，３，５，５，７，７，・・・・ であることから，
（３）周期が３であるので、まず
の形を考えた。（
でも同様）
次にこれが等差数列であることから、
を解いて、
を得る。[
、（
は整数）であればよい]
（１）と同様に振幅や番号を調整して
（４）求める数列は、（３）の数列と数列１，２，３，４，５，６，７，８，・・・・の和より
初めガウスの記号[ ]も考えたが、（１）から（４）の設問の誘導から周期関数を思いついた。
あと、問題１と問題２はどのような関連があるのでしょうか。
問題１で数論に全くの素人でもわかるような解説を是非お願いします。
＜水の流れ：コメント＞この解法が素人では容易ではないのです。
NO6「浜田」さん
4/23: 16時46分 受信更新5/5
問題１
多桁計算が出来るＵＢＡＳＩＣを使って解いてみた．１００００００以下の自然数においては，答は１と２４の２個のみである．
10 'asave "M118.UB"
20 Kyuu=0
30 for N=1 to 1000000
40 Kyuu+=N*N
50 Kyuu1=int(sqrt(Kyuu))
60 if Kyuu1*Kyuu1=Kyuu
then print N;
70 next N:print
80 end
問題２
(1) 振動する代表的な数列{ａn}の一般項は，
ａn＝(−１)^(n-1)
であり，このとき数列{ａn}は，
１，−１，１，−１，１，−１，１，−１，・・・
振幅が１なので，２で割ると，
ａn＝(−１)^(n-1)／２
となり，
１／２，−１／２，１／２，−１／２，１／２，−１／２，１／２，−１／２，・・・
初項を０とするために，１／２を引くと，
ａn＝{(−１)^(n-1)−１}／２
となり，
０，−１，０，−１，０，−１，０，−１，・・・
となるので，これが答となる．
(2) ａn＝[ｎ／２]（ガウス関数）
とすると，
０，１，１，２，２，３，３，・・・
故に，
ａn＝[(ｎ−１)／２]
とすると，
０，０，１，１，２，２，３，３，・・・
これに数列
１，１，２，２，３，３，４，４，・・・
を加えればよい．この数列の第ｎ項は，[(ｎ＋１)／２]であるから，求める数列は，
ａn＝[(ｎ−１)／２]＋[(ｎ＋１)／２]
(3) １，２，０，１，２，０，１，２，０，１，２，０，・・・
となる数列は，
ａn＝ｎ−３[ｎ／３]（または，ａn＝ｎ mod ３）
故に，
０，１，２，０，１，２，０，１，２，０，１，２，・・・
となる数列は，
ａn＝(ｎ−１)−３[(ｎ−１)／３]
−１倍すると，
０，−１，−２，０，−１，−２，０，−１，−２，・・・
となる数列は，
ａn＝３[(ｎ−１)／３]−ｎ＋１
となり，これが答となる．
また，
ａn＝−{(ｎ−１) mod ３}
も答となる．
(4) ０，０，０，１，１，１，２，２，２，３，３，３，・・・
となる数列は，
ａn＝[(ｎ−１)／３]
これに
１，１，１，３，３，３，５，５，５，７，７，７，・・・
を加えればよい
これは
０，０，０，１，１，１，２，２，２，３，３，３，・・・
に
１，１，１，２，２，２，３，３，３，４，４，４，・・・
を加えたものであるから，求める数列は，
ａn＝２[(ｎ−１)／３]＋[(ｎ＋２)／３]
となる．
(1) {(−１)^(n-1)−１}／２
(2) [(ｎ−１)／２]＋[(ｎ＋１)／２]
(3) ３[(ｎ−１)／３]−ｎ＋１
−{(ｎ−１) mod ３}
(4) ２[(ｎ−１)／３]＋[(ｎ＋２)／３]
（参考）数列の第ｎ項を求めるときに，次のようなひねくれた裏技がある．数列の項がｋ個与えられている場合を考える．この問題では，(1)，(2)でｋ＝８，(3)でｋ＝９，(4)でｋ＝１２である．常識的に考えられる答をｆ(ｎ)とすると，次の式で表されるものも答とすることが出来る．
ｐ(ｎ−１)(ｎ−２)(ｎ−３)・・・(ｎ−ｋ)＋ｆ(ｎ)（ｐは任意の数）
ｐ≠０とすると，第(ｋ＋１)項以降が常識で考えられる式とは違うものとなる．
これを使うと，(1)〜(4)の答はそれぞれ，
(1) ｐ(ｎ−１)(ｎ−２)(ｎ−３)・・・(ｎ−８)＋{(−１)^(n-1)−１}／２
(2) ｐ(ｎ−１)(ｎ−２)(ｎ−３)・・・(ｎ−８)＋[(ｎ−１)／２]＋[(ｎ＋１)／２]
(3) ｐ(ｎ−１)(ｎ−２)(ｎ−３)・・・(ｎ−９)＋３[(ｎ−１)／３]−ｎ＋１
ｐ(ｎ−１)(ｎ−２)(ｎ−３)・・・(ｎ−９)−{(ｎ−１) mod ３}
(4) ｐ(ｎ−１)(ｎ−２)(ｎ−３)・・・(ｎ−１２)＋２[(ｎ−１)／３]＋[(ｎ＋２)／３]となる．
NO7「三角定規」さん
4/27: 22時33分 受信更新5/5
第118回解答送ります。
前回（人生模様）は失礼致しました。Weekend
Math に載ったkirkland さんの解は巧みすぎて、とても私には発想できません。
私は漸化式 f(m,n)=f(m-1,n)+f(m,n-1) をいじくりまわして、もっと自然に 2nＣn/(n+1)
が出てこないものかといろいろやってみ
たのですが、満足がいかなかったので解答送付を見合わせました。
● 第１１８回解答（三角定規）
NO7「午年のうりぼう」さん
5/5: 23時26分 受信更新5/11
第１１８回数学的な応募問題 ［ピラミッド問題］＋４問名前 午年のうりぼう
（解答）
「問題１」 同じ大きさの球をピラミッド形にｎ段積み上げたときの球の個数の合計は、ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６（個）
また、一辺Ｎ個の正方形を作ったときは、使う玉の数の合計は、Ｎ２ 個 。
ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６＝Ｎ２
を満たす整数の組（ｎ，Ｎ）を求めればよい。
※しかし、（ｎ，Ｎ）＝（１，１）しかわからず、この方程式を解くことができませんでした。
「問題２」 （１）ｎが奇数のとき、 ａｎ＝０
ｎが偶数のとき、 ａｎ＝−１
（２）ｎ＝２ｍ−１のとき、ａｎ＝ｎ
ｎ＝２ｍのとき、 ａｎ＝ｎ−１
（３）ｎ＝３ｍ−２のとき、ａｎ＝０
ｎ＝３ｍ−１のとき、ａｎ＝−１
ｎ＝３ｍのとき、 ａｎ＝−２
（４）ｎ＝３ｍ−２のとき、ａｎ＝ｎ
ｎ＝３ｍ−１のとき、ａｎ＝ｎ−１
ｎ＝３ｍのとき、 ａｎ＝ｎ−２
ただし、ｍは正の整数である。
NO8「中川幸一」さん
5/5: 23時58分 受信更新5/11
