平成１２年９月９日
第５８回
数学的な応募問題＜解答募集期間：８月２８日〜９月１０日＞
［第３回初等数学の会］
太郎さんは、８月２０日に新大阪駅の近くで行われた第３回初等数学の会に出席してきました。
全国に会員が約３５０名くらいいまして、約１割の人が集まってこられました。大阪府・奈良県・兵庫県淡路島・神奈川県・三重県・福岡県の方々とお話ができました。
最初に、講演があり、神戸大学名誉教授の田村三郎先生の「分けて掛けて大きくしょう」でした。何とこれは、
「自然数を分割し、積が最大となる」の話が前半にありました。後半は、反対に「ある数をいくつかの自然数の積として表し、それら自然数の和を最小にする話がありました。例えば、１２＝２×２×３のとき、最小の和 ２＋２＋３＝７というわけです。この話を紹介するお許しをもらってきていますので、今回の問題とさせていただきます。西暦2000年と平成１２年にちなんだ数字です。
問題１：１２を幾つかの自然数の和として分解し、それらの自然数の積を最大にせよ。
問題２：２０００を幾つかの自然数の和として分解し、それらの自然数の積を最大にせよ。
（これだけ大きくなると、試行錯誤では無理である。小さい数字について試してみて、その規則性を見つけてください）
問題３：１２を幾つかの
異なる自然数の和として分解し、それらの自然数の積を最大にせよ。
問題４：２０００を幾つかの
異なる自然数の和として分解し、それらの自然数の積を最大にせよ。
問題５：２０００を幾つかの
正の実数の和として分解し、それらの自然数の積を最大にせよ。
問題６：１２を幾つかの自然数の積として表し、それらの自然数の和を最小にせよ。
問題７：２０００を幾つかの自然数の積として表し、それらの自然数の和を最小にせよ。
問題８：１２を幾つかの
異なる自然数の積として表し、それらの自然数の和を最小にせよ。
問題９：２０００を幾つかの
異なる自然数の積として表し、それらの自然数の和を最小にせよ。
問題10：２０００を幾つかの
正の実数の積として表し、それらの自然数の和を最小にせよ。
以上の問題を田村先生からご教示くださいまして、解説がありました。
また、午後から、大阪天満宮の算額を希望者で見学に行ってきました。詳しくは
「私の一日」の８月２０日をお読みください。
ＮＯ１＜寄せられた解答＞ 「／／ねこ」さん ９月８日９：55分受信 ９月９日更新
はじめまして。ねこと申します。
No.58を解いてみました。よろしくお願いします。
問題１：１２＝３＋３＋３＋３ ３×３×３×３＝８１
問題２：できるだけ３を使うとよい。
２０００＝２＋６６６×３
２×３＾６６６≒５．７９１×１０＾３１７
問題３：１２＝３＋４＋５ ３×４×５＝６０
問題４：３に近い自然数から使うようにするとよい。
２０００＝２＋３＋・・・＋５９＋６０＋８５＋８６
２×３×・・・×５９×６０×８５×８６
＝６０！×７３１０
≒６．０８３×１０＾９０
問題５：２０００＝（２０００／Ｎ）×Ｎの形に分解するのが効率がよい。
その中で、２０００／Ｎがｅに近くなるＮを選ぶ。
２０００／ｅ≒７３５．７６より、Ｎの候補は７３５か７３６。
Ｎ＝７３５のとき
２０００＝（２０００／７３５）×７３５
（２０００／７３５）＾７３５≒３．４３４４×１０＾３１９
Ｎ＝７３６のとき
２０００＝（２０００／７３６）×７３６
（２０００／７３６）＾７３６≒３．４３５６×１０＾３１９
Ｎ＝７３６のときが最大。
問題６：１２＝２×２×３ ２＋２＋３＝７
１２＝３×４ ３＋４＝７
問題７：２０００＝２×２×２×２×５×５×５
２＋２＋２＋２＋５＋５＋５＝２３
問題８：１２＝３×４ ３＋４＝７
問題９： ２０００＝２×５×１０×２０
２＋５＋１０＋２０＝３７
問題10：２０００＝（２０００＾（１／Ｎ））＾Ｎの形に分解するのが効率がよい。
その中で、２０００＾（１／Ｎ）がｅに近くなるＮを選ぶ。
Ｎ＝ｌｎ２０００≒７．６０よりＮの候補は７か８。
Ｎ＝７のとき
２０００＝（２０００＾（１／７））＾７
（２０００＾（１／７））×７≒２０．６８８
Ｎ＝８のとき
２０００＝（２０００＾（１／８））＾８
（２０００＾（１／８））×８≒２０．７３４
Ｎ＝７のときが最小。
ＮＯ２＜水の流れ：コメント＞９日発信
「ねこ」さん！ご応募ありがとうございます。
解答は、残念ながら問題４の分解は他に大きくなる場合があります。
２０００の和の分解ですが、２＋３＋・・・＋５９＋６０＋８５＋８６ 以外にも
掛けて大きい場合があります。８５＋８６＝１７１を分けてください。
皆さんは、問題５でどうして、下のような分解が良いか考えて。
２０００＝（２０００／Ｎ）×Ｎの形に分解するのが効率がよい。
その中で、２０００／Ｎがｅに近くなるＮを選ぶ。
２０００／ｅ≒７３５．７６より、Ｎの候補は７３５か７３６。
さらに、皆さんは、問題１０でどうして、下のような分解が良いか考えて。
２０００＝（２０００＾（１／Ｎ））＾Ｎの形に分解するのが効率がよい。
その中で、２０００＾（１／Ｎ）がｅに近くなるＮを選ぶ。
Ｎ＝ｌｎ２０００≒７．６０よりＮの候補は７か８。
ＮＯ３＜寄せられた解答＞ 「清川（kiyo)」さん ９月９日23時37分受信 ９月10日更新
いつもお世話になっています。問題４について
解答 ３に近い自然数から使うようにするとよい。
２０００＝２＋３＋４＋・・・・・＋１４＋１６＋・・・・＋６３
６３！／１５≒１．３２×１０＾８６
「／／ねこ」さんの解答 ６．０８３×１０＾９０
１０＾８５ ではないでしょうか？
約２．１７倍にすることが出来ると思います。
ＮＯ４＜水の流れ：コメント＞１０日発信
６０！×７３１０≒６．０８３×１０＾９０が６０！×７３１０≒６．０８３×１０＾８５
のご指摘ありがとうございます。確認してなくてごめんなさい。
１９５２＝２＋３＋４＋・・・＋６１＋６２のとき、積は最大６２！
2０１５＝２＋３＋４＋・・・＋６１＋６２＋６３のとき、積は最大６３！
したがって、２０００については、１９５２の分解で大きい方の６２から１５までの４８個に１を足していけば
得られます。したがって、清川（kiyo)の答で正解です。
＜自宅＞
mizuryu@aqua.ocn.ne.jp
