令和３年４月４日

[流れ星]

　　第398回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：３月７日〜４月４日＞

　　　　　　　　［デートの確率］

太郎さんと花子さんは、新型コロナウィルス集団感染防止のために街中では密閉・密集・密接の「３密」をしないように心がけています。

　そこで、この二人はデートの約束を次のようにしました。

（１）いつも場所に午後５時から午後６時までの間に行く。

（２）最大２０分間は待つが、午後６時を過ぎると帰宅する

このとき、二人が出会える確率を求めよ。

追加問題１（提供者　ジョーカーさん）　

１辺がａの正五角形と１辺がｂの正十角形が同じ円に内接している。

ａ^２−ｂ^２＝２のとき、円の面積を求めよ。

追加問題２（提供者　ジョーカーさん）

NO1「ジョーカー」 　 3/07 18時43分 受信 更新 4/4

ジョーカーさんの解答です。

こちらは　ジョーカーさんの追加問題１の解答です。

次に、ジョーカーさんの追加問題２の解答です

NO2「三角定規」　　　　 3/10 21時01分　　　 受信 更新 4/4

三角定規さんの解答です

こちらは　三角定規さんの追加問題１の解答です。

NO3「よふかしのつらいおじさん」 3/26 21時27分　 受信 更新 4/4

　●時刻5時t₁分から5時t₂分の間にいつもの場所につく確率を考えます。どの時刻につく確率も同様とします。

時刻5時t分の時間は一瞬ですがその微小の時間をdtとし、５時t₁分から５時t₂分まで時間を集めます。

5時t₁分から5時t₂分までの時間は、分という意味です。

5時から6時までは60分なので、時刻5時t₁分から5時t₂分の間にいつもの場所につく確率は、 です。

●問題になれるために、条件を変えてみます。

もし、待ち時間が60分ならこの2人は必ず会えます。

いつもの場所に何時につこうが、2人とも6時には、その場所にいるからです。

●待ち時間をm分とします。

(▲) m≧30分のとき会える確率を調べます。

・自分が5時00分から5時(60−m)分までの間につく場合

　自分が5時t分につくと、5時(t＋m)分までいることになります。

　相手が5時00分から5時(t＋m)分の間に来れば会えます。

　自分が5時t分につく確率と相手が5時00分から5時(t＋m)までの間に来る確率をかけて　

　これを、5時00分から5時(60−m)分まで集めます。

・自分が5時(60−m)分から5時m分までの間につく場合

　相手がいつ来ても会えます。

　なぜなら相手の方が早く来ると必ず5時m分にいます。

また、遅く来ても自分が6時までいるからです。

　よって、このときの確率は、

・自分が5時m分から6時までの間につく場合

　自分が5時t分につくとすると、相手が5時(t−m)分以降に来れば会えます。

ゆえに合計して、

(▼) m≧30分のとき会えない確率を調べます。

・自分が5時00分から5時(60−m)分までの間につく場合

自分が5時t分につくと、5時(m＋t)分までいることになります。

　相手が5時(t＋m)分以降に来れば会えません。

　自分が5時t分につく確率と相手が5時(t＋m)以降に来る確率をかけて　

　これを、5時00分から5時(60−m)分まで集めます。

・自分が5時(60−m)分から5時m分までの間につく場合

　相手がいつ来ても会ってしまいます。

　よって、このときの確率は、0です。

・自分が5時m分から6時までの間につく場合

　自分が5時t分につくとき、相手が5時(t−m)分より前に来ると会えません。

ゆえに合計して、

(*1)と(*2)を加えれば、1になります。

(■)m＜30のとき会える確率を調べます。

・自分が5時00分から5時m分までの間につく場合

　自分が5時t分につくと、5時(m＋t)分までいることになります。

　相手が5時00分から5時(t＋m)分の間に来れば会えます。

・自分が5時m分から5時(60−m)分までの間につく場合

　自分が5時t分につくとします。

　相手が早いときは5時(t−m)分以降、遅いときは5時(t＋m)分以前に来ると会えます。

　よって、この場合に会える確率は、

・自分が5時(60−m)分から6時までの間につく場合

　自分が5時t分につくとすると、相手が5時(t−m)分以降に来れば会えます。

ゆえに合計して、

(◆) m＜30分のとき会えない確率を調べます。

・自分が5時00分から5時m分までの間につく場合

・自分が5時t分につくと、5時(t＋m)分までいることになります。

　相手が5時(t＋m)分以降に来れば会えません。

　自分が5時t分につく確率と相手が5時(t＋m)以降につく確率をかけて　

　これを、5時00分から5時m分まで集めます。

・自分が5時m分から5時(60−m)分までの間につく場合

　相手が5時(t−m)分前あるいは、5時(t＋m)分以降に来ると会えません。

　(t−m)＋{60−(t＋m)}＝60−2m

よって、このときの確率は、

・自分が5時(60−m)分から6時までの間につく場合

　自分が5時t分につくとすると、相手が5時(t−m)分よりまえに来れば会えません。

ゆえに、

(*3)と(*4)を加えれば、1になります。

●以上から解答は、(*3)にm＝20を代入して、5／9となります。

追加問題1

●図の△OABと△OBCに余弦定理を用いると、

よって、

ゆえに円の面積Sは、

●36°の三角関数の値を調べます。

18°＝θと置くと、90°＝5θです。

です。

なので、

●式(*)に代入して、

追加問題2

●次のように座標、式を表します。

円の中心

円と楕円の接点

楕円　

円　　　　　　

円の中心は、図の傾き1の直線上にあります。

●接点の座標を求めるための関係式を調べます。

・接点が楕円上にあるので、

・接点と円の中心を通る直線を考えて、

・接点が円上の点なので、

●計算

(2)を(3)に代入して、

一重下線部は、

二重下線部は 、

三重下線部は、

よって式(4)は、

●ここで式(1)より、

これらを(4)’に代入します、

緑の部分から、

青の部分から、

この2つは適しません。

黄色の部分から、

●黄色の部分から、なので、に代入して、

よって、O₂の長軸÷短軸は、

●楕円Onの長軸÷短軸の値をc_nとおきます。

つまり、 という関係になります。

両辺の対数をとると、なので、

･･･

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左辺と右辺をそれぞれ掛け合わせて約すと、

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。