令和３年１月１０日
[流れ星]
第395回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：12月13日〜1月10日＞
2020年も残り２週間強。今までのご応募に深く感謝申し上げます。今年は新型コロナウィルスで世界中が感染防止に明け暮れた年でした。東京オリンピックを初めあらゆるイベントが延期・中止となり異常な年となりました。
来る2021年は明るい年となりましように願っています。今後も引き続きご愛顧賜りますようよろしくお願いいたします。
［正七角形の辺と対角線］
問題１：提供者「ジョーカー」
参考に、第81回の応募問題をご覧ください。
問題２ 提供者「ジョーカー」
方程式x^3+x^2-4x+1=0の1つの解をαとするとき，
他の解をαの最低次の有理数係数の整式として表せ。
（補足）3次方程式の判別式が，平方数になるときは，
他の解をαの最低次の有理数係数の整式として表すことができます。
＜ジョーカーから：私の解答は，煩雑で長い計算です。公募してエレガントな解答を期待したいところです。＞
NO1「よふかしのつらいおじさん」 1/05 23時03分 受信
更新 1/10
問題1
●
図で 
です。
正7角形の底角 
よって
ここで
とおくと、
(1)
●ここで 
の値を調べます。
なので、
この3次方程式を解きます。
( )の中をyとおくと、
ここで、y-=u＋vとおくと、
ここで、
とすると、u＋v≠0 なので、
よって、
は、
の解です。
よって、1の立方根を 
とすると、
yは実数なので、
xは、
xは実数ですが、表すのに虚数のi が必要なようです。
式(*)に代入しても偶数乗なのでi は消えません。
解からi を消そうとしてみます。
両辺を3乗すると、
となり元の3次方程式(**)に戻ります。
●そこで元の3次方程式を頼りに変形を考えます。
両辺2乗すると、
となり偶数乗の関係式になります。
(***)を(*)に代入すると、
(2)
(***)を代入すると、
問題2
●
の解をαとします。
です。
ここで、
も解だとします。
αの２次式と考えるのは、βの右辺を方程式の左辺に代入して(*)で割った余りがαの高々2次式になるからです。
すると、
となるはずです。
ここで、
仮に 
としてみると、
となります。
以下この方針で係数を計算するのは、大変です。
● 
として、qをいろいろ変えて試してみたところ、
のとき、6次式は(*)で割り切れます。
(**)は、
よって、
・この考えを繰り返すと、
も解のはずです。
・さらにこの考えを繰り返すと、
となり、αに戻ります。
これは3次方程式に解が3個あることに対応します。
NO2「三角定規」 1/09 11時 50分 受信 更新 1/10
NO3 出題者「ジョーカー」さん 更新 1/10
＜コメント：「ジョーカー」さんから「三角定規」さんの感想に答えて＞
令和3年1月10日午前記入
（出題者からの補足）
問題1(1)は，幾何学大辞典第4巻（岩田至康編，槇書店）P.131に
三角関数を用いた証明があります。（L.Bankoff）
また，初等数学第42号（2001年8月号）正7角形の秘密（松田康雄氏）
P.102にも(1)のことが記載されています。
このように，(1)については，数学愛好家には知られていることだと思います。
(1)について，トレミーの定理を用いて証明できたので，
(2)の方も同様にできないか計算してみると，
6という値が出たので，セットで問題にしました。
問題2は，高校時代に考えた問題で，あまり類を見ない問題だと思います。
一般化しても求められました。
ただ，計算が大変だったので，何か別の発想でできないか問うてみました。
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
