令和３年１２月１２日

[流れ星]

　　第407回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：11月14日〜12月12日＞

　　　　　　　　［釜笛八幡宮の算額(1)］

　岐阜県大垣市釜笛1丁目203番地　　釜笛八幡神社

　

　　　　　

上の写真は、慶応元年（1865年）浅野孝光（天極斎）の門弟が当寺美濃国安八郡釜笛郷八幡宮宮前地蔵堂に奉納した算額である。

写真は「和算の館」にある岐阜県の算額　八幡宮からのものである。

　

第１問題

　団扇があり、糸で累円を作る（糸長は不明である）。初円径を知り、追次の円径（初円一寸、次円二寸、其次円四寸、其次円八寸、・・・）は円周率３２で計り、糸長とし、円周率３０で計り糸余を得た。団扇の直径を求めよ。

　出題者　河　瀬　貞　長　　謹考

＜水の流れ：円周率に誤りがあるので、次のように改題します。＞

改題　団扇があり、糸で累円を作る。糸長と初円径を知り、団扇の直径を求めよ。ただし、追次の円径は、初円一寸、次円二寸、其次円四寸、其次円八寸、

・・・とする。また、円周率はπとする。

　出題者　　ジョーカーさん

第２問題　

　正方形の内へ、青、赤２個の正方形を青は右上に、赤は左下に接するように入れる。その隙間に２個の等楕円を正方形に接するように入れる。青と赤の一辺を知って楕円の面積を求めよ。

出題者　大　隅　義　盛　　謹考

第３問題

　半円内に直角二等辺三角形をつくり、その隙間に青、赤の６個の円を入れる（各円は互いに外接して三角形の辺と半円周に接する）。半円の直径を知って赤円径を求めよ。

術文（答）　赤円径＝半円径÷８

出題者　外野郷　志　知　孝　成　謹考

参考文献　　　

　「岐阜県の算額の解説」　��木重治　著

　問題文の中のカラー画像は「ジョーカー」提供

追加問題１（提供者　ジョーカーさん）

追加問題２（提供者　ジョーカーさん）

NO1「　ジョーカー」 11/14 12時28分　 受信 更新 12/12

寄せられた釜笛八幡宮の算額（1）の解答です

「ジョーカー」 　12/11 00時01分 受信 更新 12/12

また、追加問題の解答が寄せられています

さらに、追加問題２の別解と補足です

＜水の流れ：読者の皆さんにご迷惑をおかけしました。記12月12日夜＞

NO2「二度漬け白菜」 12/04 07時04分　 受信 更新 12/12

追加問題の解答：

n個の変数 x[1],x[2],…,x[n] をもつ， t についての整式 F(t) を

F(t)=(1+x[1]*t)*(1+x[2]*t)*……*(1+x[n]*t)

で定める．

r=0,1,2,3,… に対し，F(t)を展開したときの t^r の係数を

σ[r] とする．

F(t)=1+σ[1]*t+σ[2]*t^2+σ[3]*t^3+…+σ[n]*t^n

であり，σ[r]=0 (r>n), σ[0]=1 である．

また，

P[r]=Σ[i=1〜n](x[i])^r

とする．

F(t)をtで微分した (d/dt)F(t)は，

(d/dt)F(t) = F(t)*Σ[i=1〜n](x[i]/(1+x[i]*t))

となることがわかる．

これをさらに変形していくと，以下のようになる．

(d/dt)F(t)

=F(t)*Σ[i=1〜n](x[i]/(1+x[i]*t))

=F(t)*Σ[i=1〜n](x[i]*Σ[j=0〜∞](-x[i]*t)^j)

=F(t)*Σ[j=0〜∞](((-t)^j)*Σ[i=1〜n](x[i])^(j+1))

=F(t)*Σ[j=0〜∞](((-t)^j)*P[j+1]

=F(t)*Σ[j=0〜∞]P[j+1]*(-t)^j.

よって，次の等式が成り立つ．

σ[1]+2*σ[2]*t+3*σ[3]*t^2+…+n*σ[n]*t^(n-1)

=(1+σ[1]*t+σ[2]*t^2+σ[3]*t^3+…+σ[n]*t^n)*Σ[j=0〜∞]P[j+1]*(-t)^j.

この等式の両辺の t^(k-1) (k=1,2,3,…) の係数を比べることによって，

k*σ[k]=Σ[j=0〜k-1]P[j+1]*σ[k-1-j]*(-1)^j ---(★)

となっていることがわかる．

[追加問題1]

先の考察において，x[1]=a,x[2]=b,x[3]=c,x[4]=d,x[5]=e として考える．

F(t),σ[r],P[r] (r=1,2,3,…)も先程と同様に定義する．

問題文の条件式は，

Σ[k=1〜5](1/x[k])^2=1,

Σ[k=1〜5](1/x[k])=1,

Σ[k=1〜5](x[k])=1,

Σ[k=1〜5](x[k])^2=1

とかくことができる．

Σ[k=1〜5](1/x[k])=1 の両辺を2乗して，

Σ[k=1〜5](1/x[k])^2+2*Σ[i<j]1/(x[i]*x[j])=1.

これに，Σ[k=1〜5](1/x[k])^2=1 を使って，

Σ[i<j]1/(x[i]*x[j])=0.

両辺にσ[5]=x[1]*x[2]*x[3]*x[4]*x[5] を掛けて，

σ[3]=0.

Σ[k=1〜5](1/x[k])=1 の両辺にσ[5]を掛けて，

σ[4]=σ[5].

Σ[k=1〜5](x[k])=1 の両辺を2乗して，

Σ[k=1〜5](x[k])^2+2*Σ[i<j]x[i]*x[j]=1.

これに，Σ[k=1〜5](x[k])^2=1 を使って，

Σ[i<j]x[i]*x[j]=0.

つまり，σ[2]=0.

Σ[k=1〜5](x[k])=1 より，σ[1]=1.

以上より，(1-x[1])*(1-x[2])*(1-x[3])*(1-x[4])*(1-x[5])

を計算すると，次のようになる．

(1-x[1])*(1-x[2])*(1-x[3])*(1-x[4])*(1-x[5])

=F(-1)

=1-σ[1]+σ[2]-σ[3]+σ[4]-σ[5]

=0 (∵ σ[1]=1, σ[2]=σ[3]=0, σ[4]=σ[5]).

よって，x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]のうち，少なくとも一つは 1 である．

つまり，a,b,c,d,e の中に 1 がある．

[追加問題2]

a[6]=871/120 (答)

x[1]=α,x[2]=β,x[3]=γ,x[4]=δ,x[5]=ε として考える．

問題文の条件より，

P[1]=σ[1]=1, P[2]=2, P[3]=3, P[4]=4, P[5]=5

である．

σ[2]=(1/2)*((P[1])^2-P[2])=(1/2)*(1^2-2)=(-1/2).

(★)において，k=3の場合を考えて，

3*σ[3]

=P[1]*σ[2]-P[2]*σ[1]+P[3]*σ[0]

=1*(-1/2)-2*1+3*1

=1/2.

よって，σ[3]=1/6.

(★)において，k=4の場合を考えて，

4*σ[4]

=P[1]*σ[3]-P[2]*σ[2]+P[3]*σ[1]-P[4]*σ[0]

=1*(1/6)-2*(-1/2)+3*1-4*1

=1/6.

よって，σ[4]=1/24.

(★)において，k=5の場合を考えて，

5*σ[5]

=P[1]*σ[4]-P[2]*σ[3]+P[3]*σ[2]-P[4]*σ[1]+P[5]*σ[0]

=1*(1/24)-2*(1/6)+3*(-1/2)-4*1+5*1

=(-19/24).

よって，σ[5]=(-19/120).

(★)において，k=6の場合を考えて，

0=6*σ[6]

=P[1]*σ[5]-P[2]*σ[4]+P[3]*σ[3]-P[4]*σ[2]+P[5]*σ[1]-P[6]*σ[0]

=1*(-19/120)-2*(1/24)+3*(1/6)-4*(-1/2)+5*1-P[6]*1

=871/120-P[6].

よって，

P[6]=871/120.

以上より，a[6]=P[6]=871/120 (答)

本問の数列 a[n](n≧6) は 次の漸化式で計算できます．

a[n]=a[n-1]+(1/2)*a[n-2]+(1/6)*a[n-3]-(1/24)*a[n-4]-(19/120)*a[n-5].

(以上)

NO3「スモークマン」 12/07 23時02分　 受信 更新 12/12

今回もうまく言えませんし、途中までのものですが参加させていただきまっす ^^;

追加問題1

t^10=1 の根の組み合わせで考えると、

例えば、以下のようなものが満たす。

a=cos(2π/10)+i*sin(2π/10)=1/b・・・a^2=cos(2*2π/10)+i*sin(2*2π/10)=1/b^2

b=cos(-2π/10)+i*sin(2π/10)=1/a・・・b^2=1/a^2

c=cos(4*2π/10)+i*sin(4*2π/10)=1/d・・・c^2=1/d^2

d=cos(-4*2π/10)+i*sin(-4*2π/10)=1/c・・・d^2=1/c^2

-1=cos(5*2π/10)+i+sin(5*2π/10)

と考えれば…e=1

a,b,c,d,eは対称なので、eでなくてもいい。

＜水の流れ：１の10乗根という発想には驚き、数学って奥行きが深いことを知りました。＞

追加問題2

a*t^5+b*t^4+c*t^3+d*t^2+e*t+f=0

の根がα,β,γ,δ,ε と考える。

f(α)+f(β)+…+f(ε)

=5a*5+5*b*4+5*c+3+5+d*2+5*e+5f=0

5a+4b+3c+2de+f=0

α*f(α)+β*f(β)+…+ε*f(ε)

=5a*a(6)+5*b*5+5*c*4+5*d*3+5*e*2+5f=0

a(6)*a+5b+4c+3d+2e+f=0

(a(6)-5)*a+b+c+d+e=0

a,b,c,d,eを根と係数の関係式から求めればいいのだろうけど…b=-1/2 以外は...beyond me ^^;

＜水の流れ：「ジョーカー」さんに尋ねたところ、「解（根）と係数の関係で求められる」と

返事をもらいました。＞

NO4「よふかしのつらいおじさん」12/09 17時20分 受信 更新 12/12

追加問題１

★この問題は解けていません。

十分条件についていろいろ考えたことを書きます。

●先ず、複素数平面の性質を確認します。

・原点対称の位置関係にある2つの複素数の和は、0です。　

・複素平面内で単位円上の2つの数の積は、偏角の和になります。

　

・単位円上の2つの数は、実軸対称の位置関係にあれば、

互いに逆数の関係です。

　

★5個の数について、成り立つ場合を考えてみます。

●複素平面内の原点を中心とする単位円の周上にある数を考えます。

このとき、次の式を示します。

まず、aとｃ、ｂとｄが原点対称の位置関係にあるのでそれぞれの和が0となり、(1)が成立します。

次に、(2)は(1)の各数の逆数が実軸対称の位置関係にあるので原点対称の関係が保たれるので成立します。

さらに、次の式を考えます。

は、それぞれ の偏角の2倍の位置です。

そして、 はそれぞれ と同じ位置です。

は、原点対称の位置関係にあり和は、0で(3)が成立します。

次に、(4)は(3)の各数の逆数が実軸対称の位置関係にあるので原点対称の関係が保たれるので成立します。

★さて、１の個数を考えます。

●5個はありません。

とすると、 となり、条件に合いません。

●4個もありません。

とします。

とすると、 となります。

となり、条件に合いません。

●3個もありません。

とします。

とすると、 となります。

とすると、

となり、条件にあいません。

●2個はあります。

とします。

とすると、 となります。

より、

・ とすると、

となります。

dとeとは、複素平面内で原点対称の複素数です。

とおくと、

となります。

これが成り立つのは、 のときです。

すると、

となり、成立します。

・ のときは、上のcとdが入れかわります。

●1個のときは、上にかいた例があります。

●0個のときは、まだ考えが進みません。

（これがわかれば解答になります。）

★一般の場合を考えます。

●先ず、次の式を示します。

左辺をＴとおくと、

ここで［　］の部分に をかけてみると、

よって、

ゆえに、

次に、 とします。

この式をαで微分すると、

●次の図は、複素平面内の単位円で角αのところを基準にｎ等分した点の数を表しています。

上のことより、 です。

上の結果を用いて、これらの数を合計すると、

（これは、原点を四方八方から均一な力で引くと釣り合うことになるのと同じ結果です）

●各点の偏角を調べます。

各点の複素数の偏角が次のようであるとき、

2乗した複素数の偏角は、

分かりにくいので、ｎ＝8として図を見てみると、2乗した数の位置は、

ｎが3以上の場合、2乗した数も原点対称に均一に配置されるので、和が0になります。

●また、これらの数の逆数は、実軸対称の位置になるので、和が0になります。

◎以上から、複素平面の単位円上の均一に配置された数（3個以上）と「1」を合わせると、

・合計、・逆数の合計、・2乗の数、・2乗の逆数の合計

が1になります。

追加問題２

●対称式の値を調べます。

●1次

●2次

より、

●3次

より、

より、

●4次

より、

より、

より、

より、

●5次

より、

より、

より、

より、

より、

より、

●解答に入ります。

●以上から、