令和４年9月18日
[流れ星]
第417回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：8月24日～9月18日＞
［大垣八幡宮奉納算額10］
岐阜県大垣市にある八幡神社
江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。この算額は残念ながら先の戦争で神社ごと焼失したことを知り、幽斎算約四編である奉納された算額の解法を後世に残すために、これから32問順に出題していきます。
今回は第22問題から第24問題です。
第22問題
半円内に直角二等辺三角形を描き、その中へ２等円（青）と黒円を容れる。青円の直径を知って黒円の直径を求めよ。
出題者 名昧宗三郎直光 謹考
訂正 直角二等辺三角形を単に直角三角形に訂正します。（21日午後10時記）「よふかしのつらいおじさん」からの指摘により
第23問題
球内に互いに外接する４個の等球（黄）を容れその上下に赤球と萌黄球を容れる。赤球、萌黄球を知って黄球の直径を求めよ。
出題者 小岩吉右衛門冨薫 謹考
第24問題
交わる３直線に３個の等円（青）と赤円、黄円、黒円が接している。
黄円と黒円の直径を知って赤円の直径を求めよ。
出題者 浅井何某政辰 謹考
追加問題（ジョーカーさん提供）
問題１
問題２
＜水の流れヒント：ａｎ＝ａｘｎ＋ｂｙｎ＋ｃｚｎ とおく＞
NO1「ジョーカー」 08/21
07時42分 受信 更新 9/18
寄せられた大垣八幡宮奉納算額の第22問から第24問の解答です
また、追加問題の解答です.
NO2「よふかしのつらいおじさん」09/14 23時00分 受信 更新 9/18
第22問題
●半円の半径をＲ、青円の半径をａとします。
図のように青円が、縦線(
)、Ｘ軸、半円に接しているとします。
△ＯＡＢに三平方の定理を用いると、
●図のように青円が△ＣＤＥに内接しているとします。
、
なので、
また、
なので、
前の結果と比べて、
●前段の結果と比べて、
よって、青円の半径は、
●黒円の半径をｂとします。
先ず、△ＣＦＧに注目します。
今までの結果より、
なので、
つまり、
に対して、青の半径
です。
比例関係を考えて、
に対して、
黒の半径
です。
よって、黒径
第23問題
●黄球、赤球、萌黄球の半径をそれぞれｋ、ａ、ｍとします。
図は、４個の黄球の中心を通る平面を上からみたものです。
三平方の定理よりＰＱの長さは、
●図は、上の図のＰＱに垂直の方向からみたものです。
球の中心をＯとします。
ＡＱの長さは、
同様に、ＭＱの長さは、ａをｍに直して、
●球の半径Ｒを調べます。
・ＮＳの半分を考えます。
・ＯＴを求めます。
そのために、ＯＰを調べます。
よって、
●二つの半径が等しいとして計算します。
両辺2倍して、ｋを移行して整理します。
両辺を2乗します。
見比べて整理すると、
4で約して、
両辺を2乗します。
見比べて整理すると、
ここで、
黄色の部分は、
緑色の部分は、
水色の部分は、
紫色の部分は、
よって、
整理すると、
で約すと、
両辺2乗すると、
ゆえに、
第24問題
●図のように直交する2直線に2円が接し、互いに2円も接しているときの関係を調べます。
円Ｂの半径をａ、円Ｄの半径をｃとします。
△ＯＢＦは直角二等辺三角形なので、
です。
よって、
よって、円Ｄの半径ｃは、
●図のように各円の半径を表します。
上の結果から、
ｂとｋは、
の関係があります。
また、2直線の交点と赤と黄円の接点までの距離がｂに等しいので、上の結果から、
です。
(2)と(3)より、
●さて、(1)に強引に(4)を用いると、
追加問題
問題１
●正三角形ＡＢＣの面積Ｓは、
一方、△ＡＢＣの内心をＯとし内接円甲の半径をｒとすると、面積Ｓは、